المُقدّمة
جينا ، طالبة الهندسة ، بقيت مستيقظة لوقت متأخر جدًا من الليلة الماضية في أداء واجباتها المدرسية أثناء المشاهدة البريطانية العظمى بيك أوف، لذلك عندما ذهبت أخيرًا إلى الفراش ، كان عقلها النائم لا يزال مليئًا بالكعك والبوصلة. أدى هذا إلى حلم غير عادي.
وجدت جينا نفسها محكمًا في Great Brownie Bake Off في Imaginary University ، وهي مدرسة يتعلم فيها الطلاب الكثير من الهندسة ولكن القليل جدًا من الحساب. تم تكليف فرق من طلاب Imaginary U بصنع أكبر كعكة ممكنة ، وكان الأمر متروكًا لـ Gina لتحديد الفائز.
كان فريق Alpha هو أول من انتهى ، وقد قدموا بفخر الكعكة المستطيلة للحكم. أخرجت جينا مسطرة وقاست الكعكة: كان طولها 16 بوصة وعرضها 9 بوصات. سرعان ما تبع فريق بيتا مع الكعكة المربعة ، التي يبلغ قياسها 12 بوصة على كل جانب. عندها بدأت المشكلة.
قال كابتن فريق ألفا: "كعكنا أطول بكثير من كعكك". "من الواضح أن بلدنا أكبر ، لذلك نحن الفائزون!"
قال ممثل من Team Beta: "لكن الجانب القصير من المستطيل أقصر بكثير من جانب المربع الخاص بنا". "من الواضح أن مربعنا أكبر. لقد ربحنا!"
وجدت جينا أنه من الغريب الجدال حول هذا الأمر. قالت: "مساحة الكعكة المستطيلة هي 9 ضرب 16 ، أي ما يعادل 144 بوصة مربعة". "مساحة الكعكة المربعة هي 12 × 12 ، وهي أيضًا 144 بوصة مربعة. البراونيز بنفس الحجم: إنها ربطة عنق ".
بدا كلا الفريقين في حيرة. قال أحد الطلاب ، الذي لم يتعلم الضرب مطلقًا: "لا أفهم ما تقصده بكلمة" الأوقات ". قال آخر: "أنا ولا أنا". قال ثالث ، "لقد سمعت عن الطلاب في منطقة قياس معقدة باستخدام الأرقام مرة واحدة ، ولكن ماذا يعني ذلك؟" كانت جامعة التخيل مكانًا غريبًا بالفعل ، حتى مع استمرار الأحلام.
ماذا كان على جينا أن تفعل؟ كيف يمكنها إقناع الفرق بأن كعكاتهم كانت بنفس الحجم إذا لم يفهموا كيفية قياس المساحة ومضاعفة الأرقام؟ لحسن الحظ ، كانت لدى جينا فكرة عبقرية. قالت: "أعطني سكين".
قاس جينا 12 بوصة أسفل الجانب الطويل من الكعكة المستطيلة وقامت بقطع موازٍ للجانب القصير. أدى هذا إلى تحويل المستطيل الكبير إلى مستطيلين أصغر: أحدهما بقياس 9 × 12 والآخر 9 × 4. مع ثلاث قطع سريعة ، حولت القطعة 9 × 4 إلى ثلاث قطع أصغر حجمًا 3 × 4. نتج عن القليل من إعادة الترتيب أصواتًا مسموعة من الجمهور: لقد حولت جينا المستطيل إلى نسخة طبق الأصل من المربع.
كان على كلا الفريقين الآن الاتفاق على أن كعكاتهم كانت بنفس الحجم. من خلال تشريح واحدة وإعادة ترتيبها لتشكيل الأخرى ، أظهرت جينا أن اثنين من البراونيز احتلت نفس المساحة الإجمالية. تم استخدام تشريح مثل هذا في الهندسة لآلاف السنين لإظهار أن الأرقام هي نفس الحجم ، وهناك العديد من النتائج الرائعة حول التشريح والتكافؤ. حتى اليوم ، لا يزال علماء الرياضيات يستخدمون التشريح وإعادة الترتيب ليفهموا تمامًا متى تكون بعض الأشكال متكافئة ، مما يؤدي إلى بعض النتائج الحديثة المفاجئة.
