لم يكن إسحاق نيوتن معروفًا بكرمه للروح ، وكان ازدرائه لمنافسيه أسطوريًا. ولكن في رسالة واحدة إلى منافسه جوتفريد لايبنيز ، المعروف الآن باسم Epistola الخلفي، يأتي نيوتن على أنه حنين وودود تقريبًا. في ذلك ، يروي قصة من أيام دراسته ، عندما كان قد بدأ لتوه في تعلم الرياضيات. يروي كيف قام باكتشاف كبير يساوي المساحات الواقعة تحت المنحنيات بالمجموع اللانهائية من خلال عملية التخمين والتحقق. منطقه في الرسالة ساحر للغاية ويمكن الوصول إليه ، فهو يذكرني بألعاب التخمين التي يحب الأطفال الصغار لعبها.
بدأ كل شيء عندما قرأ نيوتن الصغير كتاب جون واليس Arithmetica Infinitorum ، عمل أساسي للرياضيات في القرن السابع عشر. وقد أدرج واليس طريقة جديدة واستقرائية لتحديد قيمة باي، وأراد نيوتن ابتكار شيء مماثل. لقد بدأ بمشكلة إيجاد مساحة "القطعة الدائرية" ذات العرض القابل للتعديل اللاتكس $ x $. هذه هي المنطقة الموجودة أسفل دائرة الوحدة، والمحددة بـ $latex y=sqrt{1-x^2}$، والتي تقع فوق جزء المحور الأفقي من 0 إلى اللاتكس $ x $. هنا اللاتكس $ x $ يمكن أن يكون أي عدد من 0 إلى 1 ، و 1 هو نصف قطر الدائرة. مساحة دائرة الوحدة هي pi ، كما يعلم نيوتن جيدًا ، ومتى اللاتكس دولار x = 1 دولار، فإن المساحة الواقعة أسفل المنحنى هي ربع دائرة الوحدة ، $ latexfrac {π} {4} $. لكن بالنسبة للقيم الأخرى اللاتكس $ x $لم يكن هناك شيء معروف.
إذا تمكن نيوتن من إيجاد طريقة لتحديد المنطقة الواقعة أسفل المنحنى لكل قيمة ممكنة لـ اللاتكس $ x $, قد يمنحه وسيلة غير مسبوقة لتقريب pi. كانت هذه في الأصل خطته الكبرى. ولكن على طول الطريق وجد شيئًا أفضل: طريقة لاستبدال المنحنيات المعقدة بمجموعات لا حصر لها من وحدات البناء الأبسط المصنوعة من قوى اللاتكس $ x $.
كانت الخطوة الأولى لنيوتن هي التفكير بالقياس. بدلاً من الاستهداف المباشر لمنطقة المقطع الدائري ، قام بفحص مناطق المقاطع المماثلة التي تحدها المنحنيات التالية:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
علم نيوتن أن المساحات الموجودة أسفل المنحنيات في القائمة ذات قوى العدد الصحيح (مثل $ latex frac {0} {2} = 0 $ و $ latex frac {2} {2} = 1 $) سيكون من السهل حسابها ، لأنها تبسط جبريًا. فمثلا،
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
وبالمثل،
لكن لا يتوفر مثل هذا التبسيط لمعادلة الدائرة - $ latex y_1 = sqrt {1-x ^ 2} = (1-x ^ 2) ^ frac {1} {2} $ - أو المنحنيات الأخرى بنصف قوى. في ذلك الوقت ، لم يكن أحد يعرف كيفية العثور على المنطقة الواقعة تحت أي منها.
لحسن الحظ ، كانت المناطق الواقعة تحت المنحنيات ذات قوى العدد الصحيح واضحة ومباشرة. خذ المنحنى $ latex y_4 = 1-2x ^ 2 + x ^ 4 $. سمحت قاعدة معروفة في ذلك الوقت لمثل هذه الوظائف لنيوتن (وأي شخص آخر) بالعثور على المنطقة بسرعة: لأي قوة عدد صحيح $ latex nge 0 $ ، المنطقة الواقعة أسفل المنحنى $ latex y = x ^ n $ over الفاصل من اللاتكس $ 0 $ إلى اللاتكس $ x $ تم الحصول عليه من خلال $ latex frac {x ^ {n + 1}} {n + 1} $. (كان واليس قد خمّن هذه القاعدة بطريقته الاستقرائية ، وأثبت بيير دي فيرمات ذلك بشكل قاطع.) متسلحًا بهذه القاعدة ، عرف نيوتن أن المنطقة الواقعة تحت المنحنى $ latex y_4 $ كانت $ latex x- frac {2x ^ 3} {3 } + frac {x ^ 5} {5} $.
