'নষ্ট' জ্যামিতি কয়েক দশক-পুরাতন টাইলিং অনুমান ভেঙে দেয়

জ্যামিতির প্রাচীনতম এবং সহজতম সমস্যাগুলির মধ্যে একটি গণিতবিদদের সতর্ক করে দিয়েছে — এবং প্রথমবার নয়।

প্রাচীনকাল থেকে, শিল্পী এবং জিওমিটাররা বিস্ময় প্রকাশ করেছেন যে কীভাবে আকৃতিগুলি ফাঁক বা ওভারল্যাপ ছাড়াই পুরো সমতলকে টাইল করতে পারে। এবং এখনও, "মোটামুটি সাম্প্রতিক সময় পর্যন্ত অনেক কিছু জানা যায়নি," বলেছেন অ্যালেক্স ইওসেভিচ, রচেস্টার বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ।

সবচেয়ে সুস্পষ্ট টাইলিং পুনরাবৃত্তি: বর্গক্ষেত্র, ত্রিভুজ বা ষড়ভুজগুলির কপি দিয়ে একটি মেঝে আচ্ছাদন করা সহজ। 1960-এর দশকে, গণিতবিদরা অদ্ভুত টাইলসের সেট খুঁজে পেয়েছিলেন যা সম্পূর্ণরূপে সমতলকে ঢেকে দিতে পারে, কিন্তু শুধুমাত্র এমন উপায়ে যা পুনরাবৃত্তি হয় না।

"আপনি এই ধরনের টাইলিং এর গঠন বুঝতে চান," বলেন রাচেল গ্রিনফেল্ড, প্রিন্সটন, নিউ জার্সির ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডির একজন গণিতবিদ। "তারা কতটা পাগল হতে পারে?"

বেশ পাগল, এটা সক্রিয় আউট.

প্রথম এই ধরনের নন-রিপিটিং, বা এপিরিওডিক প্যাটার্নটি 20,426টি ভিন্ন টাইলসের সেটের উপর নির্ভর করে। গণিতবিদরা জানতে চেয়েছিলেন যে তারা এই সংখ্যাটি কমিয়ে আনতে পারে কিনা। 1970-এর দশকের মাঝামাঝি, রজার পেনরোজ (যিনি এগিয়ে যাবেন পদার্থবিজ্ঞানে 2020 সালের নোবেল পুরস্কার জিতে নিন ব্ল্যাক হোলে কাজ করার জন্য) প্রমাণ করেছে যে মাত্র দুটি টাইলসের একটি সাধারণ সেট, ডাব করা "কাইট" এবং "ডার্টস" যথেষ্ট।

এমন নিদর্শনগুলি নিয়ে আসা কঠিন নয় যা পুনরাবৃত্তি হয় না। অনেক পুনরাবৃত্তি, বা পর্যায়ক্রমিক, টাইলিংগুলিকে টুইক করা যেতে পারে যাতে পুনরাবৃত্তি না হয়। বিবেচনা করুন, বলুন, স্কোয়ারের একটি অসীম গ্রিড, একটি দাবাবোর্ডের মতো সারিবদ্ধ। আপনি যদি প্রতিটি সারি স্থানান্তর করেন যাতে এটি উপরের একটি থেকে একটি স্বতন্ত্র পরিমাণ দ্বারা অফসেট হয়, আপনি কখনই এমন একটি এলাকা খুঁজে পাবেন না যা সম্পূর্ণ টাইলিং পুনরায় তৈরি করতে একটি স্ট্যাম্পের মতো কাটা এবং আটকানো যেতে পারে।

আসল কৌশলটি হল টাইলসের সেটগুলি খুঁজে পাওয়া — যেমন পেনরোজের — যা পুরো সমতলকে ঢেকে রাখতে পারে, তবে শুধুমাত্র এমন উপায়ে যা পুনরাবৃত্তি না হয়।

পেনরোজ এর দুটি টাইল প্রশ্ন উত্থাপন করেছে: বিলের সাথে মানানসই একটি একক, চতুরভাবে আকৃতির টাইল থাকতে পারে?

