'জাদুকর' ত্রুটি সংশোধন স্কিম সহজাতভাবে অদক্ষ প্রমাণিত | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

আপনি যদি কখনও একটি পাঠ্য বার্তা পাঠিয়ে থাকেন, একটি সিডি বাজিয়ে থাকেন বা ক্লাউডে একটি ফাইল সংরক্ষণ করেন তবে আপনি ত্রুটি সংশোধন থেকে উপকৃত হয়েছেন৷ এই বৈপ্লবিক ধারণাটি 1940-এর দশকের, যখন গবেষকরা প্রথম বুঝতে পেরেছিলেন যে কোনও বার্তাকে এমন আকারে পুনর্লিখন করা সম্ভব যা পরবর্তীতে দুর্নীতিকে সহজে উল্টে দিতে দেয়।

বছরের পর বছর ধরে, গবেষকরা অনেক বুদ্ধিমান স্কিম তৈরি করেছেন, যাকে বলা হয় ত্রুটি-সংশোধনকারী কোড, যা বিভিন্ন উপায়ে ডেটা এনকোড করে এবং ত্রুটিগুলি ঠিক করতে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে। কিন্তু তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানীদের কাছে, তথাকথিত স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোডের মতো কমই বাধ্যতামূলক। এই কোডগুলির দুটি যুগপত বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা প্রায় পরস্পর বিরোধী শোনায়: যেকোন ত্রুটি শুধুমাত্র কয়েকটি জায়গায় এনকোড করা ডেটা পড়ে সংশোধন করা যেতে পারে, তবুও কোনও আক্রমণকারী কোডের সাথে নির্বাচনীভাবে টেম্পারিং করে এই সংশোধন পদ্ধতিটি ব্যর্থ করতে পারে না। এটি এমন যে আপনি অন্য কয়েকটির দিকে নজর দিয়ে একটি বই থেকে ছিঁড়ে যাওয়া কোনও পৃষ্ঠা পুনরুদ্ধার করতে পারেন।

"এটি বেশ জাদুকরী ঘটনা," বলেছেন টম গুর, কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন কম্পিউটার বিজ্ঞানী ড. "একটি অগ্রাধিকার, এটা স্পষ্ট নয় যে এই ধরনের একটি গাণিতিক বস্তু আদৌ বিদ্যমান থাকতে পারে।"

কিন্তু এই জাদু একটি খাড়া খরচ আসে. স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোডগুলির একমাত্র পরিচিত উদাহরণগুলি অত্যন্ত অদক্ষ — যে কোনও বার্তাকে এনকোড করাও এটিকে দ্রুতগতিতে দীর্ঘ করে তোলে। এইভাবে এনকোড করা সম্পূর্ণ বইগুলি খুব বেশি অপ্রত্যাশিত হবে।

কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা দীর্ঘকাল ধরে ভাবছেন যে আরও ভাল স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোডগুলি সম্ভব কিনা। তারা বিশেষ করে এমন কোডগুলির উপর ফোকাস করেছে যেগুলি কোনও ত্রুটি সংশোধন করতে শুধুমাত্র তিনটি প্রশ্ন ব্যবহার করে, এই আশায় যে এই গুরুতর সীমাবদ্ধতা এই কোডগুলিকে বোঝা সহজ করে তুলতে পারে। কিন্তু এমনকি এই সাধারণ ঘটনাটি 20 বছরেরও বেশি সময় ধরে গবেষকদের স্তব্ধ করে দিয়েছে।

এখন কম্পিউটার বিজ্ঞানী ড প্রবেশ কোঠারি কার্নেগি মেলন বিশ্ববিদ্যালয়ের এবং তার স্নাতক ছাত্র পিটার মনোহর অবশেষে আছে প্রতিপন্ন যে তিনটি-কোয়েরি স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোড তৈরি করা অসম্ভব যা সেই সূচকীয় খরচ এড়িয়ে যায়। এটি একটি নেতিবাচক ফলাফল হতে পারে, তবে যেকোন কিছু যা ত্রুটি সংশোধনের সীমা স্পষ্ট করে তা গবেষকদের কাছে উত্তেজনাপূর্ণ, বিশেষ করে কারণ স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোডগুলির গণিত যোগাযোগ থেকে দূরে থাকা অঞ্চলগুলিতে তৈরি হয়৷

