ما هو حجم اللانهاية؟

في نهاية فيلم Marvel الرائج المنتقمون: نهاية اللعبة ، صورة ثلاثية الأبعاد مسجلة مسبقًا لتوني ستارك تودع ابنته الصغيرة بقولها ، "أحبك 3,000". تعكس اللحظة المؤثرة مشهدًا سابقًا يشارك فيه الاثنان في طقوس وقت النوم المرحة لتحديد مقدار حبهما لبعضهما البعض. وفقًا لروبرت داوني جونيور ، الممثل الذي يلعب دور ستارك ، فإن الخط مستوحى من تبادل مماثل مع أطفاله.

يمكن أن تكون اللعبة طريقة ممتعة لاستكشاف أعداد كبيرة:

"أحبك 10".

"لكني أحبك 100."

"حسنًا ، أحبك 101!"

هذا هو بالضبط كيف أصبحت "googolplex" كلمة شائعة في منزلي. لكننا نعلم جميعًا إلى أين تؤدي هذه الحجة في النهاية:

"أحبك بلا حدود!"

"أوه نعم؟ أحبك إنفينيتي بلس 1! "

سواء كان ذلك في الملعب أو في وقت النوم ، فإن الأطفال يواجهون مفهوم اللانهاية قبل وقت طويل من حصة الرياضيات ، ومن المفهوم أنهم يطورون شغفًا بهذا المفهوم الغامض والمعقد والمهم. يكبر بعض هؤلاء الأطفال ليصبحوا علماء رياضيات مفتونين باللانهاية ، وبعض هؤلاء الرياضيين يكتشفون أشياء جديدة ومدهشة عن اللانهاية.

قد تعلم أن بعض مجموعات الأرقام كبيرة بشكل لا نهائي ، لكن هل تعلم أن بعض اللانهايات أكبر من غيرها؟ وأننا لسنا متأكدين مما إذا كانت هناك اللانهايات الأخرى المحصورة بين الاثنين التي نعرفها بشكل أفضل؟ ظل علماء الرياضيات يفكرون في السؤال الثاني لمدة قرن على الأقل ، وقد غيرت بعض الأعمال الحديثة الطريقة التي يفكر بها الناس حول هذه القضية.

من أجل معالجة الأسئلة المتعلقة بحجم المجموعات اللانهائية ، فلنبدأ بالمجموعات التي يسهل عدها. المجموعة عبارة عن مجموعة من العناصر أو العناصر ، والمجموعة المحدودة هي مجرد مجموعة تحتوي على عدد محدود من الكائنات.

من السهل تحديد حجم مجموعة محدودة: ما عليك سوى حساب عدد العناصر التي تحتوي عليها. نظرًا لأن المجموعة محدودة ، فأنت تعلم أنك ستتوقف عن العد في النهاية ، وعندما تنتهي تعرف حجم مجموعتك.

هذه الإستراتيجية لا تعمل مع مجموعات لانهائية. ها هي مجموعة الأعداد الطبيعية التي يُرمز إليها ℕ. (قد يجادل البعض بأن الصفر ليس عددًا طبيعيًا ، لكن هذا النقاش لا يؤثر على تحقيقاتنا في اللانهاية).

latexmathbb $ {N} = {0,1,2,3,4,5،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،…} $

ما هو حجم هذه المجموعة؟ نظرًا لعدم وجود أكبر عدد طبيعي ، لن تنجح محاولة حساب عدد العناصر. أحد الحلول هو ببساطة إعلان حجم هذه المجموعة اللانهائية على أنها "لانهائية" ، وهذا ليس خطأ ، ولكن عندما تبدأ في استكشاف مجموعات لانهائية أخرى ، فإنك تدرك أنه ليس صحيحًا تمامًا أيضًا.