আশ্চর্যজনকভাবে, উত্তরটি হ্যাঁ হতে দেখা যাচ্ছে — যদি আপনাকে টাইলটি স্থানান্তর, ঘোরানো এবং প্রতিফলিত করার অনুমতি দেওয়া হয় এবং যদি টাইলটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন হয়, যার অর্থ এটির ফাঁক রয়েছে। এই ফাঁকগুলি অন্যান্য উপযুক্তভাবে ঘোরানো, টাইলের উপযুক্তভাবে প্রতিফলিত কপি দ্বারা পূরণ করা হয়, শেষ পর্যন্ত পুরো দ্বি-মাত্রিক সমতলকে ঢেকে দেয়। কিন্তু যদি আপনাকে এই আকৃতিটি ঘোরানোর অনুমতি না দেওয়া হয়, তাহলে ফাঁক না রেখে সমতল টাইল করা অসম্ভব।

প্রকৃতপক্ষে, বেশ কয়েক বছর আগে, গণিতবিদ সিদ্ধার্থ ভট্টাচার্য প্রমাণ করেছেন যে - আপনি যতই জটিল বা সূক্ষ্ম একটি টাইল ডিজাইন নিয়ে আসুন না কেন - যদি আপনি শুধুমাত্র একটি টাইলের পরিবর্তন বা অনুবাদ ব্যবহার করতে সক্ষম হন, তাহলে এমন একটি টাইল তৈরি করা অসম্ভব যেটি পুরো প্লেনকে পর্যায়ক্রমে কভার করতে পারে কিন্তু পর্যায়ক্রমে না

গণিতবিদরা অনুমান করেছিলেন যে ভট্টাচার্যের দ্বি-মাত্রিক ফলাফল উচ্চ-মাত্রিক স্থানগুলিতেও থাকবে। ঠিক যেমন কোনো এপিরিওডিক দ্বি-মাত্রিক টাইল বিদ্যমান নেই, তারা অনুমান করেছিল যে কোনো উপযুক্ত ত্রি-মাত্রিক ব্লক (বা আরও জটিল টাইল) বিদ্যমান নেই, এবং তাই ইচ্ছাকৃতভাবে বিপুল সংখ্যক মাত্রায়।

এই অনুমানটিকে পর্যায়ক্রমিক টাইলিং অনুমান বলা হয়েছিল।

একটি ইন গত মাসে পোস্ট করা প্রিপ্রিন্ট, গ্রীনফেল্ড, সহ টেরেন্স টাও ইউনিভার্সিটি অফ ক্যালিফোর্নিয়া, লস অ্যাঞ্জেলেস, অবশেষে অনুমানটি নিষ্পত্তি করে — কিন্তু গণিতবিদরা যেভাবে প্রত্যাশা করেছিলেন সেভাবে নয়। তারা একটি টাইল তৈরি করেছিল যা পর্যায়ক্রমে একটি উচ্চ-মাত্রিক স্থান পূরণ করতে পারে কিন্তু পর্যায়ক্রমে তা করতে পারে না, এইভাবে অনুমানটিকে অস্বীকার করে।

“এটা একটা আশ্চর্য ছিল। আমি আশা করেছিলাম যে অনুমানটি সমস্ত মাত্রায় সত্য হবে,” বলেন মিহালিস কোলাউন্টজাকিস, ক্রিট বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। "কিন্তু আমি অনুমান করি যথেষ্ট উচ্চ মাত্রায়, অন্তর্দৃষ্টি খুব বেশি দূরে যায় না।"

জ্যামিতিকভাবে কী সম্ভব এবং কী নয় তার সীমানা ঠেলে দেওয়ার জন্য অদ্ভুত টাইলটি কেবল উল্লেখযোগ্য নয়। এটি জ্যামিতির বাইরের প্রশ্নগুলির সাথেও ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত - যার মধ্যে যুক্তির সীমাবদ্ধতা রয়েছে।

