ভূমিকা
23 সালের 1852 অক্টোবর গণিতের ইতিহাসের একটি মহান পর্ব শুরু হয়েছিল। স্যার উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টনকে লেখা একটি চিঠিতে অগাস্টাস ডি মরগান লিখেছেন, “আমার এক ছাত্র আজ আমাকে তাকে একটি সত্যের কারণ জানাতে বলেছিল যা আমি করেছি। জানি না একটি সত্য ছিল - এবং এখনও না।" আজ অবধি, সেই "তথ্য" পণ্ডিতদের মুগ্ধ এবং চ্যালেঞ্জ করে চলেছে।
ছাত্র ছিলেন ফ্রেডরিক গুথরি, এবং প্রশ্নে "তথ্য" মূলত তার ভাই ফ্রান্সিসের কাছ থেকে এসেছে। ব্রিটিশ কাউন্টিগুলির একটি মানচিত্র দেখার পর, তিনি ভাবলেন যে চারটি বা তার চেয়ে কম রঙ ব্যবহার করে একটি মানচিত্রের রঙ করা সবসময় সম্ভব কিনা, যেখানে একটি সীমানা ভাগ করে নেওয়া অঞ্চলগুলি (একটি কর্নার পয়েন্টের চেয়ে বেশি) ভিন্ন রঙের হয় তা নিশ্চিত করে।
এটা সবসময় সম্ভব হওয়া উচিত বলে মনে হচ্ছিল. ডি মরগান লিখেছেন, "আমি যতই এটি ভাবি ততই এটি স্পষ্ট হয়।" তবুও, সমস্যাটি হ্যামিল্টনকে উত্তেজিত করেনি। তিনি উত্তর দিলেন, "আমি আপনার চেষ্টা করার সম্ভাবনা নেই'quaternion খুব শীঘ্রই রঙের। এবং অন্যদের আগ্রহী করার জন্য ডি মরগানের প্রচেষ্টাও ব্যর্থ হয়েছিল।
সমস্যাটি 1878 সাল পর্যন্ত সুপ্ত ছিল, যখন আর্থার কেলি লন্ডন ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির সদস্যদের জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে কেউ একটি প্রমাণ পেয়েছেন কিনা। এরপরই প্রমাণ পাওয়া শুরু হয়। এটি 1879 সালে ব্যারিস্টার আলফ্রেড কেম্পের প্রথম একটি, যা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বলে প্রমাণিত হয়েছিল। প্রমাণটি বিশ্বাসযোগ্য ছিল এবং এটি এক দশকেরও বেশি সময় ধরে সঠিক হিসাবে গৃহীত হয়েছিল। দুর্ভাগ্যবশত, কেম্পের প্রমাণ - পরবর্তী শতাব্দীর জন্য প্রদর্শিত অন্য সকলের মতো - ত্রুটিপূর্ণ ছিল। তবুও এটি ছিল বুদ্ধিমত্তাপূর্ণ, এবং এতে মূল ধারনা ছিল যা চূড়ান্ত প্রমাণে উপস্থিত হবে।
কেম্পে এবং বেশিরভাগ গণিতবিদরা এই সমস্যাটিকে কীভাবে দেখেছেন তা বোঝার জন্য, এটি সনাক্ত করতে সাহায্য করে যে একটি মানচিত্রে রঙিন সমস্যার সাথে অপ্রাসঙ্গিক অনেক তথ্য রয়েছে, যেমন প্রতিটি অঞ্চলের আকৃতি, আকার এবং সঠিক অবস্থান। কোন অঞ্চলগুলি সীমানা ভাগ করে সেটাই গুরুত্বপূর্ণ, যদিও আমাদের সমস্ত অঞ্চলকে সংযুক্ত করা প্রয়োজন; মিশিগান, তার পৃথক উপরের উপদ্বীপের সাথে, মার্কিন মানচিত্রটিকে চার রঙিন হতে বাধা দেয় না, তবে এটি গাণিতিকভাবে পারে।
