সরল জ্যামিতি যা আণবিক মোজাইকের পূর্বাভাস দেয় | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

2021 সালের শরত্কালে শনিবার বিকেলে, সিলভিও ডেকার্টিনস মাধ্যমে leafing ছিল একটি কাগজ একটি শিরোনাম সহ যা গাণিতিকভাবে ঝোঁক কিশোরদের জন্য একটি কমিক বই থেকে নেওয়া যেতে পারে: "প্লেটো'স কিউব এবং ফ্র্যাগমেন্টেশনের প্রাকৃতিক জ্যামিতি।"

এটি কোন অস্বাভাবিক শিরোনাম ছিল না যা তার নজর কেড়েছিল, তবে তৃতীয় পৃষ্ঠার ছবিগুলি — ক্র্যাকড পারমাফ্রস্ট থেকে পৃথিবীর টেকটোনিক প্লেট পর্যন্ত প্রতিটি স্কেলে ভূতাত্ত্বিক নিদর্শন। Decurtins, বার্ন বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন রসায়নবিদ, তিনি অধ্যয়ন করা উপকরণের কথা মনে করিয়ে দিয়েছিলেন। “আহ! আমারও নিদর্শন আছে!” সে ভেবেছিলো. "এটি স্কেলের ব্যাপার মাত্র।"

Decurtins এর প্যাটার্ন পৃথিবীতে ফাটল দ্বারা গঠিত হয়নি, কিন্তু অণু দ্বারা গঠিত: তারা শুধুমাত্র একটি অণু পুরু শীট মধ্যে অণুর মোজাইক মত টাইলিং ছিল. এই 2D উপকরণগুলির অদ্ভুত এবং ব্যবহারিক বৈশিষ্ট্য থাকতে পারে যা তাদের আণবিক বিল্ডিং ব্লকগুলি কীভাবে সাজানো হয় তার উপর নির্ভর করে।

উদাহরণস্বরূপ, অণুগুলিকে 2D প্যাটার্নে সাজানো সম্ভব যা ইলেকট্রনগুলিকে গণনাগত বিট হিসাবে বা ডেটা সঞ্চয় করতে ব্যবহার করে। ফাঁক সহ প্যাটার্নগুলি ঝিল্লি হিসাবে কাজ করতে পারে। এবং ধাতব আয়ন ধারণকারী নিদর্শন শক্তিশালী অনুঘটক হতে পারে।

পরমাণু দ্বারা এই 2D উপাদানগুলি তৈরি করা সম্ভব, তবে এটি করা ব্যয়বহুল, কঠিন এবং সময়সাপেক্ষ। ডেকার্টিনস এবং তার সহকর্মীরা সহ অনেক বিজ্ঞানী এমন উপকরণ ডিজাইন করতে চান যা নিজেদেরকে একত্রিত করে। ভবিষ্যদ্বাণী করা কিভাবে অণু 2D শীটে স্ব-একত্রিত হয় পদার্থ বিজ্ঞানের একটি বড় চ্যালেঞ্জ, বলেন জোহানেস বার্থ, মিউনিখের টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটির একজন পদার্থবিদ।

কারণ প্রকৃতি তার আণবিক নকশা দর্শনের সাথে বিশেষভাবে আসন্ন হয়নি। স্ব-সমাবেশের পূর্বাভাস সুপারকম্পিউটারগুলির জন্য একটি কাজ, এবং প্রয়োজনীয় হেভিওয়েট প্রোগ্রামগুলি চালানোর জন্য কয়েক দিন বা সপ্তাহ লাগতে পারে।

তাই Decurtins সঙ্গে যোগাযোগ হয় গাবর ডোমোকোস, গবেষণার প্রথম লেখক, বুদাপেস্ট ইউনিভার্সিটি অফ টেকনোলজি অ্যান্ড ইকোনমিক্সের একজন গণিতবিদ। Decurtins বিস্মিত যে একই জ্যামিতি যে বর্ণনা করে যে কিভাবে গ্রহের ফ্র্যাকচার ব্যাখ্যা করতে পারে কিভাবে অণু একত্রিত হয়।

পরের বছরে, ডোমোকোস এবং তার সহকর্মীরা আণবিক স্ব-সমাবেশের নিয়মগুলি আনপ্যাক করতে জ্যামিতিক চিন্তাভাবনা ব্যবহার করেছিলেন — একটি নতুন উপায় উদ্ভাবন শুধুমাত্র টেসেলেশনের সাধারণ জ্যামিতি ব্যবহার করে অণুগুলি যে মোজাইকগুলি গঠন করতে পারে তা সীমাবদ্ধ করতে।