পিভট

2019 সালে, গ্রিনফেল্ড পোস্টডক্টরাল গবেষক হিসাবে UCLA-তে এসেছিলেন, এবং তিনি এবং টাও - উভয়েই অনুবাদমূলক টাইলিং সম্পর্কিত অন্য একটি সমস্যায় স্বাধীনভাবে কাজ করেছেন - পর্যায়ক্রমিক টাইলিং অনুমান প্রমাণ করার জন্য তাদের দৃষ্টিভঙ্গি সেট করেছিলেন।

যেহেতু অনুমানটি ইতিমধ্যেই এক এবং দুই মাত্রায় সত্য বলে জানা গিয়েছিল, তাই তারা এটিকে তিনটিতে প্রমাণ করতে চেয়েছিল: দেখাতে যে আপনি যদি একটি আকৃতির অনুলিপিগুলিকে সমস্ত ত্রিমাত্রিক স্থানের টাইল করার জন্য স্থানান্তর করতে পারেন, তাহলে অবশ্যই একটি উপায় থাকতে হবে। পর্যায়ক্রমে স্থান টাইল করুন।

তারা কিছু অগ্রগতি করেছে, বিভিন্ন কৌশল ব্যবহার করে অনুমানকে দুটি মাত্রায় পুনরায় প্রমাণ করেছে - যেগুলি তারা আশা করেছিল যে ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হবে। কিন্তু তারপর তারা একটি দেয়ালে আঘাত করে। “কিছু সময়ে, আমরা হতাশ হয়েছিলাম এবং বলেছিলাম, 'ঠিক আছে, সম্ভবত একটি কারণ আছে যে আমরা এই অনুমানটিকে উচ্চ মাত্রায় প্রমাণ করতে পারি না। আমাদের পাল্টা উদাহরণ খোঁজা শুরু করা উচিত,'" টাও বলেছেন।

তারা প্রথমটি দিয়ে শুরু করে অন্যান্য এপিরিওডিক নির্মাণের জন্য সাহিত্যকে চিরুনি দিয়েছিল: 20,000 সালে প্রকাশিত 1964 টিরও বেশি টাইলসের সেট, যা অনুবাদের মাধ্যমে সমতলকে ঢেকে রাখতে পারে, তবে শুধুমাত্র ঋতুভিত্তিকভাবে। তারপরে তারা একটি একক এপিরিওডিক টাইল নির্মাণের জন্য নতুন কৌশল বিকাশের কাজ করতে শুরু করে।

তারা সেটিং পরিবর্তন দিয়ে শুরু করেছে। বলুন আপনি দ্বি-মাত্রিক স্থান টাইল করতে চান। একটি অবিচ্ছিন্ন সমতল টাইল করার চেষ্টা করার পরিবর্তে, একটি দ্বি-মাত্রিক জালি বিবেচনা করুন, একটি গ্রিডে সাজানো বিন্দুগুলির একটি অসীম বিন্যাস। আপনি এখন একটি টাইলকে সেই গ্রিডে পয়েন্টের একটি সীমাবদ্ধ সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারেন; আপনার যদি সঠিক টাইলিং থাকে, তাহলে আপনি সেই সীমিত বিন্দুর কপি তৈরি করে এবং চারপাশে স্লাইড করে জালির প্রতিটি বিন্দু ঠিক একবার কভার করতে পারেন।

উচ্চ-মাত্রিক জালির জন্য "বিচ্ছিন্ন" পর্যায়ক্রমিক টাইলিং অনুমান প্রমাণ করা অনুমানের অবিচ্ছিন্ন সংস্করণ প্রমাণ করার চেয়ে একটু ভিন্ন সমস্যা, কারণ সেখানে টাইলিং আছে যা জালিতে সম্ভব কিন্তু অবিচ্ছিন্ন স্থানে নয়। কিন্তু তারা সম্পর্কযুক্ত. গ্রীনফেল্ড এবং টাও এই অনুমানের জন্য একটি পৃথক পাল্টা উদাহরণ নিয়ে আসার পরিকল্পনা করেছিলেন যে তারা তারপরে ধারাবাহিক ক্ষেত্রেও কাজ করার জন্য পরিবর্তন করতে পারে।