গুরুত্বপূর্ণ তথ্যের উপর ফোকাস করার জন্য, আমরা একটি গ্রাফ ব্যবহার করে এই সম্পর্কগুলিকে এনকোড করতে পারি, যা একটি নেটওয়ার্ক নামেও পরিচিত, যেখানে বিন্দুগুলি (বিন্দুগুলি) লাইন (প্রান্ত) দ্বারা সংযুক্ত থাকে। মানচিত্রের প্রতিটি অঞ্চলকে একটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন এবং পার্শ্ববর্তী অঞ্চলগুলির শীর্ষবিন্দুগুলিকে একটি প্রান্ত দিয়ে সংযুক্ত করুন। যদি এটি সাহায্য করে, আমরা কল্পনা করতে পারি যে শীর্ষবিন্দুগুলি হল রাজধানী শহর এবং প্রান্তগুলি তাদের সাথে যুক্ত হওয়া রাস্তা।
এইভাবে, মানচিত্রের রঙের সমস্যাটি একটি গ্রাফ রঙের সমস্যা হয়ে ওঠে: শীর্ষবিন্দুগুলিকে রঙ করুন যাতে প্রতিবেশীরা বিভিন্ন রঙের হয়। রঙের ন্যূনতম সংখ্যাকে গ্রাফের বর্ণসংখ্যা বলা হয়। আমরা যেকোনো গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করতে পারি, তবে মানচিত্র থেকে আসা গ্রাফগুলির বিশেষ বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এই গ্রাফগুলি সহজ, মানে একই শীর্ষবিন্দুতে শুরু এবং শেষ হওয়ার কোন প্রান্ত নেই (যাকে লুপ বলা হয়), এবং দুটি শীর্ষবিন্দু শুধুমাত্র একটি প্রান্ত দিয়ে যুক্ত হতে পারে। গ্রাফটিও প্ল্যানার, মানে এটি আঁকা যায় যাতে কোন প্রান্ত অতিক্রম না হয়।
আমরা এখন ফ্রান্সিস গুথরির সমস্যাটি পুনরুদ্ধার করতে পারি: প্রমাণ করুন যে প্রতিটি সাধারণ প্ল্যানার গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যা সর্বাধিক চার।
এখানে কেম্পের যুক্তির একটি স্কেচ রয়েছে, যা মানচিত্রের পরিবর্তে গ্রাফ ব্যবহার করে আধুনিক পরিভাষায় বর্ণিত হয়েছে। তিনি পর্যবেক্ষণ করে শুরু করেছিলেন যে একটি শীর্ষবিন্দু সহ একটি গ্রাফ - সম্ভবত মানচিত্রটি একটি একাকী দ্বীপ - শুধুমাত্র একটি রঙের প্রয়োজন। তারপরে তিনি সেখান থেকে উপরের দিকে গড়ার জন্য একটি চতুর যুক্তি ব্যবহার করেছিলেন, যুক্তি দিয়েছিলেন যে দুটি শীর্ষবিন্দু, তারপরে তিনটি শীর্ষবিন্দু সহ একটি গ্রাফকে রঙ করতে সর্বাধিক চারটি রঙ ব্যবহার করা সম্ভব। এখানে কিভাবে.
ধরুন আমরা সমস্ত সাধারণ প্ল্যানার গ্রাফকে রঙ করতে পারি n সর্বোচ্চ চারটি রঙের শীর্ষবিন্দু - এটি তুচ্ছ n 5 কম - এবং তারপর আমরা একটি সঙ্গে হস্তান্তর করা হয় n + 1 শীর্ষবিন্দু। আমরা কিভাবে দেখাতে পারি যে এটিও, সর্বাধিক চারটি রঙের সাথে রঙিন হবে?
