السلوك المذهل للتسلسلات العودية | مجلة كوانتا

في الرياضيات، يمكن للقواعد البسيطة أن تفتح عوالم من التعقيد والجمال. خذ على سبيل المثال تسلسل فيبوناتشي الشهير، والذي تم تعريفه على النحو التالي: يبدأ بالرقم 1 و1، وكل رقم لاحق هو مجموع الرقمين السابقين. الأرقام القليلة الأولى هي:

1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34…

نعم بسيطة، ولكن هذه الوصفة المتواضعة تؤدي إلى ظهور نمط ذي أهمية بعيدة المدى، نمط يبدو وكأنه منسوج في نسيج العالم الطبيعي ذاته. يمكن رؤيته في حلقات أصداف النوتيلوس، وعظام أصابعنا، وترتيب الأوراق على أغصان الأشجار. ويمتد نطاقه الرياضي إلى الهندسة والجبر والاحتمالات، من بين مجالات أخرى. بعد ثمانية قرون من تقديم التسلسل إلى الغرب - درسه علماء الرياضيات الهنود قبل فترة طويلة من ظهور فيبوناتشي - تستمر الأرقام في جذب اهتمام الباحثين، وهي شهادة على مدى العمق الرياضي الذي يمكن أن يكمن وراء حتى التسلسل العددي الأكثر بدائية.

في تسلسل فيبوناتشي، كل مصطلح يعتمد على المصطلحات التي سبقته. يمكن لمثل هذه التسلسلات العودية أن تظهر نطاقًا واسعًا من السلوكيات، بعضها يتعارض مع البديهة بشكل رائع. لنأخذ على سبيل المثال عائلة غريبة من التسلسلات التي وصفها عالم الرياضيات الأمريكي لأول مرة في الثمانينات مايكل سوموس.

مثل تسلسل فيبوناتشي، يبدأ تسلسل سوموس بسلسلة من المتتاليات. سوموس-k يبدأ التسلسل بـ k منهم. كل مصطلح جديد لسوموز-k يتم تعريف التسلسل عن طريق إقران الحدود السابقة، وضرب كل زوج معًا، وإضافة الأزواج، ثم القسمة على الحد k المواقف مرة أخرى في التسلسل.

التسلسلات ليست مثيرة للاهتمام للغاية إذا k تساوي 1 أو 2 أو 3، فهي مجرد سلسلة من الأرقام المتكررة. ولكن ل k = 4، 5، 6 أو 7 المتتاليات لها خاصية غريبة. على الرغم من أن هناك الكثير من الانقسام، فإن الكسور لا تظهر.

وقال سوموس: "في العادة لا يكون لدينا هذا النوع من الظاهرة". "إنه تكرار بسيط بشكل خادع، يشبه فيبوناتشي. ولكن هناك الكثير وراء هذه البساطة.

يواصل علماء الرياضيات الآخرون اكتشاف روابط مذهلة بين تسلسلات سوموس ومجالات الرياضيات التي تبدو غير ذات صلة. إحدى الصحف المنشورة في يوليو تستخدمها في ذلك بناء الحلول إلى نظام من المعادلات التفاضلية المستخدمة لنمذجة كل شيء بدءًا من التفاعلات بين المفترس والفريسة وحتى الموجات التي تنتقل في البلازما عالية الطاقة. كما أنها تستخدم لدراسة بنية الأشياء الرياضية التي تسمى الجبر العنقودي ومتصلين بها منحنيات إهليلجية - والتي كانت المفتاح لكسر نظرية فيرما الأخيرة.

جانيس معلوف، وهو طالب دراسات عليا في جامعة إلينوي، نشر أول دليل على أن تسلسلات Somos-4 وSomos-5 جزء لا يتجزأ (أي أن جميع مصطلحاتهم هي أعداد صحيحة) في عام 1992. أدلة أخرى ظهرت نفس النتيجة من قبل علماء رياضيات مختلفين في نفس الوقت تقريبًا، بالإضافة إلى أدلة على أن تسلسلات Somos-6 وSomos-7 متكاملة.

