في أوائل الخمسينيات من القرن الماضي ، شرعت مجموعة من الباحثين في معهد الدراسات المتقدمة في مشروع عالي التقنية. في ال طلب بالنسبة لجون فون نيومان وهيرمان جولدستين ، قام الفيزيائي هيدفيج سيلبرج ببرمجة كمبيوتر IAS ذو الأنبوب المفرغ 1,700 لحساب المبالغ الرياضية الغريبة التي تعود أصولها إلى القرن الثامن عشر.
كانت المبالغ مرتبطة بمبالغ جاوس التربيعية ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات الشهير كارل فريدريش جاوس. سيختار غاوس عددًا أوليًا p، ثم اجمع الأرقام على شكل $ latex e ^ {frac {2iπn ^ 2} {p}} $. منذ نشأتها ، أثبتت مجاميع Gauss التربيعية أنها لا تقدر بثمن لمهام مثل عد الحلول لأنواع معينة من المعادلات. قال "اتضح أن مبالغ جاوس سحرية ، وأنهم يفعلون أشياء رائعة لأن الله يعرف السبب" جيفري هوفستين، عالم رياضيات في جامعة براون.
في منتصف القرن التاسع عشر ، كان عالم الرياضيات الألماني إرنست إدوارد كومر يتلاعب بأحد أقرباء هذه المبالغ التربيعية من غاوس ، حيث n2 في الأس بـ n3. لاحظ كومر أنهم يميلون إلى جمع قيم معينة قريبة بدرجة مدهشة - وهي ملاحظة دقيقة من شأنها أن تؤدي إلى قرون من البحث في نظرية الأعداد.
إذا لم تتم إعادة صياغة مجاميع Gauss المكعبة إلى صيغة أبسط ، فمن الصعب استنتاج قيمها. نظرًا لعدم وجود مثل هذه الصيغة ، شرع كومر في حساب مجاميع Gauss المكعبة - والحساب والحساب. قال: "كان من الشائع جدًا أن يقوموا بهذا النوع من الحسابات البطولية يدويًا في ذلك الوقت" ماثيو يونغ، عالم رياضيات في جامعة تكساس إيه آند إم. بعد حرث 45 مبلغًا ، وهو ما يقابل أول 45 عددًا أوليًا غير تافه ، استسلم كومر أخيرًا.
بمسح نتائجه ، لاحظ كومر شيئًا مثيرًا للاهتمام. من الناحية النظرية ، يمكن أن تكون المبالغ بين -1 و 1 (بعد "تسوية" - مقسومة على ثابت مناسب). ولكن عندما أجرى الحسابات ، اكتشف أنها وزعت بطريقة غريبة. كانت نصف النتائج بين و 1 ، وكان السدس فقط بين 1 و. يبدو أنهم يتجمعون حول 1.
عرض كومر ملاحظاته ، جنبًا إلى جنب مع التخمين: إذا تمكنت بطريقة ما من رسم جميع مبالغ Gauss المكعبة العديدة ، فسترى معظمها بين ½ و 1 ؛ أقل بين −½ و ½ ؛ وما زال أقل بين 1 و.
شرع كل من Selberg و von Neumann و Goldstine في اختبار ذلك على أجهزة الكمبيوتر القديمة الخاصة بهم. برمجتها Selberg لحساب مجاميع Gauss المكعبة لجميع الأعداد الأولية غير التافهة التي تقل عن 10,000 - حوالي 600 مجموع في المجموع. (كان غولدشتاين وفون نيومان يواصلان تأليف الورقة ؛ وستنتهي مساهماتها إلى سطر من الاعتراف في النهاية). واكتشفوا أنه مع زيادة عدد الأعداد الأولية ، أصبحت المبالغ الطبيعية أقل ميلًا إلى التجمع بالقرب من 1. مع دليل مقنع على أن تخمين كومر كان خاطئًا ، بدأ علماء الرياضيات في محاولة فهم مجاميع Gauss المكعبة بطريقة أعمق تتجاوز مجرد الحساب.
