"خبز الإنتروبيا" والهياكل المعقدة الأخرى تنشأ من قواعد بسيطة | مجلة كوانتا

لا يجب أن يكون التكرار رتيبًا دائمًا. في الرياضيات، إنها قوة هائلة، قادرة على توليد تعقيد محير.

حتى بعد عقود من الدراسة، يجد علماء الرياضيات أنفسهم غير قادرين على الإجابة على أسئلة حول التنفيذ المتكرر لقواعد بسيطة للغاية - "الأنظمة الديناميكية" الأساسية. ولكن في محاولتهم القيام بذلك، كشفوا عن روابط عميقة بين تلك القواعد وغيرها من المجالات التي تبدو بعيدة في الرياضيات.

على سبيل المثال، مجموعة ماندلبروت، والتي كتب عن الشهر الماضي، عبارة عن خريطة لكيفية عمل مجموعة من الوظائف - التي تصفها المعادلة f(x) = x² + c - يتصرف كقيمة c يتراوح على ما يسمى الطائرة المعقدة. (على عكس الأعداد الحقيقية، التي يمكن وضعها على خط، فإن الأعداد المركبة لها مكونان، يمكن رسمهما على الخط x- و y- محاور المستوى ثنائي الأبعاد.)

بغض النظر عن مدى تكبير مجموعة ماندلبروت، تظهر أنماط جديدة دائمًا، بلا حدود. قال: "إنه أمر مذهل تمامًا بالنسبة لي، حتى الآن، أن هذا الهيكل المعقد للغاية ينشأ من مثل هذه القواعد البسيطة". ماثيو بيكر من معهد جورجيا للتكنولوجيا. "إنها واحدة من الاكتشافات المدهشة حقًا في القرن العشرين."

يظهر تعقيد مجموعة ماندلبروت جزئيًا لأنه يتم تعريفها من حيث الأعداد التي هي في حد ذاتها معقدة. ولكن ربما من المدهش أن هذه ليست القصة بأكملها. حتى عندما c إذا كان رقمًا حقيقيًا مباشرًا، مثل -3/2، على سبيل المثال، فيمكن أن تحدث جميع أنواع الظواهر الغريبة. لا أحد يعرف ماذا يحدث عندما تطبق المعادلة بشكل متكرر f(x) = x² – 3/2، وذلك باستخدام كل مخرج كمدخل تالي في عملية تعرف بالتكرار. إذا بدأت بالتكرار من x = 0 ("النقطة الحرجة" للمعادلة التربيعية)، فمن غير الواضح ما إذا كنت ستنتج تسلسلًا يتقارب في النهاية نحو دورة متكررة من القيم، أو تسلسلًا يستمر في الارتداد إلى ما لا نهاية في نمط فوضوي.

لقيم c أصغر من –2 أو أكبر من 1/4، التكرار ينفجر بسرعة إلى ما لا نهاية. لكن خلال تلك الفترة، هناك عدد لا نهائي من قيم c من المعروف أنه ينتج سلوكًا فوضويًا، وعدد لا نهائي من الحالات مثل -3/2، حيث "لا نعرف ما يحدث، على الرغم من أنه ملموس للغاية"، كما قال. جوليو تيوزو من جامعة تورنتو.

ولكن في التسعينيات، عالم الرياضيات في جامعة ستوني بروك ميشا ليوبيتش، والذي برز بشكل بارز في تقريري عن مجموعة ماندلبروت، ثبت أنه في الفترة ما بين -2 و1/4، فإن الغالبية العظمى من قيم c إنتاج سلوك "مبالغ فيه" لطيف. (عالما الرياضيات جاسيك جراتشيك وجرزيجورز سوياتيك ثبت بشكل مستقل النتيجة في نفس الوقت تقريبًا.) وهذا يعني أن المعادلات المقابلة، عند تكرارها، تتقارب إلى قيمة واحدة أو إلى دورة متكررة من الأرقام.

وبعد عقد من الزمن، أظهر ثلاثة من علماء الرياضيات أن معظم قيم c هي القطع الزائد ليس فقط للمعادلات التربيعية، ولكن ل أي عائلة من كثيرات الحدود الحقيقية (وظائف أكثر عمومية تجمع بين المتغيرات المرفوعة إلى قوى، مثل x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). والآن واحد منهم، سيباستيان فان سترين ويعتقد من إمبريال كوليدج لندن أن لديه دليلًا على هذه الخاصية لفئة أوسع من المعادلات تسمى الدوال التحليلية الحقيقية، والتي تشمل دوال الجيب وجيب التمام والدوال الأسية. ويأمل فان سترين أن يعلن النتيجة في مايو. وإذا صمد بعد مراجعة النظراء، فسوف يمثل تقدمًا كبيرًا في توصيف كيفية تصرف الأنظمة الحقيقية أحادية البعد.

