المُقدّمة
في الخوارزميات ، كما في الحياة ، يمكن أن تكون السلبية عائقًا.
ضع في اعتبارك مشكلة العثور على أقصر مسار بين نقطتين على الرسم البياني - شبكة من العقد متصلة بواسطة روابط أو حواف. في كثير من الأحيان ، هذه الحواف غير قابلة للتبديل: يمكن أن يمثل الرسم البياني خريطة طريق تكون فيها بعض الطرق أبطأ من غيرها أو بها رسوم مرور أعلى. يفسر علماء الكمبيوتر هذه الاختلافات من خلال إقران كل حافة بـ "وزن" يحدد تكلفة التنقل عبر هذا الجزء - سواء كانت هذه التكلفة تمثل الوقت أو المال أو أي شيء آخر. منذ الخمسينيات من القرن الماضي ، عرفوا كيفية العثور على أقصر المسارات بشكل أساسي بأسرع ما يمكن نظريًا ، بافتراض أن جميع الأوزان أرقام موجبة.
ولكن في بعض الرسوم البيانية ، يمكن أن تكون الأوزان سالبة - فالسفر على طول جزء واحد يمكن أن يعوض تكلفة اجتياز جزء آخر. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، سائق توصيل يجب أن يوازن بين تكلفة الغاز ورسوم العبور (ممثلة بأوزان موجبة) مقابل الدخل من نقل الطرود (ممثلة بأوزان سالبة). في مثل هذه الحالات ، لا تعمل خوارزمية المسار الأقصر المعروفة. لعقود من الزمان ، ظلت الخوارزميات السريعة للعثور على أقصر المسارات على الرسوم البيانية ذات الوزن السالب بعيدة المنال.
الآن قام ثلاثة من علماء الكمبيوتر بحل هذه المشكلة طويلة الأمد. الجديد خوارزمية، الذي يعثر على أقصر المسارات من خلال رسم بياني من عقدة "مصدر" معينة إلى كل عقدة أخرى ، يتطابق تقريبًا مع السرعة التي حققتها خوارزميات الوزن الإيجابي منذ فترة طويلة.
علاوة على ذلك ، يستخدم النهج الجديد تقنيات رياضية عمرها عقود ، ويتجنب الأساليب الأكثر تعقيدًا التي هيمنت على أبحاث نظرية الرسم البياني الحديثة.
قال: "لم أصدق وجود مثل هذه الخوارزمية البسيطة" ماكسيميليان بروبست جوتنبرج، عالم كمبيوتر في المعهد الفدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ. "كل ذلك كان هناك منذ 40 عامًا. لقد تطلب الأمر من شخص ما أن يكون ذكيًا حقًا ومصممًا على جعل كل شيء يعمل ".
حدود الجشع
بدأت القصة في عام 1956 ، عندما طور عالم الكمبيوتر الهولندي Edsger Dijkstra خوارزمية سريعة للعثور على أقصر المسارات على رسم بياني بأوزان موجبة فقط. لفهم ذلك ، تخيل البدء من المصدر واستكشاف الرسم البياني عقدة واحدة في كل مرة ، وتدوين أوزان الحواف المكتشفة حديثًا أثناء التنقل. في كل مرة تقوم فيها بزيارة عقدة ، قم بعمل تقديرات أولية لأقصر المسارات من المصدر إلى كل من جيران العقدة الجديدة ، وقم بتحديث أي تقديرات موجودة إذا وجدت مسارًا جديدًا أقصر. لتحديد العقدة غير المستكشفة التي يجب زيارتها بعد ذلك ، استخدم ما يسمى بإستراتيجية الجشع: انتقل إلى أيهما أقرب إلى المصدر وفقًا لتقديرك الحالي.
مع الأوزان الموجبة ، فإن المسار الذي تسلكه خوارزمية Dijkstra لزيارة كل عقدة لأول مرة هو الأقصر حقًا. من الأسهل أن نرى أن هذا صحيح بالنسبة للخطوة الأولى. تخيل عقدتين A و B متصلتين بحافة بوزن 2. إذا كانت A هي العقدة المصدر ، وكل حافة أخرى تلامسها لها وزن أكبر ، فيجب أن يكون المسار المباشر من A إلى B هو أقصر مسار ممكن يربط بين هاتين النقطتين ، نظرًا لأن الجزء الأول من أي مسار آخر سيكون بالفعل أطول. المنطق المماثل يعمل في كل خطوة. لا يتعين على الخوارزمية أبدًا أن تنظر إلى الوراء ، لذا فهي مضمونة حتى تنتهي بعد تشغيل الرسم البياني مرة واحدة - وهذا ما يجعلها سريعة جدًا.
