العلاقة الخفية التي غيرت نظرية الأعداد | مجلة كوانتا

هناك ثلاثة أنواع من الأعداد الأولية. الأول هو قيمة متطرفة منفردة: 2، وهو العدد الأولي الزوجي الوحيد. بعد ذلك، يترك نصف الأعداد الأولية 1 عند القسمة على 4. ويترك النصف الآخر باقي 3. (5 و13 تقع في المعسكر الأول، و7 و11 في المعسكر الثاني). لا يوجد سبب واضح وراء كون الباقي يجب أن تتصرف الأعداد الأولية -1 والباقي 3 بطرق مختلفة بشكل أساسي. لكنهم يفعلون.

أحد الاختلافات الرئيسية ينبع من خاصية تسمى المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية، والتي أثبتها لأول مرة كارل غاوس، الذي يمكن القول إنه عالم الرياضيات الأكثر تأثيرا في القرن التاسع عشر. وقال: "إنها عبارة بسيطة إلى حد ما ولها تطبيقات في كل مكان، في جميع أنواع الرياضيات، وليس فقط نظرية الأعداد". جيمس ريكاردز، عالم الرياضيات في جامعة كولورادو، بولدر. "لكنه أيضًا غير واضح بما يكفي ليكون مثيرًا للاهتمام حقًا."

نظرية الأعداد هي فرع من الرياضيات يتعامل مع الأعداد الصحيحة (على عكس الأشكال أو الكميات المستمرة على سبيل المثال). الأعداد الأولية - تلك التي تقبل القسمة على 1 وعلى نفسها فقط - هي في جوهرها، مثلما يمثل الحمض النووي جوهر علم الأحياء. لقد غيرت المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية مفهوم علماء الرياضيات لمدى إمكانية إثباتها. إذا كنت تفكر في الأعداد الأولية باعتبارها سلسلة جبال، فإن المعاملة بالمثل تشبه المسار الضيق الذي يسمح لعلماء الرياضيات بالصعود إلى قمم لم يكن من الممكن الوصول إليها من قبل، ومن تلك القمم، يمكنهم رؤية الحقائق التي كانت مخفية.

على الرغم من أنها نظرية قديمة، إلا أنها لا تزال لديها تطبيقات جديدة. هذا الصيف، ريكاردز وزميله كاثرين ستانج، برفقة اثنين من الطلاب، دحض التخمين المقبول على نطاق واسع حول كيفية وضع دوائر صغيرة داخل دائرة أكبر. النتيجة صدمت علماء الرياضيات. بيتر سارناكتحدثت، وهي منظِّرة الأعداد في معهد الدراسات المتقدمة وجامعة برينستون، مع ستانج في مؤتمر بعد وقت قصير من انعقاد فريقها نشر ورقتهم. يتذكر سارناك قائلاً: "لقد أخبرتني أن لديها مثالاً مضاداً". "سألتها على الفور: "هل تستخدمين المعاملة بالمثل في مكان ما؟" وكان هذا بالفعل ما كانت تستخدمه.

الأنماط في أزواج من الأعداد الأولية

لفهم المعاملة بالمثل، عليك أولاً أن تفهم الحساب المعياري. تعتمد العمليات المعيارية على حساب الباقي عند القسمة على رقم يسمى المعامل. على سبيل المثال، 9 modulo 7 هو 2، لأنه إذا قسمت 9 على 7، يتبقى لديك 2. في نظام الأرقام modulo 7، هناك 7 أرقام: {0، 1، 2، 3، 4، 5 ، 6). يمكنك جمع هذه الأرقام وطرحها وضربها وتقسيمها.

كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة، يمكن أن تحتوي أنظمة الأعداد هذه على مربعات كاملة، وهي أرقام تكون حاصل ضرب عدد آخر في نفسه. على سبيل المثال، 0 و1 و2 و4 هي المربعات المثالية لمعيار 7 (0 × 0 = 0، 1 × 1 = 1، 2 × 2 = 4، و3 × 3 = 2 mod 7). سيكون كل مربع عادي مساويًا لـ 0 أو 1 أو 2 أو 4 modulo 7. (على سبيل المثال، 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) نظرًا لأن أنظمة الأعداد المعيارية محدودة، فإن المربعات الكاملة أكثر شيوعًا.

تنبع المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية من سؤال مباشر نسبيًا. نظرا لاثنين من الأعداد الأولية p و q، إذا كنت تعرف ذلك p هو معامل مربع مثالي q، هل يمكنك أن تقول ما إذا كان أم لا q هو معامل مربع مثالي p?

وتبين أنه طالما سواء p or q يترك الباقي 1 عند القسمة على 4، إذا p هو معامل مربع مثالي q، ثم q هو أيضًا معامل مربع مثالي p. يقال أن الأعداد الأولية متبادلة.

وأما إذا ترك كل منهما باقي 3 (مثل 7 و11) فلا يتبادلان: إذا p هو معامل مربع q، هذا يعني أن q لن يكون modulo مربع p. في هذا المثال، 11 عبارة عن وحدة مربعة 7، حيث أن 11 = 4 modulo 7 ونحن نعلم بالفعل أن 4 هي واحدة من وحدات المربعات الكاملة 7. ويترتب على ذلك أن 7 ليس وحدة مربعة 11. إذا أخذت قائمة الوحدات العادية المربعات (4، 9، 16، 25، 36، 49، 64، ...) وانظر إلى بقاياها modulo 11، فلن يظهر الرقم 7 أبدًا.

وهذا، إذا استخدمنا مصطلحًا تقنيًا، أمر غريب حقًا!

قوة التعميم

مثل العديد من الأفكار الرياضية، كانت المعاملة بالمثل مؤثرة لأنها يمكن تعميمها.

بعد وقت قصير من نشر غاوس أول دليل على التبادلية التربيعية في عام 1801، حاول علماء الرياضيات توسيع الفكرة إلى ما هو أبعد من المربعات. “لماذا لا توجد قوى ثالثة أو قوى رابعة؟ وقال: "لقد تصوروا أنه ربما يكون هناك قانون المعاملة بالمثل التكعيبي أو قانون المعاملة بالمثل من الدرجة الرابعة". كيث كونراد، منظّر الأعداد في جامعة كونيتيكت.

لكنهم تعثروا، كما قال كونراد، "لأنه لا يوجد نمط سهل". لقد تغير هذا عندما أدخل غاوس المعاملة بالمثل في عالم الأعداد المركبة، والتي تضيف الجذر التربيعي لـ 1 سالب، ممثلاً بـ i، إلى أرقام عادية. لقد قدم فكرة أن منظري الأعداد لا يمكنهم تحليل الأعداد الصحيحة العادية فحسب، بل أيضًا الأنظمة الرياضية الأخرى المشابهة للأعداد الصحيحة، مثل ما يسمى بالأعداد الصحيحة الغوسية، وهي أعداد معقدة تكون أجزاؤها الحقيقية والتخيلية أعدادًا صحيحة.

مع الأعداد الصحيحة الغوسية، تغيرت فكرة ما يمكن اعتباره أوليًا بالكامل. على سبيل المثال، 5 لم يعد أوليًا، لأن 5 = (2 + i) × (2 − i). قال كونراد: "عليك أن تبدأ من جديد وكأنك في المدرسة الابتدائية مرة أخرى". في عام 1832، أثبت غاوس قانون المعاملة بالمثل من الدرجة الرابعة للأعداد الصحيحة المعقدة التي تحمل اسمه.

فجأة، تعلم علماء الرياضيات تطبيق أدوات مثل الحساب المعياري والتحليل على أنظمة الأعداد الجديدة هذه. كانت المعاملة بالمثل التربيعية هي الإلهام، وفقًا لكونراد.

بدأت تظهر الآن الأنماط التي كانت بعيدة المنال بدون أرقام معقدة. بحلول منتصف أربعينيات القرن التاسع عشر، أثبت جوتهولد آيزنشتاين وكارل جاكوبي أول قوانين التبادلية التكعيبية.