2021 সালের গ্রীষ্মে, তারা কাছাকাছি এসেছিল, একটি খুব উচ্চ-মাত্রিক স্থান দুটি টাইল খুঁজে. টাইলস তাদের বসবাসের স্থান পূরণ করতে পারে, কিন্তু শুধুমাত্র পর্যায়ক্রমে। "এটি যথেষ্ট নয়," গ্রিনফেল্ড বলেছিলেন। "দুটি খুব কাছাকাছি, কিন্তু দুটি টাইল দ্বারা টাইল করা একক টালি দ্বারা টাইল করার চেয়ে অনেক কম কঠোর।" পর্যায়ক্রমিক টাইলিং অনুমানের একটি সত্যিকারের বিপরীত উদাহরণ একত্রিত করতে তাদের আরও দেড় বছর সময় লাগবে।

টাইল স্যান্ডউইচ

তারা একটি নতুন ভাষা তৈরি করে শুরু করেছিল, তাদের সমস্যাটিকে একটি বিশেষ ধরণের সমীকরণ হিসাবে পুনর্লিখন করে। এই সমীকরণের অজানা "ভেরিয়েবল" - যা তাদের সমাধান করতে হবে - একটি উচ্চ-মাত্রিক স্থান টাইল করার সমস্ত সম্ভাব্য উপায়গুলি উপস্থাপন করে। "কিন্তু শুধুমাত্র একটি সমীকরণ দিয়ে জিনিস বর্ণনা করা কঠিন," টাও বলেছেন। "কখনও কখনও মহাশূন্যে একটি সত্যিই জটিল সেট বর্ণনা করতে আপনার একাধিক সমীকরণের প্রয়োজন হয়।"

তাই গ্রিনফেল্ড এবং টাও তারা যে প্রশ্নটি সমাধান করার চেষ্টা করছিলেন তা পুনর্নির্মাণ করেছেন। তারা বুঝতে পেরেছিল যে তারা পরিবর্তে সমীকরণের একটি সিস্টেম তৈরি করতে পারে, যেখানে প্রতিটি সমীকরণ তাদের সমাধানে একটি ভিন্ন সীমাবদ্ধতা এনকোড করবে। এটি তাদের সমস্যাগুলিকে বিভিন্ন টাইলস সম্পর্কে একটি প্রশ্নে বিভক্ত করতে দেয় — এই ক্ষেত্রে, টাইলগুলি যে সমস্ত অনুবাদের একই সেট ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট স্থানকে কভার করে।

উদাহরণস্বরূপ, দুটি মাত্রায়, আপনি সমতলটিকে উপরে, নীচে, বাম বা ডানে, একবারে একটি ইউনিট স্লাইড করে একটি বর্গক্ষেত্র দিয়ে টাইল করতে পারেন। কিন্তু অন্যান্য আকারগুলিও একই শিফটের একই সেট ব্যবহার করে সমতলকে টাইল করতে পারে: উদাহরণস্বরূপ, ডান প্রান্তে একটি বাম্প যুক্ত একটি বর্গক্ষেত্র এবং বাম প্রান্ত থেকে সরানো হয়েছে, একটি জিগস পাজল টুকরার মতো।

আপনি যদি একটি বর্গক্ষেত্র, একটি ধাঁধার টুকরো এবং অন্যান্য টাইলগুলি নেন যা একই সেটের শিফ্ট ব্যবহার করে এবং তারপরে সেগুলিকে একটি স্যান্ডউইচের ঠান্ডা কাটের মতো একত্রে স্ট্যাক করে, আপনি একটি টাইল তৈরি করতে পারেন যা ত্রিমাত্রিক কভার করতে অনুবাদের একক সেট ব্যবহার করে। স্থান গ্রীনফেল্ড এবং টাওকে আরও অনেক মাত্রায় এটি করতে হবে।

