উপবৃত্তাকার বক্ররেখা একটি নতুন সংখ্যা পদ্ধতিতে তাদের গোপনীয়তা প্রদান করে | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

গবেষণা গণিতের অনেক জটিল অগ্রগতি সংখ্যা সম্পর্কে কিছু সহজ প্রশ্ন বোঝার ইচ্ছার দ্বারা উদ্বুদ্ধ হয়। কিভাবে মৌলিক সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা মধ্যে বিতরণ করা হয়? নিখুঁত কিউব আছে (যেমন 8 = 2³ অথবা 27 = 3³) যেটিকে আরও দুটি ঘনকের যোগফল হিসাবে লেখা যায়? আরও সাধারণভাবে, গণিতবিদরা একটি সমীকরণ সমাধান করতে চাইতে পারেন। কিন্তু সমীকরণের সাথে তাল মিলিয়ে তা করা প্রায়ই অসম্ভব। পরিবর্তে, গণিতবিদরা সমাধানগুলিকে বন্যভাবে বিমূর্ত কাঠামোর সাথে সংযোগ করার উপায় খুঁজে পান যার জটিলতা তাদের গোপনীয়তাকে এনকোড করে।

গত কয়েক দশক ধরে, গণিতের গবেষণার সবচেয়ে উত্তেজনাপূর্ণ লাইনগুলির মধ্যে একটি এই ফর্মটি অনুসরণ করেছে। এটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা নামক নির্দিষ্ট ধরণের বহুপদী সমীকরণ এবং মডুলার ফর্ম নামে পরিচিত আরও রহস্যময় বস্তুর মধ্যে সম্পর্ক বোঝার সাথে জড়িত, যা 1994 সালে গণিতে বিশিষ্টতা লাভ করে যখন অ্যান্ড্রু ওয়াইলস 20 শতকের সবচেয়ে বিখ্যাত ফলাফলগুলির মধ্যে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য তাদের ব্যবহার করে। অংক.

গত জানুয়ারিতে, আনা কারাইয়ানি ইম্পেরিয়াল কলেজ লন্ডন এবং বন বিশ্ববিদ্যালয় এবং জেমস নিউটন অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের এই এলাকায় গবেষণার একটি নতুন শিরা খোলা যখন তারা প্রমাণ করেছে উপবৃত্তাকার বক্ররেখা এবং মডুলার ফর্মগুলির মধ্যে যে সম্পর্ক Wiles প্রতিষ্ঠিত করেছিলেন তা কিছু গাণিতিক বস্তুর জন্যও ধারণ করে যাকে কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্র বলা হয়।

ওয়াইলস প্রমাণ করেছিলেন যে নির্দিষ্ট ধরণের উপবৃত্তাকার বক্ররেখাগুলি মডুলার - যার অর্থ একটি নির্দিষ্ট মডুলার ফর্ম রয়েছে যা প্রতিটি বক্ররেখার সাথে মিলে যায় - যখন দুটি ভেরিয়েবল এবং দুটি সহগ বক্ররেখাকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য জড়িত সমস্ত মূলদ সংখ্যা, মানগুলি ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে। তার কাজের পরে, গণিতবিদরা বিস্তৃত বিভিন্ন প্রেক্ষাপটে মডুলারিটি প্রতিষ্ঠা করার চেষ্টা করেছিলেন। 2001 সালে চারজন গণিতবিদ প্রমাণ করেছিলেন যে সমস্ত উপবৃত্তাকার বক্ররেখা মূলদ সংখ্যার উপর মডুলার (যদিও ওয়াইলস শুধুমাত্র কিছু বক্ররেখার জন্য এটি প্রমাণ করেছিলেন)। 2013 সালে, তিন গণিতবিদ সহ সমীর সিকসেক ওয়ারউইক বিশ্ববিদ্যালয়ের গবেষণায় প্রমাণিত হয়েছে যে উপবৃত্তাকার বক্ররেখাও মডুলার বাস্তব দ্বিঘাত ক্ষেত্র উপর  (অর্থাৎ ভেরিয়েবল এবং সহগ একটি সংখ্যা পদ্ধতি থেকে নেওয়া হয় যাকে একটি বাস্তব দ্বিঘাত ক্ষেত্র বলা হয়)।

অগ্রগতি মাউন্ট করার সাথে সাথে, একটি নির্দিষ্ট লক্ষ্য নাগালের বাইরে থেকে যায়: প্রমাণ করে যে উপবৃত্তাকার বক্ররেখাগুলি কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলির উপর মডুলার।