سمحت له القاعدة نفسها بإيجاد المنطقة الواقعة أسفل المنحنيات الأخرى بقوى العدد الصحيح في القائمة أعلاه. لنكتب $ latex A_n $ للمنطقة الواقعة أسفل المنحنى $ latex y_n = (1-x ^ 2) ^ frac {n} {2} $ ، حيث $ latex n = 0، 1، 2،… $. تطبيق القاعدة ينتج
اللاتكس $ A_0 = x $
$ latex A_1 = hspace {.295em}؟ $
$ latex A_2 = x -frac {1} {3} x ^ 3 $
$ latex A_3 = hspace {.295em}؟ $
اللاتكس $ A_4 = x -frac {2} {3} x ^ 3 + frac {1} {5} x ^ 5 $
اللاتكس $ A_5 = hspace {.295em}؟ $
$ latex A_6 = x -frac {3} {3} x ^ 3 + frac {3} {5} x ^ 5 - frac {1} {7} x ^ 7 $
وهلم جرا. كانت فكرة نيوتن المبتكرة هي ملء الفجوات ، على أمل تخمين $ latexA_1 $ (سلسلة المنطقة غير المعروفة من المقطع الدائري) بناءً على ما يمكن أن يراه في السلسلة الأخرى. كان هناك شيء واحد واضح على الفور: كل $ latexA_n $ بدأ ببساطة بـ $ latex x $. اقترح ذلك تعديل الصيغ كما يلي:
اللاتكس $ A_0 = x $
$ latex A_1 = xhspace {.247em} -hspace {.247em}؟ $
$ latex A_2 = x -frac {1} {3} x ^ 3 $
$ latex A_3 = xhspace {.247em} -hspace {.247em}؟ $
اللاتكس $ A_4 = x -frac {2} {3} x ^ 3 + frac {1} {5} x ^ 5 $
$ latex A_5 = xhspace {.247em} -hspace {.247em}؟ $
$ latex A_6 = x -frac {3} {3} x ^ 3 + frac {3} {5} x ^ 5 - frac {1} {7} x ^ 7 $.
بعد ذلك ، لاستبدال الدفعة التالية من علامات الاستفهام ، نظر نيوتن إلى شروط $ latex x ^ 3 $. مع القليل من الترخيص ، يمكننا أن نرى أنه حتى $ latexA_0 $ يحتوي على أحد هذه المصطلحات التكعيبية ، حيث يمكننا إعادة كتابته كـ $ latex A_0 = x-frac {0} {3} x ^ 3 $. كما أوضح نيوتن لـ Leibniz ، لاحظ أن "المصطلحات الثانية $ latex frac {0} {3} x ^ 3، frac {1} {3} x ^ 3، frac {2} {3} x ^ 3، frac { 3} {3} × ^ 3 $ وما إلى ذلك ، كانت في تقدم حسابي ”(كان يشير إلى 0 ، 1 ، 2 ، 3 في البسط). مشتبهًا في أن هذا التقدم الحسابي قد يمتد إلى الفجوات أيضًا ، اعتقد نيوتن أن التسلسل الكامل للبسط ، المعروف وغير المعروف ، يجب أن يكون أرقامًا مفصولة بـ $ latex frac {1} {2} (0، frac {1} {2 }، 1، frac {3} {2}، 2، frac {5} {2}، 3…) $ "ومن هنا كان أول فترتين من السلسلة" كان مهتمًا بهما - لا يزال غير معروف $ latex A_1 $ و $ latex A_3 $ و $ latex A_5 $ - "يجب أن يكون $ latex x- frac {1} {3} (frac {1} {2} x ^ 3) و x-frac {1} {3} (frac {3} {2} x ^ 3) ، x-frac {1} {3} (frac {5} {2} x ^ 3) $ ، إلخ. "
وهكذا ، في هذه المرحلة ، اقترحت الأنماط على نيوتن أن يبدأ $ latex A_1 $ على هذا النحو
$ latex A_1 = x-frac {1} {3} (frac {1} {2} x ^ 3) +… $.