ربما تكون قد شاهدت تشريحًا هندسيًا في فصل الرياضيات عند تطوير معادلات المنطقة للأشكال الأساسية. على سبيل المثال ، قد تتذكر أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي طول قاعدته مضروبًا في ارتفاعه: هذا لأنه يمكن تشريح متوازي الأضلاع وإعادة ترتيبه في مستطيل.
يوضح هذا التشريح أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي مساحة المستطيل بنفس القاعدة والارتفاع ، والتي ، كما يعلم أي شخص لم يدرس في جامعة التخيل ، هي نتاج هذين الرقمين.
بالحديث عن Imaginary U ، كان Great Brownie Bake Off يسخن للتو. اقترب فريق جاما ببراوني مثلثة كبيرة. أعلنوا بجرأة: "ها هو الفائز". "كلا الجانبين أطول بكثير من الآخر".
قاس جينا الجوانب. "هذا له نفس المنطقة أيضًا!" فتساءلت. "هذا مثلث قائم الزاوية ، والأرجل قياس 18 و 16 ، وبالتالي فإن المنطقة ..." توقفت جينا للحظة ، ولاحظت النظرات المحيرة على وجوه الجميع. "يا تمانع أبدا. فقط أعطني السكين ".
قطعت جينا ببراعة من منتصف الوتر إلى منتصف الساق الأطول ، ثم أدارت المثلث المشكل حديثًا بحيث تكون مستطيلة مثالية عند وضعها في القطعة الأكبر.
"هذا بالضبط كعكنا!" بكى فريق ألفا. من المؤكد أن المستطيل الناتج كان 9 × 16: وهو نفس حجم المستطيل تمامًا.
كان لدى فريق بيتا شكوكهم. "ولكن كيف يقارن هذا المثلث بمربعنا؟" سأل قائد فريقهم.
كانت جينا مستعدة لذلك. "نحن نعلم بالفعل أن المستطيل والمربع لهما نفس الحجم ، لذلك من خلال الانتقال ، يكون المثلث والمربع بنفس الحجم." تعتبر الانتقائية من أهم خصائص المساواة: فهي تقول إذا a = b و b = c، ثم a = c. وتابعت جينا ، "إذا كانت مساحة الكعكة الأولى تساوي مساحة الثانية ، ومساحة الكعكة الثانية تساوي مساحة الكعكة الثالثة ، يجب أن تتساوى مساحة الكعكة الأولى والثالثة أيضًا".
لكن جينا كانت تستمتع كثيرًا بالتشريح لتتوقف عند هذا الحد. "أو يمكننا إجراء المزيد من التخفيضات."
قامت جينا أولاً بتدوير المستطيل الذي كان مثلثًا في السابق. ثم قامت بقصها باستخدام نفس النمط الذي استخدمته على مستطيل Team Alpha.
ثم أوضحت كيف يمكن تحويل هذا التشريح الجديد لمثلث Team Gamma إلى مربع Team Beta ، تمامًا كما فعلت مع مستطيل Team Alpha.
في هذه الحالة نقول إن المثلث والمربع "مقص متطابق": يمكنك أن تتخيل استخدام المقص لتقطيع شكل واحد إلى عدة قطع يمكن إعادة ترتيبها بعد ذلك لتشكيل الأخرى. في حالة المثلث والمربع ، تُظهر البراونيز بالضبط كيف يعمل تطابق المقص هذا.