"এই ফলাফল আশ্চর্যজনক," বলেন শুভাঙ্গী সরফটরন্টো বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন কম্পিউটার বিজ্ঞানী ড. "এটি একটি বিশাল অগ্রগতি।"

সংখ্যায় শক্তি

ত্রুটি সংশোধন বোঝার জন্য, বিট বা 0 এবং 1 সেকেন্ডের ক্রম হিসাবে আপনি যে ডেটা রক্ষা করতে চান তা কল্পনা করুন। একটি ত্রুটি, এই মডেলে, 0-এর 1-এ বা তদ্বিপরীত কোনো অবাঞ্ছিত ফ্লিপ হতে পারে, তা একটি এলোমেলো ওঠানামা বা ইচ্ছাকৃতভাবে টেম্পারিংয়ের কারণেই হোক না কেন।

ধরুন আপনি একজন বন্ধুকে একটি বার্তা পাঠাতে চান, কিন্তু আপনি উদ্বিগ্ন যে ত্রুটিগুলি অর্থ পরিবর্তন করতে পারে। একটি সহজ কৌশল হল আপনার বার্তার প্রতিটি 0কে 000 দিয়ে প্রতিস্থাপন করা এবং প্রতিটি 1 111 দিয়ে প্রতিস্থাপন করা। আপনার বন্ধু যদি বার্তাটির এমন একটি অংশ দেখেন যাতে একটি সারিতে তিনটি অভিন্ন বিট নেই, তাহলে তারা জানতে পারবে যে একটি ত্রুটি ঘটেছে। এবং যদি ত্রুটিগুলি এলোমেলো এবং তুলনামূলকভাবে বিরল হয়, তাহলে 110-এর যেকোন স্ট্রিং একটি 111-এর চেয়ে দূষিত 000 হওয়ার সম্ভাবনা অনেক বেশি৷ প্রতিটি ট্রিপলেটের মধ্যে একটি সাধারণ সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোট বেশিরভাগ ত্রুটি সংশোধন করতে যথেষ্ট হবে৷

পুনরাবৃত্তি কোড নামে পরিচিত এই স্কিমটিতে সরলতার গুণ রয়েছে, তবে এটির সুপারিশ করার মতো অন্য কিছু নেই। একটি জিনিসের জন্য, অপেক্ষাকৃত বিরল ত্রুটিগুলি মোকাবেলা করার জন্য প্রতিটি বার্তার দৈর্ঘ্য তিনগুণ করা প্রয়োজন, এবং যদি দুটি সংলগ্ন ত্রুটির একটি শালীন সম্ভাবনা থাকে তবে আমাদের আরও বেশি অপ্রয়োজনীয়তার প্রয়োজন হবে। আরও খারাপ, ত্রুটিগুলি এলোমেলো না হলে এটি দ্রুত অকেজো হয়ে যায়, যেমন আক্রমণকারীরা সক্রিয়ভাবে কোডটি নাশকতার চেষ্টা করে। পুনরাবৃত্তি কোডে, একটি প্রদত্ত বিট সংশোধন করার জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত তথ্য শুধুমাত্র কয়েকটি অন্যান্য বিটে সংরক্ষণ করা হয়, এটি একটি লক্ষ্যবস্তু আক্রমণের জন্য ঝুঁকিপূর্ণ রেখে দেয়।

সৌভাগ্যবশত, অনেক ত্রুটি-সংশোধনকারী কোডের ভাড়া ভালো। একটি বিখ্যাত উদাহরণ, বলা হয় রিড-সলোমন কোড, বার্তাগুলিকে বহুপদে রূপান্তর করে কাজ করে — যেমন গাণিতিক অভিব্যক্তি x² + + 3x + 2 যেটিতে বিভিন্ন পদ একসাথে যোগ করা হয়, প্রতিটিতে একটি পরিবর্তনশীল (যেমন x) একটি ভিন্ন শক্তি উত্থাপিত. একটি রিড-সলোমন কোড ব্যবহার করে একটি বার্তাকে এনকোড করার জন্য বার্তার প্রতিটি অক্ষরের জন্য একটি পদ সহ একটি বহুপদ তৈরি করা, তারপর একটি গ্রাফে একটি বক্ররেখা হিসাবে বহুপদীকে প্লট করা এবং বক্ররেখায় থাকা বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক সংরক্ষণ করা (অন্তত আরও একটি নেওয়া অক্ষরের সংখ্যার চেয়ে পয়েন্ট)। ত্রুটিগুলি এই বিন্দুগুলির কয়েকটিকে বক্ররেখা থেকে ঠেলে দিতে পারে, তবে যদি খুব বেশি ত্রুটি না থাকে তবে শুধুমাত্র একটি বহুপদী বক্ররেখা বেশিরভাগ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাবে। সেই বক্ররেখাটি প্রায় অবশ্যই সত্য বার্তার সাথে মিলে যায়।

রিড-সলোমন কোডগুলি অতিদক্ষ - ত্রুটিগুলি সংশোধন করার জন্য আপনাকে শুধুমাত্র কয়েকটি অতিরিক্ত পয়েন্ট সঞ্চয় করতে হবে, তাই যেকোন এনকোড করা বার্তা মূলের চেয়ে সামান্য দীর্ঘ হয়। পুনরাবৃত্তি কোডের জন্য বিপর্যয়ের বানান করে এমন টার্গেটেড ব্যাঘাতের জন্যও তারা কম ঝুঁকিপূর্ণ, কারণ যে কোনও জায়গায় একটি ত্রুটি সংশোধন করতে ব্যবহৃত তথ্য সমগ্র এনকোড করা বার্তা জুড়ে বিতরণ করা হয়।

বিশ্বব্যাপী চিন্তা করুন, স্থানীয়ভাবে কাজ করুন

রিড-সলোমন কোডের শক্তি আন্তঃসংযোগ থেকে উদ্ভূত হয়। কিন্তু সুনির্দিষ্টভাবে সেই আন্তঃসংযোগের কারণে, পুরো জিনিসটি না পড়ে একটি এনকোড করা বার্তায় একটি একক ত্রুটি ঠিক করার কোনো উপায় নেই। যোগাযোগের প্রেক্ষাপটে এটি একটি সমস্যার মতো শোনাতে পারে না: আপনি যদি একটি বার্তা পাঠান, আপনি সম্ভবত প্রাপক এটির সমস্ত পড়তে চান। তবে এটি ডেটা স্টোরেজের দায় হতে পারে - ত্রুটি সংশোধনের আরেকটি বড় অ্যাপ্লিকেশন।

এমন একটি কোম্পানির কথা বিবেচনা করুন যেটি ক্লাউডে ব্যবহারকারীদের ইমেল সংরক্ষণ করে - অর্থাৎ সার্ভারের একটি বিশাল অ্যারেতে। আপনি ইমেলের পুরো সংগ্রহটিকে একটি দীর্ঘ বার্তা হিসাবে ভাবতে পারেন। এখন ধরুন একটি সার্ভার ক্র্যাশ হয়েছে। একটি রিড-সলোমন কোডের সাহায্যে, সেই হারানো সার্ভার থেকে আপনার ইমেলগুলি পুনরুদ্ধার করতে আপনাকে সমস্ত এনকোড করা ডেটা জড়িত একটি বিশাল গণনা করতে হবে। "আপনাকে সবকিছু দেখতে হবে," বললেন জিভ ডিভির, প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন কম্পিউটার বিজ্ঞানী। "এটি বিলিয়ন এবং বিলিয়ন ইমেল হতে পারে - এটি সত্যিই অনেক সময় নিতে পারে।"

গবেষকরা কোডগুলি বর্ণনা করতে "স্থানীয়" শব্দটি ব্যবহার করেন যা এনকোড করা বার্তার একটি ভগ্নাংশ ব্যবহার করে স্পট ত্রুটি বা তাদের সংশোধন করুন। সাধারণ পুনরাবৃত্তি কোডে এই স্থানীয় চরিত্রের কিছু আছে, কিন্তু এটিই এটিকে টেম্পারিংয়ের জন্য এত দুর্বল করে তোলে। একটি স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোড, বিপরীতে, উভয় জগতের সেরাটি লাভ করে — এটি যেকোনও বিটের মধ্যে কিছু কিছু প্রশ্নের মাধ্যমে একটি ত্রুটি সংশোধন করতে পারে, সমস্ত আন্তঃসংযোগ হারানো ছাড়াই যা রিড-সলোমন কোডগুলিকে এত স্থিতিস্থাপক করে তোলে।

"এটি সত্যিই একটি কঠোর ধারণা," কোঠারি বলেছিলেন।

স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোডগুলির সবচেয়ে বিখ্যাত উদাহরণ হল গণিতবিদদের দ্বারা 1954 সালে উদ্ভাবিত একটি সম্মানীয় ত্রুটি-সংশোধনকারী কোডের সংস্করণ। ডেভিড মুলার এবং আরভিং রিড (যিনি রিড-সলোমন কোডগুলি বিকাশে সহায়তা করেছিলেন)। রিড-সলোমন কোডের মতো, রিড-মুলার কোড বহুপদ ব্যবহার করে দীর্ঘ বার্তাগুলিকে এনকোড করার জন্য অনেকগুলি পদ একসাথে যুক্ত করে।

রিড-সলোমন কোডে ব্যবহৃত বহুপদী একটি একক পরিবর্তনশীল, x, তাই আরও পদ যোগ করার একমাত্র উপায় হল এর উচ্চ ক্ষমতা ব্যবহার করা x. এর ফলে অনেকগুলো wiggles সহ একটি বক্ররেখা তৈরি হয় যা শুধুমাত্র অনেক বিন্দুর দিকে তাকিয়ে পিন করা যায়। রিড-মুলার কোডগুলি এর পরিবর্তে বহুপদ ব্যবহার করে যেখানে প্রতিটি পদে একাধিক ভেরিয়েবল একসাথে গুণিত হতে পারে। আরও ভেরিয়েবল মানে তাদের একত্রিত করার আরও উপায়, যা ফলস্বরূপ কোনো পৃথক পরিবর্তনশীলকে উচ্চ ক্ষমতায় না বাড়িয়ে বহুপদী পদের সংখ্যা বাড়ানোর একটি উপায় প্রদান করে।

রিড-মুলার কোডগুলি খুব নমনীয়। আপনি বহুপদীতে প্রদর্শিত সর্বোচ্চ শক্তি বৃদ্ধি করে, ভেরিয়েবলের সংখ্যা বৃদ্ধি করে বা উভয়ের মাধ্যমে দীর্ঘ বার্তাগুলিকে এনকোড করতে পারেন। একটি Reed-Muller কোড স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য করার জন্য, আপনি কেবলমাত্র একটি ছোট ধ্রুবক মানের প্রতিটি ভেরিয়েবলের সর্বোচ্চ ক্ষমতা ক্যাপ করুন এবং শুধুমাত্র ভেরিয়েবলের সংখ্যা বাড়িয়ে দীর্ঘ বার্তাগুলি পরিচালনা করুন৷

একটি তিন-কোয়েরি স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোডের জন্য বিশেষভাবে, সেই সর্বোচ্চ শক্তি 2 এ সেট করা হয়েছে। তারপর যতদূর প্রতিটি পৃথক পরিবর্তনশীল সম্পর্কিত, বহুপদী এনকোডিং বার্তাটি একটি সাধারণ প্যারাবোলা খুঁজে বের করে। সেই প্যারাবোলার সঠিক আকৃতি নির্ধারণ করতে, আপনাকে শুধুমাত্র তিনটি বিন্দুতে বক্ররেখা পরীক্ষা করতে হবে। আরও কী, অনেকগুলি ভেরিয়েবলের সাথে এমন অনেকগুলি প্যারাবোলা রয়েছে, যেগুলির যে কোনও ত্রুটি সংশোধন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটিই রিড-মুলার কোডগুলিকে এত স্থিতিস্থাপক করে তোলে।

দুর্ভাগ্যবশত, রিড-মুলার কোডের একটি গুরুতর ত্রুটি রয়েছে: একটি বার্তা এনকোড করার জন্য প্রয়োজনীয় বিটের সংখ্যা ভেরিয়েবলের সংখ্যার সাথে দ্রুতগতিতে বৃদ্ধি পায়। আপনি যদি একটি উচ্চ স্থানীয় কোড চান যা কেবলমাত্র কয়েকটি প্রশ্নের সাথে ত্রুটিগুলি সংশোধন করে, তাহলে আপনার দীর্ঘ বার্তাগুলির জন্য অনেকগুলি ভেরিয়েবলের প্রয়োজন হবে এবং রিড-মুলার কোডটি দ্রুত অনুশীলনে অকেজো হয়ে যাবে।

"এই ক্ষেত্রে সূচকীয় খুব খারাপ," Dvir বলেন. কিন্তু এটা কি অনিবার্য?

সংশোধনযোগ্য বা ডিকোডেবল?

যেহেতু কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা চেষ্টা করেছেন এবং স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোডগুলি খুঁজে পেতে ব্যর্থ হয়েছেন, তারা সন্দেহ করতে শুরু করেছেন যে এই জাতীয় কোডগুলি আদৌ সম্ভব নয়। 2003 সালে, দুই গবেষক ড প্রতিপন্ন শুধুমাত্র দুটি প্রশ্ন ব্যবহার করে রিড-মুলার কোডকে হারানোর কোনো উপায় নেই। কিন্তু এটি যতদূর কেউ পেয়েছে।

কোথারি বলেন, "আপনি একবার তিনজনে গেলে আমাদের জ্ঞান খুব স্কেচি হয়ে যায়।"

পরবর্তী অগ্রগতি আরও জটিল বিষয়। প্রকাশিত দুটি গবেষণাপত্রে 2008 এবং 2009, কম্পিউটার বিজ্ঞানী সের্গেই ইয়েখানিন এবং ক্লিম এফ্রেমেনকো দেখিয়েছেন কীভাবে তিন-কোয়েরি কোড তৈরি করতে হয় যেগুলি রিড-মুলার কোডের চেয়ে বেশি কার্যকর ছিল, কিন্তু এই কোডগুলি স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য ছিল না। পরিবর্তে, তাদের স্থানীয় ডিকোডেবিলিটি নামে একটি সূক্ষ্মভাবে ভিন্ন সম্পত্তি ছিল।

পার্থক্যটি বোঝার জন্য, আসুন আবার একটি ক্লাউড স্টোরেজ প্রদানকারীকে কল্পনা করি যা ব্যবহারকারীদের ডেটা একটি দীর্ঘ বার্তায় একত্রিত করে এবং একটি ত্রুটি-সংশোধনকারী কোড ব্যবহার করে এটিকে রক্ষা করে। স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোড এবং স্থানীয়ভাবে ডিকোডেবল কোড উভয়ই মূল বার্তার যেকোন বিটটিতে শুধুমাত্র কয়েকটি প্রশ্নের মাধ্যমে একটি ত্রুটি সংশোধন করতে পারে।

কিন্তু প্রতিটি ত্রুটি-সংশোধনকারী কোডের জন্য অতিরিক্ত বিটগুলিরও প্রয়োজন হয় যা মূল বার্তায় ছিল না — এই কারণেই একটি বার্তা এনকোড করা এটিকে দীর্ঘায়িত করে। এই অতিরিক্ত বিটগুলিকে কীভাবে তারা ব্যবহার করে তার মধ্যে দুটি ধরণের কোড আলাদা। স্থানীয়ভাবে ডিকোডযোগ্য কোডগুলি এই বিটগুলিতে ত্রুটিগুলি সংশোধন করার জন্য প্রয়োজনীয় প্রশ্নের সংখ্যা সম্পর্কে কোনও প্রতিশ্রুতি দেয় না। কিন্তু স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোডে, যেকোনও অতিরিক্ত বিটের ত্রুটি ঠিক একইভাবে ঠিক করা যেতে পারে যেভাবে মূল বার্তার যেকোনো বিটের ত্রুটি।

"আপনি যা কিছু সঞ্চয় করেন, তা ব্যবহারকারীদের আসল ডেটা হোক বা অপ্রয়োজনীয়তা এবং চেক তথ্য - এই সমস্ত কিছু স্থানীয়ভাবে সংশোধন করা যেতে পারে," বলেছেন মধু সুদান, হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন কম্পিউটার বিজ্ঞানী।

