ইনফিনিটি কত বড়?

মার্ভেল ব্লকবাস্টার শেষে অ্যাভেঞ্জারস: Endgame, টনি স্টার্কের একটি পূর্ব-রেকর্ড করা হলোগ্রাম "আমি তোমাকে 3,000 ভালোবাসি" বলে তার যুবতী কন্যাকে বিদায় জানায়। মর্মস্পর্শী মুহূর্তটি একটি আগের দৃশ্যের প্রতিধ্বনি করে যেখানে দু'জন একে অপরের প্রতি তাদের ভালবাসার পরিমাপ করার জন্য কৌতুকপূর্ণ শয়নকালীন আচারে নিযুক্ত রয়েছে। স্টার্ক চরিত্রে অভিনয় করা অভিনেতা রবার্ট ডাউনি জুনিয়রের মতে, লাইনটি তার নিজের সন্তানদের সাথে অনুরূপ আদান-প্রদানের দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল।

গেমটি বড় সংখ্যা অন্বেষণ করার একটি মজার উপায় হতে পারে:

"আমি তোমাকে 10 ভালোবাসি।"

"কিন্তু আমি তোমাকে 100 ভালোবাসি।"

"আচ্ছা, আমি তোমাকে 101 ভালোবাসি!"

ঠিক এভাবেই "googolplex" আমার বাড়িতে একটি জনপ্রিয় শব্দ হয়ে উঠেছে। কিন্তু আমরা সবাই জানি এই যুক্তি শেষ পর্যন্ত কোথায় নিয়ে যায়:

"আমি তোমাকে ভালোবাসি অসীম!"

"ও আচ্ছা? আই লাভ ইউ ইনফিনিটি প্লাস ১!”

খেলার মাঠে হোক বা শোবার সময়, শিশুরা গণিত ক্লাসের অনেক আগেই অসীমতার ধারণার মুখোমুখি হয় এবং তারা এই রহস্যময়, জটিল এবং গুরুত্বপূর্ণ ধারণাটির প্রতি বোধগম্যভাবে একটি মুগ্ধতা তৈরি করে। এই শিশুদের মধ্যে কিছু বড় হয়ে গণিতবিদ হয়ে উঠছে অসীমের প্রতি মুগ্ধ, এবং সেই গণিতবিদদের মধ্যে কেউ অসীম সম্পর্কে নতুন এবং আশ্চর্যজনক জিনিস আবিষ্কার করছেন।

আপনি হয়তো জানেন যে কিছু সংখ্যার সেট অসীমভাবে বড়, কিন্তু আপনি কি জানেন যে কিছু অসীম অন্যদের থেকে বড়? এবং আমরা নিশ্চিত নই যে দুটির মধ্যে অন্য অসীম স্যান্ডউইচ আছে কিনা যা আমরা সবচেয়ে ভাল জানি? গণিতবিদরা কমপক্ষে এক শতাব্দী ধরে এই দ্বিতীয় প্রশ্নটি নিয়ে চিন্তাভাবনা করছেন এবং সাম্প্রতিক কিছু কাজ এই সমস্যাটি সম্পর্কে মানুষের চিন্তাভাবনা পরিবর্তন করেছে।

অসীম সেটের আকার সম্পর্কে প্রশ্নগুলি মোকাবেলা করার জন্য, আসুন গণনা করা সহজ সেটগুলি দিয়ে শুরু করি। একটি সেট বস্তু, বা উপাদানের একটি সংগ্রহ, এবং একটি সসীম সেট শুধুমাত্র একটি সেট যা সসীমভাবে অনেকগুলি বস্তু ধারণ করে।

একটি সীমিত সেটের আকার নির্ধারণ করা সহজ: এটিতে থাকা উপাদানগুলির সংখ্যা গণনা করুন। যেহেতু সেটটি সীমিত, আপনি জানেন যে আপনি শেষ পর্যন্ত গণনা বন্ধ করবেন এবং আপনার কাজ শেষ হলে আপনি আপনার সেটের আকার জানেন।

