الرياضيات البسيطة بشكل مدهش وراء المواجهات المحيرة | مجلة كوانتا

إنها مباراة بطولة دوري الرياضيات التخيلي، حيث سيواجه فريق Atlanta Algebras فريق Carolina Cross Products. لم يواجه الفريقان بعضهما البعض هذا الموسم، ولكن في وقت سابق من العام، هزمت أتلانتا فريق بروكلين بيسكتورز بنتيجة 10 مقابل 5، كما هزم بروكلين كارولينا بنتيجة 7 مقابل 3. هل هذا يعطينا أي فكرة عن هوية الفريق؟ سوف تأخذ اللقب؟

حسنا، هنا سطر واحد من التفكير. إذا تغلب أتلانتا على بروكلين، فإن أتلانتا أفضل من بروكلين، وإذا تغلب بروكلين على كارولينا، فإن بروكلين أفضل من كارولينا. لذا، إذا كانت أتلانتا أفضل من بروكلين وبروكلين أفضل من كارولينا، فيجب أن تكون أتلانتا أفضل من كارولينا وتفوز بالبطولة.

إذا كنت تلعب ألعابًا أو رياضات تنافسية، فأنت تعلم أن التنبؤ بنتيجة المباراة ليس بهذه البساطة على الإطلاق. ولكن من وجهة نظر رياضية بحتة، فإن هذه الحجة لها بعض الجاذبية. إنها تستخدم فكرة مهمة في الرياضيات تُعرف باسم العبور، وهي خاصية مألوفة تسمح لنا ببناء سلاسل من المقارنات عبر العلاقات. تعد العبورية واحدة من تلك الخصائص الرياضية الأساسية التي قد لا تلاحظها حتى.

على سبيل المثال، المساواة في الأعداد هي أمر متعدٍ. وهذا يعني أنه إذا عرفنا ذلك a = b و b = c، يمكننا أن نستنتج أن a = c. العلاقة "أكبر من" هي أيضًا علاقة متعدية: بالنسبة للأعداد الحقيقية، إذا a > b و b > c، ثم a > c. عندما تكون العلاقات متعدية، يمكننا مقارنتها ودمجها، مما يؤدي إلى ترتيب الأشياء. إذا كانت آنا أطول من بنجي وبينجي أطول من كارل، فيمكننا ترتيب الثلاثة حسب طولهم: A, B, C. إن العبورية هي أيضًا وراء حجتنا الساذجة القائلة بأن "إذا". A أفضل من B و B أفضل من C، ثم A أفضل من C.

والتعدية موجودة في المساواة والتطابق والتشابه وحتى التوازي. إنها جزء من كل العمليات الحسابية الأساسية التي نقوم بها، مما يجعلها مثيرة للاهتمام رياضيًا بشكل خاص عندما لا تكون موجودة. عندما يقوم المحللون بتصنيف الفرق، أو يدرس الاقتصاديون تفضيلات المستهلكين، أو يصوت المواطنون على مرشحيهم المفضلين، فإن الافتقار إلى العبور يمكن أن يؤدي إلى نتائج مفاجئة. لفهم هذه الأنواع من الأنظمة بشكل أفضل، كان علماء الرياضيات يدرسون "النرد غير المتعدي" لأكثر من 50 عامًا، و ورقة الزوار من التعاون الرياضي عبر الإنترنت المعروف باسم مشروع Polymath قد طور هذا الفهم. للحصول على فكرة عما تبدو عليه اللامبالاة والشعور بها، دعونا نشكل رابطة خاصة بنا ونلعب حولها.

في دوري الرياضيات الجديد، يتنافس اللاعبون من خلال رمي العملات المعدنية المخصصة ومقارنة النتائج. دعنا نقول لاعب A لديه عملة تحمل الرقم 10 على أحد وجهيها والرقم 6 على الجانب الآخر، واللاعب Bتحتوي عملة s على الرقمين 8 و3. سنفترض أن العملات المعدنية عادلة — مما يعني أنه من المرجح أن يظهر كل جانب على حدة عند قلب العملات المعدنية — وسنمثل الأرقام الموجودة على العملات المعدنية بهذه الطريقة.

في اللعبة، يقوم اللاعبون برمي عملاتهم المعدنية، وأي شخص تظهر عليه العملة الرقم الأعلى هو الفائز. من سيفوز متى A يلعب B?

بالطبع، ذلك يعتمد. أحيانا A سوف يفوز، في بعض الأحيان B سيفوز. ولكن ليس من الصعب رؤية ذلك A هو المفضل للفوز ضد B. هناك أربع طرق يمكن أن تتكشف بها اللعبة، و A يفوز في ثلاثة منهم.

لذلك في لعبة A مقابل B, A لديه فرصة 75٪ للفوز.

الآن C يأتي على طول والتحديات B إلى لعبة. Cتحتوي العملة المعدنية على 5 على أحد وجهيها و4 على الجانب الآخر. مرة أخرى هناك أربعة احتمالات.

هنا B و C يفوز كل منهما باثنين من المواجهات الأربع، لذا سيفوز كل منهما بنسبة 50% من المباريات. B و C متطابقة بالتساوي.

الآن، ماذا تتوقع أن يحدث ومتى A و C يلعب؟ حسنًا، A يدق عادة Bو B يتطابق بالتساوي مع C، لذلك يبدو من المعقول أن نتوقع ذلك A من المحتمل أن يتم تفضيله ضد C.

لكن A هو أكثر من المفضلة. A يهيمن C، الفوز بنسبة 100٪ من الوقت.

قد يبدو هذا مفاجئًا، لكن من الناحية الرياضية ليس من الصعب معرفة سبب حدوث ذلك. Cأرقام بين Bلذلك C يفوز في أي وقت B يقلب عددهم السفلي. لكن Cأرقام كلاهما أدناه Aلذلك C لن يفوز أبدًا بهذه المباراة. هذا المثال لا ينتهك فكرة العبور، لكنه يوضح أن الأمور قد تكون أكثر تعقيدًا من مجرد A > B > C. يُظهر التغيير الطفيف في لعبتنا مدى تعقيد الأمر.

سرعان ما يتعب منافسونا من لعبة تقليب العملات المعدنية على الوجهين، حيث إنها سهلة الفهم رياضيًا (راجع التمارين في نهاية العمود لمزيد من التفاصيل)، لذلك قرر الدوري الترقية إلى العملات المعدنية ذات الوجهين. (إحدى فوائد اللعب في دوري رياضيات خيالي هو أن كل شيء ممكن.)

هنا A و Bالعملات المعدنية:

من هو المفضل في مباراة بين A و B؟ حسنًا، هناك ثلاث نتائج لـ Aإرم العملة وثلاثة ل Bمما يؤدي إلى تسع نتائج محتملة للعبة والتي يمكننا رسمها بسهولة.

لنفترض مرة أخرى أن جميع النتائج متساوية في الاحتمال، A يدق B في خمس من أصل تسعة نتائج. هذا يعنى A يجب أن يفوز بـ $latex frac{5}{9} بنسبة 55% تقريبًا من الوقت، لذا A مفضل ضد B.

يشعرون بالقليل من الإحباط بشأن آفاقهم، B التحديات C إلى لعبة. Cتظهر أرقام أدناه. هل تحب Bفرص؟

مرة أخرى، هناك تسع نتائج محتملة في لعبة B مقابل C، حتى نتمكن من سردها فقط.

يمكننا أن نرى أن B تبدو جيدة جدًا ضد C. في خمس من النتائج التسعة المحتملة، B يفوز. لذا B مفضل ضد C.

فقير C الآن يجب أن تلعب A. مع A مفضل ضد B و B مفضل ضد C، ما تفعله الفرصة C يجب أن يفوز؟ فكرة جيدة، كما اتضح.

في خمس من النتائج التسعة المحتملة هنا، C يدق A. هذا يعني ذاك C مفضل ضد A، بالرغم من ذلك Aمفضل ضد B و B مفضل ضد C.

هذا مثال على نظام لازم. وبمصطلحات أكثر تقنية، فإن العلاقة "المفضلة ضد" في لعبتنا ليست علاقة متعدية: A مفضل ضد Bو B مفضل ضد C، لكن A ليس بالضرورة مفضلاً ضد C.

لا نراها كثيرًا في الرياضيات، لكن هذا النوع من السلوك لن يفاجئ عشاق الرياضة. إذا تغلب العمالقة على النسور وتغلب النسور على رعاة البقر، فلا يزال بإمكان رعاة البقر التغلب على العمالقة بشكل جيد. هناك الكثير من العوامل التي تساهم في نتيجة المباراة الفردية. يمكن للفرق أن تتحسن من خلال الممارسة أو أن تصاب بالركود إذا لم تبتكر. يمكن للاعبين تغيير الفرق. تفاصيل مثل موقع اللعبة - في المنزل أو خارجه - أو مدى لعب الفرق مؤخرًا، يمكن أن تؤثر على من يفوز ومن يخسر.

لكن هذا المثال البسيط يوضح أن هناك أسبابًا رياضية بحتة وراء هذا النوع من اللازومية أيضًا. وهذا الاعتبار الرياضي البحت لديه شيء مشترك مع قيود المنافسة في العالم الحقيقي: المتنافسات.

هنا أرقام ل A, B و C.

عندما ننظر إليهما جنبًا إلى جنب، فمن الأسهل أن نرى سبب حدوث التعقيد في هذه الحالة. بالرغم من B هو المفضل للفوز ضد C, Cالرقمان المتوسطان إلى المرتفعان — 7 و6 — يمنحانهما ميزة A أن B لا يملك. بالرغم من A مفضل ضد B و B مفضل ضد C, C مباريات ضد A أفضل من B يفعل. وهذا مشابه لكيفية مواجهة فريق رياضي مستضعف بشكل جيد ضد خصم متفوق لأن أسلوب لعبه يصعب على هذا الفريق التعامل معه، أو لأن اللاعب أو المدرب يمنحهم ميزة ضد هذا الخصم المعين.

حقيقة أن الرياضة ضرورية هي جزء مما يجعلها ممتعة ومقنعة. بعد كل شيء، إذا A يدق B و B يدق C, C لن يخسروا فقط بسبب العبور عندما يواجهونهم A. في المنافسة، أي شيء يمكن أن يحدث. وكما قال العديد من المعلقين بعد انزعاجهم: "لهذا السبب يمارسون اللعبة".

ولهذا السبب نلعب بالرياضيات. للعثور على ما هو ممتع ومقنع ومثير للدهشة. أي شيء يمكن أن يحدث.

تمارين

1. لنفترض أن لاعبين يلعبان لعبة العملة ذات الوجهين، وأن الأرقام الأربعة من العملاتتين كلها مختلفة. هناك في الأساس ستة سيناريوهات محتملة فقط لمن سيفوز وعدد المرات. ما هم؟

2. في سيناريو اللعبة ثلاثية الجوانب الموصوف أعلاه، ابحث عن عملة معدنية مختلفة ثلاثية الجوانب C بحيث B لا يزال يفضل ضد C و C لا يزال يفضل ضد A.

3. أثبت أنه في لعبة العملة ذات الوجهين، من المستحيل أن يكون لديك ثلاثة لاعبين A, B, C مثل ذلك A مفضل ضد B, B مفضل ضد Cو C مفضل ضد A.