كانت هذه بداية جيدة ، لكنه كان بحاجة إلى المزيد. أثناء بحثه عن أنماط أخرى ، لاحظ نيوتن أن القواسم في المعادلات تحتوي دائمًا على أرقام فردية بترتيب متزايد. على سبيل المثال ، انظر إلى $ latex A_6 $ ، الذي يحتوي على 1 و 3 و 5 و 7 في مقاماته. نجح هذا النمط نفسه مع $ latex A_4 $ و $ latex A_2 $. بسيطا بما فيه الكفاية. يبدو أن هذا النمط استمر في جميع قواسم جميع المعادلات.
ما تبقى هو إيجاد نمط في البسط. فحص نيوتن $ latex A_2 $ و $ latex A_4 $ و $ latex A_6 $ مرة أخرى ولاحظ شيئًا ما. في $ latex A_2 = x-frac {1} {3} x ^ 3 $ ، رأى 1 يضاعف $ latex x $ و 1 في المصطلح $ latexfrac {1} {3} x ^ 3 $ (تجاهل ذلك علامة سلبية في الوقت الحالي). في $ latex A_4 = x-frac {2} {3} x ^ 3 + frac {1} {5} x ^ 5 $ ، رأى البسط من 1 ، 2 ، 1. وفي $ latex A_6 = x-frac { 3} {3} x ^ 3 + frac {3} {5} x ^ 5 -frac {1} {7} x ^ 7 $ ، رأى البسط 1 ، 3 ، 3 ، 1. يجب أن تكون هذه الأرقام مألوفة لأي شخص من درس في أي وقت مضى مثلث باسكال ، وهو ترتيب ثلاثي من الأرقام يتم إنشاؤه ، في أبسط صوره ، عن طريق جمع الأرقام أعلاه معًا ، بدءًا من 1 في الأعلى.
بدلاً من استدعاء باسكال ، أشار نيوتن إلى هذه البسط على أنها "قوى الرقم 11." على سبيل المثال ، 112 = 121 ، وهو الصف الثاني في المثلث ، و 113 = 1331 وهو الثالث. في الوقت الحاضر ، تسمى هذه الأرقام أيضًا المعاملات ذات الحدين. تنشأ عندما توسع قوى ذات الحدين مثل (اللاتكس $ a + b $) ، كما في $ latex (a + b) ^ 3 = 1a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + 1b ^ 3 $. مع وجود هذا النمط في متناول اليد ، أصبح لدى نيوتن الآن طريقة سهلة لكتابة $ latex A_2 و A_4 و A_6 $ وجميع الأرقام الزوجية الأخرى Aالصورة.
بعد ذلك ، لاستنباط نتائجه إلى نصوص نصف القوى والأرقام الفردية (والوصول أخيرًا إلى السلسلة التي يريدها ، اللاتكس $ A_1 $) ، احتاج نيوتن إلى توسيع مثلث باسكال إلى نظام جديد رائع: في منتصف المسافة بين الصفوف. لإجراء الاستقراء ، اشتق معادلة عامة للمعاملات ذات الحدين في أي صف معين من مثلث باسكال - الصف $ latex m $ - ثم تم توصيله بجرأة بـ $ latex m = frac {1} {2} $. والمثير للدهشة أنها نجحت. أعطاه هذا البسط في السلسلة التي كان يبحث عنها لدائرة الوحدة ، $ latexA_1 $.
هنا ، وبكلمات نيوتن الخاصة ، هو ملخصه لـ Leibniz للأنماط التي لاحظها بشكل استقرائي حتى هذه المرحلة في الحجة:
بدأت أفكر في أن القواسم 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، إلخ ، كانت في تقدم حسابي ، لذا فإن المعاملات العددية للبسط لا تزال بحاجة إلى التحقيق. لكن في المناطق المعطاة بالتناوب ، كانت هذه هي أرقام القوى للرقم 11 ... أي أولاً "1" ؛ ثم "1 ، 1" ؛ ثالثًا ، "1 ، 2 ، 1" ؛ رابعًا "1، 3، 3، 1" ؛ خامساً "1 ، 4 ، 6 ، 4 ، 1" وهكذا بدأت في الاستفسار عن كيفية اشتقاق الأرقام المتبقية في السلسلة من أول رقمين معطى ، ووجدت أنه عند وضع $ latex m $ للثانية الشكل ، سيتم إنتاج الباقي عن طريق الضرب المستمر لشروط هذه السلسلة ،
$ latex frac {m-0} {1} مرات frac {m-1} {2} مرات frac {m-2} {3} مرات frac {m-3} {4} مرات frac {m-4} {5 } $ ، إلخ.