এই কৌশলটি অসীম সেটের সাথে কাজ করে না। এখানে প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট, যা ℕ নির্দেশিত। (কেউ কেউ যুক্তি দিতে পারে যে শূন্য একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা নয়, কিন্তু সেই বিতর্কটি অসীম সম্পর্কে আমাদের তদন্তকে প্রভাবিত করে না।)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

এই সেটের আকার কি? যেহেতু কোন বড় প্রাকৃতিক সংখ্যা নেই, উপাদানের সংখ্যা গণনা করার চেষ্টা করা কাজ করবে না। একটি সমাধান হল এই অসীম সেটের আকারকে "অসীম" হিসাবে ঘোষণা করা যা ভুল নয়, তবে আপনি যখন অন্যান্য অসীম সেটগুলি অন্বেষণ শুরু করেন, আপনি বুঝতে পারেন যে এটিও ঠিক নয়।

বাস্তব সংখ্যার সেট বিবেচনা করুন, যে সমস্ত সংখ্যাগুলি দশমিক প্রসারণে প্রকাশযোগ্য, যেমন 7, 3.2, −8.015, বা $latexsqrt{2} = 1.414213…$ এর মতো অসীম প্রসারণ। যেহেতু প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যাও একটি বাস্তব সংখ্যা, তাই বাস্তবের সেটটি কমপক্ষে প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের মতো বড় এবং তাই অসীমও হতে হবে।

কিন্তু বাস্তব সংখ্যার সেটের আকারকে প্রাকৃতিক সংখ্যার আকার বর্ণনা করতে ব্যবহৃত একই "অনন্ত" হিসাবে ঘোষণা করার বিষয়ে অসন্তুষ্ট কিছু আছে। কেন তা দেখতে, 3 এবং 7 এর মত যেকোন দুটি সংখ্যা বাছাই করুন৷ এই দুটি সংখ্যার মধ্যে সর্বদা অনেকগুলি স্বাভাবিক সংখ্যা থাকবে: এখানে এটি 4, 5 এবং 6 সংখ্যাগুলি৷ তবে তাদের মধ্যে সর্বদা অসীমভাবে অনেকগুলি বাস্তব সংখ্যা থাকবে, সংখ্যাগুলি যেমন 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… এবং আরও অনেক কিছু।

উল্লেখযোগ্যভাবে যথেষ্ট, যে কোনো দুটি স্বতন্ত্র বাস্তব সংখ্যা একে অপরের যতই কাছাকাছি হোক না কেন, এর মধ্যে সর্বদা অসীমভাবে অনেকগুলি বাস্তব সংখ্যা থাকবে। নিজে থেকে এর মানে এই নয় যে বাস্তব সংখ্যা এবং প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের বিভিন্ন আকার আছে, তবে এটি প্রস্তাব করে যে এই দুটি অসীম সেটের মধ্যে মৌলিকভাবে আলাদা কিছু আছে যা আরও তদন্তের প্রয়োজন।

গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর 19 শতকের শেষের দিকে এটি অনুসন্ধান করেছিলেন। তিনি দেখিয়েছিলেন যে এই দুটি অসীম সেটের সত্যিই বিভিন্ন আকার রয়েছে। তিনি কীভাবে এটি করেছিলেন তা বুঝতে এবং উপলব্ধি করতে, প্রথমে আমাদের বুঝতে হবে কীভাবে অসীম সেটের তুলনা করা যায়। গোপন সব জায়গায় গণিত ক্লাসের একটি প্রধান বিষয়: ফাংশন।

ফাংশন সম্পর্কে চিন্তা করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে — ফাংশন নোটেশন যেমন $latex f(x) = x^2 +1$, কার্টেসিয়ান প্লেনে প্যারাবোলার গ্রাফ, নিয়ম যেমন "ইনপুট নিন এবং এতে 3 যোগ করুন" — কিন্তু এখানে আমরা একটি ফাংশনকে একটি সেটের উপাদানগুলিকে অন্য সেটের উপাদানগুলির সাথে মেলানোর উপায় হিসাবে ভাবব।

