ভূমিকা
অক্টোবরের মাঝামাঝি সময়ে, জাস্টিন গিলমার বন্ধুর বিয়েতে যোগ দিতে ক্যালিফোর্নিয়া থেকে নিউইয়র্কে উড়ে এসেছিলেন। পূর্ব উপকূলে থাকাকালীন তিনি তার প্রাক্তন উপদেষ্টার সাথে দেখা করেন, মাইকেল সাক্স, Rutgers বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ, যেখানে গিলমার সাত বছর আগে তার ডক্টরেট পেয়েছিলেন।
স্যাকস এবং গিলমার দুপুরের খাবারের সময় ধরেছিলেন, কিন্তু তারা গণিত সম্পর্কে কথা বলেননি। প্রকৃতপক্ষে, গিলমার 2015 সালে রাটজার্সে শেষ করার পর থেকে গণিত সম্পর্কে গুরুত্ব সহকারে চিন্তা করেননি। তখনই তিনি সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন যে তিনি একাডেমিয়ায় ক্যারিয়ার চান না এবং পরিবর্তে নিজেকে প্রোগ্রাম শেখাতে শুরু করেছিলেন। তিনি এবং সাক্স খাওয়ার সাথে সাথে, গিলমার তার পুরানো পরামর্শদাতাকে গুগলে তার চাকরি সম্পর্কে বলেছিলেন, যেখানে তিনি মেশিন লার্নিং এবং কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা নিয়ে কাজ করেন।
গিলমার যেদিন রুটগারে গিয়েছিলেন সেদিন ছিল রোদ। যখন তিনি ঘুরে বেড়ান, তখন তিনি মনে করেন কিভাবে 2013 সালে তিনি একই ক্যাম্পাসের পথে হাঁটতে এক বছরের ভালো অংশ কাটিয়েছিলেন, ইউনিয়ন-বন্ধ অনুমান নামক একটি সমস্যার কথা চিন্তা করেছিলেন। এটি একটি স্থির ছিল, যদিও একটি নিষ্ফল ছিল: তার সমস্ত প্রচেষ্টার জন্য, গিলমার শুধুমাত্র নিজেকে শেখাতে সফল হয়েছিলেন কেন সংখ্যার সেট সম্পর্কে সহজ-আদর্শ সমস্যাটি সমাধান করা এত কঠিন ছিল।
“আমি মনে করি অনেক লোক সমস্যাটি সম্পর্কে চিন্তা করে যতক্ষণ না তারা সন্তুষ্ট হয় যে তারা বুঝতে পারে কেন এটি কঠিন। আমি সম্ভবত বেশিরভাগ লোকের চেয়ে এটিতে বেশি সময় ব্যয় করেছি, "গিলমার বলেছিলেন।
তার অক্টোবর সফরের পরে, অপ্রত্যাশিত কিছু ঘটেছিল: তিনি একটি নতুন ধারণা পেয়েছিলেন। গিলমার ইউনিয়ন-বন্ধ অনুমান সমাধানের জন্য তথ্য তত্ত্ব থেকে কৌশল প্রয়োগ করার উপায় সম্পর্কে চিন্তা করতে শুরু করেন। তিনি এক মাস ধরে ধারণাটি অনুসরণ করেছিলেন, প্রতিবারে এটি ব্যর্থ হওয়ার আশা করেছিলেন। কিন্তু পরিবর্তে, একটি প্রমাণের পথ খোলা রাখা হয়েছে। অবশেষে ১৬ নভেম্বর তিনি একটি প্রথম ধরনের ফলাফল পোস্ট যা গণিতবিদদের সম্পূর্ণ অনুমান প্রমাণের পথে অনেকটাই এগিয়ে দেয়।
কাগজ ফলো-আপ কাজের একটি ঝাঁকুনি বন্ধ সেট. অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি, ম্যাসাচুসেটস ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি এবং ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডি, অন্যান্য প্রতিষ্ঠানের গণিতবিদরা দ্রুত গিলমারের অভিনব পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে তৈরি করেন। কিন্তু তারা করার আগে, তারা তাদের নিজস্ব একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছিল: এই লোকটি কে?
