'এনট্রপি ব্যাগেলস' এবং অন্যান্য জটিল কাঠামো সরল নিয়ম থেকে উদ্ভূত হয় | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

পুনরাবৃত্তি সবসময় হামড্রাম হতে হবে না. গণিতে, এটি একটি শক্তিশালী শক্তি, বিভ্রান্তিকর জটিলতা তৈরি করতে সক্ষম।

এমনকি কয়েক দশকের অধ্যয়নের পরেও, গণিতবিদরা নিজেদেরকে খুব সাধারণ নিয়মের পুনরাবৃত্তি সম্পর্কে প্রশ্নের উত্তর দিতে অক্ষম খুঁজে পান - সবচেয়ে মৌলিক "গতিশীল সিস্টেম।" কিন্তু তা করার চেষ্টা করে, তারা সেই নিয়মগুলি এবং গণিতের অন্যান্য আপাতদৃষ্টিতে দূরবর্তী অঞ্চলগুলির মধ্যে গভীর সংযোগ উন্মোচন করেছে।

উদাহরণস্বরূপ, ম্যান্ডেলব্রট সেট, যা আমি সম্পর্কে লিখেছেন গত মাসে, কিভাবে ফাংশন একটি পরিবার — সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত একটি মানচিত্র f(x) = x² + c — এর মান হিসাবে আচরণ করে c তথাকথিত জটিল সমতলের উপর রেঞ্জ। (বাস্তব সংখ্যার বিপরীতে, যা একটি রেখায় স্থাপন করা যেতে পারে, জটিল সংখ্যার দুটি উপাদান থাকে, যা প্লট করা যায় x- এবং y-একটি দ্বি-মাত্রিক সমতলের অক্ষ।)

আপনি ম্যান্ডেলব্রট সেটে যতই জুম করুন না কেন, সীমা ছাড়াই সর্বদা অভিনব নিদর্শন তৈরি হয়। "এটা আমার কাছে সম্পূর্ণ মন ছুঁয়ে গেছে, এমনকি এখনও, এই খুব জটিল কাঠামোটি এত সহজ নিয়ম থেকে উদ্ভূত হয়েছে," বলেছেন ম্যাথু বাকের জর্জিয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির। "এটি 20 শতকের সত্যিই আশ্চর্যজনক আবিষ্কারগুলির মধ্যে একটি।"

ম্যান্ডেলব্রট সেটের জটিলতা আংশিকভাবে আবির্ভূত হয় কারণ এটি সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা নিজেদের, ভাল, জটিল। কিন্তু, সম্ভবত আশ্চর্যজনকভাবে, এটি পুরো গল্প নয়। এমনকি যখন c একটি সহজবোধ্য বাস্তব সংখ্যা যেমন, বলুন -3/2, সব ধরণের অদ্ভুত ঘটনা ঘটতে পারে। আপনি বারবার সমীকরণ প্রয়োগ করলে কী ঘটে তা কেউ জানে না f(x) = x² - 3/2, পুনরাবৃত্তি নামে পরিচিত একটি প্রক্রিয়ার পরবর্তী ইনপুট হিসাবে প্রতিটি আউটপুট ব্যবহার করে। আপনি যদি থেকে পুনরাবৃত্তি শুরু করেন x = 0 (একটি দ্বিঘাত সমীকরণের "গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু"), এটি অস্পষ্ট যে আপনি এমন একটি ক্রম তৈরি করবেন যা শেষ পর্যন্ত মানগুলির পুনরাবৃত্তি চক্রের দিকে একত্রিত হবে, নাকি একটি বিশৃঙ্খল প্যাটার্নে অবিরামভাবে বাউন্স করতে থাকবে।

এর মানগুলির জন্য c -2-এর থেকে ছোট বা 1/4-এর চেয়ে বড়, পুনরাবৃত্তি দ্রুত অসীম পর্যন্ত উড়ে যায়। কিন্তু সেই ব্যবধানের মধ্যে, এর অসীম অনেক মান রয়েছে c বিশৃঙ্খল আচরণের জন্য পরিচিত, এবং অসীমভাবে অনেক ক্ষেত্রে যেমন –3/2, যেখানে "আমরা জানি না কী ঘটবে, যদিও এটি অত্যন্ত কংক্রিট," বলেছেন জিউলিও টিওজো টরন্টো বিশ্ববিদ্যালয়ের।

