طالبان يكشفان حدسًا رياضيًا يعتقد على نطاق واسع | مجلة كوانتا

كان لدى Summer Haag و Clyde Kertzer آمال كبيرة في مشروع بحثهما الصيفي. إن تعمية مجال فرعي كامل من الرياضيات لم يكن من بينها.

في مايو ، كانت هاج تنهي سنتها الأولى في كلية الدراسات العليا في جامعة كولورادو ، بولدر ، حيث كانت كيرتزر طالبة جامعية. كلاهما يتطلع إلى استراحة من الفصول الدراسية. خطط هاج لاستكشاف طرق جديدة للمشي لمسافات طويلة وتسلق الجبال. أراد كيرتزر ، وهو من مواليد بولدر ، لعب كرة القدم وإعداد طلب الالتحاق بالمدرسة. ولكن بصفتهم علماء رياضيات بحثيين طموحين ، فقد تقدموا أيضًا بطلب للحصول على برنامج بحث صيفي نصف الوقت في مجموعة عالم الرياضيات كاثرين ستانج.

ستانج هي مُنظرة للأرقام تصف نفسها بأنها "رياضية"ضفدع"- شخص يتعمق في تعقيدات مشكلة ما قبل الانتقال إلى مشكلة أخرى. وقالت إنها مهتمة "بالأسئلة التي تبدو بسيطة تؤدي إلى ثراء البنية". غالبًا ما تثير مشاريعها المشاكل المفتوحة المراوغة لنظرية الأعداد باستخدام أجهزة الكمبيوتر لإنشاء مجموعات بيانات كبيرة.

بدأ Haag و Kertzer البرنامج في عيد ميلاد Haag الثالث والعشرين مع كتاب تمهيدي لمدة أسبوع حول عبوات Apollonian الدائرية - الدراسة القديمة لكيفية ضغط الدوائر بشكل متناغم في دائرة واحدة أكبر.

تخيل ترتيب ثلاث عملات بحيث تلامس كل واحدة الأخرى. يمكنك دائمًا رسم دائرة حولهم تلامس الثلاثة من الخارج. ثم يمكنك البدء في طرح الأسئلة: كيف يرتبط حجم الدائرة الأكبر بحجم العملات المعدنية الثلاث؟ ما هو حجم الدائرة التي تناسب الفجوة بين العملات المعدنية الثلاث؟ وإذا بدأت في رسم دوائر تملأ فجوات أصغر وأصغر تدريجيًا بين الدوائر - مما يؤدي إلى إنشاء نمط كسوري يُعرف باسم التعبئة - كيف ترتبط أحجام تلك الدوائر ببعضها البعض؟

بدلاً من التفكير في قطر هذه الدوائر ، يستخدم علماء الرياضيات مقياسًا يسمى الانحناء - معكوس نصف القطر. إذن ، الدائرة نصف قطرها 2 لها انحناء 1/2 ، والدائرة نصف قطرها 1/3 بها انحناء 3. كلما كانت الدائرة أصغر ، زاد الانحناء.

أثبت علماء الرياضيات في عصر النهضة أنه إذا كانت الدوائر الأربع الأولى بها انحناء يمثل عددًا صحيحًا ، فإن انحناءات جميع الدوائر اللاحقة في العبوة مضمونة لتكون أعدادًا صحيحة. هذا رائع بحد ذاته. لكن علماء الرياضيات ارتقوا بالمسألة خطوة إلى الأمام بطرح أسئلة حول الأعداد الصحيحة التي تظهر عندما تصبح الدوائر أصغر وأصغر وتزداد الانحناءات أكثر فأكثر.

في 2010، ايلينا فوكس، مُنظِّر عدد الآن في جامعة كاليفورنيا ، ديفيس ، ثبت أن الانحناءات تتبع علاقة معينة تجبرهم على تكوين مجموعات عددية معينة. بعد ذلك بوقت قصير ، أصبح علماء الرياضيات مقتنعين بأنه لا يجب أن تقع الانحناءات في دلو واحد أو آخر فحسب ، بل يجب أيضًا استخدام كل رقم ممكن في كل مجموعة. أصبحت الفكرة معروفة باسم التخمين المحلي العالمي.