ضع في اعتبارك مجموعة الأعداد الحقيقية ، وهي جميع الأرقام التي يمكن التعبير عنها في توسيع عشري ، مثل 7 ، 3.2 ، 8.015 ، أو توسيع لانهائي مثل $ latexsqrt {2} = 1.414213… $. نظرًا لأن كل عدد طبيعي هو أيضًا رقم حقيقي ، فإن مجموعة القيم الحقيقية على الأقل كبيرة مثل مجموعة الأعداد الطبيعية ، وبالتالي يجب أن تكون أيضًا غير محدودة.

ولكن هناك شيء غير مُرضٍ بشأن التصريح بأن حجم مجموعة الأعداد الحقيقية هو نفس "اللانهاية" المستخدمة لوصف حجم الأعداد الطبيعية. لمعرفة السبب ، اختر أي رقمين ، مثل 3 و 7. بين هذين الرقمين سيكون هناك دائمًا عدد محدود من الأعداد الطبيعية: هذه هي الأرقام 4 و 5 و 6. ولكن سيكون هناك دائمًا عدد لا نهائي من الأرقام الحقيقية بينهما ، أرقام مثل 3.001 ، 3.01 ، π ، 4.01023 ، 5.666 ... وهكذا.

من اللافت للنظر ، بغض النظر عن مدى قرب أي رقمين حقيقيين متمايزين من بعضهما البعض ، سيكون هناك دائمًا عدد لا نهائي من الأرقام الحقيقية بينهما. هذا في حد ذاته لا يعني أن مجموعات الأعداد الحقيقية والأعداد الطبيعية لها أحجام مختلفة ، لكنه يشير إلى أن هناك شيئًا مختلفًا جوهريًا حول هاتين المجموعتين اللانهائيتين يستدعي مزيدًا من التحقيق.

قام عالم الرياضيات جورج كانتور بالتحقيق في هذا في أواخر القرن التاسع عشر. لقد أظهر أن هاتين المجموعتين اللانهائيتين لهما أحجام مختلفة بالفعل. لفهم وتقدير كيف فعل ذلك ، علينا أولاً أن نفهم كيفية مقارنة المجموعات اللانهائية. السر هو عنصر أساسي في دروس الرياضيات في كل مكان: الوظائف.

هناك العديد من الطرق المختلفة للتفكير في الدوال - تدوين الوظيفة مثل $ latex f (x) = x ^ 2 + 1 $ ، الرسوم البيانية للقطوع المكافئة في المستوى الديكارتي ، قواعد مثل "أخذ المدخلات وإضافة 3 إليه" - ولكن هنا سنفكر في الوظيفة على أنها طريقة لمطابقة عناصر مجموعة مع عناصر أخرى.

لنأخذ إحدى هاتين المجموعتين لتكون ℕ ، مجموعة الأعداد الطبيعية. للمجموعة الأخرى ، والتي سوف نسميها S، سنأخذ كل الأعداد الطبيعية الزوجية. ها هي مجموعتنا:

اللاتكس $ latexmathbb {N} = {0,1,2,3,4،0,2,4,6,8،XNUMX،XNUMX،XNUMX،…} $ اللاتكس S = {XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX،…} $

هناك وظيفة بسيطة تحول عناصر إلى عناصر S: اللاتكس $ f (x) = 2x $. تضاعف هذه الوظيفة مدخلاتها ببساطة ، لذلك إذا فكرنا في عناصر كمدخلات لـ $ latex f (x) $ (نطلق على مجموعة مدخلات دالة "المجال") ، فستكون المخرجات دائمًا عناصر لـ S. على سبيل المثال ، $ latex f (0) = 0 $ ، $ latex f (1) = 2 $ ، $ latex f (2) = 4 $ ، $ latex f (3) = 6 $ وهكذا.

يمكنك تصور ذلك عن طريق اصطفاف عناصر المجموعتين جنبًا إلى جنب واستخدام الأسهم للإشارة إلى كيفية قيام الدالة $ latex f $ بتحويل المدخلات من ℕ إلى مخرجات في S.