প্রথমত, কেম্পে দেখালেন, একটি সতর্কতামূলক গণনা যুক্তি ব্যবহার করে, প্রতিটি সাধারণ প্ল্যানার গ্রাফের কিছু মিল রয়েছে: এতে কমপক্ষে পাঁচটি প্রতিবেশীর সাথে কমপক্ষে একটি শীর্ষবিন্দু থাকতে হবে। সমস্ত বিকল্প বিবেচনায় নিয়ে, এর অর্থ হল একটি মানচিত্রের উপর ভিত্তি করে প্রতিটি সম্ভাব্য গ্রাফে শীর্ষবিন্দুর ছয়টি বিশেষ কনফিগারেশনের একটি রয়েছে।
যদি আমরা এই শীর্ষবিন্দু, এবং এটির সাথে সংযোগকারী সমস্ত প্রান্তগুলি সরিয়ে ফেলি, তাহলে আমরা একটি গ্রাফ পিছনে রেখে যাব n শীর্ষবিন্দু - যা আমরা ইতিমধ্যে জানি চারটি রঙ ব্যবহার করে রঙ করা যেতে পারে। আমরা আসলে পরবর্তী পদক্ষেপ হিসাবে তাই না. এখন, সরানো শীর্ষবিন্দুর সংলগ্ন শীর্ষবিন্দুগুলি দেখুন। যদি তারা তিনটি বা তার কম রঙ প্রদর্শন করে, তাহলে আমরা অপসারিত শীর্ষবিন্দুটিকে অবশিষ্ট রঙগুলির একটিতে রঙ করতে পারি, এবং আমরা শেষ করেছি: আমরা শুধু দেখিয়েছি যে গ্রাফটি n + 1 টি শীর্ষবিন্দু চারটি রঙে রঙিন হতে পারে। এবং যদি সংলগ্ন শীর্ষবিন্দুতে চারটি রঙ অন্তর্ভুক্ত থাকে, তাহলে কেম্পে সরানো শীর্ষবিন্দুর জন্য একটি রঙ খালি করার জন্য নির্দিষ্ট শীর্ষবিন্দুকে পুনরায় রঙ করার একটি চতুর পদ্ধতি তৈরি করেছিলেন, আবার দেখান যে গ্রাফটি সহ n + 1 শীর্ষবিন্দুর জন্য শুধুমাত্র চারটি রঙের প্রয়োজন।
1890 সালে, গণিতবিদ পার্সি হেউড কেম্পের ত্রুটি সনাক্ত করেছিলেন। একটি বিশেষ কেস ছিল যেখানে কেম্পের চতুর পদ্ধতি ব্যর্থ হয়েছিল। হিউউড মন্তব্য করেছিলেন যে যদিও তার নিজের কাজ "গঠনমূলকের চেয়ে ধ্বংসাত্মক [বরং]" বলে মনে হয়েছিল, তিনি দেখিয়েছিলেন যে কেম্পের কৌশল প্রমাণ করতে পারে যে প্রতিটি মানচিত্র পাঁচ বা তার চেয়ে কম রঙে রঙ করা যেতে পারে - একেবারে মূল লক্ষ্য নয়, তবে এখনও চিত্তাকর্ষক।
হেউড আরও জটিল পৃষ্ঠে আঁকা মানচিত্রগুলিও তদন্ত করেছিলেন। তিনি যে একটি ডোনাট সঙ্গে একটি মানচিত্র প্রমাণ g ছিদ্রের জন্য $latex frac{mathrm 1}{mathrm 2} left( 7+sqrt{ 1+48g} ডান) $ রঙের প্রয়োজন হতে পারে (যেখানে এই মানটি নিকটতম পূর্ণসংখ্যাতে বৃত্তাকার করা হয়)। তাই একটি সাধারণ ডোনাট সাজানোর জন্য সাতটি রঙের ফ্রস্টিং প্রয়োজন হতে পারে। তবুও, যা একটি প্যাটার্ন হয়ে উঠছিল, সাধারণ পৃষ্ঠের জন্য তার প্রমাণ অসম্পূর্ণ ছিল এবং 1968 সাল পর্যন্ত আমাদের কাছে সম্পূর্ণ প্রমাণ ছিল না।
কিন্তু এমনকি যখন সাধারণ পৃষ্ঠের জন্য হেউডের উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছিল, তখন চার রঙের সমস্যাটি অমীমাংসিত ছিল। কয়েক দশকের কঠোর পরিশ্রমের জন্য ধন্যবাদ, যদিও, একটি প্রমাণ চোখে পড়েছিল।