قال كيرتزر: "أشارت الكثير من الأعمال إلى الأمر كما لو كان حقيقة بالفعل". "ناقشنا الأمر كما لو أنه سيتم إثباته في وقت ما في المستقبل القريب."

جيمس ريكاردز، عالم رياضيات في بولدر يعمل مع ستانج والطلاب ، كتب كودًا لفحص أي ترتيب مرغوب فيه للعبوات الدائرية. لذلك عندما انضم Haag و Kertzer إلى المجموعة في 15 مايو ، ظنوا أنهما سيخلقان مؤامرات رائعة للقاعدة المحلية إلى العالمية الموثوقة التي تبدأ.

طار ستانج إلى فرنسا لحضور مؤتمر في أوائل يونيو. عندما عادت في 12 حزيران (يونيو) ، احتشد الفريق حول المخططات التي توضح كيف يبدو أن بعض المجموعات تفتقد إلى أرقام معينة.

قال ريكاردز: "لم نكن نحقق في هذه الظاهرة". "لم أكن أحاول اختبار صحة ذلك. كنت أعلم أنه كان صحيحًا - لقد افترضت أنه كان صحيحًا. ثم فجأة ، نواجه بيانات تقول إنها ليست كذلك ".

بحلول نهاية الأسبوع ، كان الفريق واثقًا من أن التخمين كان خاطئًا. الأرقام التي توقعوا ظهورها لم تظهر قط. لقد عملوا على إثبات ، وفي 6 يوليو / تموز نشر عملهم إلى موقع ما قبل الطباعة العلمي arxiv.org.

يتذكر فوكس التحدث إلى ستانج بعد وقت قصير من تثبيت الدليل في مكانه. "إلى أي مدى تصدق التخمين المحلي إلى العالمي؟" سأل ستانج. ردت فوكس أنها بالطبع صدقت ذلك. قال فوكس: "ثم أطلعتني على كل هذه البيانات وقلت ،" يا إلهي ، هذا مذهل ". "أعني ، لقد اعتقدت حقًا أن التخمين المحلي إلى العالمي كان صحيحًا."

"بمجرد رؤيته ، كل ما عليك هو قول" آها! بالطبع! " بيتر سارناك، عالم رياضيات في معهد الدراسات المتقدمة وجامعة برينستون الملاحظات المبكرة ساعد في تأجيج التخمين المحلي والعالمي.

وأضاف "إنها رؤية رائعة" أليكس كونتوروفيتش من جامعة روتجرز. "نحن جميعًا نركل أنفسنا لدرجة أننا لم نجدها منذ 20 عامًا ، عندما بدأ الناس اللعب بهذا لأول مرة."

وسط الركام الذي خلفته النتيجة ، كشف العمل عن صدع في أساس تخمينات أخرى في نظرية الأعداد. تُرك علماء الرياضيات ليتساءلون عن المعتقدات السائدة على نطاق واسع والتي قد تكون التالية للسقوط.

تاريخ دوار

تحصل عبوات Apollonian Circle على اسمها من المنشئ المحتمل ، Apollonius of Perga. منذ حوالي 2,200 عام ، كتب مقياس الأرض اليوناني كتابًا بعنوان تماسات حول كيفية إنشاء دائرة مماس لأي ثلاثة أخرى. لقد ضاع الكتاب مع مرور الوقت. ولكن بعد حوالي 500 عام ، وضع عالم الرياضيات اليوناني بابوس من الإسكندرية خلاصة وافية من شأنها أن تنجو من انهيار الإمبراطورية البيزنطية.

