بعد دقائق قليلة من حديث 2018 في جامعة ميشيغان ، إيان توباسكو التقط قطعة كبيرة من الورق وكسرها في شكل كرة من الفوضى على ما يبدو. لقد رفعها ليراها الجمهور ، ثم ضغطها بشكل جيد ، ثم نشرها مرة أخرى.
قال: "تظهر لي كتلة جامحة من الطيات ، وهذا هو اللغز". "ما الذي يحدد هذا النمط من نمط آخر أكثر تنظيماً؟"
ثم حمل قطعة كبيرة ثانية من الورق - مطوية مسبقًا في نمط اوريغامي الشهير من متوازي الأضلاع المعروف باسم Miura-ori - وضغطها بشكل مسطح. قال إن القوة التي استخدمها على كل ورقة كانت متشابهة تقريبًا ، لكن النتائج لا يمكن أن تكون أكثر اختلافًا. تم تقسيم Miura-ori بدقة إلى مناطق هندسية ؛ كانت الكرة المجعدة عبارة عن فوضى من الخطوط الخشنة.
قال ، مشيرًا إلى الترتيب المتناثر للتجاعيد على الورقة المجعدة ، "لديك شعور بأن هذا هو مجرد نسخة عشوائية عشوائية من هذا." أشار إلى Miura-ori الأنيق والمنظم. "لكننا لم نضع إصبعنا على ما إذا كان هذا صحيحًا أم لا."
لن يتطلب إجراء هذا الاتصال أقل من إنشاء قواعد رياضية عالمية للأنماط المرنة. يعمل توباسكو على هذا منذ سنوات ، ويدرس المعادلات التي تصف المواد المرنة الرقيقة - أشياء تستجيب للتشوه بمحاولة العودة إلى شكلها الأصلي. كزة بالونًا بقوة كافية وسوف يتشكل نمط انفجار نجمي من التجاعيد الشعاعية ؛ أزل إصبعك وسوف تتلاشى مرة أخرى. اضغط على كرة مجعدة من الورق وستتمدد عند تحريرها (على الرغم من أنها لن تنهار تمامًا). درس المهندسون والفيزيائيون كيفية ظهور هذه الأنماط في ظل ظروف معينة ، ولكن بالنسبة لعالم الرياضيات ، تقترح هذه النتائج العملية سؤالًا أكثر جوهرية: هل من الممكن أن نفهم ، بشكل عام ، ما الذي يختار نمطًا ما دون الآخر؟
في يناير 2021 ، نشر توباسكو ورقة أجاب على هذا السؤال بالإيجاب - على الأقل في حالة وجود ورقة ناعمة ومنحنية ومرنة مضغوطة في التسطيح (موقف يوفر طريقة واضحة لاستكشاف السؤال). تتنبأ معادلاته بكيفية احتواء التجاعيد التي تبدو عشوائية على مجالات "منظمة" ، والتي لها نمط متكرر يمكن تحديده. وشارك في كتابة ورقة بحثية نُشرت الشهر الماضي ، تُظهر نظرية فيزيائية جديدة ، ترتكز على رياضيات صارمة ، يمكنها التنبؤ بأنماط في سيناريوهات واقعية.
والجدير بالذكر أن عمل توباسكو يشير إلى أن التجاعيد ، بأشكالها المتعددة ، يمكن اعتبارها حلاً لمشكلة هندسية. قال "إنه جزء جميل من التحليل الرياضي" ستيفان مولر من مركز هاوسدورف للرياضيات بجامعة بون بألمانيا.
إنه يحدد بأناقة ، ولأول مرة ، القواعد الرياضية - وفهم جديد - وراء هذه الظاهرة الشائعة. قال "دور الرياضيات هنا لم يكن لإثبات التخمين الذي قام به الفيزيائيون بالفعل" روبرت كون، عالم رياضيات في معهد كورانت بجامعة نيويورك ، ومستشار كلية الدراسات العليا في توباسكو ، "ولكن بدلاً من ذلك لتقديم نظرية حيث لم يكن هناك فهم منهجي سابقًا."