لكن الأوزان السلبية تسبب مشكلة لاستراتيجية ديكسترا الجشعة. فكر مرة أخرى في سائق التوصيل لدينا. الطريق المباشر من A إلى B الذي يحقق ربحًا صغيرًا قد يربح أموالًا أقل من المسار الملتف الذي له عائد كبير في مكان ما. قال "لا يمكنك اتخاذ قرارات بناء على المعلومات المحلية فقط" سانجيف خانا، عالم كمبيوتر في جامعة بنسلفانيا. "قد تضطر إلى القيام بالعديد من التحركات التي تبدو دون المستوى الأمثل حتى تحصل أخيرًا على مكافأة حقيقية."
لعقود من الزمان ، حاول علماء الكمبيوتر الذين يعملون على الرسوم البيانية للوزن السلبي مطابقة سرعة خوارزمية Dijkstra بخوارزميات "اندماجية" مماثلة. تتضمن هذه العمليات عمليات منفصلة - مثل احتمالات العد وتعديل الأوزان وحذف الحواف بشكل انتقائي - والتي تعكس الهيكل المنفصل للرسم البياني الأساسي. لكن التقدم تباطأ بحلول التسعينيات. في الآونة الأخيرة ، استخدم الباحثون خوارزميات "التحسين المستمر" ، والتي تستعير الحيل من حساب التفاضل والتكامل. لسوء الحظ ، كانت عمليات التسريع الناتجة محدودة ، وغالبًا ما كانت على حساب البساطة.
كسر حلقة
في صيف عام 2021 ، اثنان من علماء الكمبيوتر أصبحا زملاء في جامعة كوبنهاغن - دانوبون نانونجكاي و كريستيان وولف نيلسن - كانوا يبحثون عن موضوع لمشروع بحثي مشترك. يتذكر نانونغكاي ، الذي يعمل الآن في معهد ماكس بلانك للمعلوماتية في ساربروكن بألمانيا: "قال كريستيان ،" أوه ، بالمناسبة ، كنت في إجازة ، وبسبب ذلك كنت أحاول التفكير في شيء طموح للغاية ". استقروا على مشكلة أقصر الطرق ذات الوزن السلبي ودعوا آرون برنشتاين من جامعة روتجرز للانضمام إليهم.
كان الباحثون الثلاثة خبراء في خوارزميات الرسم البياني الاندماجي لمشاكل أخرى ، وأرادوا معرفة المدى الذي يمكن أن تحققه هذه الأساليب القديمة نسبيًا. قال بيرنشتاين: "هناك بالفعل قدر معين من الحرية في العمل على مشكلة طموحة ومفتوحة لفترة طويلة".
بدأ الثلاثي بتجاهل مؤقت لمجموعة فرعية من الرسوم البيانية المحتملة: تلك التي تحتوي على دورات سلبية. هذه هي المسارات التي تعود إلى حيث بدأت بعد المرور عبر سلسلة من الحواف التي تضيف أوزانها إلى رقم سالب. في الرسم البياني الذي يحتوي على دورات سلبية يمكن الوصول إليها من نقطة البداية ، تنهار فكرة المسار الأقصر ، حيث يمكنك جعل المسافة إلى أي عقدة سلبية (أو مربحة) كما تريد ، عن طريق أخذ دورات متكررة حول الدورة السلبية من قبل متجها إلى وجهتك.
اشتبه الباحثون في أن المسارات السلبية الطويلة كانت مسؤولة بشكل أساسي عن جعل المشكلة صعبة. لذلك بدأوا في التركيز على مجموعات ضيقة من العقد القريبة ، والتي لا يمكن أن تحتوي على أي مسارات سلبية طويلة: هذا لأنه إذا تم ربط نقطتين بمسار موجب قصير ، فإن إضافة مسار سلبي طويل بينهما سيخلق دورة سلبية. قال بيرنشتاين ، ضمن مجموعة ضيقة ، "حقيقة أن الجميع قريبون من بعضهم البعض بشكل إيجابي يمنحك في الواقع معلومات مفيدة حول الحواف السلبية أيضًا". "يخبرك أن الأشياء لا يمكن أن تكون سلبية للغاية."