চতুর্মুখী ক্ষেত্র হল মূলদ সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যার মধ্যে একটি গাণিতিক ধাপ, যাতে প্রতিটি সম্ভাব্য দশমিক সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত থাকে, এমনকি দশমিক বিন্দুর ডানদিকে অসীম প্যাটার্ন সহ যেগুলি কখনও পুনরাবৃত্তি হয় না। (এতে সমস্ত অমূলদ সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত, যেমন $latex sqrt{2}$ বা $latex pi $।)

দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলি কিছু পূর্ণসংখ্যা বেছে নেয় — বলুন, 5 — এবং $latex a + bsqrt{5}$ ফর্মের সমস্ত সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করে যেখানে a এবং b দুটিই মূলদ সংখ্যা। যদি প্রশ্নে পূর্ণসংখ্যাটি ধনাত্মক হয়, তাহলে ফলস্বরূপ দ্বিঘাত ক্ষেত্রটি বাস্তব সংখ্যাগুলির একটি উপসেট, তাই এটি একটি বাস্তব দ্বিঘাত ক্ষেত্র হিসাবে পরিচিত।

উপবৃত্তাকার বক্ররেখাগুলি সম্পর্কে কী যা কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলির উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় — যেগুলি একটি ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল নিয়ে গঠিত হয়?

এই সমস্যাটিই ক্যারাইয়ানি এবং নিউটন মোকাবেলা করেছিলেন।

শত শত বছর আগে, গণিতবিদরা ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূলকে সহজবোধ্যভাবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন: তারা একটি নাম দিয়েছেন, i, −1 এর বর্গমূলে। তাহলে অন্য কোনো ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল ঠিক হবে i সংশ্লিষ্ট ধনাত্মক সংখ্যার বর্গমূলের গুণ। তাই $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$। কাল্পনিক সংখ্যাগুলি গণিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে কারণ অনেক সমস্যার জন্য, বাস্তব সংখ্যার তুলনায় তাদের সাথে কাজ করা সহজ।

কিন্তু উপবৃত্তাকার বক্ররেখা কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলির উপর মডুলার প্রমাণ করা দীর্ঘকাল ধরে নাগালের বাইরে থেকে গেছে, কারণ বাস্তব দ্বিঘাত ক্ষেত্রের উপর মডুলারিটি প্রমাণ করার কৌশলগুলি কাজ করে না।

কারাইয়ানি এবং নিউটন মডুলারিটি অর্জন করেছেন — সমস্ত কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রের প্রায় অর্ধেকের উপরে সমস্ত উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জন্য — উইলস এবং অন্যদের দ্বারা কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রের উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখায় অগ্রগামী মডুলারিটি প্রমাণ করার জন্য একটি প্রক্রিয়া কীভাবে মানিয়ে নেওয়া যায় তা খুঁজে বের করার মাধ্যমে।

"এখানেই ক্যারাইয়ানি এবং নিউটনের সুন্দর কাজ এসেছে। তারা ওয়াইলসের দ্বিতীয় ধাপে উন্নতি করেছে," বলেন চন্দ্রশেখর খারে ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের, লস এঞ্জেলেস।

কাজটি নিজের অধিকারে একটি প্রযুক্তিগত অর্জন, এবং এটি কাল্পনিক সেটিংয়ে গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কিছু প্রশ্নে অগ্রগতির দ্বার উন্মুক্ত করে।

ম্যাচমেকার, ম্যাচমেকার

গণিতবিদরা বহুপদী সমীকরণের সমাধানের বিষয়ে যত্নবান হয়েছেন — ধ্রুবক শক্তিতে উত্থাপিত ভেরিয়েবলের সংমিশ্রণ — অন্তত প্রাচীন গ্রীকদের থেকে। সমীকরণগুলি অন্তহীন বৈচিত্র্যের মধ্যে আসে, যা ভেরিয়েবলের পরিমাণ, সেই ভেরিয়েবলের সহগ এবং যে শক্তিগুলিকে উত্থাপিত করা হয়েছে তা সামঞ্জস্য করে অর্জিত হয়৷ $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ শুধুমাত্র একটি উদাহরণ।