باستخدام وصف Pappus فقط لـ تماسات، حاول علماء الرياضيات في عصر النهضة تتبع العمل الأصلي. بحلول عام 1643 ، اكتشف رينيه ديكارت علاقة بسيطة بين انحناءات أي أربع دوائر مماسة لبعضها البعض. أكد ديكارت أن مجموع كل المنحنيات المربعة يساوي نصف مربع مجموع الانحناءات. هذا يعني أنه في حالة وجود ثلاث دوائر ، من الممكن حساب نصف قطر دائرة المماس الرابعة. على سبيل المثال ، إذا كان لديك ثلاث دوائر بانحناءات 11 و 14 و 15 ، فيمكنك إدخال هذه الأرقام في معادلة ديكارت وحساب انحناء الدائرة التي تناسبها: 86.

في عام 1936 ، الحائز على جائزة نوبل في الكيمياء الإشعاعية فريدريك سودي لاحظ شيئًا غريبًا أثناء قيامه ببناء عبوات بعلاقة ديكارت. نظرًا لأن الدوائر أصبحت أصغر حجمًا وانحناءات أكبر ، فقد توقع الحصول على أرقام شبيهة بجذور تربيعية أو كسور عشرية لا نهائية. بدلاً من ذلك ، كانت جميع الانحناءات أعدادًا صحيحة. كانت هذه نتيجة مباشرة إلى حد ما لمعادلة ديكارت ، لكن لم يلاحظها أحد منذ مئات السنين. ألهمت Soddy ل نشر قصيدة في المجلة العلمية الطبيعة، من بدأ:

لأزواج من الشفاه لتقبيل ربما
لا يتضمن أي حساب مثلثات.
ليس الأمر كذلك عندما تقبيل أربع دوائر
كل واحد من الثلاثة الآخرين.

الممكن والحتمي

بمجرد التأكد من وجود حزم مليئة بالأعداد الصحيحة ، حاول علماء الرياضيات إيجاد أنماط في تلك الأعداد الصحيحة.

في عام 2010 ، قدم فوكس و كاثرين ساندين المنصوص عليها للبناء على ورقة من 2003. لاحظ الثنائي أنه إذا قسمت كل انحناء في حزمة معينة بمقدار 24 ، فستظهر قاعدة. تحتوي بعض العبوات على انحناءات فقط وبقايا 0 أو 1 أو 4 أو 9 أو 12 أو 16 ، على سبيل المثال. بينما يترك البعض الآخر فقط ما تبقى من 3 أو 6 أو 7 أو 10 أو 15 أو 18 أو 19 أو 22. كانت هناك ست مجموعات مختلفة محتملة.

عندما فحص علماء الرياضيات الفئات المختلفة من العبوات ، بدأوا يلاحظون أنه بالنسبة للدوائر الصغيرة بما يكفي - تلك ذات الانحناءات الكبيرة - بدا أن كل رقم ممكن داخل كل فئة ظهر للعبوات من هذا النوع. أصبحت هذه الفكرة تسمى التخمين المحلي العالمي. إثبات أنه أصبح "أحد أحلام هؤلاء الرياضيين الصغار ،" قال فوكس. "مثل ، ربما في مرحلة ما بعد سنوات عديدة من الآن سأكون قادرًا على حلها."

في عام 2012 ، Kontorovich و Jean Bourgain (who توفي في 2018) أثبت أن تقريبا كل رقم التي تنبأ بها التخمين لا تحدث. لكن "الكل تقريبًا" لا تعني "الكل". على سبيل المثال ، تعتبر المربعات الكاملة نادرة بما يكفي ، من الناحية الرياضية ، فإن "جميع الأعداد الصحيحة تقريبًا" ليست مربعات كاملة ، على الرغم من أن 25 و 49 ، على سبيل المثال ، ليست مربعات كاملة. يعتقد علماء الرياضيات أن الأمثلة المضادة النادرة التي بقيت ممكنة بعد ورقة كونتوروفيتش وبورجين لم تكن موجودة بالفعل ، ويرجع ذلك في الغالب إلى أن العبوتين أو ثلاث عبوات دائرية تمت دراستها جيدًا يبدو أنها تتبع التخمين المحلي والعالمي جيدًا ، على حد قول كونتوروفيتش.