لاحظ كيف يقوم $ latex f (x) $ بتعيين عنصر واحد بالضبط من S لكل عنصر من عناصر ℕ. هذا ما تفعله الوظائف ، لكن $ latex f (x) $ يقوم بذلك بطريقة خاصة. أولاً ، يخصص $ latex f $ كل شيء في S لشيء في ℕ. باستخدام المصطلحات الوظيفية ، نقول أن كل عنصر من عناصر S هي "صورة" عنصر ℕ تحت الوظيفة $ latex f $. على سبيل المثال ، الرقم الزوجي 3,472،XNUMX في S، ويمكننا أن نجد x في ℕ مثل أن $ latex f (x) = 3,472،1,736 $ (أي XNUMX،XNUMX). في هذه الحالة نقول أن الدالة $ latex f (x) $ ترسم ℕ على S. هناك طريقة أفضل لقول ذلك وهي أن الوظيفة $ latex f (x) $ "طائشة". كيفما وصفته ، المهم هو هذا: حيث أن الوظيفة $ latex f (x) $ تحول المدخلات من ℕ إلى مخرجات في S، لا شيء في S يتم تفويتها في هذه العملية.

الأمر المميز الثاني حول كيفية تخصيص $ latex f (x) $ للمخرجات للمدخلات هو أنه لا يوجد عنصران في ℕ يتحولان إلى نفس العنصر في S. إذا كان هناك رقمان مختلفان ، فإن زوجيهما مختلفان ؛ 5 و 11 عددان طبيعيان مختلفان في ℕ ، ومخرجاتهما في S تختلف أيضًا: 10 و 22. في هذه الحالة ، نقول أن $ latex f (x) $ هو "1-to-1" (يُكتب أيضًا "1-1") ، ونصف $ latex f (x) $ على أنه "عن طريق الحقن". المفتاح هنا هو أنه لا يوجد شيء في S يتم استخدامه مرتين: كل عنصر في S يقترن بعنصر واحد فقط في ℕ.

تتحد هاتان الميزتان الخاصتان بـ $ latex f (x) $ بطريقة قوية. تُنشئ الوظيفة $ latex f (x) $ تطابقًا تامًا بين عناصر ℕ وعناصر S. حقيقة أن $ latex f (x) $ "على" تعني أن كل شيء فيه S لديه شريك في ℕ ، وحقيقة أن $ latex f (x) $ هو 1-to-1 يعني أنه لا يوجد شيء في S له شريكان في ℕ. باختصار ، الوظيفة $ latex f (x) $ أزواج كل عنصر من ℕ مع عنصر واحد بالضبط S.

تسمى الوظيفة التي تكون عن طريق الحقن والخطأ التحيز ، ويخلق التحيز تناظرًا من 1 إلى 1 بين المجموعتين. هذا يعني أن كل عنصر في مجموعة واحدة له شريك واحد بالضبط في المجموعة الأخرى ، وهذه طريقة لإظهار أن مجموعتين لانهايتين لهما نفس الحجم.

نظرًا لأن وظيفتنا $ latex f (x) $ هي انحياز ، فإن هذا يوضح أن المجموعتين اللامتناهيتين ℕ و S هي نفس الحجم. قد يبدو هذا مفاجئًا: بعد كل شيء ، كل رقم طبيعي هو في حد ذاته عدد طبيعي ، لذلك ℕ يحتوي على كل شيء فيه S و اكثر. ألا يجب أن يجعل ذلك ℕ أكبر من S؟ إذا كنا نتعامل مع مجموعات محدودة ، فستكون الإجابة نعم. لكن مجموعة لانهائية واحدة يمكن أن تحتوي على مجموعة أخرى تمامًا ويمكن أن تظل بالحجم نفسه ، نوعًا من الطريقة "اللانهاية زائد 1" ليست في الواقع مقدارًا أكبر من الحب من "اللانهاية" القديمة. هذه مجرد واحدة من العديد من الخصائص المدهشة للمجموعات اللانهائية.

قد تكون المفاجأة الأكبر أن هناك مجموعات لا حصر لها من أحجام مختلفة. في وقت سابق اكتشفنا الطبيعة المختلفة للمجموعات اللانهائية من الأعداد الحقيقية والطبيعية ، وأثبت كانتور أن هاتين المجموعتين اللانهائيتين لهما أحجام مختلفة. لقد فعل ذلك بحجته الرائعة والشهيرة والقطرية.

نظرًا لوجود عدد غير محدود من الأرقام الحقيقية بين أي حقيقتين مختلفتين ، فلنركز فقط في الوقت الحالي على عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية بين صفر و 1. يمكن اعتبار كل رقم من هذه الأرقام توسعًا عشريًا (ربما لانهائيًا) ، مثل هذا.

هنا $ latex a_1 و a_2 و a_3 $ وما إلى ذلك هي مجرد أرقام من الرقم ، لكننا سنطلب ألا تكون كل الأرقام صفرًا ، لذلك لا نقوم بتضمين الرقم صفر نفسه في مجموعتنا.

تبدأ الحجة القطرية أساسًا بالسؤال: ماذا سيحدث إذا كان هناك انحراف بين الأعداد الطبيعية وهذه الأعداد الحقيقية؟ في حالة وجود مثل هذه الوظيفة ، سيكون للمجموعتين نفس الحجم ، ويمكنك استخدام الدالة لمطابقة كل رقم حقيقي بين صفر و 1 مع رقم طبيعي. يمكنك تخيل قائمة مرتبة من المطابقات ، مثل هذا.

عبقرية الحجة القطرية هي أنه يمكنك استخدام هذه القائمة لتكوين رقم حقيقي لا يمكن أن يكون موجودًا في القائمة. ابدأ في بناء رقم حقيقي برقم بالطريقة التالية: اجعل الرقم الأول بعد الفاصلة العشرية شيئًا مختلفًا عن $ latex a_1 $ ، اجعل الرقم الثاني مختلفًا عن $ latex b_2 $ ، اجعل الرقم الثالث مختلفًا عن $ latex c_3 $ ، وهكذا.

يتم تحديد هذا الرقم الحقيقي من خلال علاقته بقطر القائمة. هل هو في القائمة؟ لا يمكن أن يكون الرقم الأول في القائمة ، لأنه يحتوي على رقم أول مختلف. ولا يمكن أن يكون الرقم الثاني في القائمة ، لأنه يحتوي على رقم ثانٍ مختلف. في الواقع ، لا يمكن أن يكون nرقم عشر في هذه القائمة ، لأنه يحتوي على رقم مختلف nالرقم ال. وهذا صحيح للجميع n، لذلك هذا الرقم الجديد ، الذي يقع بين صفر و 1 ، لا يمكن أن يكون في القائمة.

لكن كان من المفترض أن تكون جميع الأعداد الحقيقية بين صفر و 1 في القائمة! ينشأ هذا التناقض من الافتراض بوجود انحراف بين الأعداد الطبيعية والحقيقية بين صفر و 1 ، وبالتالي لا يمكن أن يوجد مثل هذا الانحراف. هذا يعني أن هذه المجموعات اللانهائية لها أحجام مختلفة. يمكن أن يُظهر المزيد من العمل مع الدوال (انظر التمارين) أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية هي نفس حجم مجموعة جميع القيم الحقيقية بين صفر و 1 ، وبالتالي فإن القيم الحقيقية ، التي تحتوي على الأعداد الطبيعية ، يجب أن تكون أكبر مجموعة لانهائية.

