গণিতবিদরা গিঁট অনুমানের দীর্ঘস্থায়ী হুমকি দূর করে

60 বছরেরও বেশি আগে, রাল্ফ ফক্স গিঁট সম্পর্কে একটি সমস্যা তৈরি করেছিলেন যা আজও গণিতবিদদের তাড়িত করে। তার প্রশ্ন এখন প্রায়শই "স্লাইস-রিবন অনুমান" হিসাবে প্রণয়ন করা হয়, যা ধারনা করে যে দুটি আপাতদৃষ্টিতে স্বতন্ত্র গোষ্ঠীর গিঁট আসলে একই। গিঁটের জগতে মার্জিত সরলতার পরামর্শ দিয়ে, এটি নট তত্ত্বের সবচেয়ে হাই-প্রোফাইল সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হয়ে উঠেছে। "এর অর্থ এই যে পৃথিবীটি আপনার অন্যথায় আশা করার চেয়ে একটু বেশি কাঠামোগত," বলেছেন অরুণিমা রায়, বনের ম্যাক্স প্ল্যাঙ্ক ইনস্টিটিউট ফর ম্যাথমেটিক্সের একজন গণিতবিদ।

কয়েক দশক ধরে, একটি নির্দিষ্ট গিঁটকে অনুমান নিষ্পত্তির সম্ভাব্য পথ বলে সন্দেহ করা হয়েছিল। তবুও ক কাগজ গত গ্রীষ্মে পোস্ট, পাঁচজন গণিতবিদ খুঁজে পেয়েছেন যে এই গিঁটটি সব পরে কাজ করতে যাচ্ছে না। যদিও তাদের প্রবর্তিত যুক্তিগুলি একটি বিস্তৃত শ্রেণীতে নতুন অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করবে, সামগ্রিকভাবে কাজটি গণিতবিদদের অনুমান সম্পর্কে অনিশ্চিত করে তোলে। "আমি মনে করি এটি সত্য হতে চলেছে কিনা তা নিয়ে প্রকৃত বৈধ বিতর্ক রয়েছে," বলেছেন ক্রিস্টেন হেন্ড্রিক্স, Rutgers বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ।

স্লাইস-ফিতা অনুমান দুটি ধরণের গিঁটকে উদ্বেগ করে: স্লাইস নট এবং ফিতা গিঁট। কোন গিঁটগুলি স্লাইস তা খুঁজে বের করা হল "আমাদের বিষয়ের চারপাশে আবর্তিত মৌলিক প্রশ্নগুলির মধ্যে একটি," বলেন অভিষেক মল্লিক, নতুন কাগজের লেখকদের একজন।

একটি গাণিতিক গিঁটকে স্ট্রিংয়ের একটি সাধারণ লুপ হিসাবে ভাবা যেতে পারে। গণিতবিদরা একটি গিঁট ছাড়া একটি সরল লুপকে "আননোট" বলে। (যদিও এটি শব্দের সাধারণ অর্থে একটি গিঁট নয়, গণিতবিদরা গিঁটের সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হিসাবে অকাটকে মনে করেন।)

নটস এমন একটি আকৃতির সীমানাও সংজ্ঞায়িত করে যাকে গণিতবিদরা একটি ডিস্ক বলে, যদিও এটি শব্দের সাধারণ অর্থে সবসময় ডিস্কের মতো দেখায় না। সবচেয়ে সহজ উদাহরণ, অকাট, একটি বৃত্তের সীমানা তৈরি করে - একটি "ডিস্ক" যা প্রকৃতপক্ষে একটি ডিস্কের মতো দেখায়। কিন্তু লুপটি কেবল একটি টেবিলের উপর সমতল বৃত্তের সীমানা তৈরি করে না, তবে একটি বাটিও - যা তিনটি মাত্রায় প্রসারিত - যা টেবিলের উপরে উল্টো করে রাখা হয়েছে। গিঁট সংজ্ঞায়িত ডিস্ক আরও তিন মাত্রা থেকে চারে প্রসারিত করা যেতে পারে.

যদি স্ট্রিংটিতে একটি গিঁট থাকে তবে ডিস্কগুলি আরও জটিল হয়ে যায়। ত্রিমাত্রিক স্পেসে, এই ডিস্কগুলির এককতা রয়েছে - পয়েন্ট যেখানে তারা গাণিতিকভাবে খারাপ আচরণ করে। স্লাইস নট হল সেগুলি যার জন্য এটি সম্ভব - চারটি মাত্রায় - এই ধরনের এককতা ছাড়াই একটি ডিস্ক খুঁজে বের করা। স্লাইস গিঁট হল "পরবর্তী সেরা জিনিস অজান্তে,” যেমন পিটার টেইচনার, ম্যাক্স প্ল্যাঙ্ক ইনস্টিটিউটেরও, এটা রেখেছে.