উপবৃত্তাকার বক্ররেখা হল বহুপদী সমীকরণ যা গাণিতিক অনুসন্ধানের জন্য কঠোরতার সর্বোত্তম স্তরে। একটি পরিপাটি আছে (এবং ব্যাপকভাবে শেখানো) একটি ভেরিয়েবলে দ্বিঘাত বহুপদীর সমাধান খুঁজে বের করার সূত্র, যার সর্বোচ্চ শক্তি 2, কিন্তু বহুপদীর সমাধানের জন্য এমন কোন সূত্র নেই যেখানে সর্বোচ্চ শক্তি 5 বা তার বেশি। আরও ভেরিয়েবল যোগ করা সাধারণত জিনিসগুলিকে আরও জটিল করে তোলে। কিন্তু উপবৃত্তাকার বক্ররেখা, যার দুটি ভেরিয়েবল রয়েছে এবং যার সর্বোচ্চ শক্তি 3, যেমন $latex (y^2=x^3+1)$, উদ্ভাবনকে অনুপ্রাণিত করার জন্য যথেষ্ট চ্যালেঞ্জিং, এত কঠিন না হয়ে তারা আশাহীন বোধ করে।

একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সম্পর্কে মৌলিক প্রশ্নগুলির মধ্যে একটি হল সসীম বা অসীমভাবে অনেক যুক্তিযুক্ত জোড়া আছে যা এটি সমাধান করে। কিছু উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সসীমভাবে অনেক যুক্তিযুক্ত সমাধান আছে, অন্যদের অসীম অনেকগুলি আছে এবং কিছুর একেবারেই নেই।

"তাদের এই ধরনের মজার মধ্যবর্তী আচরণ আছে," কারায়ানি বলেছেন।

যদি আপনাকে একটি এলোমেলো উপবৃত্তাকার বক্ররেখা দেওয়া হয়, তবে এটি কোন বিভাগে পড়ে তা অবিলম্বে স্পষ্ট নয়। কিন্তু মডুলার ফর্ম নামক একটি মিলিত বস্তুর সাথে পেয়ার করে এটিকে ডিকোড করা সম্ভব, যার বৈশিষ্ট্য উত্তরটি প্রকাশ করে।

আমাকে একটি মডুলার ফর্ম ধরুন

মডুলার ফর্মগুলি হল বিশ্লেষণে অধ্যয়ন করা ফাংশন, ক্যালকুলাসের একটি উন্নত রূপ। তারা খুব প্রতিসম এবং প্রায়শই অনুবাদ করা যেতে পারে — বাম বা ডানে স্থানান্তরিত — তাদের চেহারা না হারিয়ে। এইভাবে সাইন ফাংশনের মতো অন্যান্য উচ্চ প্রতিসম ফাংশনের সাথে তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি মিল রয়েছে, যদিও সেগুলি লিখতে বা কল্পনা করতে কম সরল।

প্রতিটি মডুলার ফর্ম সহগ সহ আসে। আপনি সংখ্যার একটি সিরিজ তৈরি করে সেগুলি লিখতে পারেন। এই সংখ্যাগুলির খুব সুন্দর বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং র্যান্ডম থেকে অনেক দূরে বলে মনে হচ্ছে। তারা 20 শতকের গোড়ার দিকে গণিতবিদদেরকে রহস্যময় করে তুলেছিল, যখন গাণিতিক প্রতিভা শ্রীনিবাসন রামানুজন বুঝতে শুরু করেছিলেন যে একটি মডুলার ফর্মের সহগগুলির নিদর্শনগুলি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয় যে প্রতিটি মডুলার ফর্ম একটি দ্বিতীয় ধরণের বস্তুর সাথে সংযুক্ত থাকে যাকে গ্যালোস প্রতিনিধিত্ব বলা হয়। . পরে কাজ লিঙ্ক নিশ্চিত.

উপবৃত্তাকার বক্ররেখাতেও গ্যালোয়ের উপস্থাপনা রয়েছে, এবং রামানুজনের কাজের পরে, মনে হয়েছিল যে গ্যালোয়ের উপস্থাপনাগুলি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা এবং মডুলার ফর্মগুলির মধ্যে অন্তর্নিহিত হতে পারে: একটি দিয়ে শুরু করুন, এর গ্যালোস উপস্থাপনা চিহ্নিত করুন, অন্যটি সন্ধান করুন।

"আপনি মনে করেন: উপবৃত্তাকার বক্ররেখা, জ্যামিতি থেকে বস্তু, গ্যালয়েস উপস্থাপনা আছে, এবং মডুলার ফর্মগুলিতে গ্যালয়েস উপস্থাপনা আছে - কোন মিল আছে?" সিকসেক ড.