تحتوي معظم الرسوم البيانية على العديد من هذه المجموعات المتماسكة التي لا ترتبط ببعضها البعض إلا بشكل ضعيف. إذا تمكن الباحثون من تحديد جميع المجموعات بدقة ، فإنهم يشتبهون في أن بإمكانهم تطوير طريقة لإيجاد أقصر المسارات بسرعة داخل كل منها. من هناك ، قد يكون من الأسهل عليهم ربط المجموعات الفردية والعثور على أقصر المسارات على الرسم البياني الأصلي. لكن هذا سيتطلب بسرعة اكتشاف مناطق أي رسم بياني حيث تكون العقد قريبة من بعضها - وهو أمر لم يعرفوا كيف يفعلونه. تحول المفتاح إلى تقنية نشأت في فرع مختلف تمامًا من نظرية الرسم البياني.
قطع الرسوم البيانية
في الثمانينيات ، طور علماء الكمبيوتر تقنية تسمى التحلل المنخفض القطر لانتقاء مجموعات ضيقة في رسم بياني وتحديد الحواف المطلوب حذفها لفصل تلك المجموعات. توفر هذه التقنية طريقة لتقسيم الرسوم البيانية إلى أقسام مستقلة. تم اختراعه لتسهيل الخوارزميات "الموزعة" ، والتي تعمل فيها العمليات الحسابية بالتوازي على أجزاء مختلفة من الرسم البياني ، لذلك لم يكن مفيدًا بشكل واضح لخوارزميات المسارات الأقصر ، والتي لا تحتوي على هذه الخاصية.
أدرك برنشتاين ونانونجكاي وولف-نيلسن أن التحلل منخفض القطر يمكن أن يساعدهم في تحديد التجمعات دون الكثير من السلبية المركزة. لسوء الحظ ، تعمل خوارزميات التحلل القياسية ذات القطر المنخفض فقط على الرسوم البيانية غير الموجهة - تلك التي يمكن فيها اجتياز كل حافة في كلا الاتجاهين. وفي الوقت نفسه ، فإن مشكلة أقصر المسارات ذات الوزن السالب تكون منطقية فقط في الرسوم البيانية الموجهة ، حيث تكون كل حافة طريقًا أحادي الاتجاه. (وإلا ، فإن الحافة السلبية المفردة غير الموجهة ستخلق دورة سلبية تتكون من قفزات متكررة ذهابًا وإيابًا عبر تلك الحافة.) إذا أراد الباحثون استخدام التحلل ذي القطر المنخفض ، فسيتعين عليهم تكييفه.
هذا ما فعلوه في ورقتهم الجديدة. مستوحاة من العمل الماضي حيث تعاون برنشتاين و Wulff-Nilsen مع Probst Gutenberg ، طوروا إجراء تكسير للرسوم البيانية الموجهة المماثلة للتحلل منخفض القطر. يقطع الإجراء رسمًا بيانيًا موجهًا عشوائيًا إلى سلسلة من الكتل المتماسكة باستخدام عملية عشوائية لحذف عدد قليل من الحواف. بعد ذلك ، يتم توصيل هذه المجموعات بواسطة شبكة متفرقة تشير فيها جميع الحواف في نفس الاتجاه. يسمى هذا النوع من الشبكات الرسم البياني غير الدوري الموجه ، أو DAG.
فكر في DAG مثل مجرى قد يتدفق فيه الماء عبر مسارات مختلفة: بعض المسارات تتدفق من مصادر مختلفة ، والبعض الآخر ينتشر في اتجاهات مختلفة ، والبعض الآخر قد ينفصل ويندمج مرة أخرى. لكن لا شيء يتدفق إلى الوراء أبدًا ، لذلك لا توجد دورات ؛ هذا يجعل DAGs أسهل بكثير للعمل معها.
لقد عرف الباحثون منذ فترة طويلة كيفية العثور بسرعة على أقصر المسارات على DAGs حتى مع الأوزان السلبية. لذا مكنت تقنية التكسير الباحثين الثلاثة من تقليل أي رسم بياني موجه إلى مجموعة من حالتين خاصتين - DAGs والعناقيد الضيقة - كان من السهل التعامل مع كل منهما.