1976 সালে একটি কনফারেন্সে, 124 বছর পর, গুথরি সমস্যাটি তুলে ধরেন, উলফগ্যাং হেকেন কেনেথ অ্যাপেলের সাথে এবং স্নাতক ছাত্র জন কোচের সহায়তায় একটি প্রমাণ ঘোষণা করেছিলেন। প্রতিক্রিয়া মিশ্র ছিল। "আমি আশা করেছিলাম শ্রোতারা একটি দুর্দান্ত স্লোগানে ফেটে পড়বে," লিখেছেন ডন আলবার্স, যিনি আলোচনায় উপস্থিত ছিলেন। "পরিবর্তে, তারা নম্র করতালি দিয়ে সাড়া দিয়েছিল!" এটি ছিল কারণ একটি পেন্সিল-এবং-কাগজ যুক্তি তৈরি করার পরিবর্তে, দলটি একটি কম্পিউটারের উপর খুব বেশি নির্ভর করেছিল।
তাদের কাছে সরাসরি প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার কোনও মেশিন ছিল না, যেহেতু অসীমভাবে অনেকগুলি প্ল্যানার গ্রাফ সম্ভব, এবং একটি কম্পিউটার সেগুলি পরীক্ষা করতে পারে না। যাইহোক, কেম্পে যেমন প্রমাণ করেছেন যে প্রতিটি গ্রাফে শীর্ষবিন্দুর ছয়টি বিশেষ কনফিগারেশনের মধ্যে একটি রয়েছে, অ্যাপেল এবং হেকেন দেখিয়েছেন যে প্রতিটি গ্রাফে অবশ্যই 1,936টি বিশেষ কনফিগারেশনের একটি থাকতে হবে। উপপাদ্য প্রমাণ করার অর্থ হল যে এই সাবগ্রাফগুলি ধারণকারী যেকোন গ্রাফকে রঙ করার জন্য আমাদের শুধুমাত্র চারটি রঙের প্রয়োজন। কেম্পের ছয়টি বিশেষ কেসকে 1,936টি সাব-কেসে বিভক্ত করা তাদের আরও সূক্ষ্ম নিয়ন্ত্রণ দিয়েছে এবং প্রতিটি কেস পরীক্ষা করা সহজ করে দিয়েছে — যদিও মোট সংখ্যাটি এখন অনেক বেশি ছিল যা একজন মানুষের সাহায্য ছাড়াই যাচাই করা যায় না। প্রকৃতপক্ষে, গণনা সম্পূর্ণ করতে 1,000 ঘন্টার বেশি কম্পিউটার সময় প্রয়োজন।
গাণিতিক সম্প্রদায় শুধুমাত্র ক্ষুব্ধভাবে ফলাফলগুলিকে গ্রহণ করেছিল, বিশ্বাস করে যে একটি প্রমাণ মানুষের দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বোধগম্য এবং যাচাইযোগ্য হওয়া উচিত। যদিও কম্পিউটারের জন্য নিয়মিত পাটিগণিত সম্পাদন করা গ্রহণযোগ্য ছিল, গণিতবিদরা যৌক্তিক যুক্তিকে একটি কম্পিউটিং ডিভাইসে ছেড়ে দিতে প্রস্তুত ছিলেন না। এই রক্ষণশীলতা এবং সময় সাশ্রয়ী অগ্রগতি আলিঙ্গন করতে অনীহা নতুন ছিল না। 17 শতকে, কিছু গণিতবিদ জ্যামিতিতে সমস্যা সমাধানের জন্য নতুন ফ্যাঙ্গল বীজগাণিতিক কৌশল ব্যবহার করার সময় একই রকম চিৎকার হয়েছিল। একই ধরনের নাটক আবারও হতে পারে মেশিন লার্নিং এর উত্থান: গণিতবিদরা কি একটি অস্বচ্ছ অ্যালগরিদম দ্বারা আবিষ্কৃত এবং প্রমাণিত একটি উপপাদ্য গ্রহণ করবেন?
চার রঙের সমস্যার প্রমাণ ছিল, অবশ্যই, গণিতে কম্পিউটার বিপ্লবের সূচনা মাত্র। 1998 সালে টমাস হেলস বিখ্যাত প্রমাণ করার জন্য একটি কম্পিউটার ব্যবহার করেছিলেন জোহানেস কেপলারের অনুমান গোলক স্ট্যাক করার সবচেয়ে কার্যকর উপায় হল একটি মুদি দোকানে কমলা স্তুপ করার জন্য নিয়মিতভাবে নিযুক্ত করা হয়। এবং সম্প্রতি কম্পিউটারগুলি "ঈশ্বরের সংখ্যা" খুঁজে পেতে সাহায্য করেছে — একটি রুবিক কিউব সমাধানের জন্য সর্বাধিক সংখ্যক মোচড়ের প্রয়োজন (20 মুখ বাঁক বা 26 যদি অর্ধেক বাঁক দুটি হিসাবে গণনা করা হয়।)
যদিও মানচিত্রের জন্য চার-রঙের সমস্যা মীমাংসা করা হয়েছে, গ্রাফ রঙের বিষয়ে অনেক মৌলিক প্রশ্নের উত্তর পাওয়া যায়নি বা ঠিক এখন সমাধান করা হচ্ছে.