التقاطعات غير المحتملة وخبز الانتروبيا

هناك عدد لا نهائي من المعادلات التربيعية الحقيقية، والتي عند تكرارها من الصفر، من المعروف أنها تنتج دورة متكررة من الأرقام. ولكن إذا قمت بتقييد c بالنسبة إلى القيم العقلانية - تلك التي يمكن كتابتها على شكل كسور - فإن ثلاث قيم فقط تولد في النهاية تسلسلات دورية: 0، و-1، و-2. قال: "هذه الأنظمة الديناميكية مميزة جدًا جدًا". كلايتون بيتشه من جامعة ولاية أوريغون.

In ورقة نشرت العام الماضي، Petsche و تشاتشاي نويتابتيم أثبتت جامعة واترلو أنها أكثر خصوصية مما تبدو للوهلة الأولى. نظر علماء الرياضيات إلى الأعداد «الحقيقية تمامًا»، وهي أكثر تقييدًا من الأعداد الحقيقية ولكنها أقل تقييدًا من الأعداد العقلانية.

إذا قمت بإدخال رقم في كثيرة الحدود وحصلت على ناتج صفر، فإن هذا الرقم هو حل أو جذر لكثيرة الحدود. على سبيل المثال، 2 هو جذر لـ f(x) = x² - 4 ، f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30، والعديد من المعادلات الأخرى التي لا نهاية لها. مثل هذه كثيرات الحدود يمكن أن يكون لها جذور حقيقية، أو جذور معقدة. (على سبيل المثال، جذور x² + 1 هو الجذر التربيعي لـ -1، مكتوبًا هكذا i، و -i - كلا العددين المركبين.)

يكون الرقم حقيقيًا تمامًا إذا كان يحقق معادلة متعددة الحدود ذات معاملات صحيحة لها جذور حقيقية فقط. جميع الأعداد النسبية حقيقية تمامًا، ولكن كذلك بعض الأعداد غير النسبية. على سبيل المثال، $latex sqrt{2}$ حقيقي تمامًا، لأنه يمثل حلاً لـ f(x) = x² – 2، الذي له جذور حقيقية فقط ($latex sqrt{2}$ وجذره "الشقيق" $latex -sqrt{2}$). لكن الجذر التكعيبي للعدد 2، $latex sqrt[3]{2}$، ليس حقيقيًا تمامًا. إنه حل ل f(x) = x³ – 2، الذي يحتوي على جذرين شقيقين إضافيين، يُعرفان أيضًا باسم اقترانات جالوا، وهي معقدة.

أثبت بيتشه ونويتابتيم أنه لا توجد أي أرقام حقيقية غير عقلانية تؤدي في النهاية إلى دورات دورية. بل إن 0 و-1 و-2 هي الأعداد الحقيقية الوحيدة التي تفعل ذلك. إنها تمثل تقاطعًا غير محتمل بين خصائص عالمين مختلفين ظاهريًا: نظرية الأعداد (دراسة الأعداد الصحيحة) والأنظمة الديناميكية. استخدم بيتشه ونويتابتيم نتائج مهمة من نظرية الأعداد في برهانهما، وسلطا الضوء على العلاقة بين المجالين.

علماء الرياضيات كزافييه بوف و سارة كوخ وجدت تقاطع آخر غير محتمل. لقد أظهروا أن أربع قيم حقيقية تمامًا فقط لـ c - 1/4، -3/4، -5/4، -7/4 - تولد تسلسلات من نوع معين ومفهوم جيدًا يسمى دورة القطع المكافئ.

كما مهدت اقترانات جالوا الطريق لاكتشاف جسم غامض يُطلق عليه اسم "خبز الإنتروبيا"، وهو عبارة عن حلقة فركتالية متوهجة في المستوى المعقد. الإنتروبيا هي مقياس للعشوائية. وفي هذا السياق، فهو يقيس مدى صعوبة التنبؤ بتسلسل الأرقام الناتجة عن التكرار x² + c. في آخر ورقة كتبها قبل وفاته في عام 2012، رسم عالم الطوبولوجيا الشهير ويليام ثورستون رسمًا بيانيًا لمجموعة قيم الإنتروبيا المقابلة لما يقرب من مليار قيمة حقيقية مختلفة c - جنبًا إلى جنب مع اقترانات جالوا لقيم الإنتروبيا تلك، والتي يمكن أن تكون معقدة. وقال تيوزو إن فكرة الإنتروبيا "تقع على الخط الحقيقي، ولكن بطريقة ما لا يزال بإمكانك رؤية هذا الظل للعالم المعقد".

وقال كوخ: "أنت ترى أن هذا ينظم نفسه في هذا الهيكل الكسري المذهل". "بارد جدا." إن كعكة الإنتروبيا هي مجرد نمط معقد للغاية ينبثق من تكرار المعادلات التربيعية الحقيقية. وأضافت: "ما زلنا نتعلم كل هذه البيانات السحرية - الجواهر الصغيرة - حول كثيرات الحدود التربيعية الحقيقية". "يمكنك دائمًا العودة إلى الوراء والمفاجأة بهذا الشيء الذي كنت تعتقد أنك تعرفه جيدًا للغاية."