المنظر الذي يرى الرياضيات في الفن والموسيقى والكتابة | مجلة كوانتا

لطالما كانت سارة هارت تراقب الطرق الخفية التي تتغلغل بها الرياضيات في المجالات الأخرى. عندما كانت طفلة، أذهلتها انتشار الرقم 3 في حكاياتها الخيالية. شجعتها والدة هارت، معلمة الرياضيات، على البحث عن الأنماط، وأعطتها ألغازًا رياضية لتمضية الوقت.

حصل هارت على درجة الدكتوراه في نظرية المجموعات في عام 2000، وأصبح فيما بعد أستاذًا في جامعة بيركبيك في لندن. بحث هارت في بنية مجموعات كوكستر، وهي إصدارات أكثر عمومية من الهياكل التي تصنف تناظرات المضلعات والمنشورات. وفي عام 2023 نشرت ذات مرة رئيس الوزراء، كتاب عن طرق ظهور الرياضيات في الخيال والشعر. كتب هارت: "بما أننا نحن البشر جزء من الكون، فمن الطبيعي أن تظهر أشكال التعبير الإبداعي لدينا، بما في ذلك الأدب، ميلًا للنمط والبنية". "الرياضيات إذن هي المفتاح لمنظور مختلف تمامًا للأدب."

منذ عام 2020، يعمل هارت أستاذًا للهندسة في كلية جريشام في لندن. ليس لدى جريشام دورات تقليدية. وبدلاً من ذلك، يقوم أساتذتها بإلقاء عدة محاضرات عامة سنويًا. وتعد هارت أول امرأة على الإطلاق تتولى هذا المنصب البالغ من العمر 428 عامًا، والذي كان يشغله في القرن السابع عشر إسحاق بارو، المشهور بتعليم إسحاق آخر (نيوتن). وفي الآونة الأخيرة، عقدها روجر بنروز، عالم الرياضيات الحائز على جائزة نوبل في الفيزياء لعام 17. تحدث هارت مع كوانتا حول كيفية تأثير الرياضيات والفن على بعضهما البعض. تم تكثيف المقابلة وتحريرها من أجل الوضوح.

لماذا اخترت أن تكتب كتابك عن الروابط بين الرياضيات والأدب؟

هذه الروابط أقل استكشافًا وأقل شهرة من تلك الموجودة بين الرياضيات والموسيقى، على سبيل المثال. تم الاحتفال بالصلات بين الرياضيات والموسيقى منذ زمن فيثاغورس على الأقل. ومع ذلك، على الرغم من وجود كتابات وأبحاث أكاديمية حول كتب أو مؤلفين أو أنواع محددة، إلا أنني لم أر كتابًا للجمهور العام حول الروابط الأوسع بين الرياضيات والأدب.

كيف ينبغي للناس في مجال الفنون أن يفكروا في الرياضيات؟

هناك الكثير من الأرضية المشتركة بين الرياضيات، وينبغي أن أقول، الفنون الأخرى. في الأدب، وكذلك الموسيقى والفن، لا تبدأ أبدًا بلا شيء على الإطلاق. إذا كنت شاعرًا، فأنت تختار: هل سأحصل على هايكو بقيوده الرقمية الدقيقة جدًا، أم سأكتب سونيتة تحتوي على عدد معين من الأسطر، ونظام قافية معين، ووزن معين؟ حتى الشيء الذي لا يحتوي على مخطط قافية سيكون له فواصل أسطر وإيقاع. ستكون هناك قيود تلهم الإبداع وتساعدك على التركيز.

وفي الرياضيات لدينا نفس الشيء. لدينا بعض القواعد الأساسية. ومن خلال ذلك، يمكننا الاستكشاف واللعب وإثبات النظريات. ما يمكن أن تفعله الرياضيات للفنون هو المساعدة في العثور على هياكل جديدة، وإظهار الاحتمالات. كيف تبدو القطعة الموسيقية التي لا تحتوي على توقيع رئيسي؟ يمكننا التفكير في النغمات الـ 12 وترتيبها بشكل مختلف، وإليك جميع الطرق التي يمكنك من خلالها القيام بذلك. فيما يلي أنظمة ألوان مختلفة يمكنك ابتكارها، وإليك أشكالًا مختلفة من الأوزان الشعرية.