تمتد
إن الهدف من تطوير نظرية التجاعيد والأنماط المرنة قديم. في عام 1894 ، في مراجعة في الطبيعة، أشار عالم الرياضيات جورج جرينهيل إلى الفرق بين المنظرين ("ما الذي نفكر فيه؟") والتطبيقات المفيدة التي يمكنهم اكتشافها ("ماذا سنفعل؟").
في القرنين التاسع عشر والعشرين ، حقق العلماء تقدمًا كبيرًا في هذا الأخير ، ودرسوا المشكلات التي تنطوي على التجاعيد في أشياء محددة يتم تشويهها. تشمل الأمثلة المبكرة مشكلة تشكيل الألواح المعدنية الملساء والمنحنية للسفن البحرية ، ومحاولة ربط تكوين الجبال بتسخين القشرة الأرضية.
في الآونة الأخيرة ، وسع علماء الرياضيات والفيزياء جهودهم لربط النظرية والملاحظة بمجموعة واسعة من حالات التجاعيد والهندسة والمواد. قال عالم الرياضيات: "لقد كان هذا يحدث منذ حوالي 10 سنوات ، حيث نجري تجارب أولاً ثم نحاول إيجاد النظرية لفهمها" دومينيك فيلا من جامعة أكسفورد. "لقد بدأنا مؤخرًا فقط في الحصول على الفهم الصحيح."
كانت هناك معالم مثيرة. في عام 2015 ، بيدرو ريس ، مهندس ميكانيكي في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وصف القوانين الفيزيائية للأنماط الهندسية التي تتشكل على كرات السيليكون المفرغة من الهواء. ربط عمله تلك التجاعيد بسمك الطبقات الداخلية والخارجية للمادة المرنة. وأشار ريس أيضًا إلى أن التجاعيد ، بدلاً من اعتبارها عيوبًا ، قد توفر فرصًا لتصميم سلوكيات ميكانيكية جديدة. ثم في عام 2017 ، فيلا قاد التحليل عدم استقرار التجاعيد لفيلم رقيق مرن تحت الضغط ، ويصف كيف يتغير عدد التجاعيد وفقًا لعمق الكزة الأولية وتفاصيل أخرى محددة.
لكن هذه التطورات ما زالت تحل فقط أجزاء من المشكلة. من أجل فهم رياضي أكثر عمومية لكيفية تشكل التجاعيد ، كان من الضروري اتباع نهج مختلف. سيكون توباسكو هو الشخص الذي يدفعها إلى الأمام.
بعد الفضول
عندما كان صغيرًا ، اعتقد توباسكو أنه سيدرس هندسة الطيران. تخرج من جامعة ميشيغان في عام 2011 بدرجة البكالوريوس في هذا المجال ، ولكن في تلك المرحلة كان قد انجذب بالفعل إلى التفكير العميق في التفكير الرياضي والأنظمة الفيزيائية. حصل على درجة الدكتوراه في الرياضيات ، لكنه يلوم جوي بولسن ، الفيزيائي بجامعة سيراكيوز الآن ، لوضعه على المسار المحدد للتجاعيد.
في وقت سابق من حياته المهنية ، عندما كان بولسن يدرس خصائص المواد غير العادية ، تعلم تصنيع وتحليل أغشية البوليمر الرقيقة للغاية باستخدام تقنية تسمى طلاء الدوران. أولاً ، كان يصنع مادة سائلة خاصة تحتوي على كميات ضئيلة من البوليمر المذاب ؛ ثم يضع المادة على لوح دوار. سوف يتبخر معظم السائل ، بينما ينتشر البوليمر إلى سمك متساوٍ قبل أن يتصلب. بمجرد أن أصبح لديه مختبره الخاص في سيراكيوز ، تعلم بولسن كيفية تكييف الطلاء الدوراني لإنشاء أفلام منحنية - مثل أصداف السلحفاة فائقة الرقة.