هذه الخاصية الغريبة لتسلسلات سوموس أذهلت علماء الرياضيات. قال: "لقد أثارت تسلسلات سومو اهتمامي بمجرد أن علمت بها". جيمس بروب، أستاذ الرياضيات في جامعة ماساتشوستس، لويل. "حقيقة أن Somos-4 إلى Somos-7 تعطي دائمًا أعدادًا صحيحة، بغض النظر عن المسافة التي تقطعها، تبدو وكأنها معجزة عندما تنظر إلى الأشياء من منظور ساذج. لذلك كانت هناك حاجة إلى منظور مختلف."

وجد بروب منظورًا جديدًا في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين، عندما اكتشف هو وزملاؤه أن الأرقام الموجودة في تسلسل Somos-2000 تحسب شيئًا ما في الواقع. تتوافق المصطلحات الموجودة في التسلسل مع الهياكل الموجودة في بعض الرسوم البيانية. بالنسبة لبعض الرسوم البيانية، من الممكن إقران القمم (النقاط) مع الحواف (الخطوط) بحيث يتم توصيل كل قمة برأس واحد آخر بالضبط - لا توجد رؤوس غير مقترنة، ولا يوجد قمة متصلة بأكثر من حافة واحدة. تحسب المصطلحات الموجودة في تسلسل Somos-4 عدد التطابقات المثالية المختلفة لتسلسل معين من الرسوم البيانية.

لم يقدم هذا الاكتشاف منظورًا جديدًا لتسلسلات سوموس فحسب، بل قدم أيضًا طرقًا جديدة للتفكير في تحويلات الرسم البياني وتحليلها. احتفل بروب وطلابه بوضع النتيجة على تي شيرت.

وقال بروب: "بالنسبة لي، فإن جزءًا كبيرًا من جاذبية الرياضيات هو عندما تصل إلى نفس الوجهة عبر مسارات مختلفة، ويبدو أن شيئًا معجزة أو عميقًا يحدث". "الشيء الرائع في هذه التسلسلات هو أن هناك وجهات نظر مختلفة تشرح سبب حصولك على أعداد صحيحة. هناك أعماق مخفية هناك."

تتغير القصة لتسلسلات سوموس ذات الأرقام الأعلى. أول 18 حدًا من Somos-8 هي أعداد صحيحة، لكن الحد التاسع عشر عبارة عن كسر. كل تسلسل سوموس بعد ذلك يحتوي أيضًا على قيم كسرية.

هناك نوع آخر من المتتابعات، طوره عالم الرياضيات الألماني فريتز جوبل في السبعينيات، وهو عبارة عن نقطة مقابلة مثيرة للاهتمام لمتتابعات سوموس. ال nيتم تعريف الحد الرابع من تسلسل غوبل على أنه مجموع مربعات جميع الحدود السابقة، بالإضافة إلى 1، مقسومًا على n. مثل متواليات سوموس، تتضمن متوالية غوبل القسمة، لذا نتوقع ألا تظل الحدود أعدادًا صحيحة. ولكن لفترة من الوقت - مع نمو التسلسل بشكل هائل - يبدو الأمر كذلك.

الحد العاشر في تسلسل غوبل هو حوالي 10 مليون، والحادي عشر 1.5 حوالي مليار. الحد الثالث والأربعون كبير جدًا بحيث لا يمكن حسابه، فهو يحتوي على حوالي 11 مليار رقم. ولكن في عام 267، عالم الرياضيات الهولندي هندريك لينسترا أظهر أنه على عكس الحدود الـ 42 الأولى، فإن هذا الحد الثالث والأربعين ليس عددًا صحيحًا.