আসুন সেই সেটগুলির মধ্যে একটিকে ℕ হিসাবে ধরি, প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট। অন্য সেটের জন্য, যা আমরা কল করব S, আমরা সমস্ত জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা নেব। এখানে আমাদের দুটি সেট আছে:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$

একটি সাধারণ ফাংশন আছে যা ℕ এর উপাদানকে এর উপাদানে পরিণত করে S: $latex f(x) = 2x$। এই ফাংশনটি কেবল তার ইনপুটগুলিকে দ্বিগুণ করে, তাই যদি আমরা ℕ এর উপাদানগুলিকে $latex f(x)$ এর ইনপুট হিসাবে মনে করি (আমরা একটি ফাংশনের ইনপুটগুলির সেটকে "ডোমেন" বলি), আউটপুটগুলি সর্বদা এর উপাদান হবে S. উদাহরণস্বরূপ, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ ইত্যাদি।

আপনি দুটি সেটের উপাদানগুলিকে পাশাপাশি সারিবদ্ধ করে এবং $latex f$ ফাংশন কীভাবে ℕ থেকে ইনপুটকে আউটপুটে পরিণত করে তা নির্দেশ করার জন্য তীরচিহ্ন ব্যবহার করে এটি কল্পনা করতে পারেন S.

লক্ষ্য করুন কিভাবে $latex f(x)$ ঠিক একটি উপাদান বরাদ্দ করে S ℕ এর প্রতিটি উপাদানে। এটিই ফাংশনগুলি করে, কিন্তু $latex f(x)$ এটি একটি বিশেষ উপায়ে করে। প্রথমে, $latex f$ সবকিছু বরাদ্দ করে S ℕ এর মধ্যে কিছু ফাংশন পরিভাষা ব্যবহার করে, আমরা বলি যে প্রতিটি উপাদান S $latex f$ ফাংশনের অধীনে ℕ এর একটি উপাদানের "চিত্র"। উদাহরণস্বরূপ, জোড় সংখ্যা 3,472 আছে S, এবং আমরা একটি খুঁজে পেতে পারেন x ℕ এ যেমন $latex f(x) = 3,472$ (যেমন 1,736)। এই অবস্থায় আমরা বলি যে $latex f(x)$ ফাংশন ℕ এর উপর ম্যাপ করে S. এটি বলার একটি অভিনব উপায় হল যে ফাংশন $latex f(x)$ হল "আনুমানিক।" যাইহোক আপনি এটি বর্ণনা করেন, যা গুরুত্বপূর্ণ তা হল: যেমন $latex f(x)$ ফাংশন ℕ থেকে ইনপুটকে আউটপুটে পরিণত করে S, কিছুই না S প্রক্রিয়ায় মিস হয়ে যায়।

$latex f(x)$ কীভাবে ইনপুটগুলিতে আউটপুট বরাদ্দ করে সে সম্পর্কে দ্বিতীয় বিশেষ জিনিসটি হল যে ℕ-এ কোনও দুটি উপাদান একই উপাদানে রূপান্তরিত হয় না। S. যদি দুটি সংখ্যা ভিন্ন হয়, তাহলে তাদের দ্বিগুণ ভিন্ন হয়; 5 এবং 11 হল ℕ এর বিভিন্ন প্রাকৃতিক সংখ্যা, এবং তাদের আউটপুট ইন S এছাড়াও ভিন্ন: 10 এবং 22। এই ক্ষেত্রে আমরা বলি যে $latex f(x)$ হল "1-থেকে-1" (এছাড়াও "1-1" লেখা হয়), এবং আমরা $latex f(x)$ কে বর্ণনা করি "ইনজেকশন।" এখানে মূল বিষয় হল কিছুই নেই S দুইবার ব্যবহৃত হয়: প্রতিটি উপাদান S ℕ এ শুধুমাত্র একটি উপাদানের সাথে যুক্ত করা হয়।