... وفقًا لذلك ، طبقت هذه القاعدة على تداخل السلاسل بين السلاسل ، وبما أن المصطلح الثاني بالنسبة للدائرة هو $ latex frac {1} {3} (frac {1} {2} x ^ 3) $ ، فقد وضعت $ latex m = frac {1} {2} $ ، وكانت المصطلحات الناشئة
$ latex frac {1} {2} times frac {frac {1} {2} -1} {2} $ or $ latex -frac {1} {8} $،
$ latex -frac {1} {8} times frac {frac {1} {2} -2} {3} $ or $ latex + frac {1} {16} $،
$ latex frac {1} {16} times frac {frac {1} {2} -3} {4} $ or $ latex - frac {5} {128} $،لذلك إلى ما لا نهاية. من هنا أدركت أن مساحة القطعة الدائرية التي أردتها كانت
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
أخيرًا ، بإدخال $ latex x = 1 $ ، يمكن لنيوتن الحصول على مبلغ لا نهائي من $ latexfrac {π} {4} $. لقد كان اكتشافًا مهمًا ، ولكن اتضح أن هناك طرقًا أفضل لتقريب pi عن طريق مبلغ لانهائي ، كما اكتشف نيوتن نفسه قريبًا بعد هذه الغزوة الأولية لهذه الأنواع من المبالغ اللانهائية ، والتي تسمى الآن سلسلة القوة. في النهاية قام بحساب أول 15 رقمًا من pi.
بالعودة إلى مشكلة المقطع الدائري ، أدرك نيوتن أن معادلة الدائرة نفسها (وليس فقط المساحة الموجودة تحتها) يمكن تمثيلها أيضًا بسلسلة قوى. كل ما كان عليه فعله هو حذف القواسم وتقليل قوى $ latex x $ بمقدار 1 في سلسلة الطاقة المعروضة أعلاه. وهكذا كان يقود إلى تخمين ذلك
لاختبار ما إذا كانت هذه النتيجة منطقية ، قام نيوتن بضربها بنفسه: "أصبحت $ latex 1-x ^ 2 $ ، واختفت المصطلحات المتبقية مع استمرار السلسلة إلى اللانهاية."
بالتراجع قليلاً عن التفاصيل ، نرى عدة دروس هنا حول حل المشكلات. إذا كانت المشكلة صعبة للغاية ، فقم بتغييرها. إذا بدا الأمر محددًا جدًا ، قم بتعميمه. فعل نيوتن كليهما وحصل على نتائج أكثر أهمية وأقوى مما سعى إليه في الأصل.
لم يركز نيوتن بعناد على ربع دائرة. نظر إلى شكل أكثر عمومية ، أي قطعة دائرية بعرض $ latex x $. بدلاً من التمسك بـ $ latex x = 1 $ ، سمح لـ $ latex x $ بالتشغيل بحرية من 0 إلى 1. وكشف ذلك عن الطابع ذي الحدين للمعاملات في سلسلته - الظهور غير المتوقع للأرقام في مثلث باسكال وتعميماتها - والتي دع نيوتن يرى الأنماط التي فاتها واليس وآخرون. بعد ذلك ، أعطت رؤية هذه الأنماط نيوتن الأفكار التي يحتاجها لتطوير نظرية سلسلة الطاقة على نطاق أوسع وعموم.
في عمله اللاحق ، أعطته سلسلة نيوتن القوية سكين الجيش السويسري لحساب التفاضل والتكامل. باستخدامهم ، يمكنه عمل التكاملات ، وإيجاد جذور المعادلات الجبرية ، وحساب قيم الجيب وجيب التمام واللوغاريتمات. على حد تعبيره ، "بمساعدتهم ، يصل التحليل ، تقريبًا ، إلى جميع المشكلات."
المعنوي: تغيير المشكلة ليس الغش. إنه مبدع. وقد يكون المفتاح لشيء أعظم.