في أحد الأيام ، وضع بعضًا من هذه الأفلام المنحنية فوق المياه الراكدة وصوّر كيف استقرت على السطح. قال: "كان مدفوعاً بالفضول البحت". لفتت الصور انتباه توباسكو في اجتماع غير رسمي مع بولسن في عام 2017.
قال توباسكو ، الذي يعمل الآن أستاذًا مساعدًا في جامعة إلينوي بشيكاغو: "لقد أظهروا أنه يمكنك الحصول على أنماط التجاعيد المختلة العشوائية هذه - عندما أجريت التجربة مرتين ، حصلت على نمطين مختلفين". "أردت أن أرى ما إذا كان بإمكاني التوصل إلى طريقة قابلة للاشتقاق [للتنبؤ بهذه الأنماط] من المرونة ، والتي تتضمن شكل القشرة. وأن النموذج لن يتغير من قذيفة إلى أخرى ".
أنماط التجاعيد هي تكوينات بأقل طاقة ممكنة. أي أنه عندما يستقر الفيلم الرقيق على سطح مستو ، فإنه يتحول إلى أن يجد ترتيب التجاعيد ، سواء كان غير منظم أم لا ، والذي يتطلب أقل قدر من الطاقة للمحافظة عليه. قال توباسكو: "يمكنك تنظيم الأنماط حسب كمية الطاقة المخزنة عندما يظهر [النمط]".
بقيادة هذا المبدأ التوجيهي ، قام بعزل بعض خصائص الفيلم التي أثبتت أنها تلك التي تحدد نمطه ، بما في ذلك مقياس لشكله يسمى الانحناء الغاوسي. ينحني السطح الذي به انحناء غاوسي موجب بعيدًا عن نفسه ، مثل السطح الخارجي للكرة. على النقيض من ذلك ، تكون الأسطح المنحنية سلبًا على شكل سرج ، مثل شريحة برينجلز: إذا ذهبت في اتجاه واحد ، فأنت تتحرك لأعلى ، ولكن إذا ذهبت في اتجاه مختلف ، فإنك تنزل.
وجد توباسكو أن مناطق الانحناء الغاوسي الإيجابي تنتج نوعًا واحدًا من ترتيب المجالات المرتبة والمضطربة ، بينما تنتج المناطق ذات الانحناء السلبي أنواعًا أخرى. قال فيلا: "الهندسة التفصيلية ليست مهمة جدًا". "الأمر يعتمد فقط على علامة الانحناء الغاوسي."
كانوا يشتبهون في أن الانحناء الغاوسي مهم للتجاعيد ، لكن فيلا قال إنها كانت مفاجأة أن المجالات تعتمد بشدة على العلامة. علاوة على ذلك ، تنطبق نظرية توباسكو أيضًا على مجموعة واسعة من المواد المرنة ، وليس فقط أشكال بولسن. قالت فيلا: "إنه بناء هندسي جميل يظهر مكان ظهور التجاعيد". "لكن فهم مصدر ذلك أمر عميق حقًا ومثير للدهشة."
وافق بولسن. "ما تفعله نظرية إيان بشكل جميل للغاية هو إعطائك النمط الكامل مرة واحدة."
تجاعيد الحياة الحقيقية
في أوائل عام 2018 ، استقر توباسكو نظريته في الغالب - ولكن على الرغم من نجاحها على الورق ، لم يكن متأكدًا من أنها ستكون دقيقة في العالم الحقيقي. اتصل توباسكو ببولسن وسأله عما إذا كان مهتمًا بالتعاون. قال بولسن: "لقد نجح شيء ما على الفور". "مع بعض تنبؤات إيان ، الموضوعة فوق الصور التجريبية ، يمكننا أن نرى على الفور أنها مصطفة."