$latex f(x)$ এর এই দুটি বৈশিষ্ট্য একটি শক্তিশালী উপায়ে একত্রিত হয়। $latex f(x)$ ফাংশনটি ℕ এর উপাদান এবং এর উপাদানগুলির মধ্যে একটি নিখুঁত মিল তৈরি করে S. সত্য যে $latex f(x)$ হল "অনটো" এর অর্থ হল সবকিছু S ℕ এর একজন অংশীদার আছে, এবং সত্য যে $latex f(x)$ হল 1-থেকে-1 এর মানে কিছুই নয় S ℕ-এ দুইজন অংশীদার আছে। সংক্ষেপে, $latex f(x)$ ফাংশনটি ℕ এর প্রতিটি উপাদানের সাথে ঠিক একটি উপাদান যুক্ত করে S.

একটি ফাংশন যা ইঞ্জেকটিভ এবং সার্জেক্টিভ উভয়ই একটি বিজেকশন বলা হয় এবং একটি বিজেকশন দুটি সেটের মধ্যে 1-থেকে-1 পত্রালিকা তৈরি করে। এর মানে হল যে একটি সেটের প্রতিটি উপাদানের অন্য সেটে ঠিক একটি অংশীদার রয়েছে এবং এটি দেখানোর একটি উপায় যে দুটি অসীম সেটের আকার একই।

যেহেতু আমাদের ফাংশন $latex f(x)$ একটি বিজেকশন, এটি দেখায় যে দুটি অসীম সেট ℕ এবং S একই আকার আছে। এটি আশ্চর্যজনক মনে হতে পারে: সর্বোপরি, প্রতিটি এমনকি প্রাকৃতিক সংখ্যা নিজেই একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, তাই ℕ এর মধ্যে সবকিছু রয়েছে S এবং আরো যে ℕ এর চেয়ে বড় করা উচিত নয় S? যদি আমরা সীমিত সেট নিয়ে কাজ করতাম, উত্তরটি হ্যাঁ হবে। কিন্তু একটি অসীম সেট সম্পূর্ণরূপে অন্যটি ধারণ করতে পারে এবং সেগুলি এখনও একই আকারের হতে পারে, যেভাবে "ইনফিনিটি প্লাস 1" প্রকৃতপক্ষে সাধারণ পুরানো "অনন্ত" এর চেয়ে বড় পরিমাণে ভালবাসা নয়। এটি অসীম সেটের অনেক বিস্ময়কর বৈশিষ্ট্যের মধ্যে একটি মাত্র।

আরও বড় আশ্চর্য হতে পারে যে বিভিন্ন আকারের অসীম সেট রয়েছে। এর আগে আমরা বাস্তব এবং প্রাকৃতিক সংখ্যার অসীম সেটের বিভিন্ন প্রকৃতি অন্বেষণ করেছি এবং ক্যান্টর প্রমাণ করেছেন যে এই দুটি অসীম সেটের আকার ভিন্ন। তিনি তার উজ্জ্বল, এবং বিখ্যাত, তির্যক যুক্তি দিয়ে তা করেছিলেন।

যেহেতু যেকোন দুটি স্বতন্ত্র বাস্তবের মধ্যে অসীমভাবে অনেকগুলি বাস্তব সংখ্যা রয়েছে, আসুন এই মুহূর্তের জন্য শূন্য এবং 1 এর মধ্যে অসীম অনেকগুলি বাস্তব সংখ্যার উপর ফোকাস করা যাক।

এখানে $latex a_1, a_2, a_3$ এবং আরও কিছু সংখ্যার সংখ্যা মাত্র, কিন্তু আমাদের প্রয়োজন হবে যে সমস্ত সংখ্যা শূন্য নয় তাই আমরা আমাদের সেটে শূন্য সংখ্যাটি অন্তর্ভুক্ত করি না।

তির্যক যুক্তিটি মূলত প্রশ্ন দিয়ে শুরু হয়: যদি প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং এই বাস্তব সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি দ্বিধাবিভক্তি বিদ্যমান থাকে তবে কী হবে? যদি এই ধরনের একটি ফাংশন বিদ্যমান থাকে, তাহলে দুটি সেটের আকার একই হবে, এবং আপনি একটি স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে শূন্য এবং 1 এর মধ্যে প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা মেলানোর জন্য ফাংশনটি ব্যবহার করতে পারেন। আপনি এই মত মিলগুলির একটি আদেশকৃত তালিকা কল্পনা করতে পারেন।