ما هو أحد الأمثلة على كيفية تأثر الرياضيات بالأدب؟

منذ آلاف السنين في الهند، كان الشعراء يحاولون التفكير في العدادات الممكنة. في الشعر السنسكريتي، هناك مقاطع طويلة وقصيرة. الطويل ضعف طوله القصير. إذا كنت تريد معرفة عدد الأشياء التي تستغرق وقتًا قدره ثلاثة، فيمكنك الحصول على قصير، أو قصير، أو قصير، أو طويل، أو قصير، أو قصير، أو طويل. هناك ثلاث طرق لتكوين ثلاثة. هناك خمس طرق لتكوين عبارة بطول أربعة. وهناك ثماني طرق لتكوين عبارة طولها خمسة. هذه المتتابعة التي تحصل عليها هي عبارة عن مجموع الحدين السابقين. أنت تعيد إنتاج ما نسميه اليوم تسلسل فيبوناتشي. ولكن هذا كان قبل قرون من ظهور فيبوناتشي.

ماذا عن تأثير الرياضيات على الأدب؟

تسلسل بسيط للغاية، لكنه يعمل بقوة كبيرة جدًا، هذا هو كتاب إليانور كاتون النجوم، والتي صدرت في عام 2013. واستخدمت التسلسل الذي يبدأ 1,1،2/1، 4/1، 8/1، 16/XNUMX. كل فصل في هذا الكتاب هو نصف طول الفصل الذي قبله. إنه يخلق هذا التأثير الرائع حقًا، لأن الوتيرة تتسارع، واختيارات الشخصيات أصبحت أكثر تقييدًا. كل شيء يندفع نحو نهايته. وفي النهاية، الفصول قصيرة للغاية.

مثال آخر على بنية رياضية أكثر تعقيدًا قليلاً هو ما يسمى بالمربعات اللاتينية المتعامدة. المربع اللاتيني يشبه شبكة سودوكو. في هذه الحالة، ستكون شبكة مقاس 10 × 10. يظهر كل رقم مرة واحدة بالضبط في كل صف وفي كل عمود. يتم تشكيل المربعات اللاتينية المتعامدة من خلال تراكب مربعين لاتينيين بحيث يكون هناك زوج من الأرقام في كل مساحة. الشبكة المكونة من الرقم الأول في كل زوج هي مربع لاتيني، وكذلك الشبكة المكونة من الرقم الثاني في كل زوج. علاوة على ذلك، في شبكة الأزواج، لا يظهر أي زوج أكثر من مرة.

هذه مفيدة جدًا بجميع أنواع الطرق. يمكنك إنشاء رموز لتصحيح الأخطاء منها، والتي تكون مفيدة لإرسال الرسائل عبر القنوات المزعجة. لكن أحد الأشياء الرائعة المتعلقة بهذه الكائنات تحديدًا، ذات الحجم 10، هو أن أحد أعظم علماء الرياضيات في كل العصور، ليونارد أويلر، اعتقد أنها لا يمكن أن تكون موجودة. لقد كانت واحدة من المرات القليلة جدًا التي ارتكب فيها خطأً؛ لهذا السبب كان الأمر مثيرًا للغاية. وبعد وقت طويل من تقديمه لهذا التخمين بأن هذه الأشياء لا يمكن أن توجد بأحجام معينة، تم دحضه، وتم العثور على مربعات بهذا الحجم في عام 1959. بهيكل of العلمي الأميركي تلك السنة.

وبعد سنوات من ذلك، كان الكاتب الفرنسي جورج بيريك يبحث عن هيكل يستخدمه في كتابه الحياة: دليل المستخدم. اختار أحد هذه المربعات اللاتينية المتعامدة. وضع كتابه في مبنى سكني في باريس، يضم 100 غرفة، ومربعًا بمساحة 10 × 10. كان كل فصل في غرفة مختلفة، وكان لكل فصل نكهته الفريدة. كان لديه قوائم بعشرة أشياء - أقمشة مختلفة، وألوان، وهذا النوع من الأشياء. سيستخدم كل فصل مجموعة فريدة من نوعها. إنها طريقة رائعة حقًا لتنظيم الكتاب.

من الواضح أنك تقدر الكتابة الجيدة. ما رأيك في جودة الكتابة في الأوراق البحثية الخاصة بالرياضيات؟

انها متغيرة جدا! أعلم أننا نقدر الإيجاز، لكنني أعتقد أنه في بعض الأحيان يتم المبالغة في ذلك. هناك الكثير من الأوراق التي لا تحتوي على أي أمثلة مفيدة.

