في القرن الثالث قبل الميلاد ، أرخميدس طرح لغز حول رعي الماشية ، ادعى أنه لا يمكن حله إلا شخص حكيم حقًا. تم تلخيص مشكلته في النهاية إلى معادلة تتضمن الفرق بين حدين تربيعين ، والذي يمكن كتابته على هيئة x2 - dy2 = 1. هنا ، d هو عدد صحيح - رقم عد موجب أو سالب - وكان أرخميدس يبحث عن حلين حيث كلاهما x و y هي أعداد صحيحة أيضًا.
هذه الفئة من المعادلات ، التي تسمى معادلات بيل ، قد أذهلت علماء الرياضيات على مدى آلاف السنين منذ ذلك الحين.
بعد عدة قرون من أرخميدس ، قدم عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا ، وبعد ذلك عالم الرياضيات بهاسكارا الثاني ، خوارزميات لإيجاد حلول صحيحة لهذه المعادلات. في منتصف القرن السابع عشر ، اكتشف عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرمات (الذي لم يكن على علم بهذا العمل) ذلك في بعض الحالات ، حتى عندما d تم تعيين قيمة صغيرة نسبيًا ، وهي أصغر عدد صحيح ممكن من الحلول لـ x و y يمكن أن تكون ضخمة. عندما أرسل سلسلة من مشاكل التحدي إلى الرياضيين المنافسين ، قاموا بتضمين المعادلة x2 - 61y2 = 1 ، أصغر الحلول لها تسعة أو 10 أرقام. (أما بالنسبة لأرخميدس ، فقد طلب لغزه أساسًا حلولًا صحيحة للمعادلة x2 - 4,729,494y2 = 1. "لطباعة أصغر حل ، يستغرق الأمر 50 صفحة" ، قال بيتر كويمانز، عالم رياضيات في جامعة ميشيغان. "بمعنى ما ، إنه قزم عملاق من تأليف أرخميدس.")
لكن حلول معادلات Pell يمكن أن تفعل أكثر من ذلك بكثير. على سبيل المثال ، لنفترض أنك تريد تقريب $ latex sqrt {2} $ ، وهو رقم غير نسبي ، كنسبة من الأعداد الصحيحة. اتضح أن حل معادلة بيل x2 - 2y2 = 1 يمكن أن تساعدك على القيام بذلك: $ latex sqrt {2} $ (أو بشكل عام ، $ latex sqrt {d} $) يمكن تقريبه جيدًا عن طريق إعادة كتابة الحل كجزء من النموذج x/y.
ولعل الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو أن تلك الحلول تخبرك أيضًا بشيء عن أنظمة أرقام معينة ، والتي يسميها علماء الرياضيات الحلقات. في مثل هذا النظام الرقمي ، قد يقوم علماء الرياضيات بربط $ latex sqrt {2} $ بالأعداد الصحيحة. للحلقات خصائص معينة ، ويريد علماء الرياضيات فهم تلك الخصائص. اتضح أن معادلة بيل يمكن أن تساعدهم على القيام بذلك.
ولذلك ، "درس الكثير من علماء الرياضيات المشهورين - كل عالم رياضيات تقريبًا في فترة زمنية معينة - هذه المعادلة بالفعل نظرًا لمدى بساطتها ،" مارك شوسترمان، عالم رياضيات في جامعة هارفارد. وكان من بين هؤلاء الرياضيين فيرما ويولر ولاجرانج وديريتشليت. (جون بيل ، ليس كثيرًا ؛ تم تسمية المعادلة بالخطأ باسمه).
الآن Koymans و كارلو باجانو، عالم رياضيات في جامعة كونكورديا في مونتريال أثبت تخمينًا عمره عقود تتعلق بمعادلة Pell ، التي تحدد عدد المرات التي يكون فيها شكل معين من المعادلة له حلول صحيحة. للقيام بذلك ، استوردوا أفكارًا من مجال آخر - نظرية المجموعة - بينما اكتسبوا في الوقت نفسه فهمًا أفضل لموضوع دراسي رئيسي ولكنه غامض في هذا المجال. قال: "لقد استخدموا أفكارًا عميقة وجميلة حقًا" أندرو جرانفيل، عالم رياضيات في جامعة مونتريال. "لقد نجحوا حقًا في ذلك."
الحساب المكسور
في أوائل 1990s ، بيتر ستيفنهاغن، عالم رياضيات في جامعة لايدن في هولندا ، استوحى من بعض الروابط التي رآها بين معادلات بيل ونظرية المجموعة لعمل تخمين حول عدد المرات التي تحتوي فيها هذه المعادلات على حلول صحيحة. لكنه قال: "لم أكن أتوقع أن يتم إثبات ذلك في أي وقت قريب" - أو حتى في حياته. التقنيات المتاحة لا تبدو قوية بما يكفي لمهاجمة المشكلة.
يعتمد تخمينه على سمة معينة للحلقات. في حلقة الأرقام حيث ، على سبيل المثال ، تمت إضافة $ latex sqrt {-5} $ إلى الأعداد الصحيحة (غالبًا ما يعمل علماء الرياضيات بأرقام "وهمية" مثل $ latex sqrt {-5} $) ، هناك طريقتان مختلفتان قسّم عددًا إلى عوامله الأولية. الرقم 6 ، على سبيل المثال ، يمكن كتابته ليس فقط 2 × 3 ، ولكن أيضًا كـ (1 + $ latex sqrt {-5} $) × (1 - $ latex sqrt {-5} $). نتيجة لذلك ، في هذه الحلقة ، ينهار التحليل الأولي الفريد - وهو مبدأ حسابي مركزي ، أحد المسلمات عمليًا في الأعداد الصحيحة العادية. يتم ترميز مدى حدوث ذلك في كائن مرتبط بهذه الحلقة ، يسمى مجموعة الفصل.
إحدى الطرق التي يحاول بها علماء الرياضيات اكتساب رؤى أعمق لنظام الأرقام الذي يهتمون به - على سبيل المثال ، $ latex sqrt {2} $ المجاور للأعداد الصحيحة - هي حساب ودراسة مجموعة فصولها. ومع ذلك ، يكاد يكون من الصعب للغاية تحديد القواعد العامة لكيفية تصرف المجموعات الطبقية عبر جميع أنظمة الأرقام المختلفة هذه.
في 1980s ، علماء الرياضيات هنري كوهين و هندريك لينسترا طرح مجموعة واسعة من التخمينات حول الشكل الذي يجب أن تبدو عليه هذه القواعد. يمكن أن تخبرك "استدلالات كوهين لينسترا" هذه بالكثير عن المجموعات الطبقية ، والتي بدورها يجب أن تكشف عن خصائص أنظمة الأرقام الأساسية الخاصة بها.
كان هناك مشكلة واحدة فقط. بينما يبدو أن الكثير من الحسابات تدعم استدلال كوهين لينسترا ، إلا أنها لا تزال تخمينات وليست براهين. قال "فيما يتعلق بالنظريات ، حتى وقت قريب جدًا ، لم نكن نعرف شيئًا تقريبًا" أليكس بارتل، عالم رياضيات في جامعة جلاسكو.
من المثير للاهتمام أن السلوك النموذجي لمجموعة الفصل يتشابك بشكل لا ينفصم مع سلوك معادلات بيل. إن فهم إحدى المشكلات يساعد في فهم الأخرى - لدرجة أن تخمين ستيفنهاغن "كان أيضًا مشكلة اختبار لأي تقدم تم إحرازه في استدلال كوهين لينسترا" ، كما قال باغانو.
يتضمن العمل الجديد معادلة بيل السلبية ، حيث x2 - dy2 يساوي 1 بدلاً من 1. على عكس معادلة Pell الأصلية ، والتي تحتوي دائمًا على عدد لا نهائي من الحلول الصحيحة لأي d، ليست كل قيم d في معادلة Pell السلبية ، نحصل على معادلة يمكن حلها. يأخذ x2 - 3y2 = −1: بغض النظر عن مدى طول خط الأعداد الذي تنظر إليه ، فلن تجد حلًا أبدًا ، على الرغم من ذلك x2 - 3y2 = 1 يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.
في الواقع ، هناك الكثير من قيم d التي لا يمكن حل معادلة بيل السلبية لها: استنادًا إلى القواعد المعروفة حول كيفية ارتباط أرقام معينة ببعضها البعض ، d لا يمكن أن يكون من مضاعفات 3 و 7 و 11 و 15 وما إلى ذلك.
ولكن حتى عندما تتجنب تلك القيم d وفكر فقط في معادلات Pell السلبية المتبقية ، فلا يزال من غير الممكن دائمًا إيجاد حلول. في تلك المجموعة الأصغر من القيم المحتملة لـ d، ما هي النسبة التي تعمل بالفعل؟
في عام 1993 ، اقترح ستيفنهاغن صيغة أعطت إجابة دقيقة على هذا السؤال. من قيم d التي قد تنجح (أي القيم التي ليست من مضاعفات 3 ، 7 ، إلخ) ، توقع أن 58٪ تقريبًا ستؤدي إلى معادلات Pell السلبية مع حلول عدد صحيح.
كان تخمين ستيفنهاجين مدفوعًا بشكل خاص بالعلاقة بين معادلة بيل السلبية واستدلال كوهين لينسترا على المجموعات الطبقية - وهو الرابط الذي استغله Koymans و Pagano عندما أثبتوا أخيرًا أنه على صواب بعد 30 عامًا.
مدفع أفضل
في عام 2010 ، كان Koymans و Pagano لا يزالان طلابًا جامعيين - لم يكونوا على دراية بعد بتخمين ستيفينهاجن - عندما صدرت ورقة بحثية حققت بعض التقدم الأول في المشكلة منذ سنوات.
في هذا العمل الذي كان نشرت في حوليات الرياضيات، علماء الرياضيات إتيان فوفري و يورغن كلونرز أظهرت أن نسبة قيم d التي من شأنها أن تعمل مع معادلة بيل السلبية تقع ضمن نطاق معين. للقيام بذلك ، حصلوا على مؤشر على سلوك بعض عناصر المجموعات الطبقية ذات الصلة. لكنهم سيحتاجون إلى فهم العديد من العناصر الإضافية التي يجب أن يتذكروها في تقدير ستيفنهاغن الأكثر دقة بنسبة 58٪. لسوء الحظ ، ظلت هذه العناصر غامضة: لا تزال هناك حاجة إلى الأساليب الجديدة لفهم هيكلها. مزيد من التقدم بدا مستحيلا.
ثم ، في عام 2017 ، عندما كان كل من Koymans و Pagano في كلية الدراسات العليا معًا في جامعة Leiden ، ظهرت ورقة التي غيرت كل شيء. قال Koymans "عندما رأيت هذا ، أدركت على الفور أنها كانت نتيجة رائعة للغاية". "كان الأمر مثل ، حسنًا ، لدي الآن مدفع يمكنني إطلاقه على هذه المشكلة وآمل أن أتمكن من إحراز تقدم." (في ذلك الوقت ، كان ستيفنهاغن ولينسترا أيضًا أساتذة في ليدن ، مما ساعد على إثارة اهتمام Koymans و Pagano بالمشكلة).
كانت الورقة من قبل طالب دراسات عليا في جامعة هارفارد ، الكسندر سميث (وهو الآن زميل كلاي في جامعة ستانفورد). لم يكن Koymans و Pagano وحدهما في الترحيب بالعمل باعتباره تقدمًا كبيرًا. قال جرانفيل: "كانت الأفكار رائعة". "ثوري".
كان سميث يحاول فهم خصائص حلول المعادلات التي تسمى المنحنيات الإهليلجية. من خلال القيام بذلك ، عمل على جزء محدد من استدلال كوهين لينسترا. لم تكن فقط الخطوة الرئيسية الأولى في ترسيخ تلك التخمينات الأوسع كحقيقة رياضية ، ولكنها تضمنت على وجه التحديد قطعة المجموعة الطبقية التي احتاج Koymans و Pagano لفهمها في عملهم على تخمين Stevenhagen. (تضمنت هذه القطعة العناصر التي درسها فوفري وكلونرز في نتيجتهما الجزئية ، لكنها أيضًا تجاوزت هذه العناصر كثيرًا).
ومع ذلك ، لم يستطع Koymans و Pagano ببساطة استخدام أساليب سميث على الفور. (إذا كان ذلك ممكنًا ، لكان سميث نفسه قد فعل ذلك على الأرجح.) كان دليل سميث حول مجموعات الفصل المرتبطة بحلقات الأرقام الصحيحة (تلك التي يتم فيها ربط $ latex sqrt {d} $ بالأعداد الصحيحة) - لكنه أخذ كل ذلك في الاعتبار عدد صحيح من d. من ناحية أخرى ، كان Koymans و Pagano يفكران فقط في مجموعة فرعية صغيرة من تلك القيم d. نتيجة لذلك ، احتاجوا إلى تقييم السلوك المتوسط بين جزء أصغر بكثير من مجموعات الفصل.
شكلت هذه المجموعات الطبقية بشكل أساسي 0٪ من مجموعات فصول سميث - مما يعني أن سميث كان بإمكانه التخلص منها عندما كان يكتب برهانه. لم يساهموا في متوسط السلوك الذي كان يدرسه على الإطلاق.
وعندما حاول Koymans و Pagano تطبيق تقنياته على مجموعات الفصل التي يهتمون بها فقط ، تعطلت الأساليب على الفور. سيحتاج الزوج إلى إجراء تغييرات كبيرة لحملهما على العمل. علاوة على ذلك ، لم يكونوا يميزون مجموعة صفية واحدة فقط ، ولكن التناقض الذي قد يكون موجودًا بين مجموعتين مختلفتين من الطبقات (سيكون القيام بذلك جزءًا رئيسيًا من إثباتهم لتخمين ستيفنهاغن) - والذي سيتطلب أيضًا بعض الأدوات المختلفة.
لذلك بدأ Koymans و Pagano في التمشيط بعناية أكبر في ورقة سميث على أمل تحديد المكان الذي بدأت فيه الأمور بالتحديد. لقد كان عملاً شاقًا وصعبًا ، ليس فقط لأن المادة كانت معقدة للغاية ، ولكن لأن سميث كان لا يزال ينقح ما قبل الطباعة في ذلك الوقت ، ويقوم بإجراء التصحيحات والتوضيحات اللازمة. (لقد نشر ملف نسخة جديدة من ورقته عبر الإنترنت الشهر الماضي.)
لمدة عام كامل ، تعلم Koymans و Pagano الدليل معًا ، سطراً بسطر. كانوا يجتمعون كل يوم ، ويناقشون قسمًا معينًا على الغداء قبل قضاء بضع ساعات على السبورة ، ومساعدة بعضهم البعض في العمل من خلال الأفكار ذات الصلة. إذا أحرز أحدهم تقدمًا بمفرده ، فإنه يرسل رسالة نصية إلى الآخر لإطلاعه على آخر المستجدات. يتذكر Shusterman رؤيتهم في بعض الأحيان يعملون لوقت طويل في الليل. قال Koymans على الرغم من (أو ربما بسبب) التحديات التي ينطوي عليها ، "كان من الممتع للغاية القيام به معًا".
لقد حددوا في النهاية المكان الذي سيحتاجون إليه لتجربة نهج جديد. في البداية ، كانوا قادرين فقط على إجراء تحسينات متواضعة. مع علماء الرياضيات ستيفاني تشان و دجوردجو ميلوفيتش، فقد اكتشفوا كيفية التعامل مع بعض العناصر الإضافية في المجموعة الصفية ، مما سمح لهم بالحصول على حدود أفضل من تلك التي كان لدى فوفري وكلونرز. لكن أجزاء مهمة من هيكل المجموعة الطبقية ما زالت بعيدة عنهم.
كانت إحدى المشكلات الرئيسية التي كان عليهم معالجتها - وهو أمر لم تعد طريقة سميث تعمل فيه في هذا السياق الجديد - هو التأكد من أنهم كانوا يحللون بالفعل السلوك "المتوسط" لمجموعات الفصل باعتباره قيمًا لـ d أصبحت أكبر وأكبر. لتحديد الدرجة المناسبة من العشوائية ، أثبت Koymans و Pagano مجموعة معقدة من القواعد ، تسمى قوانين المعاملة بالمثل. في النهاية ، سمح لهم ذلك بالحصول على السيطرة التي يحتاجونها على الفرق بين مجموعتي الفصل.
هذا التقدم ، إلى جانب الآخرين ، سمح لهم بإكمال إثبات تخمين ستيفنهاغن في وقت سابق من هذا العام. قال تشان: "إنه لأمر مدهش أنهم تمكنوا من حلها بالكامل". "في السابق ، كانت لدينا كل هذه المشكلات."
قال سميث إن ما فعلوه "فاجأني". "احتفظ Koymans و Pagano نوعًا ما بلغتي القديمة واستخدموها للتقدم أكثر فأكثر في اتجاه بالكاد أفهمه بعد الآن."
أداة حادة
منذ أن قدمه قبل خمس سنوات ، كان يُنظر إلى إثبات سميث لجزء واحد من استدلال كوهين لينسترا على أنه طريقة لفتح الأبواب أمام مجموعة من المشكلات الأخرى ، بما في ذلك أسئلة حول المنحنيات الإهليلجية والهياكل الأخرى ذات الأهمية. (في ورقتهم ، يسرد Koymans و Pagano حوالي اثني عشر تخمينًا يأملون في استخدام أساليبهم فيها. لا علاقة للكثيرين بمعادلة بيل السلبية أو حتى المجموعات الطبقية.)
قال جرانفيل: "الكثير من الأشياء لها هياكل لا تختلف عن هذه الأنواع من المجموعات الجبرية". لكن العديد من نفس حواجز الطرق التي كان على Koymans و Pagano مواجهتها موجودة أيضًا في هذه السياقات الأخرى. ساعد العمل الجديد على معادلة بيل السلبية في تفكيك هذه الحواجز. قال بارتيل: "أخبرنا ألكساندر سميث عن كيفية صنع هذه المناشير والمطارق ، ولكن علينا الآن أن نجعلها حادة قدر الإمكان وقوية الضربات قدر الإمكان وقابلة للتكيف قدر الإمكان مع المواقف المختلفة". "أحد الأشياء التي تقوم بها هذه الورقة هو المضي قدمًا في هذا الاتجاه."
في غضون ذلك ، صقل كل هذا العمل فهم الرياضيين لوجه واحد فقط من مجموعات الطبقات. تظل بقية تخمينات كوهين لينسترا بعيدة المنال ، على الأقل في الوقت الحالي. قال سميث إن ورقة Koymans and Pagano "هي مؤشر على أن التقنيات التي لدينا لمهاجمة المشاكل في كوهين لينسترا هي نوع من النضج".
كان لينسترا نفسه متفائلاً بالمثل. لقد كتب في رسالة بريد إلكتروني "إنه أمر مذهل للغاية". "إنه يفتح حقًا فصلاً جديدًا في فرع من فروع نظرية الأعداد أقدم من نظرية الأعداد نفسها."