1950 এর দশকের শেষের দিকে, ইউটাকা তানিয়ামা এবং গোরো শিমুরা প্রস্তাব করেছিলেন যে নির্দিষ্ট মডুলার ফর্ম এবং উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মধ্যে একটি নিখুঁত 1-থেকে-1 মিল রয়েছে। পরবর্তী দশকে রবার্ট ল্যাংল্যান্ডস এই ধারণার ওপর ভিত্তি করে নির্মাণ করেন তার বিস্তৃত ল্যাংল্যান্ড প্রোগ্রাম, যা গণিতের সবচেয়ে সুদূরপ্রসারী এবং ফলাফলমূলক গবেষণা প্রোগ্রামগুলির মধ্যে একটি হয়ে উঠেছে।

যদি 1-থেকে-1 চিঠিপত্রটি সত্য হয়, তাহলে এটি গণিতবিদদের উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সমাধানগুলি বোঝার জন্য একটি শক্তিশালী সরঞ্জাম দেবে। উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি মডুলার ফর্মের সাথে যুক্ত এক ধরণের সংখ্যাসূচক মান রয়েছে। গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উন্মুক্ত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি (প্রমাণ করে এটি আসে a মিলিয়ন ডলার পুরস্কার) — বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমান — প্রস্তাব করে যে যদি সেই মানটি শূন্য হয়, তবে সেই মডুলার ফর্মের সাথে যুক্ত উপবৃত্তাকার বক্ররেখার অসীমভাবে অনেকগুলি যুক্তিযুক্ত সমাধান রয়েছে এবং যদি এটি শূন্য না হয় তবে উপবৃত্তাকার বক্ররেখার অনেকগুলি যুক্তিসঙ্গত সমাধান রয়েছে।

কিন্তু এরকম কিছু মোকাবেলা করার আগে, গণিতবিদদের জানতে হবে যে চিঠিপত্রটি ধারণ করে: আমাকে একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা দিন, এবং আমি আপনাকে এর মিলিত মডুলার ফর্মটি দিতে পারি। গত কয়েক দশক ধরে ওয়াইলস থেকে শুরু করে কারাইয়ানি এবং নিউটন পর্যন্ত অনেক গণিতবিদ এটিই প্রমাণ করেছেন।

আপনার বই মাধ্যমে দেখুন

ওয়াইলসের কাজের আগে, গণিতবিদরা চিঠিপত্রের একটি দিক প্রমাণ করতে সফল হয়েছিল: কিছু ক্ষেত্রে তারা একটি মডুলার ফর্ম দিয়ে শুরু করতে পারে এবং এর মিলিত উপবৃত্তাকার বক্ররেখা খুঁজে পেতে পারে। কিন্তু অন্য দিকে যাওয়া - গণিতবিদরা যখন উপবৃত্তাকার বক্ররেখাগুলি মডুলার হওয়ার কথা বলে তখন যা বোঝায় - এটি আরও কঠিন ছিল এবং ওয়াইলস প্রথম এটি অর্জন করেছিলেন।

"আগের লোকেরা জানত কিভাবে নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে একটি মডুলার ফর্ম থেকে একটি উপবৃত্তে যেতে হয়, কিন্তু উপবৃত্তাকার থেকে মডুলার পর্যন্ত এই পশ্চাৎমুখী দিকটিই ছিল যা ওয়াইলসকে অনুপ্রাণিত করেছিল," খারে বলেছিলেন।

ওয়াইলস কিছু ধরণের উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জন্য মডুল্যারিটি প্রমাণ করেছিলেন যেগুলি সহগ সহ মূলদ সংখ্যা। এটি নিজেই একটি দ্বন্দ্বের মাধ্যমে Fermat এর শেষ উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট ছিল। (ওয়াইলস প্রমাণ করেছেন যে যদি ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি মিথ্যা হয় তবে এটি একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার অস্তিত্বকে বোঝায় যা পূর্ববর্তী কাজটি প্রতিষ্ঠিত হতে পারে না। তাই, ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যটি সত্য হতে হবে।)