তির্যক যুক্তির প্রতিভা হল যে আপনি এই তালিকাটি ব্যবহার করে এমন একটি বাস্তব সংখ্যা তৈরি করতে পারেন যা তালিকায় থাকতে পারে না। নিম্নলিখিত উপায়ে অঙ্ক দ্বারা একটি বাস্তব সংখ্যা অঙ্ক তৈরি করা শুরু করুন: দশমিক বিন্দুর পরে প্রথম অঙ্কটিকে $latex a_1$ থেকে আলাদা কিছু করুন, দ্বিতীয় অঙ্কটিকে $latex b_2$ থেকে আলাদা করুন, তৃতীয় অঙ্কটিকে $latex থেকে আলাদা করুন c_3 $, এবং তাই।

এই বাস্তব সংখ্যাটি তালিকার কর্ণের সাথে এর সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়। এটা কি তালিকায় আছে? এটি তালিকার প্রথম সংখ্যা হতে পারে না, কারণ এটির একটি ভিন্ন প্রথম সংখ্যা রয়েছে৷ অথবা এটি তালিকার দ্বিতীয় সংখ্যা হতে পারে না, কারণ এটির একটি ভিন্ন দ্বিতীয় সংখ্যা রয়েছে। আসলে, এটা হতে পারে না nএই তালিকায় তম সংখ্যা, কারণ এটি একটি ভিন্ন আছে nম সংখ্যা। এবং এটি সবার জন্য সত্য n, তাই এই নতুন সংখ্যা, যা শূন্য এবং 1 এর মধ্যে, তালিকায় থাকতে পারে না।

কিন্তু শূন্য থেকে ১ এর মধ্যে সব বাস্তব সংখ্যাই থাকার কথা ছিল তালিকায়! এই দ্বন্দ্বটি এই ধারণা থেকে উদ্ভূত হয় যে শূন্য এবং 1 এর মধ্যে প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং বাস্তবের মধ্যে একটি দ্বিধাবিভক্তি বিদ্যমান এবং তাই এই জাতীয় দ্বিধাবিভক্তি থাকতে পারে না। এর মানে এই অসীম সেটগুলির বিভিন্ন আকার রয়েছে। ফাংশনগুলির সাথে আরও একটু কাজ করা (অনুশীলনগুলি দেখুন) দেখাতে পারে যে সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেটটি শূন্য এবং 1 এর মধ্যে থাকা সমস্ত বাস্তবের সেটের আকারের সমান এবং তাই প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি ধারণ করা বাস্তবগুলি অবশ্যই একটি হতে হবে। বড় অসীম সেট।

একটি অসীম সেটের আকারের জন্য প্রযুক্তিগত শব্দ হল এর "কার্ডিনালিটি"। তির্যক যুক্তি দেখায় যে বাস্তবের মূলত্ব প্রাকৃতিক সংখ্যার মূলত্বের চেয়ে বেশি। প্রাকৃতিক সংখ্যার মূলত্ব লেখা হয় $latex aleph_0$, উচ্চারিত "aleph naught"। গণিতের একটি প্রমিত দৃষ্টিতে এটি ক্ষুদ্রতম অসীম কার্ডিনাল।

পরবর্তী অসীম কার্ডিনাল হল $latex aleph_1$ ("aleph one"), এবং একটি সহজভাবে বলা প্রশ্নটি এক শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে গণিতবিদদের বিভ্রান্ত করেছে: $latex aleph_1$ কি আসল সংখ্যার মূলত্ব? অন্য কথায়, প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যার মধ্যে অন্য কোন অসীমতা আছে কি? ক্যান্টর ভেবেছিলেন উত্তরটি না - একটি দাবী যা হিসাবে পরিচিত হয়েছিল ধারাবাহিক অনুমান - কিন্তু তিনি এটি প্রমাণ করতে সক্ষম হননি। 1900 এর দশকের গোড়ার দিকে এই প্রশ্নটি এত গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচিত হয়েছিল যে যখন ডেভিড হিলবার্ট গণিতের 23টি গুরুত্বপূর্ণ উন্মুক্ত সমস্যার তার বিখ্যাত তালিকা একত্রিত করেছিলেন, তখন ধারাবাহিক অনুমানটি ছিল এক নম্বরে।

