انظر إلى النماذج المعيارية، "العملية الأساسية الخامسة" للرياضيات | مجلة كوانتا

قال عالم الرياضيات الألماني مارتن إيشلر: "هناك خمس عمليات أساسية في الرياضيات". "الجمع والطرح والضرب والقسمة والأشكال المعيارية."

جزء من النكتة بالطبع هو أن أحدهم ليس مثل الآخرين. تعد الأشكال المعيارية وظائف أكثر تعقيدًا وغموضًا، ولا يواجهها الطلاب عادةً حتى التخرج من المدرسة. ولكن "ربما يكون هناك عدد أقل من مجالات الرياضيات التي ليس لديهم تطبيقات فيها مقارنة بالمجالات التي لديهم تطبيقات فيها"، كما قال دون زاجير، عالم رياضيات في معهد ماكس بلانك للرياضيات في بون، ألمانيا. كل أسبوع، توسع الأبحاث الجديدة نطاقها في نظرية الأعداد، والهندسة، والتوافقيات، والطوبولوجيا، والتشفير، وحتى نظرية الأوتار.

غالبًا ما يتم وصفها على أنها وظائف تلبي التناظرات بشكل ملفت للنظر ومتقن لدرجة أنه لا ينبغي أن تكون ممكنة. الخصائص التي تأتي مع تلك التماثلات تجعل الأشكال المعيارية قوية للغاية. وهذا ما جعلهم لاعبين أساسيين في الدليل التاريخي لعام 1994 على نظرية فيرما الأخيرة. وهذا ما جعلهم محوريين أحدث الأعمال على التعبئة الكروية. وهذا ما يجعلها الآن حاسمة في التطوير المستمر لـ "النظرية الرياضية لكل شيء" والتي تسمى "النظرية الرياضية لكل شيء". برنامج لانجلاندز.

لكن ما هم؟

التماثلات اللانهائية

لفهم الشكل المعياري، من المفيد أن نفكر أولاً في التماثلات المألوفة.

بشكل عام، يقال إن الشكل له تماثل عندما يكون هناك بعض التحول الذي يتركه كما هو.

يمكن للوظيفة أيضًا أن تظهر تماثلات. خذ بعين الاعتبار القطع المكافئ المحدد بالمعادلة $latex f(x) = x^2$. إنه يرضي تناظرًا واحدًا: يمكن أن ينعكس على y-محور. على سبيل المثال، $latex f(3) = f(−3) = 9$. بشكل أكثر عمومية، إذا قمت بتحويل أي إدخال $latex x$ إلى $latex -x$، فسيخرج $latex x^2$ نفس القيمة.

هناك عدد لا نهائي من الوظائف تلبي هذا التناظر. هنا ليست سوى عدد قليل:

المثال الأخير هو دالة جيب التمام من علم المثلثات. إنها تُظهر تناظرًا انعكاسيًا، لكن لديها أيضًا تناظرات أخرى. إذا قمت بتحويل $ latex x $ من خلال المضاعفات الصحيحة لـ $latex 2pi$، تقوم الدالة دائمًا بإرجاع نفس القيمة - مما يعني أن هناك عددًا لا نهائيًا من التحويلات التي يمكن أن تترك الدالة دون تغيير.

هذا التناظر الإضافي يجعل وظائف مثل جيب التمام مفيدة بشكل لا يصدق. قال: "يبدأ جزء كبير من الفيزياء الأساسية بفهم الآثار الكاملة للدوال المثلثية". كين اونو، عالم رياضيات في جامعة فيرجينيا.

وأضاف: "الأشكال المعيارية تشبه الدوال المثلثية، ولكن على المنشطات". إنها تلبي عددًا لا نهائيًا من التماثلات "المخفية".

الكون المعقد

لا يمكن للوظائف أن تفعل الكثير إلا عندما يتم تعريفها من حيث الأعداد الحقيقية، وهي القيم التي يمكن التعبير عنها ككسر عشري تقليدي. ونتيجة لذلك، غالبًا ما يلجأ علماء الرياضيات إلى الأعداد المركبة، والتي يمكن اعتبارها أزواجًا من الأعداد الحقيقية. يتم وصف أي عدد مركب من حيث قيمتين - مكون "حقيقي" وواحد "خيالي"، وهو رقم حقيقي مضروب في الجذر التربيعي لـ -1 (والذي يكتبه علماء الرياضيات بالصيغة $latex i$).