لاحظ أن النمط يعمل في أي اتجاه: يمكن استخدامه لتحويل المثلث إلى المربع أو المربع إلى المثلث. بمعنى آخر ، تطابق المقص يكون متماثلًا: إذا كان الشكل A مقصًا مطابقًا للشكل B ، فإن الشكل B يكون أيضًا مقصًا مطابقًا للشكل A.
في الواقع ، توضح الحجة أعلاه التي تتضمن المثلث والمستطيل والمربع أن تطابق المقص هو أيضًا متعد. نظرًا لأن المثلث عبارة عن مقص مطابق للمستطيل والمستطيل مقص مطابق للمربع ، فإن المثلث عبارة عن مقص مطابق للمربع. الدليل موجود في الأنماط: ما عليك سوى تراكبهم على الشكل المتوسط ، كما حدث مع المستطيل أعلاه.
إذا قمت بقص المثلث إلى قطع تشكل المستطيل ، ثم قطعت المستطيل إلى قطع تشكل المربع ، فيمكن استخدام القطع الناتجة لتشكيل أي من الأشكال الثلاثة.
حقيقة أن تطابق المقص هو أمر عابر في قلب نتيجة مذهلة: إذا كان هناك مضلعان لهما نفس المنطقة ، فإنهما يكونان متطابقين مع المقص. هذا يعني أنه بالنظر إلى أي مضلعين لهما نفس المنطقة ، يمكنك دائمًا تقطيع أحدهما إلى عدد محدود من القطع وإعادة ترتيبهما لتكوين الآخر.
إن إثبات هذه النظرية الرائعة واضح أيضًا بشكل واضح. أولاً ، قسّم كل مضلع إلى مثلثات.
ثانيًا ، قم بتحويل كل مثلث إلى مستطيل ، على غرار الطريقة التي أعادت بها جينا ترتيب الكعكة المثلثة.
الآن يأتي الجزء التقني الصعب: تحويل كل مستطيل إلى مستطيل جديد بعرض وحدة واحدة.
للقيام بذلك ، ابدأ في تقطيع القطع من المستطيل التي يبلغ عرضها وحدة واحدة.
إذا كان بإمكانك تقطيع المستطيل إلى عدد متكامل من القطع ذات العرض 1 ، تكون قد انتهيت: ما عليك سوى رصها فوق بعضها البعض. خلافًا لذلك ، توقف عن التقطيع عندما يكون عرض القطعة الأخيرة بين وحدة و وحدتين ، وقم بتكديس الباقي فوق بعضها البعض.
لا تقلق إذا كان عرض المستطيل نفسه أقل من وحدة واحدة: فقط قم بتقطيعه إلى نصفين واستخدم القطعتين لعمل مستطيل جديد يبلغ ضعف طوله ونصف سمكه. كرر حسب الضرورة حتى تحصل على مستطيل يتراوح عرضه بين وحدة و وحدتين.
تخيل الآن أن ارتفاع هذا المستطيل الأخير h والعرض w، مع 1 w <2. سنقطع ذلك المستطيل ونعيد ترتيبه في مستطيل بعرض 1 وارتفاع h × w. للقيام بذلك ، قم بتراكب ملف h × w المستطيل مع المطلوب hw × 1 مستطيل مثل هذا.
ثم قص من زاوية إلى أخرى على طول الخط المنقط ، واقطع المثلث الصغير في أسفل اليمين متتبعًا الحافة اليمنى من hw × 1 مستطيل.
هذا يقطع h × w المستطيل إلى ثلاث قطع يمكن إعادة ترتيبها في شكل hw × 1 مستطيل. (يتطلب تبرير هذا التشريح النهائي بعض الحجج الذكية التي تتضمن مثلثات متشابهة. راجع التمارين أدناه للحصول على التفاصيل.)
أخيرًا ، ضع هذا المستطيل الأخير أعلى المكدس ، وقد نجحت في تحويل هذا المضلع - حقًا ، أي مضلع - إلى مستطيل بعرض 1.