যেহেতু গণিতবিদরা উপবৃত্তাকার বক্ররেখার উপর ওয়াইলসের কাজকে প্রসারিত করেছিলেন, তারা তার প্রাথমিক ফলাফল প্রমাণ করার জন্য যে পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন তা অনুসরণ করেছিলেন।

মূলদ সংখ্যা এবং মূলদ দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলিতে ফলাফলকে সাধারণীকরণে সাফল্যের পরে, সুস্পষ্ট পরবর্তী এক্সটেনশনটি ছিল কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলিতে।

"শুধুমাত্র দুটি জিনিস ঘটতে পারে: ক্ষেত্রটি হয় বাস্তব বা কাল্পনিক," কারায়ানি বলেছিলেন। "আসল কেসটা আগেই বোঝা গিয়েছিল, তাই কাল্পনিক কেসে যাওয়াটাই স্বাভাবিক।"

কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলির মূলদ এবং বাস্তব সংখ্যাগুলির মতো একই মৌলিক গাণিতিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে ওয়াইলসের পদ্ধতিটি সেখানে প্রায় সহজে প্রতিস্থাপন করা যায়নি। এর অনেক কারণ আছে, কিন্তু বিশেষ করে, কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলির উপর মডুলার ফর্মগুলি যৌক্তিক এবং বাস্তবের তুলনায় অনেক কম প্রতিসম। প্রতিসাম্যের এই আপেক্ষিক অভাব তাদের গ্যালোস উপস্থাপনাকে সংজ্ঞায়িত করা কঠিন করে তোলে, যা একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সাথে মিল স্থাপনের মূল চাবিকাঠি।

ওয়াইলসের ফার্মাট প্রমাণের পর বছর ধরে, "কাল্পনিক চতুর্মুখী ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে যা সম্ভব ছিল তার বাইরে ছিল," খারে বলেছিলেন। কিন্তু গত এক দশকে, একাধিক অগ্রগতি কারাইয়ানি এবং নিউটনের কাজের পথ তৈরি করে।

আমাকে একটি আংটি আনুন (বা আরও ভাল, একটি ক্ষেত্র)

ওয়াইলসের পদ্ধতির প্রথম ধাপটি ছিল উপবৃত্তাকার বক্ররেখা এবং মডুলার ফর্মের মধ্যে একটি আনুমানিক মিল স্থাপন করা। দুটি গ্যালোস উপস্থাপনাগুলির মাধ্যমে সংযুক্ত রয়েছে যা জোড়ার উভয় পাশে অনন্যভাবে উদ্ভূত সংখ্যার একটি সিরিজে এনকোড করা হয়েছে।

শেষ পর্যন্ত আপনি দেখাতে চান যে গ্যালোস উপস্থাপনাগুলিকে সংজ্ঞায়িত করা সংখ্যাগুলি ঠিক মেলে, কিন্তু এই প্রথম ধাপে এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে তারা ত্রুটির কিছু সামঞ্জস্যপূর্ণ মার্জিন দ্বারা পৃথক। উদাহরণস্বরূপ, আপনি প্রমাণ করতে পারেন যে সংখ্যার একটি সিরিজ মিলে যায় যদি আপনি প্রতিটি সংখ্যা থেকে তার সংশ্লিষ্ট সংখ্যায় পেতে 3 এর গুণিতক যোগ বা বিয়োগ করতে পারেন। এই আলোকে, (4, 7, 2) (1, 4, 5) বা (7, 10, 8) এর সাথে মেলে তবে (2, 8, 3) এর সাথে নয়। আপনি এটাও বলতে পারেন যে তারা 5, 11 বা যেকোনো মৌলিক সংখ্যার গুণিতক দ্বারা পৃথক হলে তারা মিলে যায় (প্রযুক্তিগত কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ কারণে, ত্রুটির মার্জিন সর্বদা মৌলিক হতে হবে)। একটি 2019 কাগজ by প্যাট্রিক অ্যালেন, খারে এবং জ্যাক থর্ন সমস্যার উপর এই ধরনের পায়ের হোল্ড প্রদান.

"তারা উপপাদ্য প্রমাণ করেছে যা আপনাকে শুরু করার জন্য কোথাও দেয়," নিউটন বলেছিলেন।

2019 এর গবেষণাপত্রের প্রায় একই সময়ে, 10 জন গণিতবিদদের একটি দল কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলির জন্য ওয়াইলসের পদ্ধতির অতিরিক্ত পদক্ষেপগুলি তৈরি করার জন্য কাজ করছিল। ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডিতে কাটানো এক সপ্তাহের মধ্যে সহযোগিতা শুরু হয়েছিল এবং এতে অ্যালেন এবং থর্ন - 2019 পেপারের সহ-লেখক - পাশাপাশি কারায়ানি এবং নিউটন অন্তর্ভুক্ত ছিল।

গ্রুপের প্রথম লক্ষ্য ছিল মডুলার ফর্ম থেকে আসা গ্যালোস উপস্থাপনাগুলি একটি নির্দিষ্ট ধরণের অভ্যন্তরীণ সামঞ্জস্যের অধিকারী। এই সম্পত্তি - যা উপবৃত্তাকার বক্ররেখা থেকে আগত গ্যালোয়া প্রতিনিধিত্বের সাথে তাদের মিল করার পূর্বশর্ত - বলা হয় স্থানীয়-বৈশ্বিক সামঞ্জস্য.

10-ব্যক্তির সহযোগিতা এটি করতে পরিচালিত কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে, কিন্তু অধিকাংশ ক্ষেত্রে নয়। সহযোগিতা বন্ধ হওয়ার সাথে সাথে, কারায়ানি এবং নিউটন আরও কিছু করতে পারে কিনা তা দেখার জন্য একসাথে কাজ চালিয়ে যাওয়ার সিদ্ধান্ত নেন।

"আমরা একই সময়ে লন্ডনে ছিলাম, এবং সেই 10-লেখকের প্রকল্পে প্রদর্শিত জিনিসগুলি সম্পর্কে আমরা একে অপরের সাথে কথা বলতে উপভোগ করেছি," কারায়ানি বলেছিলেন। "আমরা জানতাম কী আটকে থাকা পয়েন্টগুলি, কী কী বাধা ছিল আরও এগিয়ে যাওয়ার।"

রাতের পর রাত অন্ধকারে 

তারা নিজেরাই কাজ শুরু করার কিছুক্ষণ পরে, কারাইয়ানি এবং নিউটন বৃহত্তর গোষ্ঠীর সাথে তারা যে কাজটি শুরু করেছিলেন তার বাইরে যাওয়ার জন্য একটি কৌশল অবলম্বন করেন। এটি স্পষ্টতই ভুল বলে মনে হয়নি, তবে এটি সত্যিই কাজ করবে কিনা তাও তাদের কোন ধারণা ছিল না।

"আমরা এই আশাবাদী ধারণা দিয়ে শুরু করেছি যে জিনিসগুলি কার্যকর হবে, আমরা এই 10-লেখকের কাগজের চেয়ে কিছুটা শক্তিশালী প্রমাণ করতে পারি এবং অবশেষে আমরা তা করেছি," নিউটন বলেছিলেন।

Caraiani এবং নিউটন দুই বছর ধরে এই ধারণা নিয়ে কাজ করেছেন, এবং 2021 সালের শেষ নাগাদ তাদের আশাবাদের প্রতিফলন ঘটেছে: তারা 10-লেখক দলের দ্বারা তৈরি স্থানীয়-বৈশ্বিক সামঞ্জস্যের ফলাফলকে উন্নত করবে। তারা কীভাবে একটি দীর্ঘ, প্রযুক্তিগত বিভাগে বর্ণনা করে যা তাদের চূড়ান্ত কাগজের প্রথমার্ধে গঠিত, যা 100 পৃষ্ঠার বেশি দীর্ঘ।

"আমরা জানতাম যে একবার আমাদের কাছে এই প্রযুক্তিগত অংশটি হয়ে গেলে, মডুলারিটি কার্যকর হবে," ক্যারায়ানি বলেছিলেন।

ওয়াইলসের পদ্ধতির প্রথম ধাপ ছিল এক ধরনের আনুমানিক মডুলারিটি প্রতিষ্ঠা করা। দ্বিতীয় ধাপ ছিল স্থানীয়-বৈশ্বিক সামঞ্জস্যের ফলাফল। তৃতীয় পদক্ষেপটি ছিল তাদের জ্ঞান নেওয়া যে কমপক্ষে অল্প সংখ্যক বক্ররেখা মডুলার এবং অনেক বক্ররেখা মডুলার তা প্রমাণ করার জন্য এটি ব্যবহার করা। একটি মডুল্যারিটি লিফটিং থিওরেম যাকে বলা হয় তার কারণে এই পদক্ষেপটি সম্ভব হয়েছিল।

