গণিত যা সংযোগ করে যেখানে আমরা যাচ্ছি যেখানে আমরা ছিলাম | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

বলুন আপনি অন্য নয়জন লোকের সাথে একটি পার্টিতে আছেন এবং প্রত্যেকে ঠিক একবার সবার হাত নাড়ায়। কয়টি হ্যান্ডশেক সঞ্চালিত হয়?

এটি "হ্যান্ডশেক সমস্যা" এবং এটি আমার পছন্দের একটি। একজন গণিত শিক্ষক হিসাবে, আমি এটি পছন্দ করি কারণ আপনি সমাধানে পৌঁছাতে পারেন এমন অনেকগুলি উপায় রয়েছে এবং সেই কৌশলগুলির বৈচিত্র্য এবং আন্তঃসংযুক্ততা গণিতের সৃজনশীল চিন্তার শক্তিকে সুন্দরভাবে চিত্রিত করে।

একটি সমাধান এই মত যায়: প্রতিটি ব্যক্তির প্রতিটি অন্য ব্যক্তির হাত নাড়া দিয়ে শুরু করুন। দশ জন, প্রত্যেকে নয়টি হ্যান্ডশেক সহ, 9 × 10 = 90 মোট হ্যান্ডশেক তৈরি করে। কিন্তু এটি প্রতিটি হ্যান্ডশেককে দুইবার গণনা করে — প্রতিটি শেকারের দৃষ্টিকোণ থেকে একবার — তাই হ্যান্ডশেকের প্রকৃত সংখ্যা হল $latex frac{90}{2} = 45$। জয়ের পক্ষে একটি সহজ এবং সুন্দর গণনা যুক্তি!

সমস্যা সমাধানের একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন উপায়ও আছে। কল্পনা করুন যে অতিথিরা একবারে আসে, এবং যখন তারা সেখানে পৌঁছায়, তারা উপস্থিত সবার সাথে করমর্দন করে। প্রথম ব্যক্তির ঝাঁকুনি দেওয়ার জন্য কোনও হাত নেই, তাই এক-ব্যক্তির পার্টিতে মোট হ্যান্ডশেক শূন্য রয়েছে। এখন দ্বিতীয় ব্যক্তি এসে প্রথম ব্যক্তির সাথে করমর্দন করে। এটি মোটের সাথে একটি হ্যান্ডশেক যোগ করে, তাই একটি দুই-ব্যক্তির পার্টিতে, 0 + 1 = 1টি মোট হ্যান্ডশেক রয়েছে৷ যখন তৃতীয় ব্যক্তি আসে এবং প্রথম দুই অতিথির সাথে করমর্দন করে, তখন এটি মোট দুটি হ্যান্ডশেক যোগ করে। চতুর্থ ব্যক্তির আগমন মোট তিনটি হ্যান্ডশেক যোগ করে, এবং তাই।

এই কৌশলটি হ্যান্ডশেকের ক্রমকে পুনরাবৃত্তভাবে মডেল করে, যার অর্থ ক্রমটির প্রতিটি শব্দ তার আগে আসা শব্দগুলির সাথে সম্পর্কিত। আপনি সম্ভবত ফিবোনাচ্চি সিকোয়েন্সের সাথে পরিচিত, সবথেকে বিখ্যাত রিকারসিভ সিকোয়েন্স। এটি 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 থেকে শুরু হয় এবং আগের দুটির যোগফলের সমান প্রতিটি পরবর্তী পদের সাথে চলতে থাকে।

আমরা নীচে দেখতে পাব, রিকার্সন হল বিস্তৃত গাণিতিক ধারণা সম্পর্কে চিন্তা করার জন্য একটি নমনীয় এবং শক্তিশালী কাঠামো। এবং যদিও হেমচন্দ্রের মতো প্রাচীন ভারতীয় পণ্ডিতদের 1150 সাল পর্যন্ত এই ধরণের সিকোয়েন্স সম্পর্কে জানার জন্য কৃতিত্ব দেওয়া হয়, তবুও তারা আজও গণিতবিদদের জন্য কৌতুহলী চ্যালেঞ্জের প্রস্তাব দেয়।

আসুন দেখি কিভাবে বারবার চিন্তাভাবনা হ্যান্ডশেক সমস্যায় সাহায্য করে। যদি আমরা $latex a_n$ কে সমান হ্যান্ডশেকের সংখ্যা a এ দেই n-ব্যক্তি পক্ষ, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রের সাথে এই পুনরাবৃত্তিমূলক সম্পর্ককে উপস্থাপন করতে পারি:

$latex a_n = a_{n-1} + n–1$

এটি আমাদের বলে যে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা একটি n-ব্যক্তি পার্টি ($latex a_n$) হল একটি হ্যান্ডশেকের সংখ্যার সমান (n − 1)-ব্যক্তি পার্টি ($latex a_{n-1}$) প্লাস n − 1টি আরও হ্যান্ডশেক, ধারণাটি ক্যাপচার করে যে যখন একজন নতুন ব্যক্তি আসে তখন তারা ইতিমধ্যে সংঘটিত হওয়াগুলির সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক নতুন হ্যান্ডশেক যোগ করে।

হ্যান্ডশেক সমস্যার আমাদের বিশেষ সংস্করণে, আমরা $latex a_{10}$, 10-ব্যক্তির পার্টিতে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা জানতে চাই, যাতে আমরা পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক ব্যবহার করি।

$latex a_{10} = a_9 + 9$

$latex a_{10}$ এর মান খুঁজে পেতে, আমাদের শুধু $latex a_9$ এর মান জানতে হবে এবং এর সাথে 9 যোগ করতে হবে। আমরা কিভাবে $latex a_9$ এর মান খুঁজে পাব? অবশ্যই, পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে!

$latex a_9 = a_8 + 8$

এখন, $latex a_8$ এর মান খুঁজে পেতে, আমাদের $latex a_7$ এর মান খুঁজে বের করতে হবে, যার জন্য $latex a_6$ জানতে হবে, ইত্যাদি। এই মুহুর্তে, আপনি উদ্বিগ্ন হতে পারেন যে এটি এক ধরনের অসীম বংশধরে চিরতরে চলতে থাকবে, কিন্তু একবার আমরা $latex a_1$ এ পৌঁছালে আমাদের কাজ শেষ, কারণ আমরা জানি যে এক ব্যক্তির পার্টিতে মোট হ্যান্ডশেক নেই।

$latex a_1 = 0$

এই প্রাথমিক বা "বীজ" মান একটি পুনরাবৃত্ত অনুক্রমের একটি মূল বৈশিষ্ট্য। এটি গ্যারান্টি দেয় যে পুনরাবৃত্তিমূলক সম্পর্ক ব্যবহার করে অনুক্রমের মাধ্যমে ব্যাকট্র্যাক করার এই প্রক্রিয়াটি শেষ হবে। একবার আপনি বীজের মানকে আঘাত করলে ব্যাকট্র্যাকিং বন্ধ হয়ে যায় এবং তারপরে আপনি আপনার পছন্দের মান পেতে তালিকার মধ্য দিয়ে এগিয়ে যেতে পারেন।

$latex a_1 = 0$

$latex a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$

$latex a_3 = a_2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$latex a_4 = a_3 + 3 = 3 + 3 = 6$

$latex cdots$

$latex a_{10} = a_9 + 9 = 36 + 9 = 45$

তালিকার মাধ্যমে কাজ করে, আমরা দেখতে পাই যে 45-ব্যক্তির পার্টিতে মোট 10টি হ্যান্ডশেক রয়েছে, যা আমাদের প্রাথমিক গণনার সাথে একমত। আপনি যদি আমার ছাত্রদের মত কিছু হন, আপনি জিজ্ঞাসা করতে পারেন কেন এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের অন্য উপায় প্রয়োজন যখন আমরা ইতিমধ্যে উত্তরটি জানি, বিশেষ করে যেহেতু এই দ্বিতীয় পদ্ধতিটি বেশি সময় নেয় বলে মনে হচ্ছে।

এটা একটা ভালো প্রশ্ন। একটি উত্তর হল যে পুনরাবৃত্ত পদ্ধতি আমাদের এই সমস্যাটিতে কী ঘটছে তার সম্পূর্ণ ভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি দেয়, এবং বিভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি গণিতে কার্যকর, কারণ সেগুলি সমস্ত কিছুতে রয়েছে। তারা আমাদের ধারণাগুলি বোঝার বিভিন্ন সুযোগ দেয় এবং আমাদের বিভিন্ন সরঞ্জাম ব্যবহার করার অনুমতি দেয়, যা আমরা যখন আটকে থাকি তখন সাহায্য করতে পারে।

বিশেষ করে, পুনরাবৃত্তি দরকারী কারণ এটি গণিতে সর্বত্র রয়েছে। এটি উদিত হয়, উদাহরণস্বরূপ, রৈখিক সম্পর্কের মধ্যে প্রত্যেকে গণিত ক্লাসে শিখে থাকে — যেগুলি পরিবর্তনের একটি ধ্রুবক হার দ্বারা চিহ্নিত এবং সমতলের রেখা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। $latex f(x) = 3x + 5$ এর মত একটি রৈখিক ফাংশনকে একটি পুনরাবৃত্ত সূত্র হিসাবে ভাবা যেতে পারে:

