كيف تحرك الرياضيات البسيطة الإبرة | مجلة كوانتا

تخيل أنك تتدحرج في الشارع بسيارة ذاتية القيادة عندما ترى مشكلة أمامك. مر سائق توصيل من أمازون بشاحنته في منتصف الطريق أمام شاحنة UPS متوقفة مرتين قبل أن يدرك أنه لا يستطيع المرور. الآن هم عالقون. و انت ايضا.

الشارع ضيق جدًا بحيث لا يمكنك الانعطاف على شكل حرف U، لذلك تبدأ سيارتك المعززة بالذكاء الاصطناعي في الانعطاف بثلاث نقاط. أولاً، تأخذ السيارة مسارًا منحنيًا باتجاه أحد الرصيف. وبمجرد الوصول إلى هناك، فإنه يتجه في الاتجاه الآخر ويعود إلى الرصيف المقابل. ثم يقوم بإدارة عجلة القيادة للخلف في اتجاه مسار الانحناء الأول، والقيادة للأمام وبعيدًا عن العائق.

يمكن أن تساعدك هذه الخوارزمية الهندسية البسيطة للقيام بالمنعطفات المتوسطة على التجول في المواقف الصعبة. (إذا كنت قد ركنت سيارتك بشكل متوازٍ في أي وقت مضى، فأنت تعرف ما يمكن أن يفعله لك هذا الاهتزاز ذهابًا وإيابًا.)

هناك مسألة رياضية ممتعة هنا حول مقدار المساحة التي تحتاجها لقلب سيارتك، وقد عمل علماء الرياضيات على نسخة مثالية منها لأكثر من 100 عام. بدأ الأمر في عام 1917 عندما طرح عالم الرياضيات الياباني سويتشي كاكيا مشكلة تشبه إلى حد ما ازدحام المرور لدينا. لنفترض أن لديك إبرة رفيعة للغاية طولها 1. ما هي مساحة أصغر منطقة يمكنك فيها تدوير الإبرة 180 درجة وإعادتها إلى موضعها الأصلي؟ يُعرف هذا بمسألة إبرة كاكيا، ولا يزال علماء الرياضيات يدرسون أشكالًا مختلفة منها. دعونا نلقي نظرة على الهندسة البسيطة التي تجعل مسألة إبرة كاكيا مثيرة للاهتمام ومدهشة للغاية.

مثل العديد من المسائل الرياضية، تتضمن هذه المشكلة بعض الافتراضات المبسطة التي تجعلها أقل واقعية ولكن أكثر قابلية للإدارة. على سبيل المثال، طول السيارة وعرضها مهمان أثناء القيادة، لكننا سنفترض أن طول الإبرة هو 1 وعرضها صفر. (وهذا يعني أن مساحة الإبرة نفسها تساوي صفرًا، وهو ما يلعب دورًا مهمًا في السماح لنا بحل المشكلة.) وسنفترض أيضًا أن الإبرة، على عكس السيارة، يمكنها أن تدور حول نهايتها الأمامية، أو نهايتها الخلفية. ، أو أي نقطة بينهما.

الهدف هو العثور على أصغر منطقة تسمح للإبرة بالدوران 180 درجة. قد يكون العثور على أصغر شيء يلبي مجموعة معينة من الشروط أمرًا صعبًا، ولكن الطريقة الجيدة للبدء هي البحث عن أي شيء يلبي تلك الشروط ورؤية ما يمكنك تعلمه على طول الطريق. على سبيل المثال، الإجابة السهلة هي تدوير الإبرة 180 درجة حول نقطة النهاية، ثم تحريكها للأعلى مرة أخرى. يؤدي هذا إلى إرجاع الإبرة إلى موضعها الأصلي، لكنها تشير الآن إلى الاتجاه المعاكس، كما تتطلب مشكلة إبرة Kakeya.

المنطقة المطلوبة للدوران هي نصف دائرة نصف قطرها 1، وتبلغ مساحتها $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} باي = فارك{بي}{2}$. لذلك وجدنا منطقة واحدة تعمل.

يمكننا أن نفعل ما هو أفضل من خلال الاستفادة من قدرة إبرتنا الرياضية السحرية على الدوران حول أي نقطة. بدلًا من تدويره حول نقطة النهاية، دعنا نديره حول نقطة المنتصف.

يمكنك أن تسمي هذه بوصلة كاكيا: تبدأ إبرتنا بالإشارة إلى الشمال، ولكن بعد الدوران تكون في نفس المكان ولكنها تشير إلى الجنوب. هذه المنطقة عبارة عن دائرة نصف قطرها $latex frac{1}{2}$، لذا فإن مساحتها هي $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =فارك{بي}{4}$. هذه نصف مساحة منطقتنا الأولى، لذا فإننا نحرز تقدمًا.

اين التالي؟ يمكننا أن نستلهم من معضلة السيارة ذاتية القيادة التي نواجهها ونفكر في استخدام شيء مثل الدوران ثلاثي النقاط للإبرة. هذا في الواقع يعمل بشكل جيد.

المنطقة التي يتم مسحها بواسطة الإبرة باستخدام هذه التقنية تسمى الدالية، وهي أيضًا تلبي متطلبات كاكيا. تتطلب حساب مساحتها أكثر من الهندسة الأولية التي نناقشها هنا (معرفة المنحنيات البارامترية تساعد)، لكن اتضح أن مساحة هذه العضلة الدالية تحديدًا - تلك التي تم مسحها بقطعة خطية بطول 1 - هي بالضبط $لاتكس فارك {بي} {8} $. الآن لدينا منطقة أصغر يمكننا أن ندير فيها إبرة كاكيا، ويمكننا أن نسامحك إذا اعتقدت أن هذا هو أفضل ما يمكننا القيام به. يعتقد كاكيا نفسه أنه قد يكون كذلك.

لكن مشكلة الإبرة هذه أخذت منعطفًا كبيرًا عندما اكتشف عالم الرياضيات الروسي أبرام بيسكوفيتش أنه يمكنك القيام بعمل أفضل بلا حدود. لقد توصل إلى إجراء لتقليص الأجزاء غير الضرورية من المنطقة حتى تصبح صغيرة كما يريد.

العملية تقنية ومعقدة، لكن إحدى الاستراتيجيات المبنية على فكرة بيسكوفيتش تعتمد على فكرتين بسيطتين. أولاً، ضع في اعتبارك المثلث الأيمن أدناه، الذي يبلغ ارتفاعه 1 وقاعدته 2.

في الوقت الحالي، سننسى أمر تدوير الإبرة بالكامل ونركز فقط على حقيقة واحدة بسيطة: إذا وضعنا إبرة طولها 1 في الرأس العلوي، فإن المثلث كبير بما يكفي للسماح للإبرة بالدوران 90 درجة كاملة. درجات من جهة إلى أخرى.

نظرًا لأن مساحة المثلث هي $latex A=frac{1}{2}bh$، فإن مساحة هذا المثلث $latex A=frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$.

والآن، إليكم الفكرة المهمة الأولى: يمكننا تقليل مساحة المنطقة مع الحفاظ على الدوران بمقدار 90 درجة. الإستراتيجية بسيطة: نقطع المثلث من المنتصف، ثم ندفع النصفين معًا.

يجب أن تكون مساحة هذا الشكل الجديد أقل من الشكل الأصلي لأن أجزاء المثلث تتداخل الآن. في الواقع، من السهل حساب مساحة الشكل: إنها مجرد ثلاثة أرباع مربع الضلع 1، وبالتالي فإن المساحة $latex A = frac{3}{4}$، وهي أقل من مساحة الشكل المثلث الذي بدأنا به.

ولا يزال بإمكاننا توجيه الإبرة في جميع الاتجاهات نفسها كما في السابق. هناك مشكلة واحدة فقط: لقد تم تقسيم الزاوية الأصلية إلى قسمين، لذلك تم تقسيم هذه الاتجاهات الآن إلى منطقتين منفصلتين.

إذا كانت الإبرة على الجانب الأيسر من المنطقة الجديدة فيمكننا تدويرها 45 درجة بين الجنوب والجنوب الشرقي، وإذا كانت على اليمين يمكننا تدويرها 45 درجة بين الجنوب والجنوب الغربي، ولكن بما أن الجزأين منفصلان ، لا يبدو أنه يمكننا تدويره بمقدار 90 درجة كما فعلنا من قبل.

وهنا تأتي الفكرة المهمة الثانية. هناك طريقة خادعة لنقل الإبرة من جانب إلى آخر ولا تتطلب مساحة كبيرة. في لعبة الشطرنج، قد تعلم أن الفارس يتحرك على شكل حرف L. حسنًا، ستتحرك الإبرة على شكل حرف N.

وإليك كيف يتم ذلك. أولاً، تنزلق الإبرة لأعلى جانب واحد من حرف N. ثم تدور لتشير على طول القطر وتنزلق لأسفل. ثم يدور مرة أخرى وينهي رحلته بالانزلاق للأعلى على الجانب الآخر من N.

في البداية قد لا تبدو هذه الحركة على شكل حرف N كبيرة، ولكنها تفعل شيئًا مفيدًا للغاية. فهو يسمح للإبرة "بالقفز" من خط متوازي إلى آخر، مما سيساعدنا على نقل الإبرة من منطقة إلى أخرى. والأهم من ذلك أنها تفعل ذلك دون الحاجة إلى مساحة كبيرة. في الواقع، يمكنك جعلها تتطلب مساحة صغيرة كما تريد. هذا هو السبب.