"এটি আপনাকে চারপাশে মডুলারিটি ছড়িয়ে দেওয়ার অনুমতি দেয়," নিউটন বলেছিলেন। “আপনি যদি কোনো কিছুর মডুলারিটি জানেন, তাহলে এই জিনিসগুলিকে উত্তোলন করা আপনাকে অন্যান্য অনেক জিনিসের মডুলারিটি উদ্ধার করতে দেয়। আপনি এই মডুলারিটি সম্পত্তিটি কিছু সুন্দর উপায়ে প্রচার করছেন।"

একটি অতুলনীয় ম্যাচ

উত্তোলন উপপাদ্য প্রয়োগ করে কারায়ানি এবং নিউটন অসীমভাবে অনেক উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলারিটি প্রমাণ করতে পেরেছিলেন, কিন্তু এখনও কিছু কোণার কেস ছিল যা তারা পেতে পারেনি। এগুলি ছিল উপবৃত্তাকার বক্ররেখার কয়েকটি পরিবার যার অনন্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা তাদের উত্তোলন উপপাদ্যের কাছে অ্যাক্সেসযোগ্য করে তুলেছিল।

কিন্তু যেহেতু তাদের মধ্যে খুব কম ছিল, ক্যারায়ানি এবং নিউটন তাদের হাতে আক্রমণ করতে পারে — তাদের গ্যালোয়ের উপস্থাপনাগুলি একে একে গণনা করে একটি ম্যাচ প্রতিষ্ঠা করার চেষ্টা করে।

"সেখানে আমরা কিছু বক্ররেখায় অনেক মজার কম্পিউটিং এবং প্রচুর পয়েন্ট করেছি," কারায়ানি বলেছেন।

প্রচেষ্টা সফল হয়েছে, একটি বিন্দু পর্যন্ত. কারাইয়ানি এবং নিউটন শেষ পর্যন্ত প্রমাণ করতে সক্ষম হন যে সমস্ত উপবৃত্তাকার বক্ররেখা কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলির প্রায় অর্ধেকের উপরে মডুলার, যার মধ্যে −1, −2, −3 বা −5 এর বর্গমূলের সাথে মূলদ সংখ্যাগুলিকে একত্রিত করে গঠিত সেই ক্ষেত্রগুলি সহ। অন্যান্য কাল্পনিক চতুর্মুখী ক্ষেত্রের জন্য, তারা উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জন্য অনেকের জন্য মডুলারিটি প্রমাণ করতে সক্ষম হয়েছিল, কিন্তু সকলের জন্য নয়। (হোল্ডআউটগুলির মডুলারিটি একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন থেকে যায়।)

তাদের ফলাফল কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রগুলির উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সম্পর্কে একই মৌলিক প্রশ্নগুলির কিছু তদন্তের জন্য একটি ভিত্তি প্রদান করে যা গণিতবিদরা যুক্তি এবং বাস্তবের উপর অনুসরণ করেন। এর মধ্যে রয়েছে ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের কাল্পনিক সংস্করণ — যদিও এটি পৌঁছানোর আগে অতিরিক্ত ভিত্তি স্থাপন করা দরকার — এবং বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমানের কাল্পনিক সংস্করণ।

কিন্তু গণিতবিদরা যদি উভয় জায়গায় অগ্রগতি করেন, কারাইয়ানি এর অংশ হবেন না - অন্তত এখন নয়। উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মডুলারিটির উপর বছরের পর বছর কাজ করার পর, তিনি অন্য কিছু চেষ্টা করার জন্য প্রস্তুত।

"যদি আমি একটি দিক থেকে ফলাফল পাই, আমি সবসময় শুধুমাত্র সেই দিকে কাজ চালিয়ে যেতে পছন্দ করি না," তিনি বলেছিলেন। "সুতরাং এখন আমি আমার আগ্রহগুলিকে কিছুটা জ্যামিতিক স্বাদের সাথে পরিবর্তন করেছি।"

কারেকশন: জুলাই 6, 2023
এই নিবন্ধটি মূলত বলেছিল যে বহুপদী সমীকরণের সমাধানের জন্য কোন সাধারণ সূত্র নেই যার সর্বোচ্চ সূচক 4 বা তার বেশি। সঠিক সংখ্যা 5। নিবন্ধটি সংশোধন করা হয়েছে।