সারফেস নিয়ে হেউডের কাজ দেখিয়েছে যে আমরা ননপ্লানার গ্রাফ সম্পর্কে রঙিনতা প্রশ্ন করতে পারি। এবং প্রকৃতপক্ষে, একটি নির্দিষ্ট গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যা সমতুল্য মানচিত্রটি যে পৃষ্ঠের উপর আঁকা হয়েছে তার উপর নির্ভর করে না। উদাহরণস্বরূপ, একটি গ্রাফ যেখানে প্রতিটি শীর্ষবিন্দু অন্য প্রতিটি শীর্ষের সাথে সংযুক্ত থাকে তাকে একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ বলা হয় এবং একটি সম্পূর্ণ গ্রাফের বর্ণসংখ্যা n শীর্ষবিন্দু হয় n. তাই যদি একটি বড় গ্রাফের সাথে একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ থাকে n শীর্ষবিন্দু, তাহলে আমরা জানি যে বড় গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যা কমপক্ষে n.
এই পর্যবেক্ষণটি বোঝায় না যে যদি একটি গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যা হয় n, তারপর এটির সাথে একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ রয়েছে n শীর্ষবিন্দু কিন্তু 1943 সালে, হুগো হ্যাডউইগার অনুরূপ কিছু অনুমান করেছিলেন। তিনি বিশ্বাস করতেন যে কোনো লুপবিহীন গ্রাফে যদি ক্রোম্যাটিক সংখ্যা থাকে n, তারপরে এটিতে $latex K_n$ মাইনর নামে শীর্ষবিন্দুগুলির একটি বিন্যাস রয়েছে, যেখানে কিছু শীর্ষবিন্দু এবং প্রান্তগুলি মুছে ফেলা এবং অন্যগুলিকে একত্রিত করার ফলে একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ তৈরি হয় n শীর্ষবিন্দু পুনর্ব্যক্ত করে, এই অনুমানটি বলে যে যদি একটি গ্রাফে একটি $latex K_n$ মাইনর না থাকে, তাহলে এটি এর থেকে কম দিয়ে রঙিন হতে পারে n রং হ্যাডউইগারের অনুমান, গ্রাফ তত্ত্বের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উন্মুক্ত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি, চার রঙের উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করে, যেহেতু একটি প্ল্যানার গ্রাফে $latex K_5$ মাইনর থাকতে পারে না।
যদিও গ্রাফ কালারিং কার্টোগ্রাফিতে একটি প্রশ্ন দিয়ে শুরু হয়েছিল, মানচিত্র বা রঙের সাথে কিছু করার নেই এমন সমস্যাগুলিও গ্রাফ-রঙের কাঠামোর সাথে ফিট হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সুডোকু ছদ্মবেশে একটি গ্রাফ-রং সমস্যা। প্রতিটি কক্ষকে একটি শীর্ষবিন্দু হিসেবে এবং নয়টি সংখ্যাকে রং হিসেবে দেখুন। প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর 20টি প্রান্ত রয়েছে - এটির সারির প্রতিটি কক্ষে একটি, এটির কলামে এবং এটির 3-বাই-3 উপ-বর্গক্ষেত্রে। 81টি শীর্ষবিন্দু এবং 810টি প্রান্তের এই গ্রাফটি আংশিক রঙ দিয়ে শুরু হয় (প্রদত্ত সূত্র)। খেলার উদ্দেশ্য বাকি শীর্ষবিন্দু রঙ করা হয়.
সমস্ত মনোযোগ সত্ত্বেও এই রঙের সমস্যাগুলি পেয়েছে, আমাদের কাছে এখনও মূল চার রঙের উপপাদ্যের প্রমাণ নেই যা একজন মানুষ পড়তে পারে। এটি চেষ্টার অভাবের কারণে নয়। আজও, নতুন প্রমাণগুলি উপস্থিত হয়, কিছু উত্সাহ তৈরি করে এবং কেম্পের প্রমাণের মতো, ত্রুটিগুলি ধারণ করে দেখানো হয়।
গণিতবিদ পল এরডস "বই" সম্পর্কে কথা বলতেন - একটি কাল্পনিক টোম যেখানে প্রতিটি উপপাদ্যের সবচেয়ে মার্জিত প্রমাণ রয়েছে। বইটিতে চার রঙের উপপাদ্যের একটি মানব-পঠনযোগ্য প্রমাণ রয়েছে কিনা এবং যদি তাই হয় তবে আমরা এটি কখনও দেখতে পাব কিনা তা বিস্ময় প্রকাশ করে।
- এসইও চালিত বিষয়বস্তু এবং পিআর বিতরণ। আজই পরিবর্ধিত পান।
- প্লেটোব্লকচেন। Web3 মেটাভার্স ইন্টেলিজেন্স। জ্ঞান প্রসারিত. এখানে প্রবেশ করুন.