তা সত্ত্বেও, তিন মাত্রায় স্লাইস নট দ্বারা আবদ্ধ ডিস্কগুলি কুশ্রী এবং কাজ করা কঠিন হতে পারে। স্লাইস-ফিতা অনুমান বলে যে তারা অগত্যা হতে হবে না.

ফিতার গিঁটগুলি এমন নট যার ডিস্কগুলি ফিতার অনুরূপ। তিনটি মাত্রায়, এই ফিতাগুলি নিজের মধ্য দিয়ে যেতে পারে, ঠিক যেমন একটি সাধারণ ফিতা তার কেন্দ্রের নীচে তৈরি একটি গ্যাশের মধ্য দিয়ে টানা যায়। গাণিতিকভাবে, এই ধরনের পাস-থ্রুকে রিবন সিঙ্গুলারিটি বলা হয়। অন্যান্য ধরনের সিঙ্গুলারিটি থেকে ভিন্ন, রিবন সিঙ্গুলারিটি সহজেই চারটি মাত্রায় সরে যেতে পারে। এটি গণিতবিদদের পক্ষে দেখাতে সহজ করে তোলে যে সমস্ত ফিতার গিঁটগুলি স্লাইস।

কথোপকথন - যে প্রতিটি স্লাইস গিঁটও ফিতা - এটি স্লাইস-ফিতা অনুমান, যা কয়েক দশক ধরে একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন। (বিষয়গুলিকে আরও জটিল করার জন্য, স্লাইস নটগুলির বেশ কয়েকটি সম্পর্কিত শ্রেণীবিভাগ রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে "মসৃণভাবে স্লাইস" এবং "টপোলজিক্যালি স্লাইস।" অনুমানটি শুধুমাত্র "মসৃণভাবে স্লাইস" ধরণের গিঁটের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যা গণিতবিদরা সাধারণত "স্লাইস" দ্বারা বোঝায়)

অনুমানটিকে অস্বীকার করার জন্য, একটি গিঁট খুঁজে পাওয়াই যথেষ্ট যা মসৃণভাবে টুকরো টুকরো, কিন্তু ফিতা নয়। কয়েক দশক ধরে, গণিতবিদদের নজর ছিল একজন প্রার্থীর উপর: চিত্র-আট গিঁটের (2, 1) তার, একটি চিত্র-আট গিঁট বরাবর একটি দ্বিতীয় স্ট্রিং থ্রেড করে এবং তারপর দুটি স্ট্রিংকে একত্রিত করে একটি একক গিঁট তৈরি করে।

1980 সালে, আকিও কাওয়াউচি প্রমাণ করেছিলেন যে এই গিঁটটি যৌক্তিক এবং বীজগাণিতিকভাবে স্লাইস, বৈশিষ্ট্য যা মসৃণভাবে স্লাইস হওয়ার মতো, কিন্তু পুরোপুরি একই নয়। 1994 সালে, কাতুরা মিয়াজাকি প্রমাণ করেছিলেন যে এটি ফিতা নয়, গণিতবিদদের জন্য একটি সন্দেহজনক সূচনা রেখেছিল। গিঁটটি মসৃণভাবে টুকরো টুকরো করা হয়েছে তা দেখানোর জন্য যদি কাওয়াউচির ফলাফলটি কেবলমাত্র একটি স্পর্শে শক্তিশালী করা যায়, তবে এটি অনুমানকে অস্বীকার করবে।

নতুন কাগজ প্রমাণ করে যে প্রশ্নে থাকা গিঁটটি এই দরজাটি বন্ধ করে দেওয়ার পরেও টুকরো টুকরো নয়।

"স্লাইস-ফিতা অনুমান, এখনও শক্তিশালী হচ্ছে," হেন্ডরিক্স বলেছেন, যিনি নতুন কাগজের দুই লেখকের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে কাজ করেছেন। "এটি খুব উত্তেজনাপূর্ণ, কারণ লোকেরা দীর্ঘকাল ধরে এই উদাহরণটি বোঝার চেষ্টা করেছে।"

