الأهداف و مهمة اللغز الشهر الماضي كان لإنقاذ ستار تريك ثمانية السطح بقيادة مشروع موظف الاتصالات الملازم اوهورا (لعبت من قبل الراحل Nichelle نيكولز). تم سجن الطاقم من قبل جنس فضائي ، كاتيناتي ، على كوكب في قلادة السديم. للهروب ، يتعين عليهم تعظيم احتمالية أداء مهمة يبدو في البداية أنها تقدم فقط احتمالية كئيبة للنجاح.
يتم إبلاغ الطاقم المكون من ثمانية أفراد بالمهمة أثناء احتجازهم مؤقتًا في غرفة مشتركة حيث يكونون أحرارًا في التواصل ووضع الاستراتيجيات. في غضون ساعات قليلة ، سيتم توجيههم ، واحدًا تلو الآخر ، إلى غرفة تسمى غرفة الروليت. تحتوي هذه الغرفة على ثمانية أزرار مرتبة على التوالي ، كل منها مبرمج للاستجابة لأفراد الطاقم المختلفين. لتضليل الطاقم ، يتم تسمية كل زر بشكل عشوائي باسم عضو آخر من أفراد الطاقم. يُسمح لكل فرد من أفراد الطاقم بالضغط على ما يصل إلى أربعة أزرار بأي ترتيب. عندما يضغطون على زر ، سيرون من ينتمي هذا الزر حقًا. خلال محاولاتهم الأربع ، عليهم العثور على الزر المخصص لهم. لكي يتم إطلاق سراح الطاقم ، يجب أن ينجحوا جميعًا في هذه المهمة. إذا فشل أحدهم ، فسيتم إعدام الجميع. بعد أن يكمل أحد أفراد الطاقم محاولته ، يجب عزلهم دون أي وسيلة لتمرير المعلومات إلى أي من زملائهم في الطاقم.
تبدو فرص النجاح ضئيلة. إذا اختار أعضاء الطاقم الأزرار بشكل عشوائي ، فسيكون لكل منهم فرصة 1 من 2 للعثور على الزر الخاص بهم. فرصة نجاح الثمانية جميعًا هي 1 فقط من كل 256 ، أو حوالي 0.4٪.
لكن لا يتعين عليهم الضغط على الأزرار بشكل عشوائي. يمكن أن تكون إحدى الطرق لزيادة احتمالية النجاح هي إخراج كل ضغطات الزر بطريقة ما. هذا يقودنا إلى أول سؤال أحجية.
لغز 1
إلى أي مدى يمكن تحسين احتمالية بقاء الطاقم إذا تأكدوا من الضغط على كل زر بشكل متساوٍ (بدلاً من الضغط على أي أربعة أزرار بشكل عشوائي)؟
روب كورليت و جباييت أجابوا على هذا جيدًا ، كما فعلوا جميع الأسئلة الأخرى. بالنسبة للفكرة المركزية المراوغة وراء الألغاز في هذا العمود ، فإن Rob Corlett و JPayette و جوني سيبانين وصفها بشكل جميل ، بينما ساشا بجنون ساهم في حل الكمبيوتر.
إليكم إجابة روب كورليت:
تتمثل إحدى طرق ضمان الضغط على كل زر لعدد متساوٍ من المرات في فصل السجناء إلى مجموعتين متساويتين الحجم من 4.
كل مجموعة تضغط فقط على الأزرار المقابلة لأعضاء مجموعتها. وبالتالي ، إذا كانت A و B و C و D كلها في نفس المجموعة الفرعية ، فإنهم يضغطون فقط على الأزرار الخاصة بـ A و B و C و D.
هذا يغير المشكلة إلى طلب احتمالية تخصيص كل سجين للمجموعة الصحيحة حيث يضمن لهم حينئذ الضغط على زرهم في أربع ضغطات أو أقل.
عدد طرق ملء المجموعة الأولى (وبالتالي المجموعة الثانية أيضًا) بأربعة أشخاص هو عدد طرق اختيار 4 من 8 وهو C (8 ، 4) = 70. لذلك ، إجمالي عدد طرق تقسيم الجميع إلى المجموعتين هو 70.
لا يوجد سوى تخصيص واحد يخصص بشكل صحيح كل سجين للمجموعة الصحيحة وبالتالي فإن احتمال أن يكون كل شخص في المجموعة الصحيحة وجميع السجناء على قيد الحياة هو 1/70 وهو أفضل 3.66 مرة من 1/256 من الاستراتيجية السابقة. [لكنها لا تزال صغيرة جدًا: فرصة 1.4٪ فقط.]
لغز 2
هناك طريقة لتحسين الاحتمالات الكئيبة الأصلية لأكثر من 90 ضعفًا ، إلى حوالي 36.5٪ ، وهو ما يبدو معجزة! تتضمن هذه الاستراتيجية استخدام حلقات أو سلاسل من التخمينات - ومن هنا جاءت الإشارات إلى سديم القلادة وكاتيناتي (سلسلة هي اللاتينية لسلسلة). في الشكل الأساسي للإستراتيجية ، يبدأ كل فرد من أفراد الطاقم بالضغط على الزر الذي يحمل اسمه ، ثم ينتقل إلى الزر الذي يحمل اسم عضو الطاقم الذي ينتمي إليه الزر الأول بالفعل ، وهكذا ، لإنشاء سلسلة من الأسماء.
دعونا نرى كيف يعمل هذا في الممارسة. في الرسم التخطيطي ، تظهر الأزرار مع تسمياتها باللون الأبيض. تظهر الأحرف الزرقاء أدناه المالكين الحقيقيين للأزرار. عندما تدخل أول عضوة في الطاقم ، A ، غرفة الروليت ، تضغط على الزر A أولاً. هذا هو زر C ، لذا تضغط على الزر C بعد ذلك ، ثم الزر E وأخيراً الزر F ، وهو في الواقع الزر الخاص بـ A ، لذلك نجحت في العثور عليه في أربع محاولات. لاحظ أن الأزرار ACEF تشكل حلقة مغلقة من أربعة أزرار. عندما يأخذ أفراد الطاقم C و E و F أدوارهم ، فسوف يتجولون أيضًا في نفس الحلقة المغلقة ، بدءًا من أماكنهم الخاصة ، وسيجدون أيضًا الأزرار الخاصة بهم في أربع محاولات.
يحتوي هذا الترتيب أيضًا على حلقتين أصغر من زرين لكل منهما: BD و GH. سيجد أفراد الطاقم الأربعة أزرارهم الخاصة في محاولتين. لذلك ، من خلال هذا الترتيب ، سيكون جميع أفراد الطاقم ناجحين ، وسيكونون قد حصلوا على حريتهم. من الواضح أنه إذا كان الترتيب يحتوي فقط على حلقات بطول 4 أو أقل ، فسيكون جميع أفراد الطاقم ناجحين وسيتم تحريرهم. من ناحية أخرى ، إذا كانت هناك حلقة واحدة من 5 أو أكثر ، فإن جميع أفراد الطاقم في تلك الحلقة سيفشلون في العثور على الزر الخاص بهم في أربع محاولات ، وسيتم تنفيذ الطاقم. من أجل إيجاد احتمالية النجاح ، يمكننا إيجاد احتمال وجود حلقة من 5 أو 6 أو 7 أو 8 ، ثم نجمعها ونطرح هذا المجموع من 1. وهذا أسهل في الحساب من الطريقة الأخرى لأنه بالنسبة لثمانية الأزرار ، يمكن أن يكون هناك حلقة واحدة فقط بها 5 أو 6 أو 7 أو 8 أعضاء.
هناك 8! طرق مختلفة لترتيب ثمانية أزرار. ولكن عندما نقوم بعمل حلقات ، فإن نفس الحلقة تمثل ثمانية من هذه الترتيبات (ABCDEFGH تشكل نفس الحلقة مثل BCDEFGHA ، والتي هي نفسها مثل CDEFGHAB ، وما إلى ذلك). لذا فإن احتمال وجود حلقة بحجم 8 هو (8! / 8) / 8! ، وهو ببساطة 1/8. وبالمثل ، فإن احتمال وجود حلقة بالحجم 7 هو 1/7 ، والحجم 6 هو 1/6 ، والحجم 5 هو 1/5. لذلك ، فإن احتمال نجاح طاقمنا الجريء هو 1 - (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) ، أو 36.5٪ ، كما ذكرنا سابقًا.