"প্রথমে, তারা বিশ্বাস করেনি যে আপনি এটি করতে পারেন," ডমোকোস বলেছিলেন। “তারা কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা, সুপারকম্পিউটিং এবং এই ধরণের জ্যাজ করছিল। এবং এখন তারা শুধু সূত্রের দিকে তাকিয়ে আছে। এবং এটি খুব আরামদায়ক।"

গ্রহ থেকে পরমাণু পর্যন্ত

 Decurtins যোগাযোগ করার পরে, Domokos ধারণা বিক্রি করার চেষ্টা ক্রিস্টিনা রেজিওস, তার স্নাতক ছাত্র. Decurtins একটি পারমাণবিক স্কেলে নিদর্শন চিত্রিত একটি মুষ্টিমেয় ছবি পাঠিয়েছিলেন - একটি অণুর টাইলিং যা তার সহকর্মী দ্বারা ডিজাইন এবং সংশ্লেষিত হয়েছিল শি-জিয়া লিউ - একটি শক্তিশালী মাইক্রোস্কোপের চোখের মাধ্যমে দেখা। ডোমোকোস দেখতে চেয়েছিলেন যে Regős সেই জ্যামিতি ব্যবহার করতে পারে যা তিনি মূলত তৈরি করেছিলেন ভূতাত্ত্বিক ফাটলগুলি বর্ণনা করার জন্য Decurtins-এর চিত্রগুলির নিদর্শনগুলিকে চিহ্নিত করার জন্য৷

শুরু করার জন্য, Regős 2D উপকরণগুলিকে সাধারণ বহুভুজীয় টেসেলেশন হিসাবে বিবেচনা করেছে — প্যাটার্ন যা কোনও ফাঁক ছাড়াই একসাথে ফিট করে এবং অসীমভাবে পুনরাবৃত্তি করে। তারপর, ডোমোকোসের পদ্ধতি অনুসরণ করে, তিনি প্রতিটি প্যাটার্নের জন্য দুটি সংখ্যা গণনা করেছিলেন। প্রথমটি ছিল বহুভুজ প্রতি শীর্ষবিন্দু বা কোণের গড় সংখ্যা। দ্বিতীয়টি ছিল প্রতিটি শীর্ষবিন্দুকে ঘিরে থাকা বহুভুজের গড় সংখ্যা।

একসাথে, এই দুটি গড় মান একটি প্যাটার্নের GPS স্থানাঙ্কের মতো। তারা সমস্ত সম্ভাব্য টেসেলেশনের একটি ল্যান্ডস্কেপের মধ্যে এর অবস্থান দেয়।

এই ল্যান্ডস্কেপকে সিম্বলিক প্লেন বলা হয়। এটি একটি সাধারণ 2D গ্রিড যার উপর শীর্ষবিন্দু প্রতি আকারের গড় সংখ্যা x-অক্ষ এবং প্রতি আকৃতিতে শীর্ষবিন্দুর গড় সংখ্যা y-অক্ষ প্রতিটি টেসেলেশন সমতলের মধ্যে ঠিক এক বিন্দুতে প্লট করা উচিত। একটি নিখুঁত মধুচক্র প্যাটার্ন, উদাহরণস্বরূপ, ছয়-বিন্দুযুক্ত ষড়ভুজগুলির একটি টেসেলেশন যা প্রতিটি শীর্ষে ত্রয়ীতে মিলিত হয় — প্রতীকী সমতলে (3, 6) বিন্দুতে।

কিন্তু বেশিরভাগ প্রাকৃতিক মোজাইক, শিলা ফাটল থেকে আণবিক মনোলেয়ার, পুরোপুরি পর্যায়ক্রমিক টেসেলেশন নয়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি বাস্তব মোমের মধুচক্রের কোষগুলি সমস্ত নিখুঁত ষড়ভুজ নয়। মৌমাছি ভুল করে। তবে অগোছালো হতে পারে, একটি মৌচাক এখনও গড়ে, একটি মৌচাক। এবং গড়ে, এটি এখনও প্রতীকী সমতলে (3, 6) বিন্দুতে প্লট করে। অত্যধিক সরলীকরণ হওয়ার পরিবর্তে, গড় গণনা করার ডোমোকোসের পদ্ধতি অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ, গণিতবিদ বলেছেন মার্জোরি সেনেচাল স্মিথ কলেজের, যারা নতুন গবেষণা পর্যালোচনা করেছেন। ভুলগুলি ছুঁড়ে ফেলে এবং প্যাটার্নগুলিকে গড় হিসাবে বিবেচনা করে, এটি এক ধরণের আদর্শ বাস্তবতা প্রকাশ করে যা সাধারণত ঘটনার স্তূপের নীচে চাপা পড়ে থাকে।

কিন্তু Regős যখন Decurtins এর আণবিক ছবিগুলিতে এই পদ্ধতি প্রয়োগ করার চেষ্টা করেন, তখন তিনি দ্রুত সমস্যায় পড়েন। "আমি তাদের প্রতীকী সমতলে রাখা শুরু করি," সে বলল, "এবং আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে আমি পারব না।"

সমস্যা ছিল স্কেল। ডোমোকোস আগে যে ভূতাত্ত্বিক নিদর্শনগুলির সাথে কাজ করেছিল তার বিপরীতে, আণবিক মোজাইকগুলি নিদর্শনগুলির মধ্যে নিদর্শন। বিভিন্ন ম্যাগনিফিকেশন এ দেখা, তাদের বিভিন্ন জ্যামিতি আছে। Regős আণবিক মোজাইকগুলিকে এক জোড়া মান দিয়ে বর্ণনা করতে পারেনি কারণ প্যাটার্নগুলি একটি চিত্রের বিবর্ধনের উপর নির্ভর করে প্রতীকী সমতলে বিভিন্ন পয়েন্ট প্লট করেছে৷ এটি একটি ষড়ভুজ টাইলিং এর উপর জুম ইন করার মত ছিল এবং এটির মৌলিক বিল্ডিং ব্লকগুলি সত্যিই ত্রিভুজ।

"তাই ক্রিস্টি বলেছেন: ঠিক আছে, এটি একটি জগাখিচুড়ি," ডমোকোস বলেছিলেন।

তারপরে তিনি কীভাবে মোজাইকগুলি পরিপাটি করা যায় তা বের করেছিলেন। উপকরণের নেস্টেড প্যাটার্নগুলিকে এক জোড়া গড় গড়তে বাধ্য করার পরিবর্তে, তিনি তাদের সংগঠনের তিনটি স্তরে বিভক্ত করেছেন, প্রতিটি প্রতীকী সমতলে নিজস্ব বিন্দু দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়েছে।

সর্বনিম্ন স্তরে, প্রতিটি অণুর পরমাণুগুলি একত্রিত হয়ে বহুভুজ গঠন করে। এই অণুগুলি হাইড্রোজেন বন্ধনের মাধ্যমে একে অপরের সাথে সংযোগ স্থাপন করে, বহুভুজের একটি টেসেলেশন তৈরি করে। অবশেষে, সর্বাধিক জুম-আউট স্তরে, পৃথক অণুগুলি বিন্দুতে সঙ্কুচিত হয় এবং সেই বিন্দুগুলি একটি মোজাইক তৈরি করতে সংযুক্ত হয়।

Regős-এর নতুন কাঠামোতে, প্রতিটি স্তরকে পয়েন্ট এবং রেখার একটি সরল জাল হিসাবে উপস্থাপন করা হয় — একটি গ্রাফ।

আণবিক নিদর্শন বর্ণনা করতে গ্রাফ তত্ত্ব ব্যবহার করে "খুব শক্তিশালী," বলেছেন কার্লোস-আন্দ্রেস পালমা, চাইনিজ একাডেমি অফ সায়েন্সেস এবং বার্লিনের হামবোল্ট বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন রাসায়নিক পদার্থবিদ। ঐতিহ্যগতভাবে, বিজ্ঞানীরা তাদের প্রতিসাম্যের উপর ভিত্তি করে নিদর্শনগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করেন। কিন্তু এটি বাস্তবতার জগাখিচুড়ি প্রতিফলিত করে না - বাস্তব ন্যানোম্যাটেরিয়ালগুলি খুব কমই নিখুঁতভাবে পর্যায়ক্রমিক বা প্রতিসম, পালমা বলেছিলেন। তাই আণবিক নিদর্শনগুলিকে সরল, নমনীয় গ্রাফগুলিতে হ্রাস করা "আমাদের প্রাকৃতিক বিশ্বের সাথে যোগাযোগ করতে দেয়, আমার মতে, আরও ভাল," তিনি বলেছিলেন।

ভবিষ্যদ্বাণী নিদর্শন

Regős এবং Domokos-এর কাছে এখন Decurtins-এর আণবিক মোজাইক বর্ণনা করার একটি উপায় ছিল, যা অণুগুলি কীভাবে স্ব-একত্রিত হতে পারে তা ভবিষ্যদ্বাণী করার একটি গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ।

"আমরা ভবিষ্যদ্বাণীতে সত্যিই খুব খারাপ," বলেছেন উলরিচ অ্যাসচওয়ার, সালজবার্গ বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন কম্পিউটেশনাল পদার্থবিদ যিনি স্ব-সমাবেশে কাজ করেন।

ঐতিহ্যগতভাবে, বিজ্ঞানীরা ভবিষ্যদ্বাণী করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে কিভাবে অণুগুলি স্ব-একত্রিত হবে। Aschauer অনুকরণ করে কিভাবে অণু একটি পৃষ্ঠের উপর মিথস্ক্রিয়া করে। তারপরে তিনি এমন নিদর্শনগুলি সনাক্ত করেন যেগুলির গঠনের জন্য সর্বনিম্ন শক্তি প্রয়োজন, যা প্রদর্শিত হওয়ার সম্ভাবনা সবচেয়ে বেশি হওয়া উচিত। অন্যান্য বিজ্ঞানীরা এলোমেলোভাবে উৎপন্ন প্যাটার্নের বিপুল সংখ্যক স্ক্রীন করেন, অথবা তারা স্ব-সমাবেশের পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য মেশিন লার্নিং অ্যালগরিদম প্রশিক্ষণ দেন। এই সমস্ত পদ্ধতিগুলি গণনাগতভাবে ব্যয়বহুল — পালমা স্মরণ করেছিলেন কীভাবে একজন সহকর্মী একবার জলের অণুগুলিকে বছরের পর বছর ধরে অনুকরণ করেছিলেন, জল কীভাবে স্ব-একত্রিত হয় সে সম্পর্কে একটি একক ভবিষ্যদ্বাণী করতে। মেশিন লার্নিং অ্যালগরিদমগুলিতেও অন্ধ দাগ রয়েছে; তারা শুধুমাত্র আপনি তাদের কি খাওয়ান তা শিখে, Aschauer বলেন. এবং প্রতিটি সম্ভাব্য প্যাটার্ন পরীক্ষা করা অসম্ভব, তাই বিজ্ঞানীদের প্রায়শই অনুমান করতে হয় যে কোনটি প্রথমে বিবেচনা করা মূল্যবান।

"আমাদের প্রারম্ভিক অনুমান আমরা যে চূড়ান্ত জিনিসটি খুঁজে পাই তা নির্ধারণ করে," অ্যাসচাউয়ার ব্যাখ্যা করেছিলেন। "এবং এটি একটি বিশাল সমস্যা কারণ যদি আমার সাথে শুরু করার জন্য সঠিক অন্তর্দৃষ্টি না থাকে তবে আমি ভুল হয়ে যাই।"

কিন্তু Regős এবং Domokos এর জ্যামিতি ছিল অজ্ঞেয়বাদী। এটি কেবল অণুগুলিকে বিন্দু হিসাবে এবং বন্ডগুলিকে লাইন হিসাবে বিবেচনা করে। এটি একটি শুরু অনুমান প্রয়োজন ছিল না.

সুইজারল্যান্ডে ব্যক্তিগতভাবে Aschauer এবং Decurtins-এর সাথে দেখা করার পর, গণিতবিদরা অবশেষে তাদের বর্ণনা করার পরিবর্তে প্যাটার্নগুলির ভবিষ্যদ্বাণী করার চেষ্টা করার অগোছালো ব্যবসার দিকে ফিরে যান।

Gömböcs এবং সেতু

যেমনটি দাঁড়িয়েছে, রেজিসের সিস্টেম একটি প্যাটার্নের মধ্যম স্তরের সংগঠনকে সীমাবদ্ধ করতে পারে, যেখানে অণুগুলি বহুভুজ এবং হাইড্রোজেন বন্ধনগুলি রেখা। কিন্তু সে বড় আকারের মোজাইকের পূর্বাভাস দিতে আণবিক টালি থেকে উপরের দিকে কাজ করতে পারেনি। তিনটি স্তরকে গাণিতিকভাবে লিঙ্ক করার মতো কিছু ছাড়াই, তার মডেলটি একটি অনুপস্থিত দন্ড সহ একটি সিঁড়ির মতো ছিল।