تحريك هذا الطلب

عندما بدأ هاج وكيرتزر هذا الصيف في بولدر ، كتب ريكاردز الأفكار على السبورة في مكتب ستانج. قال ريكاردز: "كانت لدينا قائمة كاملة". كان لديهم أربع أو خمس نقاط بداية للتجربة. "أشياء يمكنك اللعب بها وشاهد ما سيحدث."

كانت إحدى الأفكار هي حساب جميع حزم الدوائر الممكنة التي تحتوي على انحناءين تعسفيين A و B. كتب Rickards برنامجًا ينتج نوعًا من دفتر الأستاذ الذي يبلغ عن الأعداد الصحيحة التي تظهر للحزب عندما يستضيف A.

بناءً على هذا البرنامج ، قام Haag بتجميع نص Python الذي رسم أطنانًا من عمليات المحاكاة في وقت واحد. كان مثل جدول الضرب: اختار Haag الصفوف والأعمدة المراد تضمينها بناءً على الباقي عند تقسيمها على 24. حصلت أزواج الأرقام التي تظهر في حزمة Apollonian معًا على وحدات بكسل بيضاء ؛ تلك التي لا تحتوي على وحدات بكسل سوداء.

اجتاز هاج عشرات المؤامرات - واحدة لكل زوج من الباقي في كل مجموعة من المجموعات الست.

لقد بدوا تمامًا كما هو متوقع: جدار من اللون الأبيض تتخلله بقع سوداء لأعداد صحيحة أصغر. قال ستانج: "لقد توقعنا أن تختفي النقاط السوداء". وأضاف ريكاردز ، "اعتقدت أنه ربما يكون من الممكن إثبات أنهم تلاشى." وتكهن أنه من خلال النظر إلى المخططات التي جمعت العديد من العبوات معًا ، سيكون الفريق قادرًا على إثبات النتائج التي لم تكن ممكنة عندما نظروا إلى أي شخص يقوم بالتعبئة بمفرده.

بينما كان Stange بعيدًا ، انتهى به المطاف بالتخطيط لكل زوج من الباقي - حوالي 120. لا مفاجآت هناك. ثم أصبحت كبيرة.

كان هاج يخطط لكيفية تفاعل 1,000 عدد صحيح. (الرسم البياني أكبر مما يبدو ، نظرًا لأنه يتضمن مليون زوج محتمل.) ثم قامت بتحريك القرص حتى 1 مرة 10,000 مرة. في رسم بياني واحد ، رفضت الصفوف والأعمدة المنتظمة ذات النقاط السوداء الذوبان. لم يكن يشبه ما يتوقعه التخمين المحلي العالمي.

التقى الفريق يوم الاثنين بعد عودة ستانج. قدمت هاج رسومها البيانية ، وركزوا جميعًا على تلك التي تحتوي على نقاط غريبة. قال هاج: "لقد كان مجرد نمط مستمر". "وكان ذلك عندما قالت كيت ،" ماذا لو لم يكن التخمين المحلي العالمي صحيحًا؟ "

"هذا يشبه النمط. يجب أن تستمر. لذا ، فإن التخمين المحلي-العالمي يجب أن يكون خاطئًا ، "يتذكر ستانج التفكير. "كان جيمس أكثر تشككًا."

قال ريكاردز: "كان أول ما فكرت به أنه لا بد من وجود خطأ في الكود الخاص بي". "أعني ، كان هذا هو الشيء الوحيد المعقول الذي يمكنني التفكير فيه."

في غضون نصف يوم ، جاء ريكاردز. استبعد النموذج جميع الأزواج حيث يكون الرقم الأول على شكل 8 × (3n ± 1)² والثاني 24 مرة أي مربع. هذا يعني أن 24 و 8 لا يظهران أبدًا في نفس العبوة. الأرقام التي تتوقع حدوثها لا تفعل ذلك.

"لقد كنت دائخًا نوعًا ما. قال ستانج: "لا يفاجئك شيء في كثير من الأحيان حقًا". "ولكن هذا هو سحر اللعب بالبيانات."