ما نقدره في الواقع هو حجة بارعة، لأنها تغطي جميع الحالات في وقت واحد بذكاء شديد، فهي أيضًا مختصرة وأنيقة. وهذا ليس مثل سحق حجتك الطويلة في مساحة أصغر مما تحتاج إليه من خلال تغطية الصفحة بعلامات غامضة قمت بإنشائها لجعل التدوين أكثر إيجازًا، ولكن ليس القارئ فقط، ولكن ربما يتعين عليك أنت نفسك فكها بجهد شاق. مرة أخرى من أجل فهم ما يحدث.

نحن لا نفكر بما فيه الكفاية في التدوين المفيد الذي يذكر القارئ بالمقصود. يمكن للتدوين الصحيح أن يغير قطعة من الرياضيات تمامًا، ويمكن أن يفسح المجال للتعميمات أيضًا. فكر في الانتقال، تاريخيًا، من كتابة المجهول، ومربعه ومكعبه بثلاثة أحرف مختلفة، وإلى أي مدى من المرجح، بل ومن الممكن، البدء في التفكير في  متى بدأت الكتابة  و  بدلاً من ذلك.

هل ترى تطورًا في الروابط بين الرياضيات والفن؟

هناك أشياء جديدة في كل وقت. كانت الفركتلات موجودة في كل مكان في التسعينيات. على كل جدار في غرفة نوم الطلاب، كانت هناك صورة لمجموعة ماندلبروت أو شيء من هذا القبيل. كان الجميع يقولون: "أوه، هذا أمر مثير، فركتلات". ستجد، على سبيل المثال، الموسيقيين والملحنين الذين يستخدمون تسلسلات كسورية في مؤلفاتهم.

عندما كان عمري 16 عامًا تقريبًا، كانت هناك أشياء جديدة تسمى الآلات الحاسبة الرسومية. مشوق. وقد أعطاني أحد أصدقاء والدتي هذا البرنامج الذي يمكنه رسم مجموعة ماندلبروت على إحدى هذه الآلات الحاسبة الرسومية الصغيرة. كان حوالي، لا أعرف، 200 بكسل. لقد قمت ببرمجة هذا الشيء ثم اضطررت إلى تركه لمدة 12 ساعة. سيتم رسم هذه النقاط الـ 200 في نهايتها. لذلك، حتى مجرد تلاميذ المدارس كان بإمكانهم التعامل مع هذا الأمر في أواخر الثمانينيات وأوائل التسعينيات، وإنتاج هذه الصور لأنفسهم.

حتى عندما كنت في المدرسة، كنت بالفعل مهتمًا جدًا بالرياضيات المتشددة، على ما يبدو.

 أعتقد أنني كنت مهتمًا منذ أن كنت أعرف أن هذا يعني أنني رياضي. مثلًا، كنت دائمًا أصنع الأنماط منذ أن كنت طفلاً صغيرًا وصغيرًا.

عندما كنت صغيرًا جدًا، كانت لعبتي المفضلة هي بعض البلاطات الخشبية البسيطة جدًا. لقد جاءوا بألوان مختلفة. كنت أقوم بتحويلها إلى أنماط، ثم أنظر إليها بفخر لمدة يوم أو نحو ذلك، ثم أصنع نموذجًا آخر.

عندما كبرت قليلاً، كنت ألعب بالأرقام وأنظر إلى الأنماط. أمي هي التي سأذهب إليها وأقول لها: "أنا أشعر بالملل". ومن ثم ستقول: "حسنًا، هل يمكنك معرفة نمط عدد النقاط التي تحتاجها لتكوين مثلث؟" أو مهما كان. ستطلب مني إعادة اكتشاف الأعداد المثلثية أو شيء من هذا القبيل، وسأكون متحمسًا للغاية.

أمي المسكينة، عدد الاختراعات المذهلة التي سأذهب بها إلى أمي. "لقد طورت طريقة جديدة تمامًا لفعل شيء ما!" وكانت تقول: "حسنًا، هذا لطيف جدًا. لكن، كما تعلمون، فكر ديكارت في ذلك منذ قرون مضت. وبعد ذلك سأذهب؛ لقد توصلت إلى فكرة مذهلة أخرى بعد بضعة أيام. "هذا جميل يا عزيزي. لكن الإغريق القدماء كان لديهم ذلك.

هل تتذكر أي لحظات مرضية بشكل خاص من مسيرتك المهنية في مجال البحث في الرياضيات؟

إن اللحظات التي تفهم فيها أخيرًا النمط الذي تراه تكون مرضية دائمًا، وكذلك عندما تكتشف كيفية إكمال الدليل الذي كنت تتصارع معه. أقوى ذكرياتي عن مشاعر البهجة تلك، ربما لأنها كانت المرة الأولى التي شعرت فيها بها، تعود إلى بداية مسيرتي البحثية. ولكن يظل شعورًا جميلًا أن تحصل على كلمة "آها" عندما تفهم أخيرًا ما يحدث.

في وقت مبكر جدًا كنت أحاول إثبات شيء ما حول مجموعات كوكستر اللانهائية. لقد قمت بحل بعض الحالات، ومن خلال النظر في الباقي، توصلت إلى تقنية من شأنها أن تنجح إذا تم استيفاء معيار معين. يمكنك كتابة هذه العلاقات في رسم بياني، لذلك بدأت في تجميع مجموعة من الرسوم البيانية التي يمكن تطبيق تقنيتي عليها. كان هذا خلال عيد الميلاد سنة واحدة.

وبعد فترة من الوقت، بدأت مجموعة الصور الخاصة بي تبدو وكأنها مجموعة معينة من الرسوم البيانية التي تم إدراجها في كتاب عن مجموعات كوكستر الذي كان موجودًا في مكتبي، وبدأت آمل أن تكون هذه المجموعة بالضبط من الرسوم البيانية. إذا كان الأمر كذلك، فإن ذلك من شأنه أن يملأ الفجوة في برهاني، وستكون نظريتي قد انتهت. لكنني لم أتمكن من التأكد من ذلك حتى عدت إلى الجامعة بعد عيد الميلاد - كان هذا قبل أن تتمكن من البحث عن كل شيء عبر جوجل. أعتقد أن توقع الاضطرار إلى الانتظار للتأكد من حدسي جعل الأمر أفضل عندما وصلت إلى الكتاب وقارنت مجموعة الرسوم البيانية المكتوبة بخط اليد مع تلك الموجودة في الكتاب، وكانت بالفعل متطابقة.

ما رأيك في مسألة هل الرياضيات مخلوقة أم مكتشفة؟ لن يجادل أحد تقريبًا في أن أيًا من الروائيين الذين تكتب عنهم في كتابك "اكتشف" رواياتهم. فهل هذا فرق جوهري بين الرياضيات والأدب أم لا؟

من المحتمل أن يكون الأمر كذلك، على الرغم من أنه لا تزال هناك بعض الأصداء.

ممارسة الرياضيات تبدو وكأنها اكتشاف. إذا كنا نخترع الرياضيات، فمن المؤكد أنه لن يكون من الصعب إثبات الأشياء! في بعض الأحيان نرغب بشدة في أن يكون شيء ما حقيقيًا، وهو ليس كذلك. أعتقد أننا لا نستطيع تجنب عواقب المنطق.

كل ذلك يبدو وكأنه اكتشاف عندما تفعل ذلك. تعكس بعض الاختيارات ما نختبره في العالم الحقيقي، مثل بديهيات الهندسة التي نعمل بها، والتي تم اختيارها لأنها تبدو تقريبًا ما هو عليه الواقع - على الرغم من أنه حتى هناك، لا يوجد شيء مثل "نقطة" أو "" "(لأننا لا نستطيع رسم شيء لا يشغل مساحة، والخط في الهندسة ليس له عرض ويمتد إلى ما لا نهاية)."

وإلى حد ما، هناك أوجه تشابه مع هذه الاستمرارية في الأدب. بمجرد تحديد قواعد السوناتة، سيكون من الصعب عليك كتابة واحدة ينتهي سطرها الأول بـ "برتقالي" أو "مدخنة".

لكن لا يمكنني مقاومة مشاركة شيء ما من J.R.R. قال تولكين عن الكتابة في الهوبيت: "بدأ الأمر كله عندما كنت أقرأ أوراق الامتحانات لكسب القليل من المال الإضافي. … حسنًا، في أحد الأيام وصلت إلى صفحة فارغة في كتاب الامتحان وكتبت عليها. «في حفرة في الأرض كان يعيش هوبيتي». لم أكن أعرف شيئًا عن هذه المخلوقات أكثر من ذلك، ومرت سنوات قبل أن تنمو قصته. لا أعرف من أين جاءت الكلمة».

الهوبيت - هل خلقهم أم اكتشفهم؟