সম্পূর্ণ অর্ধেক
ইউনিয়ন-বন্ধ অনুমান হল সেট নামক সংখ্যার সংগ্রহ সম্পর্কে, যেমন {1, 2} এবং {2, 3, 4}। আপনি সেটে ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন, তাদের ইউনিয়ন নেওয়া সহ, যার অর্থ তাদের একত্রিত করা। উদাহরণস্বরূপ, {1, 2} এবং {2, 3, 4} এর মিলন হল {1, 2, 3, 4}।
সেটের একটি সংগ্রহ, বা পরিবার, "ইউনিয়ন-ক্লোজড" হিসাবে বিবেচিত হয় যদি পরিবারের যেকোনো দুটি সেটের মিলন পরিবারে বিদ্যমান যেকোনো সেটের সমান হয়। উদাহরণস্বরূপ, চার সেটের এই পরিবারটি বিবেচনা করুন:
{1}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}।
যেকোন জোড়া একত্রিত করুন এবং আপনি একটি সেট পাবেন যা ইতিমধ্যেই পরিবারে রয়েছে, যা পরিবারকে বন্ধ করে দেয়।
গণিতবিদরা 1960-এর দশকে ইউনিয়ন-বন্ধ অনুমানের সংস্করণ সম্পর্কে চ্যাট করেছিলেন, কিন্তু এটি 1979 সালে প্রথম আনুষ্ঠানিক বিবৃতি পেয়েছিল, একটি গবেষণাপত্রে পিটার ফ্রাঙ্কল, একজন হাঙ্গেরিয়ান গণিতবিদ যিনি 1980-এর দশকে জাপানে চলে আসেন এবং যিনি তার সাধনার মধ্যে রাস্তায় পারফর্ম করাকে গণ্য করেন।
ফ্র্যাঙ্কল অনুমান করেছিলেন যে সেটগুলির একটি পরিবার যদি ইউনিয়ন-বন্ধ হয়, তবে এটিতে কমপক্ষে একটি উপাদান (বা সংখ্যা) থাকতে হবে যা কমপক্ষে অর্ধেক সেটে উপস্থিত হয়। এটি দুটি কারণে একটি প্রাকৃতিক থ্রেশহোল্ড ছিল।
প্রথমত, ইউনিয়ন-বন্ধ পরিবারের সহজলভ্য উদাহরণ রয়েছে যেখানে সমস্ত উপাদান ঠিক 50% সেটে উপস্থিত হয়। উদাহরণ স্বরূপ, আপনি 1 থেকে 10 নম্বর পর্যন্ত বিভিন্ন সেট তৈরি করতে পারেন। এই ধরনের 1,024 টি সেট রয়েছে, যা একটি ইউনিয়ন-বন্ধ পরিবার গঠন করে এবং 10টি উপাদানের প্রতিটি 512টিতে উপস্থিত হয়। এবং দ্বিতীয়ত, ফ্রাঙ্কল যে সময়ে অনুমান করেছিলেন সেই সময়ে কেউ কখনও এমন একটি ইউনিয়ন-বন্ধ পরিবারের উদাহরণ তৈরি করেনি যেখানে অনুমানটি ধারণ করেনি।
তাই 50% সঠিক ভবিষ্যদ্বাণী মত মনে হয়েছে.