تستخدم خوارزمية أقصر المسارات الجديدة بشكل متكرر إجراء التكسير لتقسيم الرسم البياني إلى مجموعات متماسكة متصلة بواسطة DAG. ثم يقوم بتقسيم تلك المجموعات إلى أبعد من ذلك. في نهاية العملية ، تكون المجموعات في المستوى الأعمق مرتبطة بشكل وثيق قدر الإمكان. جزء من سبب سرعة الخوارزمية هو أنها لا تتطلب الكثير من التكرارات لتحطيم رسم بياني كبير جدًا بشكل كامل ، تمامًا كما لا يستغرق الأمر وقتًا طويلاً لخفض عدد كبير إلى حجم معقول إذا قمت بتقسيمه بشكل متكرر في النصف.
مع تقسيم الرسم البياني بالكامل بهذه الطريقة ، يمكن للباحثين العثور بسرعة على أقصر المسارات من خلال كل جزء من الرسم البياني. بالنسبة للعناقيد الضيقة في المستوى الأعمق لبنية الرسم البياني المتداخلة ، كان هذا سهلاً - لم يتبق لديهم أي سلبية تقريبًا. وقد عرف الباحثون بالفعل كيفية العثور على أقصر المسارات في أقسام DAG التي تنضم إليهم.
أخيرًا ، تضيف الخوارزمية الحواف التي تم التخلص منها من خلال عملية التكسير مرة أخرى وتحسب تأثيرها على أقصر المسارات. أثبت الباحثون أن عمليتهم للحذف العشوائي للحواف ستتطلب دائمًا تقريبًا عددًا قليلاً من عمليات الحذف لإزالة الحواف "الخلفية" - وهو النوع الذي يحول DAG إلى رسم بياني به دورات كبيرة. جعل ذلك من غير المحتمل للغاية أن يمر أي مسار أقصر من خلال عدد كبير جدًا من هذه المقاطع المتخلفة ، لذلك يمكنهم حل هذه الخطوة النهائية الصعبة من خلال الجمع بين طريقتين في الكتب المدرسية من الخمسينيات: خوارزمية Dijkstra وأول خوارزمية تم تطويرها للرسوم البيانية ذات الوزن السالب.
قال خانا: "إنه تكوين ذكي للغاية لهذه الأفكار". الخوارزمية هي الأولى للرسوم البيانية ذات الوزن السالب والتي تعمل في وقت "شبه خطي" - مما يعني أن وقت تشغيلها يتناسب تقريبًا مع الوقت المطلوب فقط لعد جميع الحواف ، وهو أسرع ما يمكن أن يكون.
وماذا عن الرسوم البيانية ذات الدورات السلبية التي قرر الباحثون تجاهلها في البداية؟ بعد وضع اللمسات الأخيرة على خوارزمية أقصر المسارات ، أظهروا أنها يمكن أن تعمل أيضًا كخوارزمية سريعة لتحديد الدورات السلبية. عمليا لم يكن هناك رسم بياني بعيد المنال.
المسارات المتوازية
قدم بيرنشتاين نتيجة الفريق في مؤتمر أسس علوم الكمبيوتر لعام 2022 ، حيث اعتُبرت مخطوطاتهم التي تصف الخوارزمية الجديدة واحدة من أفضل ورقتين. ال ورق آخر حدث أيضًا لوصف خوارزمية جديدة شبه خطية لحل مشكلة طويلة الأمد في نظرية الرسم البياني.
عالجت هذه الخوارزمية ، التي طورها Probst Gutenberg وخمسة باحثين آخرين ، مشكلة أكثر عمومية تسمى تدفق التكلفة الدنيا ، حيث يكون الهدف هو تحسين النقل عبر العديد من المسارات على التوازي ، ولكل حافة سعة قصوى بالإضافة إلى تكلفة مرتبطة . تعد مشكلات المسارات الأقصر حالة خاصة لتدفق الحد الأدنى من التكلفة ، لذلك يمكن أيضًا استخدام خوارزمية الحد الأدنى من التكلفة والتدفق الجديدة لحل مشكلة أقصر المسارات ذات الوزن السالب في الوقت شبه الخطي ، وإن كان ذلك باستخدام نهج مختلف جذريًا.