هذه العملية قد اكتملت الآن. في عام 1978 عالم الرياضيات صموئيل باترسون غامر بحل لغز كومر الرياضي ، لكن لم يستطع إثبات ذلك. ثم في الخريف الماضي ، أثبت اثنان من علماء الرياضيات من معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا تخمين باترسون ، وأخيراً قدموا خاتمة لتأملات كومر من عام 1846.
أصبح باترسون مدمنًا على المشكلة لأول مرة عندما كان طالب دراسات عليا في جامعة كامبريدج في السبعينيات. كان الدافع وراء تخمينه هو ما يحدث عندما يتم وضع الأرقام عشوائيًا في أي مكان بين -1970 و 1. إذا قمت بالجمع N من هذه الأرقام العشوائية ، سيكون الحجم النموذجي للمبلغ $ latexsqrt {N} $ (يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا). وبالمثل ، إذا كانت مبالغ Gauss المكعبة مبعثرة بالتساوي من -1 إلى 1 ، فستتوقع N منهم ما يصل إلى $ latexsqrt {N} $ تقريبًا.
مع وضع هذا في الاعتبار ، أضاف باترسون N مجاميع Gauss المكعبة ، مع تجاهل (في الوقت الحالي) شرط التمسك بالأعداد الأولية. وجد أن المبلغ كان موجودًا N5/6 - أكبر من $ latexsqrt {N} $ (والتي يمكن كتابتها كـ N1/2) ، ولكن أقل من N. تشير هذه القيمة إلى أن المجاميع تصرفت كأرقام عشوائية ولكن بقوة ضعيفة تضغط عليها تجاه القيم الإيجابية ، تسمى التحيز. كما N أصبحت العشوائية أكبر وأكبر ، ستبدأ في التغلب على التحيز ، وبالتالي إذا نظرت بطريقة ما إلى كل مجاميع Gauss المكعبة العديدة في وقت واحد ، فستبدو موزعة بالتساوي.
يبدو أن هذا يفسر كل شيء: حسابات Kummer تظهر تحيزًا ، بالإضافة إلى حسابات IAS التي تدحض واحدًا.
لكن باترسون لم يكن قادرًا على إجراء نفس الحسابات للأعداد الأولية ، لذلك في عام 1978 ، كتبها رسميًا على أنها a تخمين: إذا جمعت مجاميع Gauss المكعبة للأعداد الأولية ، يجب أن تحصل على نفس القيم N5/6 السلوك.
بعد فترة وجيزة من إلقاء محاضرة حول عمله على مشكلة كومر ، اتصل باترسون من قبل طالب دراسات عليا يُدعى روجر هيث براون ، الذي اقترح دمج تقنيات من نظرية الأعداد الأولية. تعاون الاثنان وقريباً نشرت تقدمًا بشأن المشكلة ، لكنهم ما زالوا غير قادرين على إظهار توقع باترسون N5/6 كان التحيز دقيقًا للأعداد الأولية.
على مدى العقود التي تلت ذلك ، كان هناك تقدم ضئيل. أخيرًا ، في مطلع الألفية ، صنع هيث براون أخرى اختراق، حيث لعبت أداة طورها تسمى المنخل المكعب الكبير دورًا أساسيًا.
لاستخدام المنخل المكعب الكبير ، استخدم Heath-Brown سلسلة من العمليات الحسابية لربط مجموع مبالغ Gauss المكعبة بمجموع مختلف. باستخدام هذه الأداة ، تمكن Heath-Brown من إظهار أنه إذا جمعت مجاميع Gauss المكعبة لأعداد أولية أقل من N، لا يمكن أن تكون النتيجة أكبر من N5/6. لكنه اعتقد أنه يمكن أن يفعل ما هو أفضل - أن الغربال نفسه يمكن تحسينه. إذا كان ذلك ممكنًا ، فسيخفض الحد إلى N5/6 بالضبط ، مما يثبت تخمين باترسون. في سطر نص قصير ، رسم ما يعتقد أنه أفضل صيغة ممكنة للغربال.