تعمل الإستراتيجية المذكورة أعلاه مع أي عدد من السجناء ، ويزداد التحسن في الاحتمالات على النهج العشوائي بسرعة مع زيادة هذا العدد. إنه حوالي سبعة أضعاف لأربعة سجناء ، 24 ضعفًا لستة سجناء ، 93 ضعفًا لثمانية ، ومذهل (3.8 × 10)29) - أضعاف مقابل 100 سجين. المفتاح لفهم هذه الزيادة الهائلة هو أن الطريقة تربط نجاح أو فشل كل عضو في المجموعة بنجاح الآخرين. إلى حد كبير جدًا ، ينجحون جميعًا أو يفشلون معًا. لا تنخفض احتمالية نجاح المجموعة كثيرًا عن تلك الخاصة بشخص واحد ، حيث تنخفض فقط من 50٪ لسجين واحد إلى 30.69٪ مع زيادة عدد السجناء بلا حدود. من ناحية أخرى ، فإن احتمال نجاح نهج عشوائي أو حتى أسلوب "الضغط على الزر الزوجي" ينخفض بسرعة إلى ما يقرب من الصفر حتى بالنسبة لعدد صغير من السجناء.
إذا كان المنطق وراء هذه الاستراتيجية لا يزال غامضًا ، فإليك تحليل مشكلة 100 سجين في هذا الأمر فيديو ممتاز من فيريتاسيوم.
لغز 3
كان هذا اللغز يتعلق بتذكر الملازم أوورا لعبة الطفولة ، والتي كانت في الأساس نفس اللغز ، ولكن لستة أشخاص. كتلميح ، اقترحت حل المشكلة لأربعة أشخاص. الآن بعد أن أصبح لدينا الصيغة ، يمكننا بسهولة حساب الاحتمالات.
بالنسبة لأربعة أشخاص ، فإن احتمال أن تكون أطول حلقة هي 2 أو 1 هو: 1 - (1/3 + 1/4) أو 41.7٪ مع كسب سبعة أضعاف على الاختيار العشوائي.
بالنسبة لستة أشخاص ، فإن احتمال أن تكون أطول حلقة هي 3 أو 2 أو 1 هي: 1 - (1/4 + 1/5 + 1/6) أو 38.3٪ مع كسب أكثر من 24 ضعفًا على الاختيار العشوائي.
لغز 4
مع استمرار قصتنا ، اتضح أن أحد Catenati قد أبدى كراهية خاصة لـ مشروع الطاقم ويقوم بمراقبتها عن بعد. إنه يشك في أنهم توصلوا إلى بعض الإستراتيجيات الفعالة بناءً على مخطط أوهورا. إنه مصمم على إحباط خطتهم عن طريق الانزلاق إلى الغرفة وتغيير ترتيب تسميات الأزرار عن عمد قبل بدء لعبة الروليت. هل يمكنه إحباط الخطة بنجاح؟ ما الذي يجب أن يكون طرف الهبوط حريصًا بشكل خاص على إخفائه؟
في وقت مبكر جدًا من مناقشة إستراتيجية الطاقم ، ضاقت عيون أوهور فجأة. أعطت إشارة لطاقمها ، وانتقلت إلى التحدث بلغة نيكوليز ، معلنة ، "كل مزيد من النقاش في نيكوليز ، من فضلك." كانت Nicholese لغة جديدة اخترعتها Uhura في وقت مبكر من حياتها المهنية لهذا النوع من المواقف ، للتحايل على استخدام المترجمين العالميين. وتابعت قائلة: "لا بد أنك لاحظت أن كاتيناتي المشبوهة". يمكن أن يحاول تخريبنا ، لذلك نحن بحاجة إلى تعديل خطتنا. إليك ما يتعين علينا القيام به ... "
حددت أوورا الخطة الجديدة حتى اقتنعت بأن كل فرد من أفراد طاقمها يعرفها جيدًا. ثم تأملت ، بنظرة بعيدة في عينيها ، "سميت نيكوليز على اسم ممثلة القرن العشرين الشهيرة. أنا سعيد لأنني أصررت على أن تجعل Starfleet معيارًا قياسيًا على جميع سفننا ".
عادت إلى الطاقم. هذا كل شيء ، أيها الضباط. أنت تعرف ماذا تفعل!"
لا نعرف بالضبط ما قالته أوورا لفريقها. لكن كان لدى جباييت وروب كورليت فكرة جيدة. هنا روب كورليت مرة أخرى:
إذا علم Catenati الشرير أنهم يستخدمون هذه الاستراتيجية ، فيمكنه تبديل الأسماء المعروضة على الشاشة لضمان وجود دورة أطول من 4.
لكسر هذا ، يحتاج السجناء إلى الموافقة على أمر سري يعشش التسلسل. يفعلون ذلك بقول شيء مثل "إذا رأيت اسم أوهورا ، فانتقل إلى الزر الذي يحمل علامة Chekov. إذا رأيت اسم Chekov معروضًا ، فانتقل إلى الزر الذي يحمل علامة Smith ، إلخ. "
بهذه الطريقة ، لا يهم إعادة الترتيب بواسطة Catenati لأنها تعمل فقط إذا كنت تعرف الطريقة التي سيستجيب بها الطاقم للأسماء الموجودة على شاشات العرض. يحتاجون إلى الحفاظ على سرية أي إعادة ترتيب ، وإلا يمكن كسرها مرة أخرى.
كما رأينا ، حرص أوهور على الحفاظ على السر. كان كل فرد من أفراد الطاقم بحاجة فقط إلى استخدام نفس الأمر السري والتأكد من أن كاتيناتي الشرير لا يعرف ما هو عليه. في الواقع ، أدى الترتيب الذي تم تغييره بواسطة Catenati الشرير إلى زيادة احتمال نجاح الطاقم!
هذا ما حدث. كان أوهورى أول من تم نقله إلى غرفة الروليت. ضغطت على ثلاثة أزرار. لا شيء لها. هل يجب أن تكون حزينة أم سعيدة؟ حبست أنفاسها وضغطت على رابعها. لقد وجدت زرها الحقيقي!
كانت تعلم أنهم جميعًا سيخلصون.
لغز 5
ما هو الحد الأقصى الذي يقترب منه الحد الأقصى لنسبة النجاح مع زيادة حجم الطرف المهبط إلى أجل غير مسمى؟ هل يمكنك شرح سبب كون هذه الطريقة أكثر فاعلية من الضغط العشوائي على الأزرار؟
كتب جباييت:
كل ما سبق يعمم بشكل مباشر على طاقم مكون من 2n الأعضاء المسموح لكل منهم بالضغط على الأكثر n أزرار. من Puzzle 2 ، نستنتج أن فرصة نجاحهم هي
1 - (مجموع k ما بين n + 1 و 2n من 1 /k).
يمكن مقارنة المجموع بتكامل 1 /x خلال الفاصل الزمني [n، 2n] ، مما يسمح لنا بإثبات ذلك n ينمو إلى ما لا نهاية ، يتناقص الاحتمال أعلاه ليقترب من 1 - ln (2) ≈ 30.6٪. [في الواقع 30.69٪ إلى منزلتين عشريتين.]
وأضاف روب كورليت:
إذا كنت لا تعرف التكامل ، يمكنك الحصول بسرعة على إجابة تقريبية عن طريق الحساب باستخدام جدول بيانات. وصلت إلى 0.307 مرة n وصلت إلى حوالي 750 وهو ما يعادل 3 منازل عشرية.
لقد أوضحنا بالفعل أعلاه سبب نجاح هذه الطريقة. يتم مشاركة جميع الحلقات التي يزيد طولها عن 1 بواسطة العديد من أعضاء الطاقم. لذا فإن نجاحاتهم وإخفاقاتهم مترابطة بشكل كبير. إنه توضيح لمبدأ "الكل للواحد ، والواحد للجميع". مباشرة من دليل Starfleet!
شكرا لجميع مساهمينا. قدم كل من JPayette و Rob Corlett إجابات جديرة بالجوائز جعلت عمود الحل هذا يبدو زائداً عن الحاجة. للأسف ، يجب أن ألتزم بقاعدتنا في اختيار فائز واحد لكل عمود من الألغاز. تذهب جائزة Insights إلى JPayette تقديراً للمساهمات هنا وفي اللغز السابق. تهانينا! روب كورليت ، لن تُنسى مساهماتك.
نراكم الشهر المقبل للحصول على رؤى جديدة!
