কৌশলী গাণিতিক টাইলিং এর সংক্ষিপ্ত ইতিহাস | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

প্রতিদিন আমরা পুনরাবৃত্তি মোটিফ উদাহরণ দেখতে. এই প্রতিসাম্য এবং নিয়মিততা জাগতিক এবং প্রায় অদৃশ্য বলে মনে হতে পারে, যেমনটি দেয়ালে ইটের কারুকার্য বা মধুচক্রে ষড়ভুজ প্যাটার্ন। অথবা যদি আমরা স্পেনের আলহামব্রা বা MC Escher-এর সৃজনশীল অঙ্কনে মার্জিত টাইল কাজের মতো কিছুর সম্মুখীন হতে যথেষ্ট ভাগ্যবান হই, তাহলে নিদর্শনগুলি আমাদের অনুপ্রাণিত করতে পারে এবং বিস্মিত করতে পারে।

শতাব্দীর পর শতাব্দী ধরে, গণিতবিদরা এই পুনরাবৃত্ত আকৃতির সাথে খেলেছেন, তাদের কাছ থেকে আকর্ষণীয় অন্তর্দৃষ্টি এবং অভিনব সম্ভাবনাগুলি কুড়িয়েছেন। গণিতের সৌন্দর্যের প্রতিদ্বন্দ্বী ডিজাইনের সৌন্দর্য নিজেরাই।

সরলতম টাইলিংগুলি অভিন্ন বহুভুজ দিয়ে তৈরি হয় যার বাহুগুলি সমান দৈর্ঘ্যের এবং সমান পরিমাপের কোণগুলি সম্পূর্ণ প্রান্ত থেকে সম্পূর্ণ প্রান্তে যুক্ত হয়। কিন্তু যদিও এই "নিয়মিত" বহুভুজগুলির মধ্যে অসীম অনেকগুলি রয়েছে - প্রতিটি বাহুর জন্য একটি - শুধুমাত্র তিনটি নিয়মিত টাইলিং রয়েছে, যা তিনটি, চার বা ছয়টি বাহু বিশিষ্ট আকার থেকে গঠিত - অর্থাৎ, ত্রিভুজ, বর্গক্ষেত্র এবং ষড়ভুজ।

অন্যান্য আকার শুধু এটি জন্য নির্মিত হয় না. একটি নিয়মিত পেন্টাগন (পাঁচটি বাহু সহ) এর অভ্যন্তরীণ কোণ 108 ডিগ্রি থাকে। এটি সমানভাবে 360 ডিগ্রীতে বিভক্ত হয় না, তাই নিয়মিত পেন্টাগনকে একটি টাইলিংয়ে একত্রিত করার যে কোনো প্রচেষ্টা শূন্যতা তৈরি করতে বাধ্য যা পূরণ করা যাবে না; আমরা বলি যে নিয়মিত পেন্টাগন প্লেনটি টাইল করতে পারে না। এবং নিয়মিত বহুভুজ যার ছয়টির বেশি বাহু রয়েছে তাদের অভ্যন্তরীণ কোণগুলি এত বড় যে তিনটি একক বিন্দুতে মিলিত হতে পারে এবং তাই তারা উভয়ই পারে না।

নিয়মিত বহুভুজ দিয়ে টাইলিং করার আরেকটি কাজ জোহানেস কেপলারের কাছ থেকে এসেছে, যা আজ গ্রহের গতি সম্পর্কে তার আবিষ্কারের জন্য সবচেয়ে বেশি পরিচিত। 1619 সালে, তিনি দেখিয়েছিলেন যে আপনি একাধিক নিয়মিত বহুভুজ ব্যবহার করলেও, আপনি শুধুমাত্র আটটি নতুন টাইলিং প্যাটার্ন তৈরি করতে পারেন যেখানে প্রতিটি শীর্ষের চারপাশে কনফিগারেশন অভিন্ন। (যদি আমাদের এই নিষেধাজ্ঞা থেকে বিচ্যুত হওয়ার অনুমতি দেওয়া হয় তবে আরও সম্ভাবনা রয়েছে।)

যখন আমরা অনিয়মিত বহুভুজকে অনুমতি দিই, তখন জিনিসগুলি আরও আকর্ষণীয় হয়ে ওঠে। আশ্চর্যজনকভাবে, প্রতিটি ত্রিভুজ সমতলকে টাইল করতে পারে এবং আরও আশ্চর্যজনকভাবে, প্রতিটি চতুর্ভুজও করতে পারে।

অন্যদিকে, ছয়টির বেশি বাহুর কোনো উত্তল বহুভুজ দিয়ে সমতলকে টাইল করা অসম্ভব; অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল খুব বড়। সুতরাং এটি শুধুমাত্র পেন্টাগন এবং ষড়ভুজগুলিকে অবশিষ্ট সম্ভাবনা হিসাবে ছেড়ে যায়।

তার 1918 সালের ডক্টরাল থিসিসে, কার্ল রেইনহার্ড প্রমাণ করেছিলেন যে প্লেনটিকে অসীমভাবে অনেকগুলি উত্তল ষড়ভুজ দিয়ে টাইল করা সম্ভব - যেগুলি ইন্ডেন্টেশন ছাড়াই - যা তিনি তিনটি পরিবারে বিভক্ত করেছিলেন।

উত্তল পেন্টাগন যা সমতলকে টাইল করে শ্রেণীবদ্ধ করা কঠিন ছিল। রেইনহার্ড এই ধরনের পঞ্চভুজের পাঁচটি পরিবার আবিষ্কার করেছিলেন; 50 বছর পরে, রিচার্ড কার্শনার আরও তিনটি খুঁজে পান। তারপর 1975 সালে, মার্টিন গার্ডনার সমস্যার কথা লিখেছিলেন বৈজ্ঞানিক আমেরিকান, এটি পেশাদার এবং অপেশাদার গণিতবিদদের নজরে আনা। এরকমই একজন অপেশাদার, রিচার্ড জেমস III নামে একজন কম্পিউটার প্রোগ্রামার, গার্ডনারকে একটি নবম পরিবারের উদাহরণ পাঠিয়ে জিজ্ঞাসা করেছিলেন, "আপনি কি একমত যে কার্শনার এটি মিস করেছেন?" তার ছিল.

মার্জোরি রাইস, একজন গৃহকর্মী, গার্ডনারের কলামটিও পড়েন এবং তার রান্নাঘরের টেবিলে সমস্যাটি দূর করতে শুরু করেন। তিনি দুই বছরেরও বেশি সময় ধরে টিঙ্কার করেছিলেন এবং আবিষ্কার করেছিলেন আরও চারটি পরিবার টাইলিং পেন্টাগন এর.

গবেষকরা 14 সালে টাইলিং পেন্টাগনের একটি 1985 তম পরিবার খুঁজে পেয়েছিলেন এবং তিন দশক পরে, আরেকটি দল কম্পিউটার অনুসন্ধান ব্যবহার করে একটি 15 তম পরিবার খুঁজে পেয়েছিল৷ কেউ জানত না যে এই আবিষ্কারটি তালিকাটি সম্পূর্ণ করেছে, বা আরও পরিবার এখনও লুকিয়ে আছে কিনা। 2017 সালে এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়েছিল যখন মাইকেল রাও প্রতিপন্ন যে সমস্ত উত্তল টাইলিং পেন্টাগন - এবং তাদের সাথে, সমস্ত উত্তল টাইলিং বহুভুজ - পাওয়া গেছে।

এই সব টাইলিং পুনরাবৃত্তি. অর্থাৎ, তাদের একটি পর্যায়ক্রমিক প্রতিসাম্য রয়েছে, যার মূল অর্থ হল আমরা যদি একটি কাগজের টুকরোতে টাইলিংটি ট্রেস করি এবং সেই কাগজটিকে নির্দিষ্ট দিকে স্লাইড করি, তবে এটি আবার টাইলিংয়ের সাথে ঠিক সারিবদ্ধ হবে।

অন্যান্য ধরণের প্রতিসাম্যও সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, একটি মিরর প্রতিসাম্য বোঝায় যে যদি আমরা আমাদের ট্রেসিং পেপারকে একটি স্থির রেখার উপরে উল্টিয়ে দেই তাহলে আমাদের প্যাটার্নগুলি সারিবদ্ধ হবে। ঘূর্ণন প্রতিসাম্য মানে যে তারা লাইন আপ হবে যদি আমরা আমাদের কাগজ ঘোরান. এবং আমরা একটি গ্লাইড প্রতিফলন প্রতিসাম্য প্রাপ্ত করার জন্য ক্রিয়াগুলিকে একত্রিত করতে পারি, যা কাগজটিকে স্লাইড করা এবং তারপরে এটিকে উল্টানোর মতো।

1891 সালে, রাশিয়ান ক্রিস্টালোগ্রাফার ইভগ্রাফ ফেডোরভ প্রমাণ করেছিলেন যে এই প্রতিসাম্যগুলিকে একত্রিত করা যেতে পারে এমন শুধুমাত্র 17 টি উপায় রয়েছে। যেহেতু এই নিষেধাজ্ঞাটি সমতলের সমস্ত পর্যায়ক্রমিক সজ্জার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তাই এগুলিকে ব্যাপকভাবে 17টি "ওয়ালপেপার গ্রুপ" হিসাবে উল্লেখ করা হয়।

প্রতিসাম্য প্যাটার্নের এই শ্রেণীবিভাগের সাথে পরিচিত হয়ে গেলে, একটি পর্যায়ক্রমিক নকশা দেখা প্রায় অসম্ভব, তা যত জটিলই হোক না কেন, এবং এটিকে ডিকোড করার জন্য একটি ধাঁধা হিসাবে দেখা যায় না: কোথায় এবং কীভাবে, ঠিক, এটি পুনরাবৃত্তি করে? কোথায় সেই প্রতিসমতা?

অবশ্যই, প্রতিটি টাইলিং নকশা পর্যায়ক্রমিক হয় না। সমতলে টাইলস স্থাপন করা সম্ভব এবং প্রায়শই সহজ, যাতে ফলস্বরূপ নকশাটি পুনরাবৃত্তি না হয়। ষড়ভুজ, বর্গক্ষেত্র এবং ত্রিভুজ সহ আমাদের উদাহরণে, আপনি কেবল একটি একক ষড়ভুজ এবং এর চারপাশের বহুভুজগুলিকে 30 ডিগ্রি ঘোরানোর মাধ্যমে এটি করতে পারেন। ফলস্বরূপ টাইলিংয়ের আর অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য নেই।

1961 সালে, যুক্তিবিদ হাও ওয়াং অনুমান করেছিলেন যে যদি আকারের একটি সেট সমতলকে টাইল করে, তবে আকারগুলি অবশ্যই পর্যায়ক্রমে সমতলকে টাইল করতে সক্ষম হবে। মাত্র কয়েক বছর পরে, তার স্নাতক ছাত্র রবার্ট বার্গার 20,000 টিরও বেশি টাইলসের একটি বিশাল সেট আবিষ্কার করে তাকে ভুল প্রমাণ করেছিলেন যা প্লেনটি টাইল করে, কিন্তু শুধুমাত্র অ-পর্যায়ক্রমে। এই ধরনের টালি সেট বলা হয় aperiodic.

যদিও বার্জার এবং অন্যরা এই অ্যাপিরিওডিক সেটগুলির আকার উল্লেখযোগ্যভাবে কমিয়ে আনতে সক্ষম হয়েছিল, 1970-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে রজার পেনরোজ তার নিজের অ্যাপিরিওডিক টাইলের খুব ছোট সেট আবিষ্কার করে বিশ্বের মনোযোগ আকর্ষণ করেছিলেন। ক্ষুদ্রতম সেটগুলির জন্য মাত্র দুটি টাইলস প্রয়োজন।

এই আকার এবং নিদর্শন গণিতবিদ, বিজ্ঞানী এবং সাধারণ জনগণকে মুগ্ধ করেছে। কিন্তু তারা একটি সুস্পষ্ট পরবর্তী প্রশ্ন উত্থাপন করেছিল: একটি একক এপিরিওডিক টাইল আছে কি? টাইলিং তত্ত্বের চূড়ান্ত অনুসন্ধান ছিল এখন এমন একটি "আইনস্টাইন" টাইল খুঁজে পাওয়া — যার নাম পদার্থবিজ্ঞানীর নামে নয়, কিন্তু জার্মান শব্দবন্ধ "একটি পাথর" এর জন্য।

2010 সালে, জোশুয়া সোকোলার এবং জোয়ান টেলর একটি আইনস্টাইন আবিষ্কারের খুব কাছাকাছি এসেছিলেন। তাদের পদ্ধতির সমস্যা ছিল যে তাদের টাইল সংযোগ বিচ্ছিন্ন করা হয়েছে; এটি ক্যালিফোর্নিয়ার মতো সংযুক্ত আকৃতির পরিবর্তে হাওয়াই রাজ্যের মতো আকৃতি দিয়ে সমতলকে টাইলিং করার মতো হবে, আলাদা অঞ্চল নিয়ে গঠিত একটি একক সত্তা। ক্রমবর্ধমানভাবে, গণিতবিদরা সন্দেহ করেছিলেন যে যদি আইনস্টাইনের অস্তিত্ব থাকে তবে এটি জ্যামিতিকভাবে জটিল কিছু হতে হবে।

2023 সালের মার্চে, একজন অপেশাদার আবার বিশ্বকে চমকে দিয়েছিলেন। ডেভিড স্মিথ নামে একজন অবসরপ্রাপ্ত প্রিন্ট টেকনিশিয়ান এবং গাণিতিক শখ শুধুমাত্র একটি অ্যাপিরিওডিক মনোটাইল আবিষ্কার করেননি, কিন্তু একটি অসীম পরিবার এই অধরা আইনস্টাইনের। তিনি ক্রেগ কাপলান, চেইম গুডম্যান-স্ট্রস এবং জোসেফ স্যামুয়েল মায়ার্স - কম্পিউটার বিজ্ঞান, গণিত এবং টাইলিং তত্ত্বের বিশেষজ্ঞ - এবং একসাথে তারা হ্যাট টাইল নামে একটি জ্যামিতিকভাবে সরল আইনস্টাইন উপস্থাপন করেছিলেন (যা ইন্টারনেটে টি-শার্টের মতো মনে হয়েছিল) )

প্রতিক্রিয়া দ্রুত এবং ইতিবাচক ছিল. আবিষ্কারকরা কনফারেন্সে কথা বলেছেন এবং অনলাইনে আলোচনা করেছেন। গাণিতিক শিল্পীরা এই নতুন জ্যামিতিকভাবে আকর্ষণীয় টাইলগুলির উপর ভিত্তি করে Escher-এর মতো ডিজাইন তৈরি করার সৃজনশীল উপায়গুলি খুঁজে বের করার সুযোগে লাফিয়ে উঠেছিল। হ্যাট টাইল এমনকি একটি গভীর রাতের টেলিভিশন শো-এর মনোলোগে উপস্থিত হয়েছিল।

তবুও উন্নতির জায়গা ছিল। টুপি দিয়ে সমতল টাইল করার জন্য, আপনাকে টাইলসের প্রায় এক-সপ্তমাংশ উল্টাতে হবে। একজন বাড়ির মালিক যারা তাদের বাথরুমে টুপি টাইল দিয়ে টাইল করতে চান তাদের দুই ধরনের টাইল কিনতে হবে: একটি স্ট্যান্ডার্ড টাইল এবং এর মিরর ইমেজ। এটা কি সত্যিই প্রয়োজনীয় ছিল?

টুপির টালির উত্তেজনা কমে যাওয়ার আগেই দলটি আরেকটি ঘোষণা দেয়। স্মিথ খুঁজে পেয়েছিলেন, এপিরিওডিক মনোটাইলের সেই অসীম পরিবারে, যাকে তিনি একটি "স্পেকট্রে" বলেছেন যা প্রতিফলিত কপির প্রয়োজন ছাড়াই সমতলকে টাইল করতে পারে। একজন সত্যিকারের আইনস্টাইন অবশেষে আবির্ভূত হয়েছিল।

আমরা এখন টাইলিং এবং টেসেলেশনের গাণিতিক অনুসন্ধানের পুনরুত্থানের মধ্যে আছি। এটি অপেশাদারদের গুরুত্বপূর্ণ অবদানের উপর নির্ভর করেছে, গাণিতিক শিল্পীদের সৃজনশীলতাকে অনুপ্রাণিত করেছে এবং জ্ঞানের সীমানাকে এগিয়ে নিয়ে যাওয়ার জন্য কম্পিউটারের শক্তিকে কাজে লাগিয়েছে। এবং এটি থেকে, আমরা প্রতিসাম্য, জ্যামিতি এবং নকশার প্রকৃতিতে নতুন অন্তর্দৃষ্টি অর্জন করেছি।

কারেকশন: অক্টোবর 30, 2023
এই নিবন্ধটির মূল সংস্করণে বলা হয়েছে যে ছয়টির বেশি বাহুর কোনো বহুভুজ দিয়ে সমতলকে টাইল করা অসম্ভব। বহুভুজ উত্তল হলেই এটি সত্য।

কোয়ান্টা আমাদের শ্রোতাদের আরও ভালভাবে পরিবেশন করার জন্য সমীক্ষার একটি সিরিজ পরিচালনা করছে। আমাদের নিন গণিত পাঠক জরিপ এবং আপনি বিনামূল্যে জিততে প্রবেশ করা হবে কোয়ান্টা বণিক।