يمكن تعميم متتابعات غوبل عن طريق استبدال المربعات في المجموع بمكعبات أو قوى رابعة أو حتى أسس أعلى. (بموجب هذه الاتفاقية، يُطلق على تسلسله الأصلي اسم تسلسل 2-Göbel.) وتُظهر هذه التسلسلات أيضًا اتجاهًا مفاجئًا للبدء بامتداد ممتد من الحدود الصحيحة. في عام 1988، هنري إيبستيدت أظهرت أن أول 89 حدًا من تسلسل 3-Göbel (الذي يستخدم المكعبات بدلاً من المربعات) هي أعداد صحيحة، لكن الرقم 90 ليس كذلك. وجدت الأبحاث اللاحقة التي أجريت على تسلسلات غوبل الأخرى امتدادات أطول. على سبيل المثال، يبدأ تسلسل 31-Göbel بعدد هائل يصل إلى 1,077 عددًا صحيحًا.

في يوليو، قام علماء الرياضيات في جامعة كيوشو، رينوسوكي ماتسوهيرا، توشيكي ماتسوساكا و كوكي تسوتشيدا شارك ورقة تبين ذلك ل k-تسلسل Göbel، بغض النظر عن اختيار k، أول 19 حدًا من المتتابعة تكون دائمًا أعدادًا صحيحة. لقد تم إلهامهم للنظر في السؤال من خلال مانجا يابانية تسمى سيسو تانوالتي تُترجم إلى "حكاية الأعداد الصحيحة". أ الإطار في الكتاب الهزلي طلب من القراء معرفة الحد الأدنى من القيمة الممكنة لـ N_k، النقطة التي عندها أ k- يتوقف تسلسل Göbel عن إنتاج مصطلحات صحيحة. شرع علماء الرياضيات الثلاثة في الإجابة على هذا السؤال. قال ماتسوساكا: "إن الثبات غير المتوقع للأعداد الصحيحة لهذه المدة الممتدة يتناقض مع حدسنا. عندما تحدث ظواهر تتعارض مع الحدس، أعتقد أن الجمال موجود دائمًا".

لقد وجدوا نمطًا من السلوك المتكرر مثل k يزيد. ومن خلال التركيز على عدد محدود من الحالات المتكررة، جعلوا العملية الحسابية سهلة، وكانوا قادرين على استكمال الإثبات.

نظرة فاحصة على التسلسل N_k يكشف مفاجأة أخرى: N_k هو أولي في كثير من الأحيان أكثر مما كنت تتوقعه لو كان عشوائيًا تمامًا. "مع ال kقال: "تسلسل غوبل ليس من المثير للدهشة فقط أن هذه الأعداد صحيحة". ريتشارد جرين، عالم الرياضيات في جامعة كولورادو. "الأمر اللافت للنظر هو أن الأعداد الأولية تظهر في كثير من الأحيان. وهذا يجعل الأمر يبدو وكأن شيئًا أعمق قد يحدث.

على الرغم من أن الورقة الجديدة تقدم دليلاً على ذلك N_k هو دائمًا 19 على الأقل، ولا يُعرف ما إذا كان دائمًا محدودًا، أو إذا كان هناك k الذي يحتوي التسلسل على أعداد صحيحة إلى أجل غير مسمى. "N_k يتصرف بشكل غامض. وقال ماتسوساكا: “هناك رغبة أساسية في فهم نمطها الأساسي”. "قد يكون الأمر أقرب إلى الفرح الذي شعرت به عندما كنت طفلاً عندما أقوم بحل الألغاز التي قدمها المعلمون. وحتى الآن، لا تزال تلك المشاعر من ذلك الوقت باقية بداخلي.

كوانتا تجري سلسلة من الدراسات الاستقصائية لخدمة جمهورنا بشكل أفضل. خذ خاصتنا مسح قارئ الرياضيات وسيتم إدخالك للفوز مجانا كوانتا MERCH.