$latex a_0 = 5$

$latex a_n = a_{n-1} + 3$

যদিও $latex f(2)$ সম্পর্কে চিন্তা করার আরও সুস্পষ্ট উপায় হতে পারে যে $latex f(2) = 3 গুণ 2 + 5 = 11$, আরেকটি উপায় হল $latex a_2 = a_1 + 3 = a_0 + 3 + 3 = 11$। রৈখিক ফাংশনগুলির মৌলিক বৈশিষ্ট্যের পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে মডেলিং - পরিবর্তনের ধ্রুবক হার - আমাদের এই সম্পর্ক সম্পর্কে চিন্তা করার আরেকটি উপায় দেয়। ধ্রুব গুণগত পরিবর্তন দ্বারা চিহ্নিত সূচকীয় ফাংশনগুলির সাথে একই কাজ করা যেতে পারে।

পুনরাবৃত্তিমূলক চিন্তা সংখ্যার ক্রমগুলির বাইরেও কাজ করে। আপনি যদি কখনও সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করে থাকেন তবে আপনি সম্ভবত একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি প্রয়োগ করেছেন। সিস্টেম সমাধান করতে

$latex 2x + y = 10$

$latex 3x – y = 5$

আপনি প্রথমে দুটি সমীকরণ একত্রে যোগ করতে পারেন y পরিবর্তনশীল, যার ফলে $latex 5x = 15$ সমীকরণ হয়। $latex x =$ 3 পেতে এটি সমাধান করুন, $latex y = 4$ খুঁজে পাওয়ার বিকল্প, এবং আপনার কাজ শেষ। এই পদ্ধতিটি একটি পুনরাবৃত্ত অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, যেখানে একটি সিস্টেমের সমাধানটি সমাধান থেকে ছোট, সম্পর্কিত সিস্টেমে তৈরি করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি 3 × 3 সিস্টেম সমাধান করার জন্য, আপনি একটি ভেরিয়েবলকে 2 × 2 সিস্টেমে পরিণত করতে এবং তারপরে আবার এটিকে 1 × 1 সিস্টেমে পরিণত করতে বাদ দেন। এই সহজে সমাধান করা একক সমীকরণটি এই পুনরাবৃত্ত প্রক্রিয়ার বীজ মানের মতো। এটি ব্যাকট্র্যাকিংয়ের সমাপ্তির সংকেত দেয়, এবং সেখান থেকে আপনি একটি পুনরাবৃত্ত অনুক্রমের মতো সমীকরণের চেইন ব্যাক আপ করার জন্য কাজ করেন।

এমনকি পুনরাবৃত্ত প্রমাণ কৌশল আছে. উদাহরণ স্বরূপ, জ্যামিতির একটি বিখ্যাত সূত্র হল বহুভুজ কোণের সমষ্টি সূত্র, যা বলে যে একটি কোণের অভ্যন্তরীণ কোণের পরিমাপের সমষ্টি n-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজ হল $latex (n-2) গুণ 180^{circ}$। এই ফলাফল প্রমাণ করার একটি উপায় হল একটি দিয়ে শুরু করা n-gon এবং কল্পনা করুন যদি আপনি একটি ত্রিভুজ অপসারণ করেন তাহলে কি হবে।

একটি ত্রিভুজ অপসারণ করা হয় n- একটি (n − 1)-gon, এবং এটি অভ্যন্তরীণ কোণ পরিমাপের 180 ডিগ্রি সরিয়ে দেয়। এটি একটি পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক: একটি জন্য অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল n-গন হল একটি (n − 1)-গন। সাধারণ ফলাফল প্রতিষ্ঠা করতে, ত্রিভুজগুলি অপসারণ করতে থাকুন যতক্ষণ না আপনি বীজের মূল্যে পৌঁছান, যা এই পরিস্থিতিতে ঘটে যখন আপনি তিনটি বাদে সবগুলি সরিয়ে ফেলেছেন n-গন এর শীর্ষবিন্দু. এই মুহুর্তে প্রাথমিক বহুভুজটিকে একটি ত্রিভুজে পরিণত করা হয়েছে, যার অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল 180 ডিগ্রি হিসাবে পরিচিত। এখন প্রতিটি ধাপে 180 ডিগ্রি যোগ করে আপনার ব্যাক আপের পথে কাজ করুন এবং আপনি সূত্রটি পাবেন।