- উত্স: https://www.quantamagazine.org/only-computers-can-solve-this-map-coloring-problem-from-the-1800s-20230329/
- : হয়
- [পৃ
- $ ইউপি
- 000
- 1
- 1998
- a
- সম্পর্কে
- সমর্থন দিন
- গ্রহণযোগ্য
- হিসাব
- প্রকৃতপক্ষে
- উন্নয়নের
- পর
- অ্যালগরিদম
- সব
- ইতিমধ্যে
- যদিও
- সর্বদা
- এবং
- ঘোষিত
- উত্তর
- যে কেউ
- প্রদর্শিত
- হাজির
- রয়েছি
- যুক্তি
- বিন্যাস
- আর্থার
- AS
- সহায়তা
- At
- মনোযোগ
- পাঠকবর্গ
- ভিত্তি
- মৌলিক
- BE
- কারণ
- হয়ে
- মানানসই
- শুরু হয়
- শুরু
- পিছনে
- হচ্ছে
- বিশ্বাস
- বিশ্বাসী
- বই
- সীমান্ত
- সীমানা
- ব্রেকিং
- ব্রিটিশ
- নির্মাণ করা
- by
- গণনার
- নামক
- CAN
- না পারেন
- রাজধানী
- সাবধান
- কেস
- মামলা
- শতাব্দী
- কিছু
- চ্যালেঞ্জ
- চেক
- শহর
- সহযোগিতা
- রঙ
- রঙিন
- স্তম্ভ
- আসা
- আসছে
- সাধারণ
- সম্প্রদায়
- সম্পূর্ণ
- পরিপূরক
- জটিল
- কম্পিউটার
- কম্পিউটার
- কম্পিউটিং
- সম্মেলন
- অনুমান
- সংযোগ করা
- সংযুক্ত
- গঠনমূলক
- ধারণ করা
- ধারণ
- চলতে
- নিয়ন্ত্রণ
- কোণ
- পারা
- পথ
- ক্রস
- দিন
- দশক
- কয়েক দশক ধরে
- বর্ণিত
- যন্ত্র
- DID
- বিভিন্ন
- ডিজিটের
- সরাসরি
- আবিষ্কৃত
- না
- নিচে
- নাটক
- প্রতি
- সহজ
- প্রান্ত
- দক্ষ
- প্রচেষ্টা
- আলিঙ্গন
- নিশ্চিত
- উদ্যম
- সম্পূর্ণরূপে
- সমতুল্য
- ভুল
- ত্রুটি
- এমন কি
- চূড়ান্ত
- কখনো
- প্রতি
- উদাহরণ
- প্রদর্শক
- প্রত্যাশিত
- মুখ
- ব্যর্থ
- বিখ্যাত
- আবিষ্কার
- প্রথম
- ফিট
- দ্বিধান্বিত
- কেন্দ্রবিন্দু
- জন্য
- পাওয়া
- ফ্রেমওয়ার্ক
- ফ্রান্সিস
- ফ্রেডেরিক
- বিনামূল্যে
- থেকে
- হতাশ
- সম্পূর্ণ
- খেলা
- সাধারণ
- উত্পাদন করা
- পাওয়া
- দাও
- প্রদত্ত
- লক্ষ্য
- স্নাতক
- চিত্রলেখ
- গ্রাফ
- মহান
- অর্ধেক
- হ্যামিলটন
- কঠিন
- কঠিন কাজ
- আছে
- জমিদারি
- প্রচন্ডভাবে
- সাহায্য
- সাহায্য
- ইতিহাস
- গর্ত
- ঘন্টার
- কিভাবে
- যাহোক
- HTTPS দ্বারা
- হুগো
- মানবীয়
- মানব পাঠযোগ্য
- মানুষেরা
- i
- ধারনা
- চিহ্নিত
- কল্পিত
- গুরুত্বপূর্ণ
- চিত্তাকর্ষক
- in
- অন্তর্ভুক্ত করা
- তথ্য
- উদাহরণ
- আগ্রহী
- দ্বীপ