একশ বছর পরে, অনেক অগ্রগতি হয়েছে, কিন্তু সেই অগ্রগতি নতুন রহস্যের দিকে নিয়ে গেছে। 1940 সালে বিখ্যাত যুক্তিবিদ ড কার্ট গোডেল প্রমাণ করেছেন যে, সেট তত্ত্বের সাধারণভাবে গৃহীত নিয়মের অধীনে, এটা প্রমাণ করা অসম্ভব যে প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যার মধ্যে একটি অসীমতা বিদ্যমান। ধারাবাহিক অনুমান সত্য প্রমাণের দিকে এটি একটি বড় পদক্ষেপ বলে মনে হতে পারে, তবে দুই দশক পরে গণিতবিদ পল কোহেন প্রতিপন্ন এটা প্রমাণ করা অসম্ভব যে এই ধরনের একটি অসীম অস্তিত্ব নেই! এটা দেখা যাচ্ছে যে ধারাবাহিক অনুমান এক উপায় বা অন্যভাবে প্রমাণ করা যাবে না।

একসাথে এই ফলাফলগুলি ধারাবাহিক অনুমানের "স্বাধীনতা" প্রতিষ্ঠা করেছে। এর মানে হল যে সেটগুলির সাধারণভাবে গৃহীত নিয়মগুলি আমাদের বলার জন্য যথেষ্ট বলে না যে প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং বাস্তবের মধ্যে একটি অসীমতা বিদ্যমান কিনা। কিন্তু গণিতবিদদের অসীমতা বোঝার চেষ্টায় নিরুৎসাহিত করার পরিবর্তে, এটি তাদের নতুন দিকে নিয়ে গেছে। গণিতবিদরা এখন অসীম সেটের জন্য নতুন মৌলিক নিয়মগুলি খুঁজছেন যা উভয়ই ব্যাখ্যা করতে পারে যে অসীম সম্পর্কে ইতিমধ্যে কী জানা আছে এবং শূন্যস্থান পূরণ করতে সহায়তা করে।

"আপনার জন্য আমার ভালবাসা স্বতঃসিদ্ধ থেকে স্বাধীন" বলা "আমি তোমাকে ইনফিনিটি প্লাস 1 ভালোবাসি" বলার মতো মজাদার নাও হতে পারে, তবে সম্ভবত এটি পরবর্তী প্রজন্মের অসীম-প্রেমী গণিতবিদদের একটি ভাল রাতের ঘুম পেতে সাহায্য করবে৷

অনুশীলন

1. ধরা যাক $latex T = {1,3,5,7,…}$, ধনাত্মক বিজোড় প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট। হয় T প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের চেয়ে বড়, এর চেয়ে ছোট বা ℕ এর সমান আকার?

2. প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট, ℕ, এবং $latexmathbb{Z}={…,-1,-1,-3, …}$

3. একটি ফাংশন $latex f(x)$ খুঁজুন যা শূন্য এবং 1 এর মধ্যে বাস্তব সংখ্যার সেট এবং শূন্যের চেয়ে বড় বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে একটি দ্বিখণ্ডন।

4. একটি ফাংশন খুঁজুন যা শূন্য এবং 1 এর মধ্যে বাস্তব সংখ্যার সেট এবং সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে একটি দ্বিখণ্ডন।

উত্তর 1 এর জন্য ক্লিক করুন:

উত্তর 2 এর জন্য ক্লিক করুন:

উত্তর 3 এর জন্য ক্লিক করুন:

উত্তর 4 এর জন্য ক্লিক করুন: