عندما يتعلق الأمر بفهم شكل مجموعات الفقاعات ، كان علماء الرياضيات يلعبون دورًا في اللحاق بالحدس الفيزيائي لآلاف السنين. غالبًا ما يبدو أن مجموعات فقاعات الصابون في الطبيعة تنطلق فورًا إلى حالة الطاقة الأقل ، تلك التي تقلل مساحة السطح الإجمالية لجدرانها (بما في ذلك الجدران بين الفقاعات). لكن التحقق مما إذا كانت فقاعات الصابون تقوم بهذه المهمة بشكل صحيح - أو مجرد توقع الشكل الذي يجب أن تبدو عليه مجموعات الفقاعات الكبيرة - هو أحد أصعب المشاكل في الهندسة. استغرق الأمر علماء الرياضيات حتى أواخر القرن التاسع عشر لإثبات أن الكرة هي أفضل فقاعة منفردة ، على الرغم من أن عالم الرياضيات اليوناني زينودوروس أكد ذلك قبل أكثر من 19 عام.
مشكلة الفقاعة بسيطة بما يكفي لتوضيح ما يلي: تبدأ بقائمة أرقام للأحجام ، ثم تسأل عن كيفية إحاطة أحجام الهواء هذه بشكل منفصل باستخدام أقل مساحة سطح. ولكن لحل هذه المشكلة ، يجب على علماء الرياضيات التفكير في مجموعة واسعة من الأشكال المختلفة الممكنة للجدران الفقاعية. وإذا كانت المهمة هي تضمين خمسة مجلدات ، على سبيل المثال ، فليس لدينا حتى رفاهية قصر انتباهنا على مجموعات من خمس فقاعات - ربما تكون أفضل طريقة لتقليل مساحة السطح تتضمن تقسيم أحد الأحجام عبر فقاعات متعددة.
حتى في الإعداد الأبسط للمستوى ثنائي الأبعاد (حيث تحاول إحاطة مجموعة من المناطق أثناء تصغير المحيط) ، لا أحد يعرف أفضل طريقة لتضمين ، على سبيل المثال ، تسعة أو 10 مناطق. مع تزايد عدد الفقاعات ، "بسرعة ، لا يمكنك حتى الحصول على أي تخمين معقول" ، قال إيمانويل ميلمان التخنيون في حيفا ، إسرائيل.
لكن منذ أكثر من ربع قرن ، جون سوليفان، الآن من الجامعة التقنية في برلين ، أدرك أنه في بعض الحالات ، هناك التخمين التوجيهي قد يكون. تعتبر مشاكل الفقاعة منطقية في أي بُعد ، ووجد سوليفان أنه طالما أن عدد المجلدات التي تحاول تضمينها أكبر من البعد بواحد على الأكثر ، فهناك طريقة معينة لإحاطة الأحجام ، بمعنى ما ، أجمل من أي شيء آخر - نوع من الظل لعنقود فقاعي متماثل تمامًا على كرة. توقع أن تكون كتلة الظل هذه هي التي تقلل من مساحة السطح.
على مدى العقد الذي تلا ذلك ، كتب علماء الرياضيات سلسلة من الأوراق الرائدة تثبت تخمين سوليفان عندما تحاول إرفاق مجلدين فقط. هنا ، الحل هو الفقاعة المزدوجة المألوفة التي ربما تكون قد انفجرت في الحديقة في يوم مشمس ، مصنوعة من قطعتين كرويتين بينهما جدار مسطح أو كروي (اعتمادًا على ما إذا كانت الفقاعتان لهما نفس الحجم أو أحجام مختلفة).
لكن إثبات تخمين سوليفان لثلاثة مجلدات ، عالم الرياضيات فرانك مورجان من كلية ويليامز تكهن في عام 2007 ، "قد يستغرق مائة عام أخرى".
الآن ، تم تجنيب علماء الرياضيات هذا الانتظار الطويل - وحصلوا على أكثر بكثير من مجرد حل لمشكلة الفقاعة الثلاثية. في ورقة نشرت على الإنترنت في مايو ، Milman و جو نيمان، من جامعة تكساس ، أوستن ، أثبت تخمين سوليفان للفقاعات الثلاثية في الأبعاد الثلاثة وما بعدها والفقاعات الرباعية في الأبعاد الأربعة وما فوق ، مع ورقة متابعة على خمسة فقاعات في الأبعاد الخامسة وما فوق في الأعمال.