طور الفريق الذي يعمل على الحد الأدنى من التكلفة خوارزمية سريعة للأغراض العامة باستخدام توليفة معقدة من تقنيات التحسين التوافقية والمستمرة التي تجعلها غير عملية من الناحية العملية ، على الأقل حاليًا. على الرغم من اقتصار الخوارزمية التوافقية التي وضعها برنشتاين وزملاؤه على مشكلة أكثر تحديدًا ، إلا أنها تحقق وقت تشغيلها شبه الخطي دون التضحية بالبساطة.
قال بروبست جوتنبرج: "هذا ما يثير الدهشة في هذه الورقة". "يمكنك شرح ذلك لطالب جامعي ، ويمكنك أيضًا تنفيذه على جهاز الكمبيوتر الخاص بك."
نتيجة لذلك ، أحيت هذه الخوارزمية الجديدة الاهتمام بالنهج التجميعية لمشاكل أخرى في نظرية الرسم البياني. يبقى أن نرى المشاكل التي يمكن حلها بسرعة باستخدام خوارزميات اندماجية بحتة ، والتي تتطلب بالفعل التقنيات المستمرة التي تم تطويرها في العشرين عامًا الماضية.
قال Nanongkai "هذا سؤال فلسفي أحاول فهمه". "هذه المشكلة ذات المسار الأقصر تعطي بعض الأمل."
- محتوى مدعوم من تحسين محركات البحث وتوزيع العلاقات العامة. تضخيم اليوم.
- بلاتوبلوكشين. Web3 Metaverse Intelligence. تضخيم المعرفة. الوصول هنا.
- المصدر https://www.quantamagazine.org/finally-a-fast-algorithm-for-shortest-paths-on-negative-graphs-20230118/
- 20 سنة
- 2021
- 2022
- a
- من نحن
- وفقا
- حسابي
- تحقق
- في
- في الواقع
- اسيكليك
- تكيف
- يضيف
- بعد
- ضد
- خوارزمية
- خوارزميات
- الكل
- سابقا
- دائما
- طموح
- قديم
- و
- آخر
- بعيدا
- نهج
- اقتراب
- حول
- أسوشيتد
- الى الخلف
- الرصيد
- على أساس
- لان
- أصبح
- قبل
- بدأ
- اعتقد
- برنشتاين
- أفضل
- ما بين
- Beyond
- كبير
- الاقتراض
- الفرع
- استراحة
- فواصل
- مكسورة
- تحسب
- تسمى
- الطاقة الإنتاجية
- حقيبة
- الحالات
- معين
- رابطة الدول المستقلة
- اغلاق
- عن كثب
- كتلة
- تعاونت
- الزملاء
- مجموعة
- الجمع بين
- تأتي
- الحسابات
- الكمبيوتر
- علوم الكمبيوتر
- مركز
- مؤتمر
- متصل
- الرابط
- نظر
- تتكون
- متواصل
- التكلفة
- استطاع
- خلق
- حالياًّ
- حاليا
- قطع
- دورات
- DAG
- عقود
- قررت
- القرارات
- التوصيل
- وصف
- افضل الرحلات السياحية
- مصمم
- تطوير
- المتقدمة
- فعل
- الخلافات
- مختلف
- صعبة
- مباشرة
- اتجاه
- اكتشف
- مسافة
- لا
- لا
- إلى أسفل
- سائق
- الهولندية
- كل
- كسب
- أسهل
- أسهل
- حافة
- الآثار
- القضاء
- اقصاء
- تمكين
- تماما
- أساسيا
- تقدير
- تقديرات
- حتى
- EVER
- كل شخص
- القائمة
- موجود
- خبرائنا
- شرح
- استكشاف
- جدا
- تسهيل
- مروحة
- FAST
- أسرع
- اتحادي
- قليل
- نهائي
- أخيرا
- العثور على
- ويرى
- الاسم الأول
- لأول مرة
- تدفق
- يطفو
- تركز
- وجدت
- أسس
- حرية
- تبدأ من
- تماما
- إضافي
- GAS
- العلاجات العامة
- هدف عام
- ألمانيا