তার মানে এটা প্রমাণ করা সহজ ছিল না। ফ্রাঙ্কলের কাগজের পরের বছরগুলিতে, কয়েকটি ফলাফল পাওয়া গেছে। গিলমারের কাজের আগে, সেই কাগজগুলি শুধুমাত্র থ্রেশহোল্ড স্থাপন করতে সক্ষম হয়েছিল যা পরিবারের সেটের সংখ্যার সাথে পরিবর্তিত হয় (সকল আকারের সেট পরিবারের জন্য একই 50% থ্রেশহোল্ড হওয়ার বিপরীতে)।
"এটি মনে হচ্ছে এটি সহজ হওয়া উচিত, এবং এটি অনেক সমস্যার মতো যা সহজ, কিন্তু এটি আক্রমণ প্রতিহত করেছে," বলেছেন উইল সাউইন কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের।
অগ্রগতির অভাব সমস্যার জটিল প্রকৃতি এবং এই সত্য যে অনেক গণিতবিদ এটি সম্পর্কে চিন্তা না করা পছন্দ করেন উভয়ই প্রতিফলিত করে; তারা উদ্বিগ্ন যে তারা তাদের কেরিয়ারের কয়েক বছর হারিয়ে ফেলবে এমন একটি বিভ্রান্তিকর সমস্যা যা সমাধান করা অসম্ভব। গিলমার 2013 সালে একটি দিন মনে করে যখন তিনি সাক্সের অফিসে গিয়েছিলেন এবং ইউনিয়ন-বন্ধ অনুমানটি তুলে ধরেছিলেন। তার উপদেষ্টা - যিনি অতীতে নিজেই সমস্যাটির সাথে কুস্তি করেছিলেন - প্রায় তাকে ঘর থেকে বের করে দিয়েছিলেন।
"মাইক বলেছিল, 'জাস্টিন, আপনি আমাকে আবার এই সমস্যা সম্পর্কে চিন্তা করতে যাচ্ছেন এবং আমি তা করতে চাই না,'" গিলমার বলেছিলেন।
অনিশ্চয়তার অন্তর্দৃষ্টি
রুটগারে তার পরিদর্শনের পরে, গিলমার তার মনের মধ্যে সমস্যাটি ঘুরিয়ে দিয়েছিলেন, কেন এটি এত কঠিন ছিল তা বোঝার চেষ্টা করেছিলেন। তিনি একটি মৌলিক তথ্যের সাথে নিজেকে প্ররোচিত করেছেন: আপনার যদি 100 সেটের একটি পরিবার থাকে, তাহলে দুটি বেছে নেওয়ার এবং তাদের ইউনিয়ন নেওয়ার 4,950টি ভিন্ন উপায় রয়েছে। তারপরে তিনি নিজেকে জিজ্ঞাসা করলেন: এটা কিভাবে সম্ভব যে 4,950 টি ভিন্ন ইউনিয়ন মাত্র 100 সেটে ফিরে আসে যদি অন্তত কিছু ফ্রিকোয়েন্সি সহ ঐ ইউনিয়নগুলিতে কোন উপাদান উপস্থিত না হয়?
এমনকি সেই মুহুর্তে তিনি একটি প্রমাণের পথে ছিলেন, যদিও তিনি এখনও এটি জানতেন না। তথ্য তত্ত্বের কৌশল, যা আপনি যখন একজোড়া বস্তুকে এলোমেলোভাবে টানবেন তখন কী আশা করা যায় সে সম্পর্কে চিন্তা করার একটি কঠোর উপায় প্রদান করে, তাকে সেখানে নিয়ে যাবে।
তথ্য তত্ত্ব 20 শতকের প্রথমার্ধে বিকশিত হয়েছিল, সবচেয়ে বিখ্যাত ক্লদ শ্যাননের 1948 সালের গবেষণাপত্রের সাথে, “যোগাযোগের একটি গাণিতিক তত্ত্ব" কাগজটি একটি বার্তা পাঠানোর জন্য প্রয়োজনীয় তথ্যের পরিমাণ গণনা করার একটি সুনির্দিষ্ট উপায় প্রদান করেছে, বার্তাটি ঠিক কী বলবে তা সম্পর্কে অনিশ্চয়তার পরিমাণের উপর ভিত্তি করে। এই লিঙ্ক - তথ্য এবং অনিশ্চয়তার মধ্যে - শ্যাননের অসাধারণ, মৌলিক অন্তর্দৃষ্টি ছিল।
একটি খেলনার উদাহরণ নিতে, কল্পনা করুন যে আমি একটি মুদ্রা পাঁচবার উল্টিয়েছি এবং ফলাফলটি আপনাকে পাঠাচ্ছি। এটি একটি সাধারণ মুদ্রা হলে, এটি প্রেরণ করতে পাঁচ বিট তথ্য লাগে। কিন্তু যদি এটি একটি লোড করা মুদ্রা হয় - বলুন, 99% মাথায় ল্যান্ড করার সম্ভাবনা রয়েছে - এটি অনেক কম লাগে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা সময়ের আগে সম্মত হতে পারি যে আমি আপনাকে একটি 1 (একটি তথ্যের একটি বিট) পাঠাব যদি লোড করা কয়েনটি পাঁচবার চলে যায়, যা এটি করার খুব সম্ভবত। একটি পক্ষপাতদুষ্টের তুলনায় একটি ন্যায্য মুদ্রা ফ্লিপের ফলাফলে আরও বিস্ময় রয়েছে, এবং তাই আরও তথ্য।
সংখ্যার সেটে থাকা তথ্যের ক্ষেত্রেও একই চিন্তা প্রযোজ্য। আমার যদি ইউনিয়ন-বন্ধ সেটের একটি পরিবার থাকে - বলুন 1,024 থেকে 1 নম্বর পর্যন্ত 10 সেট তৈরি করা হয়েছে - আমি এলোমেলোভাবে দুটি সেট বাছাই করতে পারি। তারপর আমি আপনাকে প্রতিটি সেট উপাদান যোগাযোগ করতে পারে. সেই বার্তাটি পাঠানোর জন্য যে পরিমাণ তথ্য লাগে তা সেই উপাদানগুলি সম্পর্কে অনিশ্চয়তার পরিমাণকে প্রতিফলিত করে: একটি 50% সম্ভাবনা রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, প্রথম সেটের প্রথম উপাদানটি হল 1 (কারণ 1 অর্ধেক সেটে উপস্থিত হয় পরিবার), ঠিক যেমন একটি 50% সম্ভাবনা আছে ন্যায্য মুদ্রা উল্টানোর একটি ক্রম প্রথম ফলাফল মাথা.
তথ্য তত্ত্ব প্রায়শই সংমিশ্রণবিদ্যায় প্রদর্শিত হয়, গণিতের একটি ক্ষেত্র যা বস্তু গণনার সাথে সম্পর্কিত, যা গিলমার স্নাতক ছাত্র হিসাবে অধ্যয়ন করেছিলেন। কিন্তু যখন তিনি ক্যালিফোর্নিয়ায় বাড়ি ফিরে যান, তখন তিনি উদ্বিগ্ন হয়েছিলেন যে তিনি যেভাবে তথ্য তত্ত্বকে বন্ধ-ইউনিয়ন অনুমানের সাথে সংযুক্ত করার চিন্তা করেছিলেন তা একজন অপেশাদারের নির্বোধ অন্তর্দৃষ্টি ছিল: অবশ্যই পরিশ্রমী গণিতবিদরা আগে এই চকচকে বস্তুটি দেখেছিলেন এবং এটিকে বোকার সোনা হিসাবে স্বীকৃতি দিয়েছিলেন। .
"সত্যি বলতে, আমি একটু অবাক হয়েছি যে এর আগে কেউ এটি নিয়ে ভাবেনি," গিলমার বলেছিলেন। "কিন্তু হয়তো আমার অবাক হওয়া উচিত নয়, কারণ আমি নিজেই এটি সম্পর্কে এক বছর ধরে ভেবেছিলাম এবং আমি তথ্য তত্ত্ব জানতাম।"
না চেয়ে বেশি সম্ভাবনা
গিলমার Google-এ তার কাজ শেষ করার পরে এবং অক্টোবরের দ্বিতীয়ার্ধে এবং নভেম্বরের শুরুতে সপ্তাহান্তে রাতে সমস্যা নিয়ে কাজ করেছিলেন। তিনি এমন ধারণার দ্বারা উত্সাহিত হন যেগুলি গণিতবিদদের একটি দল কয়েক বছর আগে একটি গবেষণায় অন্বেষণ করেছিল খোলা সহযোগিতা Tim Gowers নামে একজন বিশিষ্ট গণিতজ্ঞের ব্লগে। তিনি তার পাশে একটি পাঠ্যপুস্তক নিয়ে কাজ করেছিলেন যাতে তিনি ভুলে যাওয়া সূত্রগুলি সন্ধান করতে পারেন।
“আপনি মনে করেন যে কেউ একটি দুর্দান্ত ফলাফল নিয়ে আসে তাকে এর 2 অধ্যায়ের সাথে পরামর্শ করতে হবে না তথ্য তত্ত্বের উপাদান, কিন্তু আমি করেছি," গিলমার বলেছিলেন।
