علماء الرياضيات يتعجبون من القطع "المجنون" عبر الأبعاد الأربعة | مجلة كوانتا

الكائنات المركزية للدراسة في الطوبولوجيا هي مساحات تسمى المتشعبات، والتي تبدو مسطحة عند تكبيرها. سطح الكرة، على سبيل المثال، هو مشعب ثنائي الأبعاد. يفهم علماء الطوبولوجيا مثل هذه المتشعبات ثنائية الأبعاد جيدًا. وقد طوروا أدوات تتيح لهم فهم المتشعبات ثلاثية الأبعاد وتلك ذات الأبعاد الخمسة أو أكثر.

ولكن في الأبعاد الأربعة، "كل شيء يسير إلى حد الجنون"، كما قال سام هيوز، باحث ما بعد الدكتوراه في جامعة أكسفورد. الأدوات تتوقف عن العمل؛ يظهر السلوك الغريب. مثل توم مروكا وأوضح من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا: "هناك مساحة كافية للحصول على ظواهر مثيرة للاهتمام، ولكن ليس هناك مساحة كبيرة حتى تنهار".

في أوائل التسعينيات، مروكا و بيتر كرونهايمر من جامعة هارفارد كانوا يدرسون كيف يمكن دمج الأسطح ثنائية الأبعاد في متشعبات رباعية الأبعاد. لقد طوروا تقنيات جديدة لتوصيف هذه الأسطح، مما سمح لهم بالحصول على رؤى مهمة حول البنية التي يتعذر الوصول إليها بطريقة أخرى للمشعبات رباعية الأبعاد. تشير النتائج التي توصلوا إليها إلى أن أعضاء فئة واسعة من الأسطح جميعهم ينقسمون عبر المتشعب الأصلي بطريقة بسيطة نسبيًا، تاركين خاصية أساسية دون تغيير. لكن لا أحد يستطيع أن يثبت أن هذا كان صحيحًا دائمًا.

في فبراير مع دانيال روبرمان جامعة برانديز، هيوز شيدت سلسلة من الأمثلة المضادة - أسطح ثنائية الأبعاد "مجنونة" تقوم بتشريح المتشعبات الأصلية بطرق اعتقد علماء الرياضيات أنها مستحيلة. تُظهر الأمثلة المضادة أن المتشعبات رباعية الأبعاد أكثر تنوعًا بشكل ملحوظ مما أدركه علماء الرياضيات في العقود السابقة. قال مروكا: "إنها ورقة جميلة حقًا". "أنا فقط أستمر في النظر إليه. هناك الكثير من الأشياء الصغيرة اللذيذة هناك."

عمل قائمة

في أواخر العام الماضي، روبرمان ساعد في التنظيم مؤتمر أنشأ قائمة جديدة لأهم المشكلات المفتوحة في الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد. أثناء التحضير لذلك، نظر في قائمة سابقة للمسائل الطوبولوجية الهامة التي لم يتم حلها منذ عام 1997. وتضمنت سؤالاً طرحه كرونهايمر بناءً على عمله مع مروكا. قال روبرمان: “لقد كان هناك، وأعتقد أنه تم نسيانه قليلاً”. الآن اعتقد أنه يستطيع الإجابة عليه.

لفهم السؤال، من المفيد أن نأخذ في الاعتبار أولاً فكرتين رئيسيتين: المتشعبات المتصلة ببساطة، والمجموعة الأساسية.

المتشعبات المتصلة ببساطة هي مساحات لا تمر عبرها أي ثقوب. في أحد الأبعاد، يكون الخط اللانهائي متصلًا ببساطة، لكن الدائرة ليست كذلك. في البعدين، يكون المستوى اللانهائي وسطح الكرة متصلين ببساطة، لكن سطح الدونات ليس كذلك.

جعل علماء الرياضيات هذا التمييز صارما من خلال وضع حلقات على متشعب والنظر في كيفية تشويهها. إذا كان من الممكن تقليص أي حلقة إلى نقطة معينة، فسيتم توصيل المشعب ببساطة. على المستوى أو سطح الكرة، على سبيل المثال، يكون هذا ممكنًا - فكر في سحب خيط مشدود. لكن إذا دار هذا الخيط حول دائرة، فلا يمكن أن يتقلص. وبالمثل، على سطح الكعكة، لا يمكن تشويه الحلقات التي تدور حول الثقب المركزي أو عبره إلى نقطة واحدة. الدونات نفسها تعيق الطريق.

يصنف علماء الرياضيات المساحات التي لا ترتبط ببساطة عن طريق حساب "مجموعتها الأساسية"، وهي كائن يعكس هيكله كيفية تقلص الحلقات. تحتوي المتشعبات المرتبطة ببساطة على مجموعة أساسية "تافهة" تحتوي على عنصر واحد فقط. لكن المتشعبات التي تحتوي على ثقوب تحتوي على مجموعات أساسية أكثر تعقيدًا.

لا تزال المتشعبات رباعية الأبعاد المتصلة ببساطة غريبة جدًا. ولفهمها، يفكر علماء الرياضيات في ما يمكن أن يحدث للأسطح ثنائية الأبعاد المدمجة فيها.

على سبيل القياس، فكر في وضع حلقة من الخيط بشكل مسطح على قطعة من الورق. ليس هناك الكثير الذي يمكنك فعله به. لكن ارفعها إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد، ويمكنك ربطها بعقد معقدة. إن الطرق التي يمكنك من خلالها التعامل مع السلسلة - وهي متشعبة ذات بعد واحد - توضح طبيعة المساحة المضمنة فيها.