ডোমোকোস সিদ্ধান্ত নিয়েছে যে এটি চেক ইন করার মূল্য ছিল কোস্ট্যা নভোসেলভ — সিঙ্গাপুরের ন্যাশনাল ইউনিভার্সিটির একজন পদার্থবিদ যিনি নোবেল পুরষ্কার ভাগ করে নেন গ্রাফিন সংশ্লেষণের জন্য, সম্ভবত সবচেয়ে বিখ্যাত 2D উপাদান। নোভোসেলভ একটি সুস্পষ্ট সংখ্যার আদেশ দেওয়ার পরে, সেই বছরের শুরুতে দু'জন ঘটনাক্রমে দেখা করেছিলেন গোমবোকস, নতুন জ্যামিতিক ফর্ম যা ডোমোকোস বুদাপেস্টের একটি দোকান থেকে আবিষ্কার করেছিলেন।

নোভোসেলভের ইনপুট দিয়ে, ডোমোকোস এবং রেগো তাদের জ্যামিতিক মডেলকে পরিমার্জিত করেছে। তখন পর্যন্ত, তারা সংগঠনের মাত্র তিনটি স্তর ব্যবহার করত: অণু, মাঝারি-স্কেল প্যাটার্ন এবং বড়-স্কেল প্যাটার্ন। নভোসেলভ একটি চতুর্থ স্তর যোগ করার পরামর্শ দিয়েছেন - মাঝারি এবং বড় স্তরের মধ্যে একটি সেতু। এই সেতুর বর্ণনাকারী সমীকরণটি ক্ষুদ্রতম এবং মধ্যম স্তরের জ্যামিতিকে বৃহত্তম স্তর, আণবিক মোজাইকের সাথে সংযুক্ত করেছে।

ব্রিজটি স্থাপনের সাথে, দলটি এখন আণবিক টালি নিতে পারে এবং একটি খামের পিছনে ফিট হতে পারে এমন পাঁচটি বীজগণিতীয় সমীকরণ এবং অসমতার একটি সাধারণ সিস্টেম ব্যবহার করে তার সম্ভাব্য বৃহৎ-স্কেল প্যাটার্নগুলিকে সীমাবদ্ধ করতে উপরের দিকে কাজ করতে পারে। এই গাণিতিক বিবৃতিগুলিতে, ভেরিয়েবলগুলি হল প্রতীকী সমতলে একটি প্যাটার্নের স্থানাঙ্ক, এছাড়াও কিছু পদ যা একটি অণুর গঠন বর্ণনা করে। সামগ্রিকভাবে নেওয়া, সিস্টেমটি সংগঠনের প্রতিটি স্তরকে অন্যদের সাথে এবং প্রতীকী সমতলে একটি প্যাটার্নের স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত করে।

প্রতীকী সমতলে প্লট করা হয়েছে, একটি অণুর সম্ভাব্য বড় আকারের বিন্যাসগুলি সমস্ত সম্ভাব্য স্থান-ভর্তি 2D আণবিক নিদর্শনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে বক্ররেখার একটি ছোট স্লাইসে পড়ে। গবেষকরা এখন সেই স্লাইসটিকে সীমাবদ্ধ করার জন্য প্রারম্ভিক অণু ব্যবহার করতে পারে।

কিন্তু তারা এখনও নিশ্চিত হতে পারেনি যে তাদের সম্ভাব্য প্যাটার্নের "টুকরা" যথেষ্ট ছোট ছিল। এটি খুব প্রশস্ত হলে, এটি একটি খুব দরকারী সীমাবদ্ধতা হবে না। লিউ যখন প্রতীকী সমতলে 2D জলের বরফের কাঠামোর পরিকল্পনা করেছিলেন, তখন তিনি দেখতে পান যে তারা পদ্ধতির পূর্বাভাসিত পরিসরের চরম প্রান্তে পুরোপুরি পড়ে গেছে। সীমানা উন্নত করা যায়নি.

"এটি এখানে প্রকৃতির ভাষা," ডমোকোস বলেছিলেন। "এটি আমার জন্য একটি বড় বিস্ময় ছিল।"

বৃদ্ধি এবং ফর্ম

প্রকল্পের শেষের দিকে, 2022 সালের মে মাসে, হাঙ্গেরিয়ানরা আবার সুইজারল্যান্ডে ভ্রমণ করেছিল। এই সময়, তাদের সহকর্মীরা মাইক্রোস্কোপের পরিদর্শন করে তাদের অবাক করে দিয়েছিল যা তারা যে চিত্রগুলি নিয়ে কাজ করেছিল তা তৈরি করেছিল — এবং তখনই রেগেস এবং ডোমোকোস অবশেষে বুঝতে পেরেছিলেন যে তারা কী করেছে: গাণিতিকভাবে আণবিক বন্ধনের সাথে বড় আকারের মোজাইকগুলিকে সংযুক্ত করে অনেক ছোট স্কেলে, তারা মিথস্ক্রিয়াগুলির অদৃশ্য জট এমন কিছু ক্যাপচার করেছিল যা শেষ পর্যন্ত আণবিক নিদর্শনগুলি কীভাবে গঠন করে তা নির্দেশ করে। তাদের জ্যামিতি জিনিসগুলি "দেখতে" পারে যা মেশিনটি পারে না।

"এটি অবিশ্বাস্য ছিল," রেজিস বলেছিলেন। "আমরা বেসমেন্টে গিয়েছিলাম এবং দেখেছি যে তারা আমাদের বিজ্ঞানের সীমাতে রয়েছে।"

স্ব-একত্রিত নিদর্শনগুলি বোঝার জন্য একটি মাইক্রোস্কোপ ব্যবহার করে, নোভোসেলভ বলেছেন, এটি উপরে থেকে ঘাসের ছবি তুলে বোঝার চেষ্টা করার মতো। সেই ছবিগুলি আপনাকে ঘাস সম্পর্কে অনেক কিছু বলে, "কিন্তু অবশ্যই সবকিছু নয়," তিনি বলেছিলেন। তারা ঘাসের শিকড় বা এটি কীভাবে বৃদ্ধি পায় সে সম্পর্কে খুব কমই প্রকাশ করে। Domokos এবং Regős এর ফ্রেমওয়ার্ক সঠিকভাবে শিকড় দেখতে পারে না, কিন্তু এটি একটি প্যাটার্নের আণবিক বিল্ডিং ব্লকগুলিকে শেষ মোজাইকের সাথে সংযুক্ত করে তাদের স্কেচ করার একটি সম্পূর্ণ নতুন উপায় অফার করে।

"তারা বৃদ্ধি এবং ফর্মের মধ্যে সম্পর্ক অধ্যয়নের একটি বিস্ময়কর পুরানো ঐতিহ্য চালিয়ে যাচ্ছে," সেনেচাল বলেছেন, "যা আমাদের চারপাশের বিশ্বের যেকোনো কিছু বোঝার জন্য সত্যিই কেন্দ্রীয়।"

আণবিক স্ব-সমাবেশ প্রায়ই উপাদানের একটি ছোট প্যাচ দিয়ে শুরু হয় যা একটি বড় প্যাটার্নে বৃদ্ধি পায়। যাইহোক, নতুন গাণিতিক কাঠামো একটি অসীম প্যাটার্ন অনুমান করে, একটি সীমাবদ্ধ প্যাচ নয়। কিভাবে সীমিত প্যাচগুলি বৃহত্তর প্যাটার্নগুলিতে বৃদ্ধি পায় তা বর্ণনা করার জন্য কাজটিকে অভিযোজিত করা প্রকৃত ভবিষ্যদ্বাণীর দিকে একটি পদক্ষেপ হতে পারে, পালমা বলেছেন। Aschauer বলেছিলেন যে তিনি জ্যামিতিকে সম্ভাব্য নিদর্শনগুলির ল্যান্ডস্কেপে মৃত প্রান্ত এবং প্রতিশ্রুতিবদ্ধ কিন্তু অনাবিষ্কৃত কোণগুলির জন্য একটি গাইড হিসাবে ব্যবহার করার পরিকল্পনা করেছেন। এবং মেশিন লার্নিং মডেল প্রশিক্ষণের জন্য প্রতীকী সমতলের গাণিতিক ভাষা ব্যবহার করা উত্তেজনাপূর্ণ হতে পারে, তিনি যোগ করেছেন।

"আমি সত্যিই এর সৌন্দর্য সম্পর্কে আগ্রহী," নভোসেলভ বলেছেন। "খুব কম - শুধুমাত্র একটি মৌলিক গাণিতিক পদ্ধতির সাথে, যা সত্যিই বিশুদ্ধ জ্যামিতি, শুধুমাত্র 2D গ্রাফ - আপনি অনেক কিছু ভবিষ্যদ্বাণী করতে সক্ষম।"

গণিত সহজ, সেনেচাল বলেন। কিন্তু "সরলতা দেখতে," তিনি যোগ করেছেন, "অনেক পরিশীলিততা লাগে।"