الآن إذا كانت مساحة المضلع الأصلي A، إذًا يجب أن يكون ارتفاع هذا المستطيل A، لذلك كل مضلع بمساحة A مقص مطابق لمستطيل بعرض 1 وارتفاع A. هذا يعني أنه إذا كان هناك مضلعان بمساحة A، فهما مقصان متطابقان مع نفس المستطيل ، لذا فبالانتقال هما مقصان متطابقان مع بعضهما البعض. هذا يدل على أن كل مضلع بمساحة A مقص مطابق لكل مضلع آخر مع مساحة A.
ولكن حتى هذه النتيجة القوية لم تكن كافية لإكمال التحكيم بنجاح في جامعة Imaginary University's Brownie Bake Off. لا يزال هناك إدخال واحد متبقي ، ولم يفاجأ أحد بما ظهر به Team Pi.
في اللحظة التي رأت فيها جينا تلك الدائرة قادمة استيقظت من حلمها بعرق بارد. كانت تعلم أنه من المستحيل تقطيع دائرة إلى عدد محدود من القطع وإعادة ترتيبها لتشكيل مربع ، أو مستطيل ، أو أي مضلع. في عام 1964 ، أثبت علماء الرياضيات ليستر دوبينز وموريس هيرش وجاك كاروش أن الدائرة ليست مقصًا مطابقًا لأي مضلع. تحول حلم جينا إلى كابوس هندسي.
لكن كما يبدو دائمًا ، حوّل علماء الرياضيات هذه العقبة إلى رياضيات جديدة. في عام 1990 ، أثبت Miklós Laczkovich أنه من الممكن تقطيع دائرة وإعادة ترتيبها في مربع ، طالما يمكنك استخدام قطع صغيرة بلا حدود ، وغير متصلة بشكل غير محدود ، وخشنة لا نهائية لا يمكن إنتاجها باستخدام مقص.
بقدر ما كانت نتيجة لاكزكوفيتش مفاجئة ومثيرة ، إلا أنها أثبتت أن مثل هذا التحلل ممكن نظريًا. لم تشرح كيفية بناء القطع ، فقط أنها يمكن أن توجد. وهو المكان الذي جاء فيه أندراس ماتيه وأوليغ بيكوركو وجوناثان نويل: في أوائل عام 2022 هم نشر ورقة التي يطابقون فيها إنجازات لاكزكوفيتش ، ولكن مع القطع التي يمكن تصورها.
لسوء الحظ ، لن تتمكن من استخدام نتيجتها لتسوية أي كعكة خبز. المقص وحده لا يمكنه إنتاج العشرة200 القطع اللازمة في تحللها. لكنها خطوة أخرى للأمام في الإجابة على سلسلة طويلة من الأسئلة التي بدأت عندما اخترع أرخميدس أو اكتشف لأول مرة $ latex pi $. وهو يجعلنا نتحرك نحو اختراع أو اكتشاف رياضيات جديدة لم تحلم بها الأجيال السابقة.
تمارين
1. اشرح كيف نعرف أنه في اشتقاق صيغة المساحة لمتوازي أضلاع ، فإن المثلث الذي قطعناه يتناسب تمامًا مع الفراغ على الجانب الآخر من متوازي الأضلاع.
2. اشرح لماذا يمكن تشريح أي مثلث إلى مستطيل.
للتمرينين 3 و 4 ، ضع في اعتبارك الرسم التخطيطي المستخدم لإظهار أن h × w المستطيل هو مقص مطابق ل hw × 1 مستطيل ، مع تسمية النقاط.
3. اشرح لماذا $ Latex Triangle $ س ص مشابه لـ $ latextriangle $ ABX,ru. ماذا يجعل هذا طول QY?
4. اشرح لماذا $ Latex Triangle $ PCX يطابق المثلث $ اللاتكس $ أزق.
انقر للإجابة 1:
هناك طرق عديدة لإظهار تطابق المثلثين. إحدى الطرق هي أن نلاحظ أن المسافة بين الخطوط المتوازية ثابتة ، وبالتالي فإن المثلثين قائم الزاوية لهما زوج من الأرجل المتطابقة.