المصطلح التقني لحجم مجموعة لانهائية هو "أصلها". توضح الحجة القطرية أن العلاقة الأساسية للريال أكبر من العلاقة الأساسية للأرقام الطبيعية. تمت كتابة أصل الأعداد الطبيعية $ latex aleph_0 $ ، وتُنطق "aleph naught". في النظرة القياسية للرياضيات ، هذا هو أصغر عدد لا نهائي من الكاردينال.

الكاردينال اللانهائي التالي هو $ latex aleph_1 $ ("aleph one") ، وقد أثار سؤال تم طرحه ببساطة حير علماء الرياضيات لأكثر من قرن: هل $ latex aleph_1 $ هو أصل الأرقام الحقيقية؟ بمعنى آخر ، هل هناك أي لانهايات أخرى بين الأعداد الطبيعية والأرقام الحقيقية؟ اعتقد كانتور أن الإجابة كانت لا - تأكيد أصبح يعرف باسم فرضية الاستمرارية - لكنه لم يكن قادرًا على إثبات ذلك. في أوائل القرن العشرين ، كان هذا السؤال مهمًا للغاية لدرجة أنه عندما وضع ديفيد هيلبرت قائمته الشهيرة التي تضم 1900 مشكلة مفتوحة مهمة في الرياضيات ، كانت الفرضية المتصلة هي رقم واحد.

بعد مائة عام ، تم إحراز تقدم كبير ، لكن هذا التقدم أدى إلى ألغاز جديدة. في عام 1940 المنطق الشهير أثبت كورت جودل أنه بموجب القواعد المقبولة عمومًا لنظرية المجموعات ، من المستحيل إثبات وجود لانهاية بين الأعداد الطبيعية والأعداد الحقيقية. قد يبدو هذا كخطوة كبيرة نحو إثبات صحة فرضية الاستمرارية ، ولكن بعد عقدين من الزمان ، عالم الرياضيات بول كوهين ثبت أنه من المستحيل إثبات عدم وجود مثل هذا اللانهاية! اتضح أن فرضية الاستمرارية لا يمكن إثباتها بطريقة أو بأخرى.

أسست هذه النتائج معًا "استقلالية" فرضية الاستمرارية. هذا يعني أن القواعد المقبولة عمومًا للمجموعات لا تقول ما يكفي لتخبرنا ما إذا كان هناك ما لا نهاية بين الأعداد الطبيعية والحقيقية أم لا. ولكن بدلاً من تثبيط علماء الرياضيات في سعيهم لفهم اللانهاية ، فقد قادهم في اتجاهات جديدة. يبحث علماء الرياضيات الآن عن قواعد أساسية جديدة للمجموعات اللانهائية التي يمكن أن تشرح ما هو معروف بالفعل عن اللانهاية وتساعد في سد الفجوات.

إن قول "حبي لك مستقل عن البديهيات" قد لا يكون ممتعًا مثل قول "أحبك بلا حدود زائد 1" ، ولكن ربما سيساعد الجيل القادم من علماء الرياضيات المحبين لما لا نهاية في الحصول على نوم جيد ليلاً.

تمارين

1. لنفترض أن $ latex T = {1,3,5,7،XNUMX،XNUMX،XNUMX ،…} $ ، مجموعة الأعداد الطبيعية الفردية الموجبة. هو T أكبر من ، أو أصغر ، أو بنفس الحجم مثل ، مجموعة الأعداد الطبيعية؟

2. ابحث عن تطابق 1 إلى 1 بين مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ ومجموعة الأعداد الصحيحة $ latexmathbb {Z} = {…، -3، -2، -1,0,1,2,3،XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX، …} $.

3. أوجد دالة $ latex f (x) $ تمثل انحيازًا بين مجموعة الأعداد الحقيقية بين صفر و 1 ومجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر من الصفر.

4. أوجد دالة تمثل انحيازًا بين مجموعة الأعداد الحقيقية بين صفر و 1 ومجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

انقر للإجابة 1:

انقر للإجابة 2:

انقر للإجابة 3:

انقر للإجابة 4: