خيوط إثبات جديدة الإبرة على مشكلة هندسية لزجة | مجلة كوانتا

في عام 1917 ، طرح عالم الرياضيات الياباني Sōichi Kakeya ما بدا في البداية وكأنه مجرد تمرين ممتع في الهندسة. ضع إبرة لا متناهية الرقة بطول بوصة واحدة على سطح مستو ، ثم قم بتدويرها بحيث تشير في كل اتجاه بدورها. ما هي أصغر منطقة يمكن أن تكتسحها الإبرة؟

إذا قمت ببساطة بتدويرها حول مركزها ، فستحصل على دائرة. لكن من الممكن تحريك الإبرة بطرق مبتكرة ، بحيث تحصل على مساحة أصغر بكثير. طرح علماء الرياضيات منذ ذلك الحين نسخة ذات صلة من هذا السؤال ، تسمى تخمين Kakeya. في محاولاتهم لحلها ، اكتشفوا روابط مفاجئة للتحليل التوافقي ونظرية الأعداد وحتى الفيزياء.

"بطريقة ما ، هذه الهندسة للخطوط التي تشير في العديد من الاتجاهات المختلفة موجودة في كل مكان في جزء كبير من الرياضيات ،" جوناثان هيكمان من جامعة ادنبره.

لكنه أيضًا شيء لا يزال علماء الرياضيات لا يفهمونه تمامًا. في السنوات القليلة الماضية ، أثبتوا وجود اختلافات في حدسية الكاكية في إعدادات أسهل، لكن السؤال يبقى بلا حل في الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد. لبعض الوقت ، بدا الأمر كما لو أن كل التقدم قد توقف في تلك النسخة من التخمين ، على الرغم من أن لها عواقب رياضية عديدة.

الآن ، قام اثنان من علماء الرياضيات بتحريك الإبرة ، إذا جاز التعبير. دليلهم الجديد يسقط عقبة رئيسية التي ظلت قائمة منذ عقود - تجدد الأمل في أن الحل قد يلوح في الأفق أخيرًا.

ما هي الصفقة الصغيرة؟

كان Kakeya مهتمًا بالمجموعات في المستوى التي تحتوي على قطعة مستقيمة بطول 1 في كل اتجاه. هناك العديد من الأمثلة على هذه المجموعات ، أبسطها قرص يبلغ قطره 1. أراد Kakeya أن يعرف كيف ستبدو أصغر مجموعة من هذا القبيل.

اقترح مثلثًا به جوانب منحنية قليلاً ، يسمى دالية ، والتي تحتوي على نصف مساحة القرص. ومع ذلك ، اتضح أنه من الممكن القيام بعمل أفضل بكثير.

في عام 1919 ، بعد عامين فقط من طرح Kakeya لمشكلته ، أوضح عالم الرياضيات الروسي أبرام بيسيكوفيتش أنه إذا قمت بترتيب إبرتك بطريقة خاصة جدًا ، يمكنك بناء مجموعة شائكة المظهر بها مساحة صغيرة بشكل عشوائي. (بسبب الحرب العالمية الأولى والثورة الروسية ، لم تصل نتيجته إلى بقية العالم الرياضي لعدد من السنوات).

لترى كيف يمكن أن يعمل هذا ، خذ مثلثًا وقسمه على طول قاعدته إلى قطع مثلثة أرق. ثم حرك هذه القطع حولها بحيث تتداخل قدر الإمكان ولكنها تبرز في اتجاهات مختلفة قليلاً. من خلال تكرار العملية مرارًا وتكرارًا - تقسيم المثلث الخاص بك إلى أجزاء أرق وأرق وإعادة ترتيبها بعناية في الفضاء - يمكنك جعل مجموعتك صغيرة كما تريد. في الحد اللامتناهي ، يمكنك الحصول على مجموعة لا تحتوي على مساحة حسابية ولكن لا يزال من المفارقات أن تستوعب إبرة تشير في أي اتجاه.

قال "هذا نوع من المفاجئ وغير بديهي" رويشيانغ تشانغ من جامعة كاليفورنيا ، بيركلي. "إنها مجموعة مرضية للغاية."

يمكن تعميم هذه النتيجة على أبعاد أعلى: من الممكن إنشاء مجموعة ذات حجم صغير عشوائيًا يحتوي على جزء من خط الوحدة يشير في كل اتجاه في nالفضاء الأبعاد.

بدا أن بيسيكوفيتش قد حل مسألة كاكية بالكامل. لكن بعد عقود ، بدأ علماء الرياضيات في العمل على نسخة أخرى من المشكلة استبدلوا فيها المنطقة (أو الحجم ، في الحالة ذات الأبعاد الأعلى) بمفهوم مختلف عن الحجم.

لفهم إعادة صياغة السؤال ، خذ أولاً كل مقطع سطر في مجموعة Kakeya وقم بتسمينه قليلاً - كما لو كنت تستخدم إبرة فعلية ، بدلاً من إبرة مثالية. في المستوى ، ستتألف مجموعتك من مستطيلات رفيعة للغاية ؛ في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، سيكون لديك مجموعة من الأنابيب الرفيعة للغاية.

تحتوي هذه المجموعات المسمنة دائمًا على بعض المساحة (أو الحجم ، لكننا سنلتزم بالحالة ثنائية الأبعاد في الوقت الحالي). عندما تقوم بتغيير عرض إبرتك ، ستتغير هذه المنطقة. في السبعينيات ، أظهر عالم الرياضيات روي ديفيز (الذي توفي الشهر الماضي) أنه إذا تغيرت المساحة الكلية بمقدار صغير ، يجب أن يتغير عرض كل إبرة بشكل كبير. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد نسخة مُسمَّنة من مجموعة Besicovitch بمساحة 1970/1 من البوصة المربعة ، فيجب أن يكون سمك كل إبرة حوالي 10 بوصة: e^-10 من البوصة ، على وجه الدقة. ولكن إذا أردت أن تجعل المساحة الإجمالية 1/100 من البوصة المربعة - 10 مرات أصغر - فيجب أن تكون الإبرة e^-100 بوصة سميكة. (يتبع ثلاثة وأربعون صفراً العلامة العشرية قبل أن تصل إلى الأرقام الأخرى.)

قال "إذا أخبرتني كم تريد أن تكون المنطقة صغيرة ، فعندئذ يجب أن أطلب إبرة رفيعة بشكل لا يصدق" تشارلز فيفرمان من جامعة برينستون.

يقيس علماء الرياضيات "حجم" مجموعة Kakeya باستخدام كمية تسمى بعد Minkowski ، والتي ترتبط بالبعد العادي ولكن لا يشبهه تمامًا (يُعرف على أنه عدد الاتجاهات المستقلة التي تحتاجها لوصف الفضاء).

إليك طريقة واحدة للتفكير في بُعد Minkowski: خذ مجموعتك وقم بتغطيتها بكرات صغيرة يبلغ قطر كل منها واحدًا من المليون من وحدتك المفضلة. إذا كانت مجموعتك عبارة عن قطعة مستقيمة بطول 1 ، فستحتاج إلى مليون كرة على الأقل لتغطيتها. إذا كانت مجموعتك عبارة عن مربع مساحته 1 ، فستحتاج إلى أكثر من ذلك بكثير: مليون مربع ، أو تريليون. بالنسبة إلى كرة حجمها 1 ، تبلغ حوالي مليون مكعب (كوينتيليون) ، وهكذا. البعد Minkowski هو قيمة هذا الأس. يقيس المعدل الذي ينمو به عدد الكرات التي تحتاجها لتغطية مجموعتك كلما قل قطر كل كرة. المقطع الخطي له البعد 1 ، والمربع له البعد 1 ، والمكعب له البعد 1.

هذه الأبعاد مألوفة. لكن باستخدام تعريف Minkowski ، يصبح من الممكن بناء مجموعة لها أبعاد ، على سبيل المثال ، 2.7. على الرغم من أن مثل هذه المجموعة لا تملأ مساحة ثلاثية الأبعاد ، إلا أنها بمعنى ما "أكبر" من سطح ثنائي الأبعاد.

عندما تقوم بتغطية مجموعة بكرات بقطر معين ، فأنت تقترب من حجم الإصدار المسمن للمجموعة. كلما انخفض حجم المجموعة بشكل أبطأ مع حجم الإبرة ، زاد عدد الكرات التي تحتاجها لتغطيتها. لذلك يمكنك إعادة كتابة نتيجة ديفيس - التي تنص على أن مساحة مجموعة Kakeya في المستوى تتناقص ببطء - لإظهار أن المجموعة يجب أن يكون لها بعد Minkowski 2. وتعميم حدسية Kakeya هذا الادعاء على أبعاد أعلى: يجب أن تكون مجموعة Kakeya دائمًا ما يكون له نفس أبعاد المساحة التي يسكنها.

كان من الصعب بشكل مفاجئ إثبات هذا البيان البسيط.

برج التخمين

حتى صنع فيفرمان اكتشاف مذهل في عام 1971 ، كان يُنظر إلى التخمين على أنه فضول.

كان يعمل على مشكلة مختلفة تمامًا في ذلك الوقت. أراد أن يفهم تحويل فورييه ، وهو أداة قوية تسمح لعلماء الرياضيات بدراسة الوظائف عن طريق كتابتها كمجموعات من الموجات الجيبية. فكر في النوتة الموسيقية ، التي تتكون من الكثير من الترددات المتداخلة. (لهذا السبب يبدو الحرف C الأوسط على البيانو مختلفًا عن C الأوسط على الكمان). يسمح تحويل فورييه لعلماء الرياضيات بحساب الترددات المكونة لنغمة معينة. يعمل نفس المبدأ مع الأصوات المعقدة مثل الكلام البشري.

يريد علماء الرياضيات أيضًا معرفة ما إذا كان بإمكانهم إعادة بناء الوظيفة الأصلية إذا تم إعطاؤهم بعضًا من الترددات المكونة العديدة بلا حدود. لديهم فهم جيد لكيفية القيام بذلك في بعد واحد. لكن في الأبعاد الأعلى ، يمكنهم اتخاذ خيارات مختلفة حول الترددات التي يجب استخدامها وأيها يجب تجاهلها. أثبت Fefferman ، لدهشة زملائه ، أنك قد تفشل في إعادة بناء وظيفتك عند الاعتماد على طريقة معروفة بشكل خاص لاختيار الترددات.

يتوقف برهانه على بناء وظيفة عن طريق تعديل مجموعة Kakeya ل Besicovitch. ألهم هذا لاحقًا علماء الرياضيات لتطوير تسلسل هرمي من التخمينات حول السلوك عالي الأبعاد لتحويل فورييه. اليوم ، يتضمن التسلسل الهرمي حتى تخمينات حول سلوك المعادلات التفاضلية الجزئية المهمة في الفيزياء ، مثل معادلة شرودنغر. يشير كل حدس في التسلسل الهرمي تلقائيًا إلى التخمين الموجود أسفله.

تقع حدسية Kakeya في قاعدة هذا البرج. إذا كانت خاطئة ، إذن هي العبارات الأعلى في التسلسل الهرمي. من ناحية أخرى ، فإن إثبات صحتها لا يعني على الفور حقيقة التخمينات الموجودة فوقها ، ولكنه قد يوفر أدوات ورؤى لمهاجمتها.

"الشيء المدهش في تخمين Kakeya هو أنها ليست مجرد مشكلة ممتعة ؛ قال هيكمان "إنه عنق زجاجة نظري حقيقي". "نحن لا نفهم الكثير من هذه الظواهر في المعادلات التفاضلية الجزئية وتحليل فورييه لأننا لا نفهم مجموعات Kakeya هذه."

تفقيس خطة

أثبت برهان فيفرمان - جنبًا إلى جنب مع الروابط المكتشفة لاحقًا بنظرية الأعداد والتوافقيات ومجالات أخرى - الاهتمام بمشكلة الكاكية بين كبار علماء الرياضيات.

في عام 1995 ، أثبت توماس وولف أن بُعد Minkowski لمجموعة Kakeya في الفضاء ثلاثي الأبعاد يجب أن يكون 3 على الأقل. تبين أنه من الصعب زيادة هذا الحد الأدنى. ثم ، في عام 2.5 ، علماء الرياضيات نتس كاتز, إيزابيلا aba و تيرينس تاو تمكنت من التغلب عليه. حدهم الجديد: 2.500000001. على الرغم من ضآلة هذا التحسن ، إلا أنه تجاوز حاجزًا نظريًا هائلاً. كانت ورقتهم نشرت في حوليات الرياضيات، المجلة الأكثر شهرة في المجال.

كان كاتز وتاو يأملان لاحقًا في تطبيق بعض الأفكار من هذا العمل لمهاجمة تخمينات الكاكيا ثلاثية الأبعاد بطريقة مختلفة. لقد افترضوا أن أي مثال مضاد يجب أن يكون له ثلاث خصائص معينة ، وأن تعايش تلك الخصائص يجب أن يؤدي إلى تناقض. إذا تمكنوا من إثبات ذلك ، فهذا يعني أن تخمين الكاكية كان صحيحًا في ثلاثة أبعاد.

لم يتمكنوا من المضي قدمًا ، لكنهم أحرزوا بعض التقدم. على وجه الخصوص ، أظهروا (جنبًا إلى جنب مع علماء الرياضيات الآخرين) أن أي مثال مضاد يجب أن يحتوي على خاصيتين من الخصائص الثلاث. يجب أن يكون "مستويًا" ، مما يعني أنه عندما تتقاطع مقاطع خطية عند نقطة ما ، تقع هذه المقاطع أيضًا في نفس المستوى تقريبًا. يجب أن تكون أيضًا "محببة" ، مما يتطلب أن تكون مستويات نقاط التقاطع القريبة متشابهة في الاتجاه.

ترك هذا العقار الثالث. في المجموعة "اللاصقة" ، يجب أيضًا وضع مقاطع الخط التي تشير في نفس الاتجاه تقريبًا بالقرب من بعضها البعض في الفضاء. لم يستطع كاتز وتاو إثبات أن جميع الأمثلة المضادة يجب أن تكون لزجة. ولكن بشكل بديهي ، تبدو المجموعة اللاصقة أفضل طريقة لفرض الكثير من التداخل بين مقاطع الخط ، وبالتالي جعل المجموعة صغيرة قدر الإمكان - وهو بالضبط ما تحتاجه لإنشاء مثال مضاد. إذا تمكن شخص ما من إظهار أن مجموعة Kakeya اللزجة لها بعد Minkowski أقل من 3 ، فسوف يدحض تخمين 3D Kakeya. "يبدو أن الحالة" لزجة "ستكون أكثر الحالات إثارة للقلق ،" قال لاري جوث من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.

لم يعد مصدر قلق.

نقطة الخلاف

في عام 2014 - بعد أكثر من عقد من محاولة كاتز وتاو إثبات تخمين الكاكية - تاو نشر الخطوط العريضة لنهجهم على مدونته ، مما يمنح علماء الرياضيات الآخرين الفرصة لتجربتها بأنفسهم.

في 2021، هونغ وانغ، عالم رياضيات في جامعة نيويورك ، و جوشوا زحل من جامعة كولومبيا البريطانية قرر أن ينتقل من حيث توقف تاو وكاتز.

لقد بدؤوا بافتراض وجود مثال مضاد لزج بأبعاد Minkowski أقل من 3. كانوا يعلمون من العمل السابق أن مثل هذا النموذج المضاد يجب أن يكون محببًا ومتعدد الأبعاد. قال زحل: "لذلك كنا في هذا النوع من العالم الذي كان يفكر فيه تيري تاو ونتس كاتز". الآن هم بحاجة لإثبات أن الخصائص الحبيبية واللزجة تتلاعب ببعضها البعض وتؤدي إلى تناقض ، مما يعني أن هذا النموذج المضاد لا يمكن أن يوجد بالفعل.

للحصول على هذا التناقض ، وجه وانج وزحل انتباههما في اتجاه لم يتوقعه كاتز وتاو - نحو منطقة تُعرف باسم نظرية الإسقاط.

