علماء الرياضيات يعثرون على بنية مخفية في نوع شائع من الفضاء

في خريف عام 2017 ، مهتاب ساوهني، الذي كان حينها طالبًا جامعيًا في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وانضم إلى مجموعة القراءة للخريجين التي انطلقت لدراسة ورقة واحدة على مدار فصل دراسي. ولكن بحلول نهاية الفصل الدراسي ، تتذكر ساوني ، أنهم قرروا المضي قدمًا ، وهم في حيرة من تعقيد الدليل. قال: "لقد كان رائعًا حقًا". "بدا الأمر وكأنه موجود تمامًا."

كانت الورقة بيتر كيفاش من جامعة أكسفورد. موضوعه: كائنات رياضية تسمى التصاميم.

يمكن إرجاع دراسة التصميمات إلى عام 1850 ، عندما طرح توماس كيركمان ، نائب أحد الأبرشيات في شمال إنجلترا الذي انخرط في الرياضيات ، مشكلة واضحة على ما يبدو في مجلة تسمى يوميات سيدة وجنتلمان. لنفترض أن 15 فتاة يذهبن إلى المدرسة في صفوف من ثلاثة كل يوم لمدة أسبوع. هل يمكنك ترتيبهم حتى أنه على مدار تلك الأيام السبعة ، لم تجد فتاتان أنفسهما في نفس الصف أكثر من مرة؟

سرعان ما كان علماء الرياضيات يسألون نسخة أكثر عمومية من سؤال كيركمان: إذا كان لديك n عناصر في مجموعة (15 تلميذات لدينا) ، يمكنك دائمًا تصنيفها إلى مجموعات من الحجم k (صفوف من ثلاثة) بحيث كل مجموعة أصغر من الحجم t (كل زوج من الفتيات) يظهر في واحدة بالضبط من تلك المجموعات؟

هذه التكوينات ، والمعروفة باسم (n, k, t) منذ ذلك الحين للمساعدة في تطوير رموز تصحيح الأخطاء وتجارب التصميم وبرامج الاختبار والفوز بالأقواس الرياضية واليانصيب.

لكن من الصعب جدًا أيضًا إنشاء مثل k و t تنمو أكبر. في الواقع ، لم يجد علماء الرياضيات بعد تصميمًا ذا قيمة t أكبر من 5. وهكذا كانت مفاجأة كبيرة عندما ، كيفاش ، في عام 2014 أظهرت حتى لو كنت لا تعرف كيفية إنشاء مثل هذه التصميمات ، هم دائما موجودون، طالما n كبير بما يكفي ويستوفي بعض الشروط البسيطة.

الآن Keevash و Sawhney و اشوين ساه، وهو طالب دراسات عليا في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، أظهر أنه حتى المزيد من الكائنات المراوغة ، والتي تسمى تصاميم الفضاء الجزئي ، دائما موجودة كذلك. قال "لقد أثبتوا وجود أشياء ليس وجودها واضحًا على الإطلاق" ديفيد كونلون، عالم رياضيات في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا.

للقيام بذلك ، كان عليهم تجديد نهج كيفاش الأصلي - والذي تضمن مزيجًا سحريًا تقريبًا من العشوائية والبناء الدقيق - لجعله يعمل في بيئة أكثر تقييدًا. وهكذا ، وجد ساوهني ، الذي يسعى الآن للحصول على درجة الدكتوراه في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، نفسه وجهاً لوجه مع الورقة التي حيرته قبل بضع سنوات فقط. قال: "لقد كان من الممتع حقًا أن نفهم تمامًا التقنيات وأن نعانيها حقًا ونعمل عليها ونطورها".

ما وراء ما هو أبعد من خيالنا

لعقود من الزمن ، قام علماء الرياضيات بترجمة المشاكل المتعلقة بالمجموعات والمجموعات الفرعية - مثل سؤال التصميم - إلى مشاكل حول ما يسمى بالمساحات المتجهة والفراغات الجزئية.

الفضاء المتجه هو نوع خاص من المجموعات التي ترتبط عناصرها - المتجهات - ببعضها البعض بطريقة أكثر صرامة بكثير مما يمكن أن تكون عليه مجموعة بسيطة من النقاط. نقطة تخبرك أين أنت. يخبرك المتجه إلى أي مدى تحركت وفي أي اتجاه. يمكن إضافتها وطرحها أو تكبيرها أو تصغيرها.