- IT
- এর
- জন
- যোগদান
- যোগদান
- চাবি
- জানা
- পরিচিত
- কচ
- রং
- বড়
- মূলত
- ত্যাগ
- চিঠি
- মত
- সম্ভবত
- লাইন
- অবস্থান
- যৌক্তিক
- লণ্ডন
- দীর্ঘ
- দেখুন
- তাকিয়ে
- খুঁজছি
- অনেক
- মেশিন
- প্রণীত
- অনেক
- মানচিত্র
- মানচিত্র
- গাণিতিক
- গাণিতিকভাবে
- অংক
- ম্যাটার্স
- সর্বাধিক
- অর্থ
- মানে
- সদস্য
- পদ্ধতি
- মিশিগান
- সর্বনিম্ন
- গৌণ
- মিশ্র
- আধুনিক
- অধিক
- মরগান
- সেতু
- প্রয়োজন
- চাহিদা
- প্রতিবেশী
- নেটওয়ার্ক
- নতুন
- পরবর্তী
- সংখ্যা
- লক্ষ্য
- অক্টোবর
- of
- on
- ONE
- খোলা
- অপশন সমূহ
- সাধারণ
- মূল
- মূলত
- অন্যান্য
- অন্যরা
- নিজের
- বিশেষ
- প্যাটার্ন
- পল
- সম্পাদন করা
- সম্ভবত
- Plato
- প্লেটো ডেটা ইন্টেলিজেন্স
- প্লেটোডাটা
- খেলা
- বিন্দু
- সম্ভব
- প্রস্তুত
- বর্তমান
- প্রতিরোধ
- সমস্যা
- সমস্যা
- প্রমাণ
- প্রমাণাদি
- বৈশিষ্ট্য
- প্রমাণ করা
- প্রতিপন্ন
- কোয়ান্টাম্যাগাজিন
- প্রশ্ন
- প্রশ্ন
- বরং
- প্রতিক্রিয়া
- পড়া
- কারণ
- গৃহীত
- সম্প্রতি
- চেনা
- এলাকা
- অঞ্চল
- সম্পর্ক
- থাকা
- রয়ে
- অবশিষ্ট
- অপসারণ
- অপসারিত
- প্রতিস্থাপন করা
- প্রয়োজন
- প্রয়োজনীয়
- প্রয়োজন
- বিশ্রাম
- ফলাফল
- বিপ্লব
- ওঠা
- নিয়মিতভাবে
- সারিটি
- s
- একই
- বিদ্যানদের
- করলো
- মনে হয়
- আলাদা
- স্থায়ী
- সাত
- আকৃতি
- শেয়ার
- শেয়ারিং
- উচিত
- প্রদর্শনী
- প্রদর্শিত
- দৃষ্টিশক্তি
- অনুরূপ
- সহজ
- থেকে
- জনাব
- ছয়
- আয়তন
- So
- সমাজ
- সমাধান
- কিছু
- কিছু
- কথা বলা
- প্রশিক্ষণ
- গাদা
- শুরু
- শুরু হচ্ছে
- শুরু
- যুক্তরাষ্ট্র
- ধাপ
- এখনো
- দোকান
- ছাত্র
- অনুচ্ছেদ
- এমন
- পৃষ্ঠতল
- গ্রহণ
- আলাপ
- টীম
- প্রযুক্তি
- শর্তাবলী
- ধন্যবাদ
- যে
- সার্জারির
- রাজধানী
- গ্রাফ
- তথ্য
- তাহাদিগকে
- এইগুলো
- তিন
- সময়
- থেকে
- আজ
- একসঙ্গে
- অত্যধিক
- মোট
- পরিণত
- ওঠা পড়ার
- আমাদের
- বোঝা
- বোধগম্য
- ঊর্ধ্বাভিমুখী
- ব্যবহার
- মূল্য
- যাচাই
- চেক
- উপায়..
- webp
- আমরা একটি
- কি
- কিনা
- যে
- যখন
- হু
- ইচ্ছা
- সঙ্গে
- ছাড়া
- হয়া যাই ?
- would
- বছর
- আপনার
- zephyrnet