في مؤتمر جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية في ذلك العام حول الجوانب الرياضية لعلوم المواد ، تم تقديم توباسكو إلى إيليني كاتيفوري، عالم فيزياء في جامعة بنسلفانيا كان يستكشف مشكلة أنماط التجاعيد في الأصداف المحصورة وبناء قاعدة بيانات للنتائج. كانت لحظة صدفة. قالت: "يمكننا أن نرى المجالات [في عمليات المحاكاة] التي شرحها عمل إيان". كانت المباراة غريبة. حتى خلال مناقشاتهم الأولى ، كان من الواضح أن نظرية توباسكو وصور بولسن التجريبية ومحاكاة كاتيفوري وصفت جميعها نفس الظواهر. "حتى في المراحل المبكرة ، عندما لم يكن لدينا أي شيء ملموس ، كان بإمكاننا رؤية الصلة."
سرعان ما أدت هذه الإثارة المبكرة إلى إثارة الشكوك. بدا الأمر جيدًا جدًا لدرجة يصعب تصديقها. قال بولسن: "إنه عالم رياضيات ويجعل كل هذه الأشياء غير أبعاد" ، مشيرًا إلى كيف يمكن لأفكار توباسكو حول الانحناء أن تمتد إلى ما هو أبعد من المواد المسطحة ثنائية الأبعاد. "هل ننظر حقًا إلى نفس النظام؟ إنها توافق ، لكن هل كان ينبغي أن توافق؟ "
على مدار العامين التاليين ، كشف الباحثون الثلاثة عن التفاصيل ، موضحين أن نظرية توباسكو تنبأت بالفعل - بالضبط - بترتيب التجاعيد التي رآها بولسن في تجاربه ووجدتها كاتيفوري في نماذج الكمبيوتر الخاصة بها. في 25 أغسطس ، نشروا ورقة في فيزياء الطبيعة تبين كيف تتلاقى الطرق الثلاثة جميعها على نفس الترتيب الهندسي المباشر للتجاعيد. والجدير بالذكر أنهم وجدوا أن الأنماط تقع في عائلات مرتبة من مثلثات متساوية الساقين تحدد مجالات النظام والفوضى. بالإضافة إلى ذلك ، لا تقتصر النتائج على التجريدات الرياضية للمواد الرقيقة بشكل مستحيل ، ولكنها تتناول أوامر متعددة من حيث السماكة.
يقترح عملهم أيضًا فرصًا لتوسيع النظرية وتطبيقاتها. قالت كاتيفوري إنها بصفتها عالمة فيزياء ، فهي مهتمة بتسخير التوقعات لتصميم مواد جديدة. "أريد أن أفهم كيف يمكنك تصميم الأسطح بحيث يقومون في الواقع بتنظيم أنماط التجاعيد إلى شيء تريده."
سؤال مفتوح آخر هو كيف يمكن تطبيق النظرية بشكل عام على أنواع مختلفة من الأسطح المنحنية. قال فيلا: "إنه يركز بشدة على المواقف التي يكون فيها [الانحناء الغاوسي] إما إيجابيًا أو سلبيًا ، ولكن هناك الكثير من المواقف التي تكون فيها بعض المناطق إيجابية وبعضها سلبي".
وافق بولسن على أن هذا احتمال مثير ، وقال توباسكو إنه يعمل بنشاط في هذا المجال ويفكر في أشكال أخرى من القذائف - مثل تلك التي بها ثقوب.
لكن بولسن قال إن النظرية ، حتى بصيغتها الحالية ، جميلة ومدهشة. قال: "إذا أعطيتك شكل صدفة وحدود وهذه المجموعة البسيطة من القواعد التي تنبأت بها نظرية إيان ، فيمكنك أن تأخذ بوصلة ومسطرة وترسم التجاعيد بشكل أساسي". "لم يكن ليحدث بهذه الطريقة. كان يمكن أن يكون مروعا تماما ".