ضع في اعتبارك الغرفة التي تتواجد فيها. فهي تحتوي على عدد لا حصر له من النقاط ، وعدد لا حصر له من النواقل - تلك التي تمتد من مكانك إلى كل نقطة في الغرفة. يمكن إنشاء كل هذه المتجهات من ثلاثة متجهات أساسية: متجه يشير أفقيًا أمامك ، وآخر إلى يمينك ، وآخر يشير إلى الأعلى. من خلال إضافة هذه المتجهات ، أو ضربها بأرقام حقيقية ، أو القيام بمزيج من الاثنين ، يمكنك إنشاء مساحة متجه ثلاثية الأبعاد التي تعيش فيها. (عدد النواقل اللازمة لتوليد المساحة بأكملها هو أبعاد مساحة المتجه.)

توجد فضاءات فرعية مختلفة داخل كل فضاء متجه. خذ فقط المتجهات التي تشير إلى يمينك وأمامك. هذه تحدد فضاء جزئي ثنائي الأبعاد - مستوى مسطح موازٍ للأرضية.

غالبًا ما يعمل علماء الرياضيات مع مسافات متجهة محدودة ومساحات فرعية ، حيث لا يمكن للمتجهات أن تشير في كل اتجاه ممكن (وليس لديها نفس مفهوم الطول). في هذا العالم ، كل فضاء متجه له عدد محدود فقط من المتجهات.

تتعامل مشكلة تصميم الفضاء الجزئي مع nفضاءات متجهية الأبعاد ومساحاتها الفرعية. في مثل هذه المساحات المتجهة - مرة أخرى ، ما دامت n كبير بما فيه الكفاية ويفي بشروط بسيطة - هل يمكنك العثور على مجموعة من kفضاءات فرعية الأبعاد مثل أي tفضاء جزئي الأبعاد موجود في واحد منهم بالضبط؟ مثل هذا الكائن يسمى (n, k, t) تصميم الفضاء الجزئي. إنها تشبه من الناحية المفاهيمية مشكلة التصميمات العادية ، ولكنها تنطوي على ترتيبات أكثر تقييدًا.

"إنها مشكلة مهمة لأنها زاوية واحدة من تشابه عميق جدًا بين المجموعات والمجموعات الفرعية من ناحية ، والمسافات المتجهة والفراغات الفرعية من ناحية أخرى ،" بيتر كاميرون من جامعة سانت أندروز في اسكتلندا.

في الخمسين عامًا التي انقضت منذ أن بدأ علماء الرياضيات في التفكير في هذه المشكلة ، اكتشفوا ذلك مثال واحد فقط غير بديهي (على الرغم من أنهم يعرفون أن هناك أنواعًا أكثر عمومية من تصميمات الفضاء الجزئي): في فضاء متجه ثلاثي الأبعاد ، من الممكن تغطية فضاءات فرعية ثنائية الأبعاد بأخرى ثلاثية الأبعاد مرة واحدة بالضبط. تطلبت النتيجة إثباتًا حاسوبيًا هائلاً ، لأنه حتى بالنسبة لمثل هذه القيم الصغيرة لـ n, k و t، ينتهي بك الأمر بالعمل مع ملايين المساحات الفرعية. إن تعقيد مثل هذه الأنظمة "لا يتجاوز مجرد خيالنا ؛ إنه يفوق ما هو أبعد من خيالنا " توفى عتصيون من التخنيون في إسرائيل ، الذي ساعد في اكتشاف المثال.

ولكن هل توجد تصميمات الفضاء الجزئي دائمًا لأي شخص k و t؟ توقع بعض علماء الرياضيات أن مثل هذه الأشياء ، إلى حد كبير ، مستحيلة. وقال كيفاش إن آخرين ، شجعهم العمل الذي تم إنجازه على مر السنين على التصميمات ، فقد توصلوا إلى أنه "قد يكون من الصعب إثبات ذلك ، ولكن إذا لم يكن هناك سبب واضح لعدم وجودهم ، فيجب أن يكونوا موجودين".

قال ساه ، مقارنة بعالم التصميمات ، "بالنسبة لهذه المشكلة ، لم يكن هناك شيء". "أعتقد أن هذا يثير القليل من الفضول عندما يحدث ذلك."