"যেহেতু আমরা যাইহোক উচ্চ মাত্রায় কাজ করছিলাম, তাই আরও একটি মাত্রা যোগ করা আসলেই আমাদের ক্ষতি করেনি," টাও বলেছেন। বরং, এটি তাদের অতিরিক্ত নমনীয়তা দিয়েছে যা তাদের একটি ভাল সমাধানে হাত পেতে প্রয়োজন।

গণিতবিদরা এই স্যান্ডউইচ-বিল্ডিং পদ্ধতিটি বিপরীত করতে চেয়েছিলেন, তাদের একক-সমীকরণ, উচ্চ-মাত্রিক টাইলিং সমস্যাটিকে নিম্ন মাত্রায় টাইলিং সমীকরণের একটি সিরিজ হিসাবে পুনরায় লিখতে চেয়েছিলেন। এই সমীকরণগুলি পরে নির্দেশ করবে উচ্চ-মাত্রিক টালি নির্মাণ কেমন হবে।

গ্রীনফেল্ড এবং টাও তাদের টাইলিং সমীকরণের সিস্টেমটিকে একটি কম্পিউটার প্রোগ্রাম হিসাবে ভেবেছিলেন: কোডের প্রতিটি লাইন, বা সমীকরণ, একটি কমান্ড, এবং সংমিশ্রণে কমান্ডগুলি একটি প্রোগ্রাম তৈরি করতে পারে যা একটি নির্দিষ্ট লক্ষ্য অর্জন করে। "লজিক সার্কিটগুলি খুব মৌলিক বস্তুর সমন্বয়ে তৈরি করা হয়, এইগুলি এবং গেটগুলি এবং বা গেটগুলি এবং আরও অনেক কিছু, যার প্রতিটি খুব আকর্ষণীয় নয়," টাও বলেছিলেন৷ "কিন্তু আপনি এগুলি একসাথে স্ট্যাক করতে পারেন এবং আপনি একটি সার্কিট তৈরি করতে পারেন যা একটি সাইন ওয়েভ আঁকবে বা ইন্টারনেটে যোগাযোগ করবে।"

"সুতরাং আমরা আমাদের সমস্যাটিকে একটি প্রোগ্রামিং সমস্যা হিসাবে দেখতে শুরু করি," তিনি চালিয়ে যান। তাদের প্রতিটি কমান্ড একটি আলাদা বৈশিষ্ট্য হবে যা তাদের চূড়ান্ত টাইলিংকে সন্তুষ্ট করার জন্য প্রয়োজন, যাতে সামগ্রিকভাবে প্রোগ্রামটি গ্যারান্টি দেয় যে সমস্ত মানদণ্ডের সাথে মানানসই যেকোনো টাইলিং অবশ্যই অ্যাপিরিওডিক হতে হবে।

তারপরে, প্রশ্নটি হয়ে ওঠে যে এটি ঘটতে তাদের সমস্ত টাইলিং সমীকরণগুলিতে এনকোড করার জন্য কী ধরণের বৈশিষ্ট্য দরকার। উদাহরণস্বরূপ, স্যান্ডউইচের একটি স্তরের একটি টাইল এমনভাবে আকৃতির হতে পারে যা শুধুমাত্র নির্দিষ্ট ধরণের নড়াচড়ার অনুমতি দেয়। গণিতবিদদের তাদের সীমাবদ্ধতার তালিকাটি সাবধানে তৈরি করতে হবে - যাতে এটি এতটা সীমাবদ্ধ না হয় যে কোনও সমাধানকে বাধা দিতে পারে, তবে সমস্ত পর্যায়ক্রমিক সমাধানগুলিকে বাদ দেওয়ার জন্য যথেষ্ট সীমাবদ্ধ হবে।