নতুন প্রমাণ একটি শাখাযুক্ত ডবল কভার নামে কিছু উপর ভিত্তি করে. আপনি বাস্কেটবলের মতো একটি ফাঁপা গোলকের কথা চিন্তা করে একটি শাখাযুক্ত ডাবল কভার কল্পনা করতে পারেন। একটি বাস্কেটবলের ডাবল ডাবল কভার তৈরি করতে, দ্রাঘিমাংশের রেখাগুলির একটি বরাবর উপরে থেকে নীচের দিকে এটিকে স্লাইস করুন। এখন, রাবারের একপাশে টানুন যেখানে আপনি কেটেছেন, এটি বিষুবরেখা বরাবর প্রসারিত করুন যতক্ষণ না উপাদানটি চারপাশে মোড়ানো হয়। একবার আপনি এই রূপান্তরটি শেষ করে ফেললে, আপনার কাছে একটি বাস্কেটবল রয়েছে যা উপাদানের দুটি বিনিময়যোগ্য স্তর দিয়ে তৈরি, তাই "ডাবল কভার"। (এই পরিস্থিতিতে, রাবারটি ভাঙ্গা বা চূর্ণবিচূর্ণ না করে আপনার পছন্দ মতো প্রসারিত এবং পাকানো যেতে পারে।)

"শাখাযুক্ত" "শাখাযুক্ত ডবল কভার" রূপান্তর একটি quirk থেকে আসে. যেহেতু আপনি অনুভূমিকভাবে প্রসারিত করেছেন, এখনও বলের একেবারে উপরের এবং নীচের পয়েন্টে, উত্তর এবং দক্ষিণ মেরুতে শুধুমাত্র একটি স্তর রয়েছে। এই বিন্দুগুলিকে শাখা বিন্দু বলা হয় এবং তাদের উপস্থিতি ডাবল আবরণটিকে একটি শাখাযুক্ত দ্বিগুণ আবরণে পরিণত করে।

যখন গিঁটের কথা আসে, শাখাযুক্ত ডাবল কভারটি এমনভাবে একত্রিত হয় যে শাখার বিন্দুগুলি নিজেই গিঁট হয়: যে বিন্দুগুলি, বাস্কেটবলের উত্তর এবং দক্ষিণ মেরুগুলির মতো, শুধুমাত্র একবারই আচ্ছাদিত হয়।

"ঐতিহাসিকভাবে, ডাবল ব্রাঞ্চড কভারের দিকে তাকানো বাণিজ্যের একটি আদর্শ হাতিয়ার হয়েছে," বলেন জেনিফার হোম, জর্জিয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির একজন গণিতবিদ যিনি নতুন কাগজের দুই লেখকের সাথে কাজ করেছেন। এর কারণ হল - যেমন একটি বাস্কেটবল বাতাসের একটি বলকে ঘিরে থাকে - একটি স্লাইস গিঁটের শাখাযুক্ত ডাবল আবরণ একটি নির্দিষ্ট চার-মাত্রিক আকৃতিকে ঘিরে থাকে। গণিতবিদরা যদি দেখাতে পারেন যে একটি গিঁটের শাখাযুক্ত ডাবল কভারটি সঠিক 4D আকৃতিকে ঘিরে না, তাহলে তারা গিঁটটি স্লাইস হওয়ার সম্ভাবনা উড়িয়ে দিতে পারে।

কিন্তু এটি চিত্র-আট নটের (2, 1) তারের জন্য পুরোপুরি কাজ করে না: এর শাখাযুক্ত ডাবল কভারটি চার-মাত্রিক আকৃতির সঠিক ধরণের চারপাশে ঘেরাও করে। দেখানো হচ্ছে যে চিত্র-আট গিঁটের (2, 1) কেবলটি স্লাইস নয় আকৃতির প্রায়শই উপেক্ষিত প্রতিসাম্যের উপর নির্ভর করে।

যখন আপনি একটি বাস্কেটবলের পৃষ্ঠকে প্রসারিত করে একটি শাখাযুক্ত ডাবল কভার তৈরি করেন, তখন আপনি কল্পনা করতে পারেন যে ভিতরের বাতাসের ত্রিমাত্রিক বলের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ কিছু করা হচ্ছে। আপনি যখন বলের চারপাশে রাবার টানবেন, ঠিক তার সাথে বাতাস টানুন। রাবারের দুটি স্তর যেমন বিনিময়যোগ্য, তেমনি বাতাসের বলের মধ্যে দুটি গোলার্ধ রয়েছে যা উভয়ই একই জায়গায় শেষ হয়। অন্য কথায়, বলের বাইরে থেকে প্রতিসাম্য ভিতরের দিকে প্রসারিত হয়।