কিন্তু 1990-এর দশকে স্টনি ব্রুক বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ ড মিশা লিউবিচ, যিনি ম্যান্ডেলব্রট সেটে আমার প্রতিবেদনে বিশিষ্টভাবে চিত্রিত করেছেন, প্রতিপন্ন যে –2 এবং 1/4-এর মধ্যে ব্যবধানে, এর মানের বিশাল সংখ্যাগরিষ্ঠ c চমৎকার "হাইপারবোলিক" আচরণ তৈরি করে। (গণিতবিদ জ্যাসেক গ্র্যাকজিক এবং গ্রজেগর্জ সুয়াটেক স্বাধীনভাবে প্রমাণিত একই সময়ের কাছাকাছি ফলাফল।) এর অর্থ হল সংশ্লিষ্ট সমীকরণগুলি, যখন পুনরাবৃত্তি করা হয়, তখন একটি একক মান বা সংখ্যার পুনরাবৃত্তি চক্রে একত্রিত হয়।

এক দশক পরে, গণিতবিদদের একটি ত্রয়ী দেখিয়েছেন যে অধিকাংশ মান c হাইপারবোলিক শুধুমাত্র দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য নয়, এর জন্যও বাস্তব বহুপদীর যে কোনো পরিবার (আরো সাধারণ ফাংশন যা শক্তিতে উত্থাপিত ভেরিয়েবলকে একত্রিত করে, যেমন x⁷ + + 3x⁴ + + 5x² + 1)। এবং এখন তাদের মধ্যে একজন, সেবাস্তিয়ান ভ্যান স্ট্রিয়েন ইম্পেরিয়াল কলেজ লন্ডনের, বিশ্বাস করেন যে বাস্তব বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন নামক সমীকরণের আরও বিস্তৃত শ্রেণির জন্য তার কাছে এই সম্পত্তির প্রমাণ রয়েছে, যার মধ্যে সাইন, কোসাইন এবং সূচকীয় ফাংশন রয়েছে। ভ্যান স্ট্রিয়েন মে মাসে ফলাফল ঘোষণা করার আশা করছেন। পিয়ার রিভিউর পরে যদি এটি ধরে রাখা হয়, তাহলে বাস্তব এক-মাত্রিক সিস্টেমগুলি কীভাবে আচরণ করে তার বৈশিষ্ট্য বর্ণনায় এটি একটি বড় অগ্রগতি চিহ্নিত করবে।

অসম্ভাব্য ছেদ এবং এনট্রপি ব্যাগেল

অসীমভাবে অনেকগুলি বাস্তব দ্বিঘাত সমীকরণ রয়েছে যেগুলি, যখন শূন্য থেকে পুনরাবৃত্তি করা হয়, তখন সংখ্যার পুনরাবৃত্তি চক্র তৈরি করে। কিন্তু সীমাবদ্ধ থাকলে c যৌক্তিক মানগুলিতে - যেগুলিকে ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে - শুধুমাত্র তিনটি মান শেষ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক ক্রম তৈরি করে: 0, -1 এবং -2৷ "এই গতিশীল সিস্টেমগুলি খুব, খুব বিশেষ," বলেছেন ক্লেটন পেটশে অরেগন স্টেট ইউনিভার্সিটির।

In একটি কাগজ গত বছর প্রকাশিত, Petsche এবং চাচাই নয়তপ্তিম ওয়াটারলু ইউনিভার্সিটি প্রমাণ করেছে যে তারা প্রথম নজরে যতটা দেখা যায় তার চেয়েও বেশি বিশেষ। গণিতবিদরা "সম্পূর্ণ বাস্তব" সংখ্যার দিকে তাকান, যেগুলি বাস্তব সংখ্যার চেয়ে বেশি সীমাবদ্ধ কিন্তু মূলদগুলির তুলনায় কম সীমাবদ্ধ।

আপনি যদি একটি সংখ্যাকে বহুপদীতে প্লাগ করেন এবং শূন্যের একটি আউটপুট পান, তাহলে সেই সংখ্যাটি বহুপদীটির সমাধান বা মূল। উদাহরণস্বরূপ, 2 এর একটি মূল f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + + 31x - 30, এবং অসীমভাবে অন্যান্য অনেক সমীকরণ। এই ধরনের বহুপদীর মূল হতে পারে যা বাস্তব, বা মূল যেগুলি জটিল। (উদাহরণস্বরূপ, এর শিকড় x² + 1 হল –1 এর বর্গমূল, এভাবে লেখা i, এবং -i — উভয় জটিল সংখ্যা।)