"এখানে খেলাটি হল সীমাবদ্ধতার সঠিক স্তর তৈরি করা," গ্রিনফেল্ড বলেছেন, "সঠিক ধাঁধাটি এনকোড করতে।"

অসীম সুডোকু

গ্রীনফেল্ড এবং টাও তাদের টাইলিং সমীকরণের সাথে প্রোগ্রাম করার জন্য যে ধাঁধার আশা করেছিলেন তা হল অসীম সংখ্যক সারি এবং একটি বড় কিন্তু সীমিত সংখ্যক কলাম সহ একটি গ্রিড। গণিতবিদরা প্রতিটি সারি এবং তির্যক অঙ্কের নির্দিষ্ট ক্রম দিয়ে পূরণ করতে চেয়েছিলেন যা তারা টাইলিং সমীকরণের সাথে বর্ণনা করতে পারে এমন সীমাবদ্ধতার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ: এমন কিছু যা তারা একটি বিশাল সুডোকু ধাঁধার সাথে তুলনা করেছে। এই জুটি তখন অনুক্রমগুলি খুঁজে পেয়েছিল যা অ্যাপিরিওডিক ছিল — যার অর্থ টাইলিং সমীকরণের সম্পর্কিত সিস্টেমের সমাধানটিও অ্যাপিরিওডিক ছিল। "এই ধাঁধার জন্য মূলত একটিই সমাধান আছে, এবং এটি এই মজার জিনিস যা প্রায় কিন্তু পর্যায়ক্রমিক নয়," টাও বলেছেন। "এটি খুঁজে পেতে অনেক সময় লেগেছে।"

"এই ধরণের জিনিস, যেখানে আপনি এমন ফাংশনগুলি অধ্যয়ন করেন যা প্রায় পর্যায়ক্রমিক কিন্তু পুরোপুরি নয়, এমন কিছু যা গণিতের কাছাকাছি রয়েছে," বলেছেন ইজাবেলা লবা, ব্রিটিশ কলাম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। "কিন্তু এই ধরনের কাঠামো ব্যবহার করার জন্য এটি একটি খুব ভিন্ন উপায়।"

আইওসেভিচ যেমন বলেছেন, গ্রিনফেল্ড এবং টাও "একটি সম্পূর্ণ প্রাথমিক বস্তু তৈরি করেছেন এবং এটিকে এমন একটি পরিস্থিতিতে তুলেছেন যেখানে জিনিসগুলি আরও জটিল দেখায়।"

এটি করতে গিয়ে, তারা একটি উচ্চ-মাত্রিক এপিরিওডিক টাইল তৈরি করেছে — প্রথমে বিচ্ছিন্ন সেটিংয়ে, তারপর ধারাবাহিকভাবে। তাদের টাইল এত জটিল, এত মোচড় এবং গর্তে পূর্ণ যে এটি খালি জায়গা টাইল করে। "এটি একটি বাজে টালি," টাও বলেন. "আমরা এই টাইলটি সুন্দর করার জন্য কোন চেষ্টা করিনি।" তিনি এবং গ্রিনফেল্ড যে স্থানটিতে বাস করেন তার মাত্রা গণনা করেননি; তারা শুধু জানে যে এটি বিশাল, সম্ভবত $latex2^{{100}^{100}}$ (অথবা, মোটামুটিভাবে, 3 এর পরে 199 শূন্য)। "আমাদের প্রমাণ গঠনমূলক, তাই সবকিছুই সুস্পষ্ট এবং গণনাযোগ্য," গ্রিনফেল্ড বলেছেন। "কিন্তু যেহেতু এটি সর্বোত্তম হওয়া থেকে অনেক দূরে, আমরা এটি পরীক্ষা করিনি।"