একইভাবে, একটি স্লাইস গিঁটের শাখাযুক্ত ডাবল কভারের প্রতিসাম্যগুলি 4D স্থানের মধ্যে পৌঁছে যায়। গণিতবিদরা সাধারণত এই প্রতিসাম্যটিকে উপেক্ষা করেন যখন দেখানোর চেষ্টা করেন যে গিঁটগুলি স্লাইস নয়। কিন্তু এই ক্ষেত্রে, এটি অপরিহার্য ছিল। যদি নতুন কাজের লেখকরা দেখাতে পারেন যে এই ধরনের কোন প্রতিসাম্য ছিল না, তারা উপসংহারে আসতে সক্ষম হবেন যে গিঁটটি স্লাইস নয়।

"কারণ প্রশ্নটি কোন প্রতিসাম্যকে নির্দেশ করে না, আপনি ভাববেন: আচ্ছা, কীভাবে প্রতিসাম্যটি ছবিতে আসে তা সম্পর্কে কিছু বলার জন্য? কিন্তু একরকম, যাদুকরীভাবে, এই ক্ষেত্রে প্রতিসাম্যটি ছবিতে আসে এবং আপনার জন্য সমস্যার সমাধান করে,” বলেছেন মল্লিক, যিনি নতুন কাগজটি লিখেছেন আরভিং দাই স্ট্যানফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের, কোরিয়া অ্যাডভান্সড ইনস্টিটিউট অফ সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজির জংহওয়ান পার্ক, ম্যাথিউ স্টফ্রেজেন মিশিগান স্টেট ইউনিভার্সিটি, এবং সুংকিউং কাং দক্ষিণ কোরিয়ার ইনস্টিটিউট ফর বেসিক সায়েন্সের।

“আমরা জানতাম যে সেই কাঠামো সেখানে ছিল। কিন্তু লোকেরা কেন এটি অধ্যয়ন করছিল না তার একটি কারণ হল যে আমাদের কাছে সেই কাঠামোর ট্র্যাক রাখার কোনও উপায় ছিল না,” রায় বলেছিলেন। "এটি সনাক্ত করার জন্য আপনার একটি অভিনব, উচ্চ-ক্ষমতাসম্পন্ন সরঞ্জামের প্রয়োজন।"

যুক্তি তৈরি করার জন্য, দলটিকে গিঁট এবং এর আশেপাশের স্থান সম্পর্কিত গভীর, জটিল গণিত ব্যবহার করতে হয়েছিল, এমনকি শাখাযুক্ত ডাবল কভারের তুলনায় আরও সূক্ষ্ম প্রতিসাম্যের উপর নির্ভর করে। দুইটাতে পূর্ববর্তী কাগজপত্র, দাই, মল্লিক এবং স্টফ্রেগেন এই সম্পত্তিগুলির কিছু গণনা করেছিলেন। গত গ্রীষ্মে ক্যাং যখন মিশিগান স্টেটের স্টফ্রেগেনে পরিদর্শন করেছিলেন, তখনও তার মনের মধ্যে আটটি গিঁটের (2, 1) তারের, গবেষকরা দ্রুত বুঝতে পেরেছিলেন যে এই সূত্রগুলি এর স্লাইসনেসের সমস্যাটি সমাধান করবে। "একটি অন্তর্দৃষ্টি আছে, যা আমাকে বলেছিল যে এই গণনাটি কাজ করা উচিত," কাং বলেছিলেন। "এবং শুধুমাত্র এটি গণনা করে, আমাদের এখনই এই সমস্যাটি সমাধান করতে সক্ষম হওয়া উচিত।"

জুলাইয়ের শেষের দিকে, তাদের কাগজ অনলাইনে পোস্ট করা হয়েছিল, এটি প্রমাণ করে যে গিঁটটি আসলে টুকরো ছিল না। কাগজের ধারনাগুলি, পার্ক বলেছে, অনেক গিঁটের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হওয়া উচিত যার স্লাইসনেস বর্তমানে প্রশ্নবিদ্ধ। "এটি কেবল শুরু," তিনি বলেছিলেন। যদিও এই কাগজটি একটি নির্দিষ্ট গিঁটের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে, পার্ক বলেছে যে তারা যে সরঞ্জামগুলি তৈরি করেছে তা গিঁটের আরও সাধারণ পরিবারের জন্য কাজ করবে। মূল গিঁটের অ-স্লাইসনেস, তবে, স্লাইস-ফিতা অনুমান আপাতত অস্থির থাকবে তা নিশ্চিত করে।