যদিও নীতিগতভাবে ভিন্ন, স্থানীয় সংশোধনযোগ্যতা এবং স্থানীয় ডিকোডেবিলিটি 2008 সালের আগে অনুশীলনে সর্বদা বিনিময়যোগ্য বলে মনে হয়েছিল — প্রতিটি পরিচিত স্থানীয়ভাবে ডিকোডেবল কোডও স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য ছিল। ইয়েখানিন এবং এফ্রেমেনকোর আবিষ্কার দুটি অবস্থার মধ্যে একটি মৌলিক পার্থক্যের সম্ভাবনা উত্থাপন করেছে। অথবা সম্ভবত স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য করার জন্য ইয়েখানিন এবং এফ্রেমেনকোর কোডগুলি সংশোধন করা সম্ভব ছিল। এটি দুটি শর্তকে আরও একবার সমান স্তরে রাখবে, তবে এর অর্থ এই যে গবেষকরা স্থানীয়ভাবে ত্রি-কোয়েরি সংশোধনযোগ্য কোডগুলি কীভাবে কার্যকর হতে পারে সে সম্পর্কে ভুল করেছিলেন। যেভাবেই হোক, প্রচলিত প্রজ্ঞা পরিবর্তন করতে হবে।

ধার করা যুক্তি

কোঠারি এবং মনোহর অবশেষে কম্পিউটার বিজ্ঞানের একটি ভিন্ন ক্ষেত্র থেকে একটি কৌশল গ্রহণ করে সেই উত্তেজনা সমাধান করেছিলেন: তথাকথিত সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্টির সমস্যাগুলির অধ্যয়ন। বন্ধুদের একটি গ্রুপের সাথে ডিনার পরিকল্পনা সমন্বয় করার চেষ্টা করা এক ধরণের সন্তুষ্টির সমস্যা। প্রত্যেকেরই পছন্দ আছে যে তারা গ্রহণ করবে এবং পছন্দগুলিকে তারা ভেটো দেবে। আপনার কাজ হল এমন একটি পরিকল্পনা খুঁজে বের করা যা সবাইকে সন্তুষ্ট করে, অথবা, যদি এমন কোন পরিকল্পনা না থাকে, যত তাড়াতাড়ি সম্ভব এটি বের করা।

এই দুটি সম্ভাব্য ফলাফলের মধ্যে একটি অন্তর্নিহিত অসামঞ্জস্য রয়েছে। একটি গ্রহণযোগ্য সমাধান খুঁজে পাওয়া সহজ নাও হতে পারে, কিন্তু একবার আপনার কাছে এটি হয়ে গেলে, অন্য কাউকে বোঝানো সহজ যে এটি কাজ করবে। কিন্তু এমনকি যদি আপনি জানেন যে সমস্যাটি সত্যিই "অসন্তুষ্ট নয়", এমন একটি উদাহরণ নাও থাকতে পারে যা প্রমাণ দেয়।

2021 সালে, কোঠারি এবং মনোহর, ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের ভেঙ্কটেসন গুরুস্বামীর সাথে, বার্কলে একটি প্রধান অগ্রগতি সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্টি সমস্যা অধ্যয়ন একটি নতুন তাত্ত্বিক কৌশল ব্যবহার করে যারা চতুর অসন্তুষ্ট কেস সনাক্তকরণের জন্য. তারা সন্দেহ করেছিল যে নতুন পদ্ধতিটি অন্যান্য সমস্যা সমাধানের জন্য একটি শক্তিশালী হাতিয়ার হবে এবং গুরুস্বামীর স্নাতক ছাত্র ওমর আলরাবিয়াহ পরামর্শ দিয়েছেন যে তারা স্থানীয়ভাবে ডিকোডেবল কোডগুলিকে তিন-কোয়েরি দেখার পরামর্শ দিয়েছেন।

"এটি আমাদের হাতে একটি হাতুড়ি সহ একটি পেরেক ছিল, তাই বলার জন্য," কোঠারি বলেছিলেন।

ইয়েখানিন এবং এফ্রেমেনকোর বিস্ময়কর ফলাফলগুলি দেখিয়েছিল যে তিন-কোয়েরি স্থানীয়ভাবে ডিকোডেবল কোডগুলি রিড-মুলার কোডগুলির চেয়ে বেশি কার্যকর হতে পারে। কিন্তু তাদের কোডগুলি কি সর্বোত্তম সম্ভব ছিল, নাকি স্থানীয়ভাবে তিন-কোয়েরি ডিকোডেবল কোডগুলি আরও বেশি দক্ষ হতে পারে? কোঠারি, মনোহর, গুরুস্বামী এবং আলরাবিয়া ভেবেছিলেন যে তাদের নতুন কৌশলটি এই জাতীয় কোডগুলি কতটা দক্ষ হতে পারে তার সীমা প্রমাণ করতে সক্ষম হতে পারে। তাদের পরিকল্পনা ছিল একটি প্রদত্ত আকারের সমস্ত সম্ভাব্য তিন-কোয়েরি স্থানীয়ভাবে ডিকোডেবল কোডগুলির কাঠামোকে অন্তর্ভুক্ত করে একটি যৌক্তিক সূত্র তৈরি করা এবং এটিকে অসন্তুষ্ট প্রমাণ করা, যার ফলে দেখায় যে এই জাতীয় কোনও কোড থাকতে পারে না।

চার গবেষক 2022 সালে সেই দিকে প্রথম পদক্ষেপ নিয়েছিলেন, একটি সেট করেছেন নতুন সীমা স্থানীয়ভাবে ডিকোডেবল কোডের তিন-কোয়েরির সর্বোচ্চ দক্ষতার উপর। ফলাফলটি গবেষকরা অন্যান্য কৌশলগুলির সাথে যা অর্জন করতে সক্ষম হয়েছিল তার থেকেও ভাল ছিল, তবে এটি ইয়েখানিন এবং এফ্রেমেনকোর চেয়ে বেশি কার্যকরী সমস্ত কোডকে বাতিল করেনি।

কোঠারি এবং মনোহর সন্দেহ করেছিলেন যে তারা আরও যেতে পারে। কিন্তু অগ্রগতি স্থবির হয়ে পড়ে যতক্ষণ না মনোহর একটি দ্রুত খামের হিসাব লিখে দেয় যা নির্দেশ করে যে কৌশলটি স্থানীয়ভাবে ডিকোডযোগ্য কোডগুলির তুলনায় স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোডগুলির জন্য আরও ভাল কাজ করতে পারে।

কয়েক মাস পরে, আরও অনেক মিথ্যা শুরুর পরে যা তাদের ভয় দেখায় যে তারা খুব আশাবাদী ছিল, কৌশলটি অবশেষে তার প্রতিশ্রুতিতে সরবরাহ করেছিল। কোঠারি এবং মনোহর প্রমাণ করেছেন যে গবেষকরা যেমন সন্দেহ করেছিলেন, স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোনও তিন-কোয়েরি কোডের পক্ষে রিড-মুলার কোডগুলির চেয়ে প্রশংসনীয়ভাবে কাজ করা অসম্ভব। যে সূচকীয় স্কেলিং একটি মৌলিক সীমাবদ্ধতা। তাদের ফলাফলটিও একটি নাটকীয় প্রদর্শনী ছিল যে স্থানীয় সংশোধনযোগ্যতা এবং স্থানীয় ডিকোডযোগ্যতা, যদিও উপরিভাগে একই রকম, আসলেই একটি মৌলিক স্তরে পার্থক্য রয়েছে: পরবর্তীটি পূর্বের তুলনায় দ্ব্যর্থহীনভাবে উপলব্ধি করা সহজ।

কোঠারি এবং মনোহর এখন তাদের কৌশলগুলি প্রসারিত করার আশা করছেন কোডগুলি অধ্যয়ন করার জন্য যেগুলিকে তিনটির বেশি প্রশ্ন করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে, কারণ এখন তাদের সম্পর্কে খুব কমই জানা যায়। এবং ত্রুটি সংশোধনের তত্ত্বের অগ্রগতি প্রায়শই অন্যান্য আপাতদৃষ্টিতে সম্পর্কহীন ক্ষেত্রের প্রভাব ফেলে। বিশেষ করে, স্থানীয়ভাবে সংশোধনযোগ্য কোডের সমস্যা থেকে সর্বত্র আশ্চর্যজনক উপস্থিতি তৈরি করে ব্যক্তিগত ডাটাবেস অনুসন্ধান ক্রিপ্টোগ্রাফিতে এর প্রমাণ কম্বিনেটরিক্সে উপপাদ্য. কোথারি এবং মনোহরের কৌশল এই বিভিন্ন ক্ষেত্রে কীভাবে প্রভাব ফেলবে তা বলা খুব তাড়াতাড়ি, তবে গবেষকরা আশাবাদী বোধ করছেন।

"এখানে একটি সত্যিই সুন্দর নতুন ধারণা আছে," ডিভির বলেছেন। "আমি মনে করি অনেক সম্ভাবনা আছে।"