একটি সংখ্যা সম্পূর্ণ বাস্তব যদি এটি পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদী সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে যার শুধুমাত্র প্রকৃত মূল রয়েছে। সমস্ত মূলদ সংখ্যা সম্পূর্ণ বাস্তব, কিন্তু কিছু অমূলদ সংখ্যাও তাই। উদাহরণস্বরূপ, $latex sqrt{2}$ সম্পূর্ণ বাস্তব, কারণ এটি একটি সমাধান f(x) = x² – 2, যার শুধুমাত্র আসল মূল রয়েছে ($latex sqrt{2}$ এবং এর "বোন" রুট $latex -sqrt{2}$)। কিন্তু 2 এর ঘনমূল, $latex sqrt[3]{2}$, সম্পূর্ণ বাস্তব নয়। এটি একটি সমাধান f(x) = x³ – 2, যার একটি অতিরিক্ত দুটি বোন শিকড় রয়েছে, যা গ্যালোস কনজুগেটস নামেও পরিচিত, যা জটিল।

Petsche এবং Noytaptim প্রমাণ করেছেন যে কোন অযৌক্তিক সম্পূর্ণ বাস্তব সংখ্যা নেই যা শেষ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক চক্র তৈরি করে। বরং, 0, –1 এবং –2 একমাত্র সম্পূর্ণ বাস্তব সংখ্যা যা এটি করে। তারা দুটি আপাতদৃষ্টিতে ভিন্ন জগতের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি অসম্ভাব্য ছেদ প্রতিনিধিত্ব করে — সংখ্যা তত্ত্ব (পূর্ণসংখ্যার অধ্যয়ন) এবং গতিশীল সিস্টেম। Petsche এবং Noytaptim তাদের প্রমাণে সংখ্যা তত্ত্ব থেকে গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল ব্যবহার করেছে, দুটি ক্ষেত্রের মধ্যে সংযোগ হাইলাইট করেছে।

গণিতবিদদের জেভিয়ার বাফ এবং সারাহ কোচ পাওয়া আরেকটি অসম্ভাব্য ছেদ. তারা দেখিয়েছে যে মাত্র চারটি সম্পূর্ণ বাস্তব মান c — 1/4, –3/4, –5/4 এবং –7/4 — একটি নির্দিষ্ট, ভালভাবে বোঝা যায় এমন একটি অনুক্রম তৈরি করে যাকে প্যারাবোলিক চক্র বলা হয়।

গ্যালোস কনজুগেটস "এনট্রপি ব্যাগেল" নামে একটি রহস্যময় বস্তুর আবিষ্কারের পথও প্রশস্ত করেছিল, যা জটিল সমতলে একটি উজ্জ্বল ফ্র্যাক্টাল রিং। এনট্রপি হল এলোমেলোতার একটি পরিমাপ; এই প্রেক্ষাপটে, এটি পরিমাপ করে যে পুনরাবৃত্তির দ্বারা উত্পন্ন সংখ্যার ক্রম অনুমান করা কতটা কঠিন x² + c। মধ্যে তার লেখা শেষ কাগজ 2012 সালে তিনি মারা যাওয়ার আগে, বিখ্যাত টপোলজিস্ট উইলিয়াম থার্স্টন প্রায় এক বিলিয়ন ভিন্ন বাস্তব মানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এনট্রপি মানগুলির সেট তৈরি করেছিলেন। c — একত্রে সেই এনট্রপি মানগুলির গ্যালোস কনজুগেটগুলির সাথে, যা জটিল হতে পারে। এনট্রপির ধারণাটি "শুধুমাত্র বাস্তব লাইনে রয়েছে, তবে আপনি এখনও জটিল বিশ্বের এই ছায়া দেখতে পারেন," টিওজো বলেছিলেন।

"আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এটি নিজেকে এই অবিশ্বাস্য লেসি ফ্র্যাক্টাল কাঠামোতে সংগঠিত করছে," কোচ বলেছিলেন। "এটা খুবই ভালো." এনট্রপি ব্যাগেল হল একটি অত্যন্ত জটিল প্যাটার্ন যা বাস্তব দ্বিঘাত সমীকরণের পুনরাবৃত্তি থেকে উদ্ভূত হয়। "আমরা এখনও এই সমস্ত জাদুকরী বিবৃতি শিখছি - ছোট রত্ন - বাস্তব দ্বিঘাত বহুপদী সম্পর্কে," তিনি যোগ করেছেন। "আপনি সর্বদা ফিরে যেতে পারেন এবং এই জিনিসটি দেখে অবাক হতে পারেন যে আপনি ভেবেছিলেন আপনি খুব ভাল জানেন।"