প্রকৃতপক্ষে, গণিতবিদরা মনে করেন তারা অনেক কম মাত্রায় এপিরিওডিক টাইলস খুঁজে পেতে পারেন। এর কারণ হল তাদের নির্মাণের আরও কিছু প্রযুক্তিগত অংশ বিশেষ স্থানগুলিতে কাজ করা জড়িত যা ধারণাগতভাবে "দ্বিমাত্রিক হওয়ার খুব কাছাকাছি," গ্রিনফেল্ড বলেছিলেন। তিনি মনে করেন না যে তারা একটি ত্রিমাত্রিক টাইল পাবেন, তবে তিনি বলেছেন যে এটি সম্ভব যে একটি 4D একটি বিদ্যমান থাকতে পারে।

এবং তাই, ইওসেভিচ বলেছিলেন, তারা কেবল পর্যায়ক্রমিক টাইলিং অনুমানকে অস্বীকার করেনি: "তারা এটি সম্ভব সবচেয়ে অপমানজনক ফ্যাশনে করেছে।"

অসম্পূর্ণতা মধ্যে ধাবমান

কাজটি এপিরিওডিক টাইলস নির্মাণের একটি নতুন উপায় চিহ্নিত করেছে - যেটি গ্রিনফেল্ড এবং টাও এখন মনে করেন যে অন্যান্য টাইলিং-সম্পর্কিত অনুমানগুলিকে অস্বীকার করার জন্য প্রয়োগ করা যেতে পারে। এটি, পরিবর্তে, সম্ভবত গণিতবিদদেরকে জটিলতা তৈরি হতে পারে এমন সীমানায় আরও বেশি ধাক্কা দেওয়ার অনুমতি দেবে। "এই উদীয়মান ধরণের নীতি বলে মনে হচ্ছে যে উচ্চ-মাত্রিক জ্যামিতি কেবলই বাজে," টাও বলেছিলেন। "এই প্যাথলজিগুলি দেখাতে পারে এবং আমরা দুই এবং তিনটি মাত্রা থেকে যে অন্তর্দৃষ্টি পাই তা বিভ্রান্তিকর হতে পারে।"

কাজটি শুধুমাত্র মানুষের অন্তর্দৃষ্টির সীমানা সম্পর্কে নয় কিন্তু গাণিতিক যুক্তির সীমানা সম্পর্কেও প্রশ্নগুলিকে ট্যাপ করে। 1930-এর দশকে, গণিতবিদ কার্ট গোডেল দেখিয়েছিলেন যে মৌলিক গাণিতিক বিকাশের জন্য যথেষ্ট যৌক্তিক সিস্টেম অসম্পূর্ণ: এমন বিবৃতি রয়েছে যা হতে পারে প্রমাণিত বা অপ্রমাণিত নয় সেই সিস্টেমের মধ্যে। গণিত, এটি সক্রিয় আউট, "অনির্ণয়যোগ্য" বিবৃতি পূর্ণ.

অনুরূপ শিরায়, এটি গণনাগতভাবে অনির্ধারিত সমস্যায় পূর্ণ — এমন সমস্যা যা কোনো অ্যালগরিদম দ্বারা নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে সমাধান করা যায় না। 1960-এর দশকে গণিতবিদরা আবিষ্কার করেছিলেন যে টাইলিং সংক্রান্ত সমস্যাগুলিও সিদ্ধান্তহীন হতে পারে। অর্থাৎ, কিছু আকারের সেটের জন্য, আপনি প্রমাণ করতে পারেন যে নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে, তারা একটি নির্দিষ্ট স্থান টাইল করে কিনা তা বের করা অসম্ভব। (এটি করার একমাত্র উপায়, নীতিগতভাবে, সময়ের শেষ না হওয়া পর্যন্ত একে অপরের পাশে টাইলস রাখার সমস্ত সম্ভাব্য উপায় বিবেচনা করা হবে।)