গিলমারের কৌশলটি ছিল একটি ইউনিয়ন-বদ্ধ পরিবার কল্পনা করা যেখানে সমস্ত সেটের 1% তেও কোন উপাদান উপস্থিত হয় না - একটি প্রতিউদাহরণ যে, যদি এটি সত্যিই বিদ্যমান থাকে তবে ফ্র্যাঙ্কলের অনুমানকে মিথ্যা প্রমাণ করবে।
ধরা যাক আপনি এই পরিবার থেকে এলোমেলোভাবে দুটি সেট, A এবং B বেছে নিন এবং সেই সেটগুলিতে থাকা উপাদানগুলি বিবেচনা করুন, একবারে একটি। এখন জিজ্ঞাসা করুন: A সেটে 1 নম্বর রয়েছে এমন মতভেদগুলি কী কী? এবং B সেট? যেহেতু প্রতিটি উপাদানের যেকোন সেটে উপস্থিত হওয়ার 1% সম্ভাবনার চেয়ে কিছুটা কম, তাই আপনি A বা B এর মধ্যে 1 থাকবে বলে আশা করবেন না। যার মানে সামান্য বিস্ময় - এবং সামান্য তথ্য অর্জিত হয়েছে - যদি আপনি এটি শিখেন না আসলে করে
এর পরে, A এবং B এর মিলনে 1 থাকার সম্ভাবনা সম্পর্কে চিন্তা করুন। এটি এখনও অসম্ভাব্য, তবে এটি পৃথক সেটগুলির মধ্যে যে কোনও একটিতে উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনার চেয়ে বেশি। এটি A তে উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনার সমষ্টি এবং B তে প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা দুটিতে উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনাকে বিয়োগ করে৷ সুতরাং, সম্ভবত 2% এর নিচে।
এটি এখনও কম, তবে এটি 50-50 প্রস্তাবের কাছাকাছি। তার মানে ফলাফল শেয়ার করতে আরও তথ্য লাগে। অন্য কথায়, যদি এমন একটি ইউনিয়ন-বন্ধ পরিবার থাকে যেখানে সমস্ত সেটের অন্তত 1%-এ কোনো উপাদান উপস্থিত হয় না, তবে দুটি সেটের মিলনে সেটের যে কোনোটির চেয়ে বেশি তথ্য রয়েছে।
"উপাদানের মাধ্যমে জিনিসের উপাদান প্রকাশ করার ধারণা এবং আপনি যে পরিমাণ তথ্য শিখেন তা দেখার বিষয়টি অত্যন্ত চতুর। এটাই প্রমাণের মূল ধারণা,” বলেন রায়ান আলওয়েইস প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়ের।
এই মুহুর্তে গিলমার ফ্রাঙ্কলের অনুমানে বন্ধ হতে শুরু করেছিলেন। কারণ এটি প্রদর্শন করা সহজ যে একটি ইউনিয়ন-বন্ধ পরিবারে, দুটি সেটের মিলনে অগত্যা সেটগুলির চেয়ে কম তথ্য থাকে - বেশি নয়।
কেন তা দেখতে, 1,024 থেকে 1 নম্বরের মধ্যে আপনি যে 10টি আলাদা সেট তৈরি করতে পারেন সেই ইউনিয়ন-বন্ধ পরিবারটির কথা চিন্তা করুন৷ আপনি যদি এই সেটগুলির মধ্যে দুটি এলোমেলোভাবে বাছাই করেন, গড়ে আপনি পাঁচটি উপাদান সমন্বিত সেট দিয়ে শেষ করবেন৷ (এই 1,024 সেটের মধ্যে, 252টিতে পাঁচটি উপাদান রয়েছে, যা এটিকে সবচেয়ে সাধারণ সেট আকার তৈরি করে।) আপনি প্রায় সাতটি উপাদান সম্বলিত একটি ইউনিয়নের সাথে শেষ হওয়ার সম্ভাবনাও করছেন। কিন্তু সাতটি উপাদান সম্বলিত সেট তৈরির মাত্র 120টি ভিন্ন উপায় রয়েছে।
মূল বিষয় হল, দুটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত সেটের বিষয়বস্তু সম্পর্কে তাদের মিলন সম্পর্কে যতটা অনিশ্চয়তা রয়েছে তার চেয়ে বেশি। ইউনিয়ন আরও উপাদান সহ বড় সেটে skews, যার জন্য কম সম্ভাবনা আছে। যখন আপনি একটি ইউনিয়ন-বন্ধ পরিবারে দুটি সেটের মিলন নিয়ে যান, তখন আপনি জানেন যে আপনি কী পেতে যাচ্ছেন — যেমন আপনি যখন একটি পক্ষপাতমূলক মুদ্রা উল্টান — যার অর্থ ইউনিয়নে যে সেটগুলি তৈরি করা হয়েছে তার চেয়ে কম তথ্য রয়েছে৷
এর সাথে, গিলমারের একটি প্রমাণ ছিল। তিনি জানতেন যদি কোনো উপাদান এমনকি 1% সেটেও উপস্থিত না হয়, ইউনিয়ন আরও তথ্য ধারণ করতে বাধ্য হয়। কিন্তু ইউনিয়নে কম তথ্য থাকতে হবে। তাই কমপক্ষে একটি উপাদান থাকতে হবে যা কমপক্ষে 1% সেটে উপস্থিত হয়।
50 তে ধাক্কা
16 নভেম্বর যখন গিলমার তার প্রমাণ পোস্ট করেছিলেন, তখন তিনি একটি নোট অন্তর্ভুক্ত করেছিলেন যে তিনি ভেবেছিলেন যে সম্পূর্ণ অনুমানের প্রমাণের আরও কাছাকাছি যেতে তার পদ্ধতি ব্যবহার করা সম্ভব, সম্ভাব্যভাবে থ্রেশহোল্ড 38% এ উন্নীত করা সম্ভব।
পাঁচ দিন পর, তিন বিভিন্ন গ্রুপ গণিতবিদরা একে অপরের কয়েক ঘন্টার মধ্যে কাগজপত্র পোস্ট করেছিলেন যা গিলমারের কাজের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছিল। অতিরিক্ত কাগজপত্র অনুসৃত, কিন্তু প্রাথমিক বিস্ফোরণ থেকে মনে হয় গিলমারের পদ্ধতিগুলি যতদূর যেতে পারে; 50% এ পৌঁছানোর জন্য সম্ভবত অতিরিক্ত নতুন ধারণা লাগবে।
তবুও, ফলো-আপ পেপারের কিছু লেখকের জন্য, 38% পাওয়া তুলনামূলকভাবে সহজ ছিল, এবং তারা ভাবছিল কেন গিলমার শুধু নিজেই এটি করেননি। সহজতম ব্যাখ্যাটি সঠিক হতে দেখা গেছে: গণিতের অর্ধ দশকেরও বেশি সময় পরে, গিলমার কেবল এটিকে টানতে প্রয়োজনীয় কিছু প্রযুক্তিগত বিশ্লেষণমূলক কাজ কীভাবে করবেন তা জানেন না।
"আমি একটু মরিচা ছিলাম, এবং সত্যি বলতে, আমি আটকে গিয়েছিলাম," গিলমার বলেছিলেন। "কিন্তু সম্প্রদায় এটিকে কোথায় নিয়ে যাবে তা দেখার জন্য আমি আগ্রহী ছিলাম।"
তবুও গিলমার মনে করেন একই পরিস্থিতি যা তাকে অনুশীলনের বাইরে রেখেছিল সম্ভবত প্রথম স্থানে তার প্রমাণ সম্ভব করেছে।
"এটি একমাত্র উপায় যা আমি ব্যাখ্যা করতে পারি কেন আমি স্নাতক স্কুলে এক বছর ধরে সমস্যাটি নিয়ে চিন্তা করেছি এবং কোন অগ্রগতি করিনি, আমি ছয় বছর গণিত ছেড়েছি, তারপর সমস্যাটিতে ফিরে এসেছি এবং এই সাফল্য অর্জন করেছি," তিনি বলেছিলেন। "মেশিন লার্নিংয়ে থাকা আমার চিন্তাভাবনাকে পক্ষপাতদুষ্ট করা ছাড়া আমি কীভাবে এটি ব্যাখ্যা করব তা আমি জানি না।"
কারেকশন: জানুয়ারী 3, 2023
মূল শিরোনামটি গিলমারকে "গুগল ইঞ্জিনিয়ার" হিসাবে উল্লেখ করেছে। আসলে তিনি একজন গবেষক।