وبالتالي، يمكن تمثيل أي عدد مركب كنقطة في مستوى ثنائي الأبعاد.

من الصعب تصور دوال الأعداد المركبة، لذلك غالبًا ما يلجأ علماء الرياضيات إلى اللون. على سبيل المثال، يمكنك تلوين المستوى المعقد بحيث يبدو مثل عجلة قوس قزح. ويتوافق لون كل نقطة مع زاويتها في الإحداثيات القطبية. مباشرة إلى يمين المركز، حيث النقاط لها زاوية 0 درجة، تحصل على اللون الأحمر. عند 90 درجة، أو بشكل مستقيم، يتم تلوين النقاط باللون الأخضر الفاتح. وما إلى ذلك وهلم جرا. وأخيرًا، تحدد الخطوط الكنتورية التغيرات في الحجم أو الحجم، كما هو الحال في الخريطة الطبوغرافية.

يمكنك الآن استخدام هذا كرسم بياني مرجعي لتوضيح الوظائف المعقدة. يمثل موضع النقطة على المستوى الإدخال، وستقوم بتعيين لون لهذه النقطة بناءً على الرسم البياني المرجعي. على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار الدالة $latex f(z) = z^2$. عندما $latex z = 1 + i$، $latex f(z) = 2i$، بما أن $latex (1 + i)^2 = 2i$. نظرًا لأن $latex 2i$ ملون باللون الأخضر الفاتح على الرسم البياني المرجعي، فسوف تقوم بتلوين النقطة $latex 1 + i$ باللون الأخضر الساطع في الرسم البياني الجديد.

الرسم البياني $latex f(z) = z^2$ يمر عبر الألوان مرتين، لأن تربيع عدد مركب يضاعف زاويته. كما أنها تحتوي على المزيد من الخطوط الكنتورية، لأن حجم المخرجات ينمو بسرعة أكبر.

وبشكل أكثر عمومية، يبدو الرسم البياني كما هو عندما تعكس النقاط على خط قطري مرسوم عبر المركز (أو الأصل).

هذا هو أحد التماثلات لدالة ذات قيمة معقدة. تُظهِر الأشكال المعيارية تنوعًا مذهلًا من هذه التناظرات. ولكن قد يكون من الصعب فهم الوظيفة الفعلية التي تمثلها تلك الألوان والخطوط الكنتورية.

المجال الأساسي

للقيام بذلك، من المفيد محاولة تبسيط الطريقة التي ننظر بها إلى هذه الدوال المعقدة.

بسبب تماثلات النموذج المعياري، يمكنك حساب الدالة بأكملها بناءً على شريحة ضيقة من المدخلات، تقع في منطقة من المستوى تسمى المجال الأساسي. تبدو هذه المنطقة وكأنها شريط صاعد من المحور الأفقي به فتحة نصف دائرية مقطوعة من قاعها.

إذا كنت تعرف كيف تتصرف الوظيفة هناك، فسوف تعرف ما تفعله في كل مكان آخر.

وإليك كيفية إجراء ذلك:

هناك نوعان من التحولات ينسخان المجال الأساسي إلى اليمين واليسار، بالإضافة إلى سلسلة من الدوائر نصف الدائرية المتقلصة باستمرار على طول المحور الأفقي. تملأ هذه النسخ النصف العلوي بأكمله من المستوى المعقد.

يربط النموذج المعياري النسخ ببعضها البعض بطريقة خاصة جدًا. وهنا تدخل تماثلاتها في الصورة.

إذا كان بإمكانك الانتقال من نقطة في نسخة إلى نقطة في نسخة أخرى من خلال النوع الأول من التحويل - عن طريق تحويل وحدة واحدة إلى اليسار أو اليمين - فإن النموذج المعياري يعين نفس القيمة لهاتين النقطتين. تمامًا كما تتكرر قيم دالة جيب التمام على فترات زمنية قدرها $latex 2pi$، يكون النموذج المعياري دوريًا على فترات زمنية مكونة من وحدة واحدة.

وفي الوقت نفسه، يمكنك الانتقال من نقطة في نسخة إلى نقطة في نسخة أخرى من خلال النوع الثاني من التحويل – من خلال الانعكاس على حدود الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 1 مركزها عند نقطة الأصل. في هذه الحالة، لا يعين النموذج المعياري بالضرورة نفس القيمة لتلك النقاط. ومع ذلك، فإن القيم عند النقطتين ترتبط ببعضها البعض بطريقة منتظمة تؤدي أيضًا إلى التماثل.

