অনুমানগুলির একটি টাওয়ার যা একটি সূঁচের উপরে | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

গণিতে, একটি সাধারণ সমস্যা প্রায়শই যা মনে হয় তা হয় না। এই গ্রীষ্মের শুরুতে, কোয়ান্টা এই ধরনের একটি সমস্যা রিপোর্ট: একটি অসীম পাতলা সূঁচকে সম্ভাব্য সকল দিকে ঘোরানোর সময় আপনি সবচেয়ে ছোট এলাকাটি কী ঝাড়ু দিতে পারেন? এটিকে একটি ডায়ালের মতো কেন্দ্রের চারপাশে ঘোরান এবং আপনি একটি বৃত্ত পাবেন। তবে এটিকে আরও চতুরভাবে ঘোরান, এবং আপনি স্থানের একটি নির্বিচারে ছোট ভগ্নাংশ কভার করতে পারেন। আপনার যদি একটি অবিচ্ছিন্ন গতিতে সূঁচের সরানোর প্রয়োজন না হয়, এবং পরিবর্তে কেবলমাত্র প্রতিটি দিকে একটি সুই বিছিয়ে রাখুন, আপনি সূঁচের একটি বিন্যাস তৈরি করতে পারেন যা মোটেও কোনও এলাকা জুড়ে না।

গণিতবিদরা এই ব্যবস্থাকে কাকেয়া সেট বলে। যদিও তারা জানে যে এই ধরনের সেটগুলি ক্ষেত্রফলের দিক থেকে ছোট হতে পারে (বা আয়তন, যদি আপনি আপনার সূঁচগুলিকে তিন বা ততোধিক মাত্রায় সাজান), তারা বিশ্বাস করে যে সেটগুলি সর্বদা বড় হতে হবে যদি তাদের আকার হাউসডর্ফ নামে একটি মেট্রিক দ্বারা পরিমাপ করা হয়। মাত্রা

গণিতবিদরা এখনও এই বিবৃতি প্রমাণ করতে পারেননি, যা কাকেয়া অনুমান নামে পরিচিত। কিন্তু যদিও এটি স্পষ্টতই সূঁচ সম্পর্কে একটি সাধারণ প্রশ্ন, "এই কাকেয়া সেটগুলির জ্যামিতি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, সুরেলা বিশ্লেষণ এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে প্রশ্নগুলির সম্পূর্ণ সম্পদকে আন্ডারপিন করে," বলেন জনাথন হিকম্যান এডিনবার্গ বিশ্ববিদ্যালয়ের।

কাকেয়া অনুমানটি সুরেলা বিশ্লেষণে তিনটি কেন্দ্রীয় সমস্যার একটি শ্রেণিবিন্যাসের ভিত্তির মধ্যে রয়েছে - গণিতের একটি শাখা যা অধ্যয়ন করে যে কীভাবে ফাংশনগুলিকে নিয়মিত দোদুল্যমান সাইন তরঙ্গের মতো পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যায়।

সেই অনুক্রমের পরবর্তী ধাপটি হল "সীমাবদ্ধতা" অনুমান। যদি সত্য হয়, তাহলে কাকেয়ার অনুমানও তাই। (এর মানে হল যে যদি কাকেয়া অনুমানটি মিথ্যা বলে প্রমাণিত হয় তবে সীমাবদ্ধ অনুমানটি সত্য হতে পারে না।) সীমাবদ্ধ অনুমানটি, তথাকথিত বোচনার-রিজ অনুমান দ্বারা বোঝানো হয়। এবং খুব শীর্ষে স্থানীয় মসৃণ অনুমান বসে।

প্রথম দুটি অনুমান ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের আচরণের সাথে মোকাবিলা করে, কার্যত, সাইন তরঙ্গের যোগফল হিসাবে প্রায় কোনও ফাংশনকে কীভাবে প্রকাশ করা যায় তা গণনা করার জন্য সুরেলা বিশ্লেষণের একটি কৌশল। এটি পদার্থবিদ এবং প্রকৌশলীদের কাছে উপলব্ধ সবচেয়ে শক্তিশালী গাণিতিক সরঞ্জামগুলির মধ্যে একটি। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানে, হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতির মতো কোয়ান্টাম যান্ত্রিক ধারণা প্রকাশ এবং সংকেত বিশ্লেষণ ও প্রক্রিয়াকরণে - আধুনিক মোবাইল ফোনের মতো জিনিসগুলিকে সম্ভব করে তোলার ক্ষেত্রে মৌলিক ভূমিকা পালন করেছে।

যেহেতু অনুক্রমের প্রতিটি বিবৃতি এটির নীচের একটিকে বোঝায়, যদি কাকেয়া অনুমানটি মিথ্যা হয় তবে অন্য অনুমানগুলির একটিও সত্য নয়। পুরো টাওয়ার ভেঙে পড়বে। "আপনি একটি সুপার দানব পাল্টা উদাহরণ তৈরি করতে পারেন যা অনেক অনুমান ভেঙে দেবে," হিকম্যান বলেছিলেন।

অন্যদিকে, কাকেয়া অনুমানকে সত্য প্রমাণ করা স্বয়ংক্রিয়ভাবে সেই অন্যান্য অনুমানগুলির সত্যকে বোঝাবে না - তবে এটি গণিতবিদদের কীভাবে এগিয়ে যেতে হবে সে সম্পর্কে গুরুত্বপূর্ণ অন্তর্দৃষ্টি দেবে।

এবং তাই, "আমি জানি যে সুরেলা বিশ্লেষণের সম্প্রদায়ের প্রায় অর্ধেক এই এবং সম্পর্কিত সমস্যাগুলির উপর কাজ করছে, বা কোনও সময়ে সেগুলি নিয়ে কাজ করেছে," বলেছেন শাওমিং গুও উইসকনসিন বিশ্ববিদ্যালয়ের, ম্যাডিসন।

অতি সম্প্রতি, গণিতবিদরা তাদের আশ্চর্যজনকভাবে আবিষ্কার করেছেন যে এই সমস্যাগুলি মোকাবেলা করার জন্য তারা যে কৌশলগুলি তৈরি করেছে তা সংখ্যা তত্ত্বের আপাতদৃষ্টিতে সম্পর্কহীন ক্ষেত্রে বড় ফলাফল প্রমাণ করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। "লোকেরা যা ভেবেছিল তার চেয়ে এটি অনেক বেশি সাধারণ ঘটনা," গুও বলেছেন।

লেয়ার কেক

গল্প শুরু হয় ফুরিয়ার রূপান্তর দিয়ে। "আপনি [ফাংশনগুলিকে] ছোট ছোট টুকরোগুলিতে বিভক্ত করতে চান, তাদের মিথস্ক্রিয়া বিশ্লেষণ করতে চান এবং সেগুলিকে আবার একসাথে যুক্ত করতে চান," বলেছেন ইউমেং ওউ পেনসিলভানিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের। এক-মাত্রিক ক্রিয়াকলাপের জন্য — বক্ররেখা যা আপনি কাগজের টুকরোতে প্লট করতে পারেন — গণিতবিদরা এটি কীভাবে করবেন সে সম্পর্কে ভাল ধারণা রাখেন, এমনকি যখন তাদের শুধুমাত্র কিছু টুকরো ব্যবহার করে ফুরিয়ার রূপান্তরটি বিপরীত করতে হয়।

কিন্তু দুই বা ততোধিক মাত্রায়, জিনিসগুলি অগোছালো হতে পারে।

1971 সালে চার্লি ফেফারম্যান, প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটির একজন গণিতবিদ, আবিষ্কার করেছেন কিভাবে কাকেয়া সেট ব্যবহার করতে হয় তা দেখানোর জন্য যে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকে বিপরীত করলে একাধিক মাত্রায় অদ্ভুত এবং আশ্চর্যজনক ফলাফল হতে পারে।