"এটি একটি খুব সাধারণ-থেকে-রাজ্য সমস্যা, কিন্তু তা সত্ত্বেও গণিতের সুযোগের বাইরে," বলেছেন রিচার্ড কেনিয়ন, ইয়েল বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। "এটি এই পরিস্থিতির প্রথম উদাহরণ নয় যেখানে একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক তত্ত্ব অনির্ধারিত বা অসম্পূর্ণ, তবে এটি সত্যিই সবচেয়ে নিচের দিকের একটি।"

গত বছর, গ্রিনফেল্ড এবং টাও দেখেছেন যে জোড়া উচ্চ-মাত্রিক টাইলগুলির সম্পর্কে একটি সাধারণ বিবৃতি অনির্ধারিত: তারা প্রমাণ করেছে যে নির্দিষ্ট জোড়া টাইলগুলি তাদের বসবাসের স্থানকে সম্পূর্ণরূপে ঢেকে দেওয়ার জন্য তৈরি করা যেতে পারে কিনা তা কেউই কখনই বুঝতে পারবে না (পর্যায়ক্রমে বা পর্যায়ক্রমে)।

একটি একক টাইল সম্পর্কে একটি বিবৃতিও সিদ্ধান্তহীন হতে পারে? 1960 এর দশক থেকে এটি পরিচিত যে যদি পর্যায়ক্রমিক টাইলিং অনুমানটি সত্য হয়, তবে প্রদত্ত কোন টালি সমতলকে আচ্ছাদন করতে পারে কিনা তা সর্বদা নির্ধারণ করা সম্ভব হবে।

কিন্তু বিপরীত অগত্যা সত্য নয়. শুধুমাত্র একটি এপিরিওডিক টাইল বিদ্যমান থাকার কারণে, এটি বোঝায় না যে একটি অনিশ্চিত একটি করে।

গ্রিনফেল্ড এবং টাও তাদের সাম্প্রতিক ফলাফলের জন্য তাদের তৈরি করা কিছু কৌশল ব্যবহার করে পরবর্তীতে এটিই বের করতে চান। "এটি বেশ প্রশংসনীয়, আমরা মনে করি, যে ভাষাটি আমরা তৈরি করেছি তা একটি অনির্ধারিত ধাঁধা তৈরি করতে সক্ষম হওয়া উচিত," টাও বলেছিলেন। "সুতরাং এমন কিছু টাইল থাকতে পারে যার জন্য আমরা কখনই প্রমাণ করতে পারব না টাইলস স্পেস বা টাইল স্পেস নেই।"

একটি বিবৃতি সিদ্ধান্তহীনতা প্রমাণ করার জন্য, গণিতবিদরা সাধারণত দেখান যে এটি অন্য একটি প্রশ্নের সমতুল্য যা ইতিমধ্যেই সিদ্ধান্তহীন বলে পরিচিত। ফলস্বরূপ, যদি এই টাইলিংয়ের সমস্যাটিও সিদ্ধান্তের অযোগ্য হয়ে ওঠে, তবে এটি অন্যান্য প্রসঙ্গে সিদ্ধান্তহীনতা প্রদর্শনের জন্য আরও একটি হাতিয়ার হিসাবে কাজ করতে পারে - প্রসঙ্গগুলি কীভাবে টাইল স্পেসগুলি সম্পর্কে প্রশ্নগুলির বাইরে।

ইতিমধ্যে, যদিও, গ্রীনফেল্ড এবং টাও-এর ফলাফল এক ধরণের সতর্কতা হিসাবে কাজ করে। "গণিতবিদরা সুন্দর, পরিষ্কার বিবৃতি পছন্দ করেন," ইওসেভিচ বলেছিলেন। “কিন্তু আপনি যা শুনছেন তা বিশ্বাস করবেন না। … দুর্ভাগ্যবশত, এটা সত্য নয় যে গণিতের সমস্ত আকর্ষণীয় বিবৃতি সুন্দর হতে হবে এবং সেগুলিকে আমরা যেভাবে চাই সেভাবে কাজ করতে হবে।”