وفي متوازي الأضلاع ، تكون الأضلاع المتقابلة متطابقة ، مما يجعل المثلثين متطابقين مع نظرية تطابق المثلث والوتر. يمكنك أيضًا إجراء مناقشة باستخدام نظرية تطابق مثلث الزاوية والضلع والزاوية.
انقر للإجابة 2:
إحدى النتائج الأولية العظيمة في هندسة المثلث هي نظرية القطعة المتوسطة للمثلث: إذا قمت بتوصيل نقاط المنتصف في ضلعي المثلث ، فإن قطعة الخط الناتجة تكون موازية للضلع الثالث ونصف طولها.
نظرًا لأن القطعة موازية للضلع الثالث ، فإن الزاويتين 1 و 3 زاويتان متطابقتان. والزاويتان 1 و 2 زاويتان داخليتان متماثلتان في الضلع ، لذا فهما مكملان ، ما يعني أن مجموع قياساتهما 180 درجة. نظرًا لأن $ latexangle $ 1 مطابق لـ $ latexangle $ 3 ، فهذا يعني أن الزاويتين 3 و 2 مكملتان أيضًا.
وهكذا ، عندما تقلب المثلث العلوي حوله وإلى اليمين ، فإن الأضلاع المتطابقة تتطابق تمامًا ، والزاويتان 2 و 3 ستشكلان خطًا مستقيمًا.
هذا يحول المثلث إلى متوازي أضلاع والذي ، كما نعلم بالفعل ، يمكن تحويله إلى مستطيل.
انقر للإجابة 3:
منذ BXYZ مستطيل ، كلاهما $ latexangle $ زي بي سي و $ اللاتكسانغل $ ZYX زوايا قائمة. وبما أن الأضلاع المتقابلة في المستطيل متوازيتان ، فإن هذا يجعل $ latexangle $ YQX يتوافق مع $ latexangle $ اكس بي، لأنها زوايا داخلية متبادلة. وهكذا $ latextriangle $ س ص مشابه لـ $ latextriangle $ ABX,ru من خلال تشابه الزاوية. في المثلثات المتشابهة تكون الأضلاع متناسبة ، لذا $ latex frac {XY} {AB} = frac {QY} {BX} $. وبالتالي ، فإن $ latex frac {h} {hw} = frac {QY} {w} $ ، وهكذا QY = 1. لاحظ ذلك ، منذ $ latexangle $ ADC هي الزاوية اليمنى وزاوية اللاتكس $ DAP وزاوية اللاتكس $ YQX هي زوايا متطابقة متطابقة ، وهذا يجعل $ مثلث اللاتكس $ DAP مطابق لـ $ latextriangle $ YQX. هذا يثبت أنه يمكنك تمرير $ latextriangle $ YQX في البقعة التي يشغلها حاليًا $ latex triangle $ DAP، كما هو مطلوب في حجة التطابق المقص.
انقر للإجابة 4:
لاحظ أن $ latex angle $ أزق و $ اللاتكسانغل $ PCX كلاهما زاويتان قائمة ، وبالتالي متطابقتان. باستخدام خصائص الخطوط المتوازية كما في التمرين 3 ، يمكننا أيضًا رؤية زاوية اللاتكس $ AQZ وزاوية اللاتكس $ PXC هي زوايا متطابقة متطابقة. أيضًا في التمرين 3 ، أظهرنا ذلك QY = 1. هذا يجعل QZ = w - 1 ، وهو بالضبط ما CX مساوي ل. وهكذا ، $ مثلث اللاتكس $ PCX يطابق المثلث $ اللاتكس $ أزق من خلال تطابق مثلث زاوية جانب زاوية. هذا يبرر الجزء الآخر من الحجة القائلة بأن h × w المستطيل هو مقص مطابق ل hw × 1 مستطيل.