গণিতবিদরা Bochner-Riesz অনুমানের আকারে একটি সমাধান খুঁজে পেয়েছেন, যা মূলত বলে যে মূল ফাংশনটি পুনরুদ্ধার করার আরও পরিশীলিত উপায় রয়েছে যা ফেফারম্যানের উদাহরণের মতো ভেঙে যায় না। কিন্তু সেই স্থির নির্ভর করে কাকেয়ার অনুমানের সত্যতার উপর।

যদি এটি সত্য হয়, "ফ্রিকোয়েন্সি ছেঁটে ফেলার ফলে কেবল ছোট ত্রুটি দেখা দেবে," বলেছেন বেটসি স্টোভাল উইসকনসিন বিশ্ববিদ্যালয়ের, ম্যাডিসন। "এর মানে হল ছোটখাটো ত্রুটিগুলি উড়িয়ে দেয় না।"

তাই শ্রেণিবিন্যাস শুরু হয়েছিল। পরে, গণিতবিদরা আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ সংযোগ আবিস্কার করেন: যদি সত্য হয়, বোচনার-রিয়েজ অনুমান সীমাবদ্ধতা অনুমান নামে একটি বিবৃতিও বোঝায়। এই অনুমানটি বলে যে আপনি যদি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের একটি সীমিত সংস্করণ দিয়ে শুরু করেন — আপনি যে মানগুলিকে শুধুমাত্র নির্দিষ্ট সারফেসে বাস করেন তার জন্য আপনি যে মানগুলি দেখেন তাকে "সীমাবদ্ধ করে" - এটি এখনও আপনাকে মূল ফাংশন সম্পর্কে গুরুত্বপূর্ণ তথ্য দিতে পারে। এবং দেখা গেল যে যদি সীমাবদ্ধ অনুমানটি সত্য হয় তবে কাকেয়ার অনুমানটিও তাই ছিল। (এটি টাওয়ারে কাকেয়া এবং বোচনার-রিজের মধ্যে সীমাবদ্ধ অনুমান স্থাপন করেছিল।)

ক্রমানুসারে ক্রাউনিং সমস্যা, যাকে স্থানীয় মসৃণ অনুমান বলা হয়, সরাসরি ফুরিয়ার রূপান্তরের সাথে মোকাবিলা করে না, বরং তরঙ্গের আচরণ বর্ণনাকারী সমীকরণের সমাধানের আকারের উপর সীমাবদ্ধ রাখে।

কাকেয়া সেটের রেখার জ্যামিতির পরিপ্রেক্ষিতে আপনি এটিও ভাবতে পারেন। আপনি তরঙ্গ সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধানকে একগুচ্ছ টুকরোতে বিভক্ত করতে পারেন যা বিভিন্ন দিকে চলে যায় এবং সময়ের সাথে সাথে একে অপরের সাথে বিভিন্ন উপায়ে যোগাযোগ করে। এই টুকরোগুলির প্রতিটি গাণিতিকভাবে একটি কাকেয়া সেটের একটি সূঁচের মতো। Kakeya অনুমান জোর দিয়ে যে এই ধরনের একটি কনফিগারেশন খুব বেশি ওভারল্যাপ থাকতে পারে না। এই শারীরিক প্রসঙ্গে, ওভারল্যাপগুলি সমাধানে অনিয়মিত এবং অপ্রত্যাশিত আচরণের অধ্যবসায়ের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটি শব্দ তরঙ্গ বিভিন্ন সময়ে অনেক অঞ্চলে প্রসারিত হতে পারে।