تذكر أن عرض الإبرة يساوي صفرًا. لذا فإن أي خط تتحرك عليه الإبرة، للأمام أو للخلف، ستكون مساحته صفرًا. وهذا يعني أن المنطقة المطلوبة لتحريك الإبرة لأعلى أو لأسفل أو قطريًا على طول الشكل N ستكون مكونة من قطع بمساحة صفر.

وهذا يترك التدوير عند زوايا الشكل N.

هذه التحركات تتطلب مساحة. يمكنك رؤية قطاع صغير من الدائرة في كل زاوية. ولكن هنا هو الجزء المخادع: يمكنك جعل هذه المناطق أصغر عن طريق إطالة حرف N.

صيغة مساحة قطاع الدائرة هي $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$، حيث $latex theta$ هو قياس زاوية القطاع بالدرجات. بغض النظر عن طول N، فإن نصف قطر القطاع سيكون دائمًا 1: هذا هو طول الإبرة. ولكن كلما زاد طول N، تتقلص الزاوية، مما يؤدي إلى تقليل مساحة القطاع. وبالتالي، يمكنك جعل المساحة الإضافية صغيرة كما تريد عن طريق تمديد N بقدر ما تحتاج إليه.

تذكر أننا تمكنا من تقليل مساحة المنطقة المثلثة عن طريق تقسيمها إلى قسمين وجعل القطع متداخلة. كانت المشكلة أن هذا يقسم الزاوية 90 درجة إلى جزأين منفصلين، مما يمنعنا من تدوير الإبرة 90 درجة كاملة. الآن يمكننا حل هذه المشكلة عن طريق وضع شكل N مناسب للتأكد من أن الإبرة لها مسار من جانب إلى آخر.

في هذه المنطقة المحدثة، لا يزال بإمكان الإبرة تدوير 90 درجة كاملة كما كان من قبل، ويحدث الآن على مرحلتين. أولاً، تدور الإبرة بزاوية 45 درجة وتصطف مع الحافة الرأسية على اليسار. بعد ذلك، يتحرك على طول الشكل N للوصول إلى الجانب الآخر. بمجرد وصولها إلى هناك، يمكنك تدوير الـ 45 درجة الأخرى مجانًا.

يؤدي هذا إلى تحريك الإبرة بمقدار 90 درجة، وللحفاظ على دورانها، ما عليك سوى إضافة نسخ مستديرة من المنطقة.

مع إضافة أشكال N المناسبة، يمكن للإبرة أن تقفز من شبه جزيرة مثلثة إلى أخرى، وتدور نفسها شيئًا فشيئًا حتى تصل إلى كل مكان، تمامًا مثل السيارة التي تقوم بدورة ثلاثية النقاط.

هناك المزيد من الرياضيات الشيطانية في التفاصيل، لكن هاتين الفكرتين - أننا نستطيع تقليل مساحة المنطقة الأصلية باستمرار عن طريق تقطيعها وتحريكها مع ضمان قدرتنا على الانتقال من قطعة إلى قطعة باستخدام أشكال N الصغيرة بشكل تعسفي - تساعدنا حرك الإبرة في منطقة تتقلص باستمرار والتي يمكن أن تكون في النهاية صغيرة كما تريد.

يبدأ النهج الأكثر شيوعًا لبناء هذا النوع من المناطق بمثلثات متساوية الأضلاع ويستخدم "أشجار بيرون"، وهي طرق ذكية لتقطيع المثلثات وتمديدها وتحريك القطع معًا مرة أخرى. والنتيجة مذهلة للغاية.

في الآونة الأخيرة، علماء الرياضيات احرز تطورا على أشكال جديدة من هذه المشكلة القديمة، في أبعاد أعلى ومع مفاهيم مختلفة للحجم. ربما لن نرى أبدًا سيارة تعمل بالذكاء الاصطناعي تتتبع منعطفًا يشبه نقطة إبرة كاكيا، لكن لا يزال بإمكاننا تقدير جمال وبساطة قربها من العدم.

تمارين

1. ما هي مساحة أصغر مثلث متساوي الأضلاع الذي يمكن استخدامه كمجموعة إبرة Kakeya؟

2. يمكنك القيام بعمل أفضل قليلاً من المثلث متساوي الأضلاع في التمرين 1 باستخدام "مثلث رولو"، وهي منطقة مكونة من ثلاثة قطاعات دائرية متداخلة. ما هي مساحة أصغر مثلث رولو المناسب؟