يمكنك الجمع بين هذه التحويلات بعدة طرق لا حصر لها، مما يمنحك عدد لا حصر له من شروط التناظر التي يجب أن يستوفيها الشكل المعياري.

وقال "هذا لا يبدو بالضرورة مثيرا للغاية". جون فويت، عالم رياضيات في كلية دارتموث. "أعني تقطيع النصف العلوي من المستوى ووضع الأرقام في أماكن مختلفة - من يهتم؟"

وأضاف: "لكنها عنصرية للغاية". وهناك سبب لهذا الأمر.

المساحات الخاضعة للرقابة

في عشرينيات وثلاثينيات القرن العشرين، طور عالم الرياضيات الألماني إريك هيكي نظرية أعمق حول الأشكال المعيارية. والأهم من ذلك أنه أدرك أنها موجودة في مساحات معينة، وهي مساحات ذات أبعاد محددة وخصائص أخرى. لقد اكتشف كيفية وصف هذه المساحات بشكل ملموس واستخدامها لربط الأشكال المعيارية المختلفة مع بعضها البعض.

لقد ساهم هذا الإدراك في دفع الكثير من الرياضيات في القرنين العشرين والحادي والعشرين.

لفهم كيفية القيام بذلك، فكر أولاً في سؤال قديم: ما عدد الطرق التي يمكنك من خلالها كتابة عدد صحيح معين كمجموع أربعة مربعات؟ هناك طريقة واحدة فقط لكتابة الصفر، على سبيل المثال، في حين أن هناك ثماني طرق للتعبير عن 1، و24 طريقة للتعبير عن 2، و32 طريقة للتعبير عن 3. لدراسة هذا التسلسل - 1، 8، 24، 32، وما إلى ذلك - وقد قام علماء الرياضيات بتشفيرها في مبلغ لا نهائي يسمى دالة التوليد:

$لاتكس 1 + 8q + {{24q}^2} + {{32q}^3} + {{24q}^4} + {{48q}^5} + …$

لم تكن هناك بالضرورة طريقة لمعرفة المعامل الذي يجب أن يكون عليه، على سبيل المثال، $latex q^{174}$ - كان هذا هو بالضبط السؤال الذي كانوا يحاولون الإجابة عليه. ولكن من خلال تحويل التسلسل إلى دالة توليد، يمكن لعلماء الرياضيات تطبيق أدوات من حساب التفاضل والتكامل ومجالات أخرى لاستنتاج معلومات عنها. فقد يكونون، على سبيل المثال، قادرين على التوصل إلى طريقة لتقريب قيمة أي معامل.

ولكن اتضح أنه إذا كانت دالة التوليد نموذجًا معياريًا، فيمكنك القيام بعمل أفضل بكثير: يمكنك الحصول على صيغة دقيقة لكل معامل.

قال: "إذا كنت تعرف أنه شكل معياري، فأنت تعرف كل شيء". جان برونير من جامعة دارمشتات التقنية في ألمانيا.

وذلك لأن التماثلات العديدة التي لا نهاية لها للشكل المعياري ليست مجرد منظر جميل - "إنها مقيدة للغاية"، كما قال. لاري رولين من جامعة فاندربيلت، أنه يمكن تحويلها إلى "أداة لإثبات التطابقات والهويات بين الأشياء تلقائيًا."

غالبًا ما يقوم علماء الرياضيات والفيزياء بتشفير الأسئلة ذات الاهتمام بتوليد الوظائف. قد يرغبون في حساب عدد النقاط على منحنيات خاصة، أو عدد الحالات في أنظمة فيزيائية معينة. قال: "إذا كنا محظوظين، فهو نموذج معياري". كلوديا ألفيس نيومان، عالم الرياضيات في جامعة بيليفيلد في ألمانيا. قد يكون من الصعب جدًا إثبات ذلك، ولكن إذا استطعت، فإن "نظرية الأشكال المعيارية غنية جدًا لدرجة أنها تمنحك الكثير من الإمكانيات للتحقيق في هذه المعاملات [المتسلسلة]".

مجموعات التركيب

سيبدو أي شكل معياري معقدًا للغاية. بعض من أبسطها - والتي تستخدم كوحدات بناء لأشكال معيارية أخرى - تسمى متسلسلة آيزنشتاين.