আমাদের পার্টিতে ফিরে, হ্যান্ডশেক সমস্যা নিজেই আমাদের দেখায় যে আমরা যখন সৃজনশীলভাবে চিন্তা করি এবং তারপর একটি সমস্যার একাধিক ভিন্ন দৃষ্টিকোণকে একসাথে সংযুক্ত করি তখন কী সম্ভব। যদি আমরা আমাদের হ্যান্ডশেকের ক্রমটির জন্য পুনরাবৃত্তিমূলক মডেলের সাথে খেলি:

$latex a_1 = 0$

$latex a_n = a_{n-1} + n – 1$

একটি সুন্দর প্যাটার্ন আবির্ভূত হয়:

$latex a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1$

$latex a_3 = a_2 + 2 = 0 + 1 + 2$

$latex a_4 = a_3 + 3 = 0 + 1 + 2 + 3$

$latex cdots$

$latex a_n = a_{n-1} + (n-1) = 0 + 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1)$

আমাদের কাছে এখন সমস্যাটি সম্পর্কে চিন্তা করার একটি নতুন, এবং সাধারণ উপায় রয়েছে: একটিতে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা n-ব্যক্তি পক্ষ প্রথমটির যোগফলের সমান n − 1 ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

আমাদের মূল পদ্ধতির দিকে ফিরে চিন্তা করুন। একটি মধ্যে n-ব্যক্তি পার্টি, প্রত্যেক ব্যক্তি অন্যের সাথে করমর্দন করবে n - 1 জন। পণ্য $latex n (n-1)$ প্রতিটি হ্যান্ডশেককে দুইবার গণনা করে, তাই হ্যান্ডশেকের মোট সংখ্যা হল $latex frac{n(n-1)}{2}$। কিন্তু যেহেতু আমাদের বিভিন্ন পদ্ধতি একই জিনিস গণনা করে, তাই তাদের একই ফলাফল দিতে হবে। বিশেষ করে, এর অর্থ হল:

$latex 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1) = frac{n(n-1)}{2}$

হ্যান্ডশেক সমস্যার বিভিন্ন পন্থা সংযুক্ত করে, আমরা প্রথমটির যোগফলের জন্য একটি বন্ধ সূত্র পাই n − 1 ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। কিন্তু আমরা আরও বেশি কিছু পাই: $latex frac{n(n-1)}{2}$ অভিব্যক্তিটি একটি ভগ্নাংশ জড়িত, কিন্তু যেহেতু এটি পূর্ণসংখ্যার সমষ্টির সমান, তাই এটিও একটি পূর্ণসংখ্যা হতে হবে। এটি সংখ্যা তত্ত্বের একটি সহজ সত্য প্রমাণ করে: প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য n, $latex frac{n(n-1)}{2}$ হল একটি পূর্ণসংখ্যা।

এই একই ধরণের যুক্তি আধুনিক গণিতকে শক্তিশালী করে চলেছে। একটি উদাহরণ হিসাবে, 2000 এর দশকের গোড়ার দিকে গবেষকরা কিছু আশ্চর্যজনক ফলাফল প্রমাণিত রিকার্সিভ সিকোয়েন্স সম্পর্কে যা সোমোস সিকোয়েন্স নামে পরিচিত এবং দেখিয়েছে যে তারাও কিছু গণনা করে। সৃজনশীল সংযোগের শক্তির মাধ্যমে, গণিতবিদরা আবার আবিষ্কার করেছিলেন যে তারা কোথায় ছিল তা বোঝার মাধ্যমে তারা কোথায় যেতে পারে।

অনুশীলন

1. অনুক্রমের জন্য একটি বন্ধ সূত্র খুঁজুন যা পুনরাবৃত্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে
$latex a_1 = 1$
$latex a_n = a_{n-1} + 2n – 1$

2. কলামের শেষে, $latex frac{n(n-1)}{2}$টি একটি পূর্ণসংখ্যা হিসাবে দেখানো হয়েছে যদিও এক্সপ্রেশনটিতে একটি ভগ্নাংশ রয়েছে, কারণ $latex frac{n(n-1) )}{2}$ হল কিছু গণনার ফলাফল। এছাড়াও একটি সংখ্যা তত্ত্ব যুক্তি আছে যা দেখায় এই অভিব্যক্তিটি অবশ্যই একটি পূর্ণসংখ্যা হতে হবে। এটা কি?

3. পুনরাবৃত্ত অনুক্রমের প্রথম কয়েকটি পদ খুঁজুন
$latex a_1 = 1$
$latex a_n = frac{1}{1+a_{n-1}}$

4. পুনরাবৃত্ত অনুক্রমের প্রথম কয়েকটি পদ খুঁজুন
$latex a_1 = 1$
$latex a_2 = 1$
$latex a_n = a_{n-1} – a_{n-2}$