اسفنجة للأخطاء

ساه وساوهني التقى في عام 2017 كطلاب جامعيين في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (وانتهى به الأمر بحضور نفس مجموعة القراءة). بعد بضعة أشهر ، "بدأوا العمل معًا ولم يتوقفوا أبدًا" ، قال كونلون. "إنهم ينتجون أبحاثًا عالية الجودة بمعدل لا يمكنني حتى أن رمش فيه."

كان عالما الرياضيات الشابان مفتونين لأنه كان من الصعب للغاية كتابة مثال واضح واحد فقط لتصميم الفضاء الجزئي ، ورأوا المشكلة على أنها طريقة مثالية لاستكشاف حدود التقنيات المهمة في التوافقية.

في غضون ذلك ، أبقى كيفاش السؤال في مؤخرة ذهنه منذ النتيجة التي حصل عليها عام 2014. عندما اقترب منه ساه وساوهني في مؤتمر العام الماضي ، قرر الثلاثة الذهاب إليه.

وقال كيفاش إنهم اتبعوا نفس الإستراتيجية العامة التي وضعها كيفاش في أعمال تصميماته - ولكن بسبب القيود الأكثر صرامة في متناول اليد ، "من الناحية العملية ، انتهى الأمر بكل الخطوات إلى أن تكون مختلفة تمامًا في تنفيذها". أولاً ، وضعوا جانباً مجموعة مختارة بعناية من المساحات الفرعية ، تسمى القالب. سيعمل القالب لاحقًا كجزيرة بنية في محيط من العشوائية.

ثم قاموا بتطبيق نسخة معدلة من عملية عشوائية في الأساس تسمى Rödl nibble لتغطية معظم الفراغات المتبقية. ترك ذلك خليطًا متناثرًا من المساحات الفرعية التي لا يزال يتعين عليهم التعامل معها. على السطح ، بدت تلك المساحات الفرعية غير منظمة تمامًا ؛ بدا من المستحيل ترتيبها في مجموعات يمكن تغطيتها بشكل صحيح.

هذا هو المكان الذي جاء فيه القالب. قاموا بتقسيم القالب إلى أجزاء ودمجوا بعض مساحاته الفرعية مع المساحات الفرعية في hodgepodge - قاموا بدسهم بإحكام في ترتيبات أكبر يمكن تغطيتها بشكل صحيح. كان عليهم أن يتتبعوا بعناية كيف كانوا يفعلون ذلك للتأكد من أن كل خطوة قاموا بها تؤدي إلى هذا الهيكل الأكثر عالمية. لكن في النهاية ، تمكنوا من استخدام القالب لملء جميع الثقوب التي لم يتمكن Rödl nibble من تغطيتها. مثل الإسفنج ، امتص القالب جميع الأخطاء الموجودة في التصميم. (نتيجة لذلك ، يُطلق على هذه التقنية العامة اسم "الامتصاص") ، قال ساوني: "يبدو الأمر كما لو كنت تحاول وضع سجادة في الزاوية". "تنبثق في مكان آخر ، وتدفعها ، وبطريقة ما ، بعد 20 ضغطة ، تكون السجادة مسطحة."

هذا أكمل البرهان. من المهم ملاحظة أنه ، كما هو الحال مع أعمال التصميمات ، يمكن استخدام هذه النتيجة ، نظريًا على الأقل ، لإنشاء هذه الكائنات - ولكن فقط بالنسبة إلى الحجم الكبير جدًا n. لا يزال العثور على أمثلة ملموسة وعملية مهمة للمستقبل.

في النهاية ، يتضح العمل طريقة أخرى غير بديهية أن علماء الرياضيات يمكنهم تسخير قوى العشوائية للبحث عن بنية مخفية. قال "كل أنواع الهياكل غير المتوقعة ممكنة" شيريل بريجر، عالم رياضيات في جامعة غرب أستراليا.

قال كاميرون: "يُظهر الدليل أن تقنيات كيفاش تعمل في سياقات أوسع مما صُممت من أجله". إنه يعني أنه يمكن معالجة المشاكل الصعبة الأخرى من خلال الجمع بين العشوائية والاستيعاب بطرق ذكية.

شعرت هذه التقنيات بالسحر بالنسبة لساوهني عندما قرأ عنها لأول مرة في ورقة كيفاش عندما كان طالبًا جامعيًا. حتى الآن بعد أن اكتسب فهمًا أعمق لهم ، "هذا الانطباع لا يختفي".