- دولار فقط واحصل على خصم XNUMX% على جميع
- معطى
- يعطي
- Go
- هدف
- رسم بياني
- الرسوم البيانية
- طامع
- مضمون
- غوتنبرغ
- نصفي
- حفنة
- مقبض
- حدث
- عنوان
- مساعدة
- أعلى
- أمل
- كيفية
- كيفية
- لكن
- HTML
- HTTPS
- الأفكار
- تحديد
- تنفيذ
- in
- دخل
- مستقل
- فرد
- معلومات
- موحى
- مثل
- معهد
- مصلحة
- اخترع
- تنطوي
- IT
- التكرارات
- الانضمام
- انضمام
- القفل
- نوع
- علم
- معروف
- كبير
- أكبر
- مستوى
- الحياة
- محدود
- حدود
- وصلات
- محلي
- طويل
- وقت طويل
- طويل الأمد
- يعد
- بحث
- صنع
- جعل
- يصنع
- القيام ب
- أسلوب
- كثير
- رسم خريطة
- مباراة
- رياضي
- ماكس
- أقصى
- يعني
- في غضون
- دمج
- طرق
- ربما
- تقدم
- مال
- الأكثر من ذلك
- التحركات
- يتحرك
- تقريبا
- سلبي
- الجيران
- شبكات
- شبكة
- جديد
- التالي
- العقدة
- العقد
- Notion
- عدد
- أرقام
- عوض
- ONE
- جاكيت
- عمليات
- التحسين
- الأمثل
- أصلي
- نشأت
- أخرى
- أخرى
- وإلا
- حزم
- الاقتران
- ورق
- أوراق
- موازية
- جزء
- أجزاء
- مرور
- الماضي
- مسار
- ولاية بنسلفانيا
- اختيار
- أفلاطون
- الذكاء افلاطون البيانات
- أفلاطون داتا
- البوينت
- نقاط
- إيجابي
- إمكانيات
- ممكن
- عمليا
- ممارسة
- قدم
- المشكلة
- مشاكل
- عملية المعالجة
- الربح
- مربح
- التقدّم
- تنفيذ المشاريع
- الملكية
- ثبت
- ويوفر
- بحت
- وضع
- كوانتماجازين
- سؤال
- بسرعة
- بشكل جذري
- عشوائية
- بسرعة
- الوصول
- حقيقي
- أدركت
- سبب
- معقول
- مؤخرا
- تخفيض
- تعكس
- المناطق
- نسبيا
- بقي
- بقايا
- متكرر
- مرارا وتكرارا
- مثل
- ممثلة
- يمثل
- تطلب
- مطلوب
- بحث
- الباحثين
- مسؤول
- مقيد
- نتيجة
- مما أدى
- مكافأة
- طريق
- طريق
- يجري
- تشغيل
- جامعة روتجرز
- التضحية
- قال
- نفسه
- علوم
- عالم
- العلماء
- البحث
- أقسام
- قطعة
- شرائح
- إحساس
- مسلسلات
- التسوية (Settled)
- عدة
- قصير
- مماثل
- الاشارات
- بساطة
- منذ
- عزباء
- مقاس
- صغير
- So
- حل
- حل
- بعض
- شخص ما
- شيء
- في مكان ما
- متطور
- مصدر
- مصادر
- تختص
- محدد
- سرعة
- تهجئه
- انقسم
- معيار
- بداية
- بدأت
- ابتداء
- خطوة
- لا يزال
- قصتنا
- الإستراتيجيات
- مجرى
- شارع
- بناء
- طالب
- هذه
- الصيف
- سويسري
- أخذ
- يأخذ
- مع الأخذ
- فريق
- تقنيات
- تكنولوجيا
- يروي
- الكتاب المدرسي
- •
- الرسم البياني
- المصدر
- من مشاركة
- الأشياء
- ثلاثة
- عبر
- الوقت
- إلى
- سويا
- جدا
- موضوع
- لمس
- نقل
- السفر
- مشكلة
- صحيح
- منعطف أو دور
- تحول
- التي تقوم عليها
- فهم
- جامعة
- تحديث
- تستخدم
- عطلة
- عمليا
- مطلوب
- مياه
- ويب بي
- وزن
- ابحث عن
- سواء
- التي
- من الذى
- في غضون
- بدون
- للعمل
- عامل
- أعمال
- سوف
- سنوات
- أنت
- حل متجر العقارات الشامل الخاص بك في جورجيا
- زفيرنت
- زيوريخ