ثم، في عشرينيات القرن العشرين، اكتشف إميل أرتين، أحد مؤسسي الجبر الحديث، ما أسماه كونراد "قانون المعاملة بالمثل النهائي". يمكن اعتبار جميع قوانين المعاملة بالمثل الأخرى حالات خاصة لقانون المعاملة بالمثل الخاص بآرتين.

وبعد قرن من الزمان، لا يزال علماء الرياضيات يبتكرون أدلة جديدة على أول قانون للمعاملة بالمثل من الدرجة الثانية لغاوس، ويعمموه على سياقات رياضية جديدة. وجود العديد من البراهين المميزة يمكن أن يكون مفيدًا. وقال كونراد: "إذا كنت تريد توسيع النتيجة إلى إطار جديد، فربما يتم تطبيق إحدى الحجج بسهولة، في حين لن يتم تطبيق الحجج الأخرى".

لماذا تعتبر المعاملة بالمثل مفيدة جدًا؟

يتم استخدام المعاملة بالمثل التربيعية في مجالات بحثية متنوعة مثل نظرية الرسم البياني والطوبولوجيا الجبرية والتشفير. في الأخير، تم تطوير خوارزمية تشفير المفتاح العام المؤثرة في عام 1982 بواسطة شافي جولدواسر و سيلفيو ميكالي يتوقف على ضرب عددين أوليين كبيرين p و q معا وإخراج النتيجة، N، بالإضافة إلى عدد x، وهي ليست وحدة مربعة N. تستخدم الخوارزمية N و x لتشفير الرسائل الرقمية إلى سلاسل ذات أرقام أكبر. الطريقة الوحيدة لفك تشفير هذه السلسلة هي تحديد ما إذا كان كل رقم في السلسلة المشفرة عبارة عن وحدة مربعة أم لا N — مستحيل تقريبًا دون معرفة قيم الأعداد الأولية p و q.

وبطبيعة الحال، تظهر التبادلية التربيعية بشكل متكرر في نظرية الأعداد. على سبيل المثال، يمكن استخدامه لإثبات أن أي عدد أولي يساوي 1 معيار 4 يمكن كتابته كمجموع مربعين (على سبيل المثال، 13 يساوي 1 معيار 4، و13 = 4 + 9 = 2)² + 3²). على النقيض من ذلك، لا يمكن أبدًا كتابة الأعداد الأولية التي تساوي 3 modulo 4 كمجموع مربعين.

وأشار سارناك إلى أن المعاملة بالمثل يمكن استخدامها لحل الأسئلة المفتوحة، مثل معرفة الأرقام التي يمكن كتابتها كمجموع ثلاثة مكعبات. من المعروف أن الأعداد التي تساوي 4 أو 5 modulo 9 لا تساوي مجموع ثلاثة مكعبات، لكن بعضها الآخر يظل لغزًا. (في عام 2019، أندرو بوكر العناوين التي تم إنشاؤها عندما اكتشف أن (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

وقال ستانج إنه على الرغم من جميع تطبيقاتها العديدة، والعديد من البراهين المختلفة، إلا أن هناك شيئًا ما يتعلق بالمعاملة بالمثل يظل لغزًا.

"ما يحدث غالبًا مع الدليل الرياضي هو أنه يمكنك متابعة كل خطوة؛ قالت: "يمكنك أن تصدق أن هذا صحيح". "ولا يزال بإمكانك الخروج من الطرف الآخر وأنت تشعر بـ "ولكن لماذا؟"

إن فهم ما يجعل 7 و 11 مختلفًا عن 5 و 13، على المستوى العميق، قد يكون بعيدًا عن المنال إلى الأبد. وقالت: "لا يمكننا سوى التوفيق بين العديد من مستويات التجريد". "إنها تظهر في كل مكان في نظرية الأعداد... ومع ذلك فهي مجرد خطوة أبعد مما يبدو أنك يمكن أن تعرفه حقًا."

كوانتا تجري سلسلة من الدراسات الاستقصائية لخدمة جمهورنا بشكل أفضل. خذ خاصتنا مسح قارئ الرياضيات وسيتم إدخالك للفوز مجانا كوانتا MERCH.