يمكنك التفكير في متسلسلة آيزنشتاين كمجموع لا نهائي من الدوال. لتحديد كل من هذه الوظائف، استخدم النقاط الموجودة على شبكة ثنائية الأبعاد لا نهائية:

عند إضافة الوظائف المرتبطة بأربع نقاط فقط في الشبكة بالقرب من نقطة الأصل، يمكنك رؤية كيف تبدأ التماثلات المميزة في الظهور.

إذا أخذت المجموع الكامل لوظائف الشبكة العديدة اللانهائية، فستحصل على متسلسلة آيزنشتاين التي يمكن القول إنها أسهل شكل معياري يمكن تدوينه. تعكس الأنماط التماثلات المحددة للنموذج، حيث تتكرر إلى ما لا نهاية إلى اليسار واليمين، وتتحول بطرق أكثر تعقيدًا بالقرب من المحور الأفقي.

تستمر اللعبة

أدت دراسة الأشكال المعيارية إلى طوفان من الانتصارات الرياضية. على سبيل المثال، العمل الأخير حول التعبئة الكروية، والذي قامت به عالمة الرياضيات الأوكرانية مارينا فيازوفسكا فاز بميدالية فيلدز العام الماضي، تستخدم أشكال وحدات. قال بروينير: "عندما رأيت ذلك، تفاجأت تمامًا". "لكنه يعمل بطريقة ما."

لقد تبين أن الأشكال المعيارية مرتبطة بكائن جبري مهم يسمى مجموعة الوحش. لقد تم استخدامها لبناء أنواع خاصة من الشبكات تسمى الرسوم البيانية الموسعوالتي تظهر في علوم الكمبيوتر ونظرية الاتصالات وغيرها من التطبيقات. لقد جعلوا من الممكن دراسة النماذج المحتملة لتفاعلات الجسيمات في نظرية الأوتار وفيزياء الكم.

ولعل الأكثر شهرة هو أن برهان نظرية فيرما الأخيرة الذي تم تقديمه عام 1994 كان يتوقف على الأشكال المعيارية. تنص النظرية، التي تعتبر على نطاق واسع واحدة من أهم المشاكل في نظرية الأعداد، على أنه لا توجد ثلاثة أعداد صحيحة غير صفرية a, b و c التي تحقق المعادلة $latex {a^n} + {b^n} = {c^n}$ عندما يكون $latex n$ عددًا صحيحًا أكبر من 2. أثبت عالم الرياضيات أندرو وايلز صحة ذلك من خلال افتراض العكس - أن حل المعادلة موجود بالفعل، ومن ثم استخدام النماذج المعيارية لإظهار أن مثل هذا الافتراض لا بد أن يؤدي إلى تناقض.

في البداية استخدم حله المفترض لبناء جسم رياضي يسمى المنحنى الإهليلجي. ثم أظهر أنه يمكنك دائمًا ربط شكل معياري فريد بمثل هذا المنحنى. ومع ذلك، فإن نظرية الأشكال المعيارية تملي أنه في هذه الحالة، لا يمكن لهذا الشكل المعياري أن يكون موجودًا. قال فويت: "إنه أمر جيد جدًا لدرجة يصعب تصديقها". وهذا يعني بدوره أن الحل المفترض لا يمكن أن يكون موجودًا، مما يؤكد نظرية فيرما الأخيرة.

ولم يحل هذا مشكلة عمرها قرون فحسب؛ كما أنها وفرت فهمًا أفضل للمنحنيات الإهليلجية، والتي قد يكون من الصعب دراستها بشكل مباشر (والتي تلعب دورًا مهمًا في التشفير ورموز تصحيح الأخطاء).

كما أضاء الدليل أيضًا جسرًا بين الهندسة ونظرية الأعداد. تم توسيع هذا الجسر منذ ذلك الحين إلى برنامج لانجلاندزمجموعة أكبر من الروابط بين المجالين - وموضوع أحد الجهود البحثية المركزية في الرياضيات المعاصرة. تم أيضًا تعميم النماذج المعيارية في مجالات أخرى، حيث بدأ التعرف على تطبيقاتها المحتملة للتو.

ويستمرون في الظهور في كل مكان في الرياضيات والفيزياء، وأحيانًا بشكل غامض تمامًا. قال: "أبحث في ورقة بحثية عن الثقوب السوداء". ستيف كودلا من جامعة تورنتو، "وأنا أجد أشكالًا معيارية صديقة لي. لكنني لا أعرف سبب وجودهم هناك”.

وأضاف: «بطريقةٍ ما، تلتقط الأشكال المعيارية بعضًا من التناظرات الأساسية في العالم».