حتى مع وجود هذه الأداة الجديدة في متناول اليد ، لم يتمكن علماء الرياضيات من التقدم أكثر. ثم بعد عقدين من الزمن ، كان لقاء محظوظًا بين باحث ما بعد الدكتوراة في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا الكسندر دن ومشرفه ماكسيم رادزويتش تمثل بداية النهاية. قبل أن يبدأ دن منصبه في سبتمبر من عام 2020 ، اقترح Radziwiłł أن يعملوا معًا على تخمين باترسون. ولكن مع استمرار انتشار جائحة Covid-19 ، استمر البحث والتعليم عن بُعد. أخيرًا ، في يناير 2021 ، تدخلت الصدفة - أو القدر - عندما اصطدم الرياضيان بشكل غير متوقع ببعضهما البعض في ساحة انتظار سيارات باسادينا. كتب دن في رسالة بريد إلكتروني: "تجاذبنا أطراف الحديث بحرارة ، واتفقنا على أننا يجب أن نبدأ في الاجتماع والتحدث عن الرياضيات". بحلول شهر مارس ، كانوا يعملون بجد على إثبات تخمين باترسون.
قال دن: "كان من المثير العمل عليه ، لكن مخاطرة كبيرة للغاية". "أعني ، أتذكر القدوم إلى مكتبي في الساعة 5 صباحًا تقريبًا كل صباح لمدة أربعة أو خمسة أشهر."
وجد دان ورادزويك ، مثل هيث براون من قبلهم ، أن المنخل المكعب الكبير لا غنى عنه لإثباتهم. ولكن عندما استخدموا الصيغة التي كتبها هيث براون في ورقته البحثية لعام 2000 - التي كان يعتقد أنها أفضل غربال ممكن ، والتخمين الذي توصل إليه مجتمع نظرية الأعداد كان صحيحًا - أدركوا أن شيئًا ما لم يكن صحيحًا . قال رادزويتش: "لقد تمكنا من إثبات أن 1 = 2 ، بعد عمل معقد للغاية".
في تلك المرحلة ، كان رادزويتش متأكدًا من أن الخطأ كان خطأهم. "لقد كنت مقتنعًا نوعًا ما بأن لدينا خطأ في إثباتنا". أقنعه دن بخلاف ذلك. المنخل المكعب الكبير ، على عكس التوقعات ، لا يمكن تحسينه.
مسلحين بصحة الغربال المكعب الكبير ، أعاد كل من Dunn و Radziwiłł معايرة مقاربتهم لتخمين باترسون. هذه المرة ، نجحوا.
قال رادزويك: "أعتقد أن هذا كان السبب الرئيسي لعدم قيام أحد بذلك ، لأن تخمين [هيث براون] كان يضلل الجميع". "أعتقد أنه إذا أخبرت هيث براون أن تخمينه خاطئ ، فمن المحتمل أن يكتشف كيفية القيام بذلك."
نشر كل من دان ورادزويتش ورقتهما في 15 سبتمبر 2021. في النهاية ، اعتمد إثباتهما على فرضية ريمان المعممة ، وهي تخمين مشهور غير مثبت في الرياضيات. لكن علماء رياضيات آخرين يرون أن هذا مجرد عيب بسيط. "نود التخلص من الفرضية. لكننا سعداء بالحصول على نتيجة مشروطة على أي حال " هيث براون، وهو الآن أستاذ فخري بجامعة أكسفورد.
بالنسبة إلى هيث براون ، فإن عمل دن ورادزيوي هو أكثر من مجرد دليل على تخمين باترسون. مع نظرة ثاقبة غير متوقعة على المنخل المكعب الكبير ، جلبت ورقتهم نهاية مفاجئة لقصة كان جزءًا منها لعقود. قال: "أنا سعيد لأنني لم أكتب في الواقع في ورقي ،" أنا متأكد من أنه يمكن للمرء التخلص من هذا "، في إشارة إلى جزء من الغربال الذي اكتشفه دن ورادزويش كان ضروريًا. "قلت للتو ، سيكون من الرائع أن يتخلص المرء من هذا. يبدو أنه من الممكن أن تكون قادرًا على ذلك. وكنت مخطئا - ليس لأول مرة ".