• ورقة يوليو يوضح دليلًا صارمًا على أن النمط الذي لاحظوه يستمر إلى أجل غير مسمى ، مما يدحض التخمين. يتوقف الدليل على مبدأ عمره قرون يسمى المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية والذي يتضمن مربعات من عددين أوليين. اكتشف فريق Stange كيف تنطبق المعاملة بالمثل على العبوات الدائرية. إنه يفسر سبب عدم وجود انحناءات معينة مع بعضها البعض. القاعدة ، التي تسمى العائق ، تنتشر في جميع أنحاء التعبئة بأكملها. قال "إنه مجرد شيء جديد تمامًا" جيفري لاجارياس، عالم رياضيات في جامعة ميشيغان كان مؤلفًا مشاركًا لورقة التعبئة الدائرية لعام 2003. قال سارناك: "لقد وجدوها ببراعة". "إذا ظهرت هذه الأرقام ، فإنها تنتهك مبدأ المعاملة بالمثل".

تداعيات

قد يكون هناك شك الآن في عدد من التخمينات الأخرى في نظرية الأعداد. مثل التخمين المحلي والعالمي ، من الصعب إثباتها ولكن ثبت بالفعل أنها صالحة لجميع الحالات تقريبًا ويفترض عمومًا أنها صحيحة.

على سبيل المثال ، يدرس فوكس ثلاثيات ماركوف ، وهي مجموعات من الأرقام التي ترضي المعادلة x² + y² + z² = 3XYZ. لقد أظهرت هي وآخرون أن أنواعًا معينة من الحلول مرتبطة بأعداد أولية أكبر من 10³⁹². يعتقد الجميع أن النمط يجب أن يستمر إلى ما لا نهاية. ولكن في ضوء النتيجة الجديدة ، سمحت فوكس لنفسها أن تشعر بوخز من الشك. قالت: "ربما أفتقد شيئًا". "ربما يفتقد الجميع شيئًا ما."

"الآن بعد أن أصبح لدينا مثال واحد حيث يكون خاطئًا ، فإن السؤال هو: هل هو خطأ بالنسبة لهذه الأمثلة الأخرى أيضًا؟" قال ريكاردز.

هناك أيضًا تخمين زاريمبا. تقول أن الكسر بأي مقام يمكن التعبير عنه ككسر مستمر يستخدم فقط الأرقام بين 1 و 5. في عام 2014 ، أظهر Kontorovich و Bourgain أن تخمين Zaremba ينطبق على جميع الأرقام تقريبًا. لكن المفاجأة بشأن التعبئة الدائرية قوضت الثقة في تخمين زاريمبا.

إذا كانت مشكلة التعبئة نذيرًا لأشياء قادمة ، فقد تكون البيانات الحسابية هي أداة التراجع عنها.

قال فوكس: "أجد دائمًا أنه من الرائع أن تولد الرياضيات الجديدة من مجرد النظر إلى البيانات". "بدونها ، من الصعب حقًا تخيل أنهم كانوا سيعثرون على هذا."

وأضاف ستانج أن أياً من هذا لم يكن ليحدث بدون مشروع الصيف منخفض المخاطر. وقالت: "الصدفة وسلوك الاستكشاف المرح لهما دور كبير في الاكتشاف".

قال هاج: "كانت محض صدفة". "إذا لم أكن كبيرًا بما يكفي ، فلن نلاحظ ذلك." يبشر العمل بالخير لمستقبل نظرية الأعداد. قال ستانج: "يمكنك استخلاص فهم الرياضيات من خلال حدسك ، من خلال البراهين". "وأنت تثق بهذا كثيرًا لأنك قضيت الكثير من الوقت في التفكير فيه. لكن لا يمكنك المجادلة مع البيانات ".

ملحوظة المحرر: أليكس كونتوروفيتش هو عضو في مجلة كوانتاالمجلس الاستشاري العلمي. تمت مقابلته من أجل هذه القصة لكنه لم يساهم بطريقة أخرى في إنتاجها.