স্থানীয় মসৃণ অনুমান বলে যে এই ধরনের অনিয়ম গড় হওয়া উচিত। "এটা আর্থিক বাজারের গড় নেওয়ার মতো," বলেন সিপ্রিয়ান ডেমিটার ইন্ডিয়ানা ইউনিভার্সিটি ব্লুমিংটনের। "এখানে এবং সেখানে ক্র্যাশ হতে পারে, তবে আপনি যদি আপনার অর্থ বিনিয়োগ করেন এবং 40 বছরের মধ্যে অবসর গ্রহণ করেন, তবে আপনার কিছু ভাল বিনিয়োগ পাওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে।"

তবে অনুক্রমের সমস্ত অনুমানগুলির মতো, এটি কাকেয়ার অনুমানের সত্যের উপর নির্ভর করে। "ধারণাটি হল যে আপনি যদি কাকেয়া সেটে অনেক ছেদকে বাতিল করে দেন, তার মানে আপনি এই পরিস্থিতিগুলিকে বাতিল করতে পারেন যেখানে আপনার সমাধানের অংশগুলি একরকম ধাক্কা দেওয়ার জন্য একসাথে ষড়যন্ত্র করে," স্টোভাল বলেছিলেন।

এই অনুমানটি গুচ্ছের মধ্যে সবচেয়ে কঠিন: কাকেয়া, সীমাবদ্ধতা এবং বোচনার-রিজের সমস্যাগুলির দ্বি-মাত্রিক ঘটনা কয়েক দশক আগে সমাধান করা হলেও, দ্বি-মাত্রিক স্থানীয় মসৃণ অনুমান কয়েক বছর আগে প্রমাণিত হয়েছিল। (উচ্চ মাত্রায়, এই সমস্ত সমস্যাগুলি খোলা থাকে।)

কিন্তু স্থানীয় মসৃণ অনুমান প্রমাণ করার ধীর অগ্রগতি সত্ত্বেও, এটির উপর কাজ অন্যত্র অসাধারণ অগ্রগতির দিকে পরিচালিত করেছে। 1999 সালে, অনুমানটি মোকাবেলা করার চেষ্টা করার সময়, গণিতবিদ টমাস উলফ একটি পদ্ধতি চালু করেছিলেন যা ডিকপলিং নামে পরিচিত। তারপর থেকে, সেই কৌশলটি তার নিজস্ব জীবন ধারণ করেছে: এটি শুধুমাত্র সুরেলা বিশ্লেষণে নয়, সংখ্যা তত্ত্ব, জ্যামিতি এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে বড় সাফল্যের জন্য ব্যবহৃত হয়েছে। "ডিকপলিং ফলাফল ব্যবহার করে, আপনি এখন খুব বিখ্যাত, গুরুত্বপূর্ণ সমস্যাগুলিতে বিশ্ব রেকর্ড করেছেন," বলেছেন৷ ক্রিস্টোফার সোগে জনস হপকিন্স ইউনিভার্সিটির, যিনি প্রথম 1990 এর দশকে স্থানীয় মসৃণ অনুমান প্রণয়ন করেছিলেন। উদাহরণস্বরূপ, একটি পূর্ণসংখ্যাকে বর্গ, কিউব বা অন্য কোন শক্তির যোগফল হিসাবে কত উপায়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে তা গণনা করতে সাহায্য করার জন্য ডিকপলিং ব্যবহার করা হয়েছে।

ডিমিটার যেমন বলেছে, এই ফলাফলগুলি সম্ভব কারণ "আমরা সংখ্যাগুলিকে তরঙ্গ হিসাবে দেখতে পারি।" তিনি যোগ করেছেন যে এই সমস্ত সমস্যাগুলি কাকেয়া সুই সেটের সাথে যুক্ত "আকর্ষণীয়"। "আপনি মনে করেন না যে রেখার অংশগুলি ব্যবহার করে প্রণয়ন করা যেতে পারে এমন কিছুতে এত সৌন্দর্য, অসুবিধা এবং গুরুত্ব লুকিয়ে থাকতে পারে।"