وبالمثل، في عالم الأبعاد الأربعة الأكثر تعقيدًا، تعتبر الأسطح ثنائية الأبعاد "نوعًا ما مفتاحًا للعمل برمته، بعدة طرق مختلفة"، كما قال روبرمان. "تخبرك الأسطح بالكثير عن المشعب رباعي الأبعاد أكثر مما يحق لك أن تتوقعه." تتيح لك الأسطح التمييز بين المتشعبات: إذا كان السطح يمكن أن يعيش داخل متشعب واحد دون آخر، فأنت تعلم أن المتشعبات مختلفة. ويمكن استخدام الأسطح لبناء متشعبات جديدة من القديمة.

تحتوي الأسطح أيضًا على مجموعات أساسية مقابلة. وكذلك الحال مع مكملاتها - جزء المتشعب الذي يتبقى عند إزالة السطح. قم بإزالة خط الاستواء من المتشعبات ثنائية الأبعاد، مثل سطح الكرة أو الكعكة، على سبيل المثال، وستحصل على نصفي الكرة الأرضية المنفصلين. لكن سطح الدونات يبقى قطعة واحدة إذا قمت بإزالة حلقة رأسية بدلاً من حلقة أفقية. وبالمثل، اعتمادًا على كيفية قطع سطح من مشعب رباعي الأبعاد، يمكنك الحصول على أنواع مختلفة من المكملات.

في تسعينيات القرن العشرين، بحث مروكا وكرونهايمر فيما يحدث عندما يتم استئصال سطح ثنائي الأبعاد من متشعب رباعي الأبعاد. إذا كان المشعب نفسه متصلًا ببساطة، فما هي الشروط التي يجب أن تفي بها الأسطح لضمان أن مكملاتها يجب أيضًا أن تكون متصلة ببساطة؟

عرف كرونهايمر ومروكا أن بعض أنواع الأسطح يمكن أن تحتوي على مكملات غير متصلة ببساطة. ولكن يبدو أن عملهم يشير إلى أن فئة واسعة أخرى من الأسطح لا بد أن تكون لها دائمًا مكملات متصلة ببساطة.

ولمدة ثلاثة عقود تقريبًا، لم يتمكن أحد من العثور على مثال لسطح في تلك الفئة لم تكن مكملته متصلة ببساطة. لكن في خريف عام 2023، بعد أن واجه المشكلة، اعتقد روبرمان أنه قادر على ذلك. فبدلاً من البدء بمشعب رباعي الأبعاد وقطع سطح ما، بدأ بسطح ثنائي الأبعاد يتمتع بالخصائص الضرورية وقام ببناء متشعب حوله.

أولاً، قام بتسمين السطح وتحويله إلى فقاعة رباعية الأبعاد. كان لهذه النقطة رباعية الأبعاد حدود ثلاثية الأبعاد، تمامًا كما أن كائنًا ثلاثي الأبعاد مثل الكرة له حدود ثنائية الأبعاد. أراد روبرمان ربط مشعب رباعي الأبعاد تم اختياره بعناية بالجانب الآخر من الحدود، والذي سيكون بمثابة مكمل للسطح. إذا نجحت المناورة، فسيكون لهذا المتشعب مجموعة أساسية معقدة، ومع ذلك فإن المجموعة الأساسية لكل شيء مجتمعة ستكون تافهة. وبالتالي فإن المشعب رباعي الأبعاد الذي تم إنشاؤه حديثًا سيكون متصلاً ببساطة.

ولكن لكي يتمكن من لصق كل شيء معًا بالطريقة الصحيحة، كان عليه أن يُظهر أن المجموعة الأساسية للإضافة الجديدة تستوفي جميع أنواع الخصائص. وقال روبرمان: "لم يكن لدي أي فكرة عن كيفية القيام بذلك".

ثم في شهر يناير، ألقى هيوز - وهو مُنظِّر جماعي - محاضرة في برانديز. كان روبرمان من بين الحضور. لقد أدرك أن هيوز ربما يكون لديه القطعة المفقودة التي كان يبحث عنها. التقى الاثنان في اليوم التالي، وفي غضون ساعات قليلة، توصلا إلى الأفكار الرئيسية التي يحتاجان إليها. وقال هيوز إن ما كان يفتقده روبرمان “هو شيء ظل علماء نظرية المجموعة يحسبونه لمدة 70 أو 80 عامًا حتى هذه المرحلة”. "لقد كنا في هذا إلى الأبد." وبحلول نهاية الأسبوع، كان لديهم دليل كامل.

قال روبرمان: "كنت أعرف بعض الأشياء، وكان هو يعرف بعض الأشياء، وبيننا نحن الاثنين، كنا نعرف ما يكفي للقيام بذلك".

وقال إنه بسبب الطريقة التي يتم بها استخدام نظرية المجموعة في الدليل، "فإنها غير عادية بعض الشيء". ماجي ميلر من جامعة تكساس، أوستن. "لقد تمت كتابته بشكل مختلف قليلاً عما قد يشعر به معظم علماء الطوبولوجيا رباعية الأبعاد."

والنتيجة هي مثال آخر على مدى تعقيد الطوبولوجيا رباعية الأبعاد. وقال هيوز: "هناك سطوح أكثر إثارة للاهتمام مما كنا نعتقد". وهذا يزيد من صعوبة تصنيف المتشعبات، ويصعب إثبات أنواع أخرى من النتائج عنها.

ومع ذلك، في شهر مارس، إنانش بايكور من جامعة ماساتشوستس، أمهرست، الذي نظم مؤتمر إعداد القائمة العام الماضي مع روبرمان، أعلن الحل إلى مشكلة أخرى تتضمن متشعبات رباعية الأبعاد متصلة ببساطة من قائمة 1997.

يبدو أن علماء الطوبولوجيا يقومون بتنظيف المنزل.