وعندما يتعلق الأمر بست فقاعات أو أكثر ، أظهر ميلمان ونيمان أن أفضل مجموعة يجب أن تحتوي على العديد من السمات الرئيسية لمرشح سوليفان ، ومن المحتمل أن يبدأ علماء الرياضيات على الطريق لإثبات التخمين لهذه الحالات أيضًا. قال "انطباعي أنهم قد استوعبوا البنية الأساسية وراء تخمين سوليفان" فرانشيسكو ماجي من جامعة تكساس ، أوستن.
كتب مورغان في رسالة بالبريد الإلكتروني أن نظرية ميلمان ونيمان المركزية "ضخمة". "إنه إنجاز رائع مع الكثير من الأفكار الجديدة."
فقاعات الظل
تقدم تجاربنا مع فقاعات الصابون الحقيقية حدسًا مغريًا حول الشكل الذي يجب أن تبدو عليه مجموعات الفقاعات المثلى ، على الأقل عندما يتعلق الأمر بالعناقيد الصغيرة. يبدو أن الفقاعات الثلاثية أو الرباعية التي نفجرها من خلال عصي الصابون تحتوي على جدران كروية (وأحيانًا جدران مسطحة) وتميل إلى تشكيل كتل ضيقة بدلاً من سلسلة طويلة من الفقاعات ، على سبيل المثال.
لكن ليس من السهل إثبات أن هذه هي بالفعل ميزات مجموعات الفقاعات المثلى. على سبيل المثال ، لا يعرف علماء الرياضيات ما إذا كانت الجدران في مجموعة الفقاعات المصغرة دائمًا كروية أم مسطحة - فهم يعرفون فقط أن الجدران لها "انحناء متوسط ثابت" ، مما يعني أن متوسط الانحناء يظل كما هو من نقطة إلى أخرى. تتمتع الكرات والأسطح المسطحة بهذه الخاصية ، ولكن هناك أيضًا العديد من الأسطح الأخرى ، مثل الأسطوانات والأشكال المتموجة التي تسمى الانحرافات. قال ميلمان إن الأسطح ذات الانحناء المتوسط المستمر هي "حديقة حيوانات كاملة".
لكن في التسعينيات ، أدرك سوليفان أنه عندما يكون عدد المجلدات التي تريد تضمينها أكبر من البُعد بمقدار واحد على الأكثر ، فهناك مجموعة مرشحة يبدو أنها تتفوق على البقية - مجموعة واحدة (واحدة فقط) لها الميزات التي نميل إليها لنرى في مجموعات صغيرة من فقاعات الصابون الحقيقية.
للتعرف على كيفية بناء مثل هذا المرشح ، دعنا نستخدم نهج سوليفان لإنشاء كتلة ثلاثية الفقاعات في المستوى المسطح (لذلك ستكون "الفقاعات" الخاصة بنا مناطق في المستوى بدلاً من كائنات ثلاثية الأبعاد). نبدأ باختيار أربع نقاط على كرة تكون جميعها على نفس المسافة من بعضها البعض. تخيل الآن أن كل نقطة من هذه النقاط الأربع هي مركز فقاعة صغيرة ، تعيش فقط على سطح الكرة (بحيث تكون كل فقاعة قرصًا صغيرًا). قم بتضخيم الفقاعات الأربعة على الكرة حتى تبدأ في الاصطدام ببعضها البعض ، ثم استمر في النفخ حتى تملأ بشكل جماعي السطح بالكامل. ينتهي بنا المطاف بمجموعة متماثلة من أربع فقاعات تجعل الكرة تبدو وكأنها رباعي السطوح منتفخ.
بعد ذلك ، نضع هذه الكرة فوق مستوى مسطح لانهائي ، كما لو أن الكرة هي كرة تستقر على أرضية لا نهاية لها. تخيل أن الكرة شفافة وهناك فانوس في القطب الشمالي. ستظهر جدران الفقاعات الأربعة ظلالاً على الأرض ، وتشكل جدران كتلة الفقاعات هناك. من بين الفقاعات الأربع الموجودة على الكرة ، ستسقط ثلاث فقاعات على شكل ظل الفقاعات على الأرض ؛ ستسقط الفقاعة الرابعة (التي تحتوي على القطب الشمالي) إلى الامتداد اللامتناهي للأرضية خارج مجموعة فقاعات الظل الثلاثة.
تعتمد مجموعة الفقاعات الثلاث المحددة التي نحصل عليها على كيفية قيامنا بوضع الكرة عندما نضعها على الأرض. إذا قمنا بتدوير الكرة بحيث تتحرك نقطة مختلفة إلى الفانوس في القطب الشمالي ، فسنحصل عادةً على ظل مختلف ، وستكون للفقاعات الثلاث الموجودة على الأرض مناطق مختلفة. علماء الرياضيات ثبت أنه لأي ثلاثة أرقام تختارها للمناطق ، هناك طريقة واحدة بشكل أساسي لوضع الكرة بحيث تحتوي فقاعات الظل الثلاثة على تلك المناطق بالضبط.
نحن أحرار في تنفيذ هذه العملية في أي بُعد (على الرغم من صعوبة تصور الظلال ذات الأبعاد الأعلى). ولكن هناك حد لعدد الفقاعات التي يمكن أن تكون لدينا في مجموعة الظل الخاصة بنا. في المثال أعلاه ، لم نتمكن من تكوين مجموعة من أربع فقاعات في المستوى. كان سيتطلب ذلك البدء بخمس نقاط على الكرة تكون جميعها على نفس المسافة من بعضها البعض - لكن من المستحيل وضع العديد من النقاط المتساوية على كرة (على الرغم من أنه يمكنك القيام بذلك باستخدام كرات ذات أبعاد أعلى). يعمل إجراء سوليفان فقط على إنشاء مجموعات تصل إلى ثلاث فقاعات في فضاء ثنائي الأبعاد ، وأربع فقاعات في فضاء ثلاثي الأبعاد ، وخمس فقاعات في فضاء رباعي الأبعاد ، وما إلى ذلك. خارج نطاقات المعلمات هذه ، لا توجد مجموعات فقاعية على غرار سوليفان.
ولكن ضمن هذه المعايير ، يمنحنا إجراء سوليفان مجموعات فقاعية في أماكن تتجاوز بكثير ما يمكن أن يفهمه حدسنا المادي. قال ماجي: "من المستحيل تخيل ما هو فقاعة 15 في [الفضاء ذي الـ23 بُعدًا]". "كيف تحلم حتى بوصف مثل هذا الشيء؟"
ومع ذلك ، فإن مرشحي فقاعة سوليفان يرثون من أسلافهم الكروية مجموعة فريدة من الخصائص تذكرنا بالفقاعات التي نراها في الطبيعة. جميع جدرانها كروية أو مسطحة ، وحيثما تلتقي ثلاثة جدران ، فإنها تشكل زوايا 120 درجة ، كما هو الحال في شكل Y المتماثل. يقع كل مجلد من المجلدات التي تحاول تضمينها في منطقة واحدة ، بدلاً من تقسيمها عبر مناطق متعددة. وكل فقاعة تلامس بعضها البعض (والخارج) ، وتشكل كتلة ضيقة. أظهر علماء الرياضيات أن فقاعات سوليفان هي المجموعات الوحيدة التي ترضي كل هذه الخصائص.
عندما افترض سوليفان أن هذه المجموعات يجب أن تكون المجموعات التي تقلل من مساحة السطح ، كان يقول بشكل أساسي ، "لنفترض الجمال" ، قال ماجي.
لكن لدى باحثي الفقاعات سبب وجيه للقلق من افتراض أنه لمجرد أن الحل المقترح جميل ، فهو صحيح. قال ماجي: "هناك مشاكل مشهورة جدًا .. حيث تتوقع تناظرًا لأدوات التصغير ، ويفشل التناسق بشكل مذهل".
على سبيل المثال ، هناك مشكلة وثيقة الصلة بملء مساحة لا نهائية بفقاعات متساوية الحجم بطريقة تقلل من مساحة السطح. في عام 1887 ، اقترح عالم الرياضيات والفيزيائي البريطاني لورد كلفن أن الحل قد يكون عبارة عن بنية أنيقة تشبه قرص العسل. لأكثر من قرن ، اعتقد العديد من علماء الرياضيات أن هذا هو الجواب المحتمل - حتى عام 1993 ، عندما كان اثنان من علماء الفيزياء حددت أفضل، وإن كان أقل تماثلًا. قال ماجي: "الرياضيات مليئة ... بالأمثلة حيث يحدث هذا النوع من الأشياء الغريبة".
فن غامق
عندما أعلن سوليفان عن تخمينه في عام 1995 ، كان جزء الفقاعة المزدوجة منه يتحرك بالفعل منذ قرن. علماء الرياضيات قد حلوا مشكلة الفقاعة المزدوجة ثنائية الأبعاد قبل عامين ، وفي العقد التالي ، قاموا بحلها في الفضاء ثلاثي الأبعاد ثم الدخول أعلى الأبعاد. ولكن عندما يتعلق الأمر بالحالة التالية لتخمين سوليفان - الفقاعات الثلاثية - يمكنهم ذلك إثبات التخمين فقط في المستوى ثنائي الأبعاد ، حيث تكون الواجهات بين الفقاعات بسيطة بشكل خاص.
ثم في عام 2018 ، أثبت ميلمان ونيمان وجود نسخة مماثلة من تخمين سوليفان في بيئة تُعرف باسم مشكلة الفقاعة الغاوسية. في هذا الإعداد ، يمكنك التفكير في كل نقطة في الفضاء على أنها ذات قيمة نقدية: الأصل هو أغلى بقعة ، وكلما ابتعدت عن الأصل ، تصبح الأرض الأرخص ثمناً ، وتشكل منحنى الجرس. الهدف هو إنشاء حاويات بأسعار محددة مسبقًا (بدلاً من الأحجام المحددة مسبقًا) ، بطريقة تقلل من تكلفة حدود العبوات (بدلاً من مساحة سطح الحدود). مشكلة الفقاعة الغوسية هذه لها تطبيقات في علوم الكمبيوتر لمخططات التقريب وأسئلة حساسية الضوضاء.
قدم ميلمان ونيمان دليل إلى حوليات الرياضيات، يمكن القول إنها أكثر المجلات المرموقة في الرياضيات (حيث تم قبولها لاحقًا). لكن لم يكن لدى الزوجين نية لتسميته يومًا. بدت أساليبهم واعدة لمشكلة الفقاعة الكلاسيكية أيضًا.
لقد ألقوا الأفكار ذهابًا وإيابًا لعدة سنوات. قال ميلمان: "كان لدينا وثيقة من 200 صفحة من الملاحظات". في البداية ، شعرت وكأنهم يحرزون تقدمًا. "ولكن سرعان ما تحولت إلى ،" لقد جربنا هذا الاتجاه - لا. لقد جربنا [هذا] الاتجاه - لا ". للتحوط من رهاناتهم ، تابع كلا الرياضيين مشاريع أخرى أيضًا.
ثم في الخريف الماضي ، جاء ميلمان للتفرغ وقرر زيارة نيمان حتى يتمكن الزوجان من التركيز على مشكلة الفقاعة. قال ميلمان: "خلال فترة الإجازة ، يكون الوقت مناسبًا لتجربة أشياء عالية المخاطر ومكاسب عالية".
في الأشهر القليلة الأولى ، لم يصلوا إلى أي مكان. أخيرًا ، قرروا أن يمنحوا أنفسهم مهمة أسهل قليلاً من تخمين سوليفان الكامل. إذا أعطيت فقاعاتك بُعدًا إضافيًا من غرفة التنفس ، فستحصل على مكافأة: أفضل كتلة فقاعية سيكون لها تناسق معكوس عبر مستوى مركزي.
تخمين سوليفان يدور حول الفقاعات الثلاثية في الأبعاد اثنين وما فوق ، والفقاعات الرباعية في الأبعاد الثلاثة وما فوق ، وهكذا. للحصول على تناسق المكافأة ، قصر ميلمان ونيمان انتباههما على الفقاعات الثلاثية في الأبعاد الثلاثة وما فوق ، والفقاعات الرباعية في الأبعاد الأربعة وما فوق ، وهكذا. قال نيمان: "لقد كان حقًا فقط عندما تخلينا عن الحصول عليها لمجموعة كاملة من المعايير التي أحرزناها حقًا".
مع تناظر المرآة هذا تحت تصرفهم ، توصل ميلمان ونيمان إلى حجة اضطراب تتضمن تضخيمًا طفيفًا نصف كتلة الفقاعة التي تقع فوق المرآة وتفريغ النصف الموجود أسفلها. لن يغير هذا الاضطراب حجم الفقاعات ، لكنه قد يغير مساحة سطحها. أظهر ميلمان ونيمان أنه إذا كانت الكتلة الفقاعية المثالية تحتوي على أي جدران غير كروية أو مسطحة ، فستكون هناك طريقة لاختيار هذا الاضطراب بحيث يقلل من مساحة سطح العنقود - وهو تناقض ، نظرًا لأن الكتلة المثلى لها بالفعل السطح الأقل ممكن المنطقة.
قال نيمان إن استخدام الاضطرابات لدراسة الفقاعات ليس فكرة جديدة ، لكن اكتشاف الاضطرابات التي ستكتشف السمات المهمة لمجموعة الفقاعات هو "نوع من الفن المظلم".
بعد فوات الأوان ، "بمجرد أن ترى [اضطرابات ميلمان ونيمان] ، تبدو طبيعية تمامًا ،" جويل هاس من جامعة كاليفورنيا ، ديفيس.
قال ماجي إن الاعتراف بالاضطرابات على أنها طبيعية أسهل بكثير من الخروج بها في المقام الأول. قال: "إنه ليس شيئًا يمكنك أن تقوله ،" في النهاية سيعثر عليه الناس ". "إنه حقًا عبقري على مستوى رائع للغاية."
كان ميلمان ونيمان قادرين على استخدام اضطراباتهما لإظهار أن الكتلة الفقاعية المثالية يجب أن ترضي جميع السمات الأساسية لمجموعات سوليفان ، باستثناء ربما واحدة: شرط أن كل فقاعة يجب أن تلمس بعضها البعض. أجبر هذا المطلب الأخير ميلمان ونيمان على التعامل مع جميع الطرق التي قد تتصل بها الفقاعات في عنقود. عندما يتعلق الأمر بثلاث أو أربع فقاعات فقط ، فليس هناك الكثير من الاحتمالات للنظر فيها. ولكن مع زيادة عدد الفقاعات ، يزداد عدد أنماط الاتصال المختلفة الممكنة ، بشكل أسرع من الأسي.
كان ميلمان ونيمان يأملان في البداية في إيجاد مبدأ شامل يغطي كل هذه الحالات. ولكن بعد قضاء بضعة أشهر في "تحطيم رؤوسنا" ، قال ميلمان ، قرروا أن يكتفوا بأنفسهم في الوقت الحالي بنهج مخصص يسمح لهم بالتعامل مع الفقاعات الثلاثية والرباعية. لقد أعلنوا أيضًا عن دليل غير منشور على أن فقاعة سوليفان الخماسية هي الأمثل ، على الرغم من أنهم لم يثبتوا بعد أنها الكتلة المثالية الوحيدة.
كتب مورجان في رسالة بالبريد الإلكتروني أن عمل ميلمان ونيمان "نهج جديد تمامًا وليس امتدادًا للطرق السابقة". توقع ماجي أنه من المحتمل أن يتم دفع هذا النهج إلى أبعد من ذلك - ربما إلى مجموعات من أكثر من خمس فقاعات ، أو إلى حالات تخمين سوليفان التي لا تحتوي على تناظر المرآة.
لا أحد يتوقع أن يأتي المزيد من التقدم بسهولة. لكن هذا لم يردع ميلمان ونيمان. قال ميلمان: "من تجربتي ، كل الأشياء الرئيسية التي كنت محظوظًا بما يكفي لأتمكن من القيام بها تتطلب فقط عدم الاستسلام."