لقد بدأوا بتحليل هيكل نموذجهم المضاد اللزج بمزيد من التفصيل. إذا كنت تفكر في الإصدار المثالي للمجموعة ، فإنه يحتوي على عدد لا حصر له من مقاطع الخطوط التي تشير في كل اتجاه. لكن في هذه المشكلة ، تذكر أنك تتعامل مع نسخ مصلبة من تلك المقاطع الخطية - مجموعة من الإبر. يمكن أن تحتوي كل من هذه الإبر على العديد من مقاطع الخطوط المثالية ، مما يعني أنه يمكنك تشفير المجموعة اللانهائية بأكملها بعدد محدود من الإبر. اعتمادًا على مدى ثخانة الإبر ، قد تبدو مجموعتك المسمّنة مختلفة تمامًا.

إذا كانت المجموعة لزجة ، فستبدو متشابهة إلى حد ما بغض النظر عن مدى ثخانة الإبر.

استخدم وانج وزحل هذه الخاصية لإثبات أنه كلما أصبحت الإبر أرق ، تصبح المجموعة أكثر وأكثر. قال زحل إنه من خلال هذه العملية ، يمكنهم "استخراج جسم أكثر مرضًا" - وهو شيء يبدو أنه يتمتع بصفات مستحيلة.

هذا ما أظهروه بعد ذلك. لقد أثبتوا أن هذا الكائن المرضي يجب أن ينظر بإحدى طريقتين ، وكلاهما أدى إلى التناقضات. إما أن تكون قادرًا على عرضه في مساحة ثنائية الأبعاد بطريقة تجعله أصغر كثيرًا في العديد من الاتجاهات - وهو الشيء الذي امتلكته وانغ وزملاؤها للتو تبين أنه مستحيل. أو ، في الحالة الثانية ، سيتم تنظيم الإبر في المجموعة وفقًا لنوع محدد جدًا من الوظائف ، والتي أثبتها زحل ومعاونوه مؤخرًا لا يمكن أن توجد، لأنه سيؤدي إلى أنواع أخرى من الإسقاطات التي لا معنى لها.

كان لدى وانج وزحل الآن تناقضهما - مما يعني أنه لا توجد أمثلة مضادة مثبتة لتخمين Kakeya. (لقد أظهروا هذا ليس فقط لبُعد مينكوفسكي ، ولكن أيضًا لكمية ذات صلة تسمى بُعد هاوسدورف). قال زحل: "تستبعد النتيجة هذه الفئة الكاملة من الأمثلة المضادة" - النوع الدقيق من مجموعة الرياضيات التي اعتبرها علماء الرياضيات على الأرجح أنها ستدحض التخمين.

قال العمل الجديد "دعم قوي لكون حدسية Kakeya صحيحة" بابلو شمركين من جامعة كولومبيا البريطانية. في حين أنها تنطبق فقط على الحالة ثلاثية الأبعاد ، فقد تكون بعض تقنياتها مفيدة في الأبعاد الأعلى. بعد قضاء سنوات في إحراز تقدم في التخمين في أنظمة الأرقام الأخرى ، فإن علماء الرياضيات متحمسون لهذه العودة إلى مجال المشكلة الأصلي للأرقام الحقيقية.

قال تشانغ: "إنه أمر رائع أنهم حلوا هذه القضية بالكامل". "في الوضع الحقيقي ، هذا نادر للغاية." وإذا تمكن أي شخص من إثبات أن النموذج المضاد يجب أن يكون لزجًا ، فإن النتيجة الجديدة ستعني التخمين الكامل في ثلاثة أبعاد. سيبقى التسلسل الهرمي للتخمينات المبني فوقه آمنًا ، وأساسه مستقر.

قال زحل: "بطريقة ما ، هاتان المشكلتان المختلفتان في نظرية الإسقاط ، والتي في ظاهرها ليس لها علاقة كبيرة ببعضها البعض ، تتناسبان معًا بشكل جيد جدًا لإعطاء بالضبط ما هو مطلوب لككية".