আইজ্যাক নিউটন তার আত্মার উদারতার জন্য পরিচিত ছিলেন না এবং তার প্রতিদ্বন্দ্বীদের প্রতি তার ঘৃণা ছিল কিংবদন্তি। কিন্তু তার প্রতিদ্বন্দ্বী গটফ্রিড লাইবনিজকে একটি চিঠিতে, যা এখন দ্য নামে পরিচিত এপিস্টোলা পোস্টেরিয়র, নিউটন নস্টালজিক এবং প্রায় বন্ধুত্বপূর্ণ হিসাবে বন্ধ আসে. এটিতে, তিনি তার ছাত্রজীবনের একটি গল্প বলেছেন, যখন তিনি সবেমাত্র গণিত শিখতে শুরু করেছিলেন। তিনি বর্ণনা করেছেন যে কীভাবে তিনি অনুমান এবং পরীক্ষা করার একটি প্রক্রিয়ার মাধ্যমে অসীম যোগফলের সাথে বক্ররেখার নীচে অঞ্চলগুলিকে সমান করে একটি বড় আবিষ্কার করেছিলেন। চিঠিতে তার যুক্তি এত কমনীয় এবং অ্যাক্সেসযোগ্য, এটি আমাকে প্যাটার্ন-অনুমান করার গেমগুলির কথা মনে করিয়ে দেয় ছোট বাচ্চারা খেলতে পছন্দ করে।
এটি সব শুরু হয়েছিল যখন তরুণ নিউটন জন ওয়ালিস পড়েছিলেন অ্যারিথমেটিকা ইনফিনিটোরাম, 17 শতকের গণিতের একটি মূল কাজ। ওয়ালিস পাই এর মান নির্ধারণের একটি অভিনব এবং প্রবর্তক পদ্ধতি অন্তর্ভুক্ত করেছিলেন এবং নিউটন অনুরূপ কিছু তৈরি করতে চেয়েছিলেন। তিনি সামঞ্জস্যযোগ্য প্রস্থের একটি "বৃত্তাকার অংশ" এর ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার সমস্যা দিয়ে শুরু করেছিলেন $latex x$. এটি হল একক বৃত্তের অধীন অঞ্চল, যা $latex y=sqrt{1-x^2}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত, যা অনুভূমিক অক্ষের 0 থেকে অংশের উপরে অবস্থিত $latex x$। এখানে $latex x$ 0 থেকে 1 পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যা হতে পারে এবং 1 হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ। একটি একক বৃত্তের ক্ষেত্রফল হল পাই, নিউটন ভালো করেই জানতেন, তাই কখন $latex x=1$, বক্ররেখার নিচের এলাকা হল একক বৃত্তের এক চতুর্থাংশ, $latexfrac{π}{4}$। কিন্তু অন্যান্য মান জন্য $latex x$, কিছুই জানা ছিল না।
নিউটন যদি প্রতিটি সম্ভাব্য মানের জন্য বক্ররেখার নীচে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার উপায় খুঁজে পেতেন $latex x$, এটি তাকে পাই আনুমানিক করার একটি অভূতপূর্ব উপায় দিতে পারে। এটি ছিল মূলত তার মহাপরিকল্পনা। কিন্তু পথ ধরে তিনি আরও ভালো কিছু খুঁজে পেলেন: জটিল বক্ররেখা প্রতিস্থাপনের জন্য একটি পদ্ধতি যার ক্ষমতা দিয়ে তৈরি অসীম পরিমাণ সরল বিল্ডিং ব্লক। $latex x$.
নিউটনের প্রথম পদক্ষেপ ছিল সাদৃশ্য দ্বারা যুক্তি। বৃত্তাকার অংশের ক্ষেত্রফলের জন্য সরাসরি লক্ষ্য করার পরিবর্তে, তিনি নিম্নলিখিত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ অনুরূপ অংশগুলির ক্ষেত্রগুলি অনুসন্ধান করেছিলেন:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
নিউটন জানতেন যে তালিকার বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রগুলি পূর্ণ-সংখ্যার শক্তি সহ (যেমন $latex frac{0}{2}=0$ এবং $latex frac{2}{2} = 1$) গণনা করা সহজ হবে, কারণ তারা বীজগণিতিকভাবে সরলীকরণ করে। উদাহরণ স্বরূপ,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
একইভাবে,
কিন্তু বৃত্তের সমীকরণের জন্য এরকম কোনো সরলীকরণ উপলব্ধ নেই — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— বা অর্ধেক শক্তি সহ অন্যান্য বক্ররেখা। তখন কেউ জানত না তাদের কারো অধীনে এলাকা কিভাবে খুঁজে পাওয়া যায়।
সৌভাগ্যবশত, পূর্ণ-সংখ্যার শক্তি সহ বক্ররেখার নীচের অঞ্চলগুলি সোজা ছিল। বক্ররেখা নিন $latex y_4=1-2x^2+x^4$। এই ধরনের ফাংশনগুলির জন্য সেই সময়ে একটি সুপরিচিত নিয়ম নিউটনকে (এবং অন্য যে কেউ) দ্রুত এলাকা খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়: যেকোনো পূর্ণ-সংখ্যার শক্তি $latex nge 0$ এর জন্য, বক্ররেখার নিচের এলাকা $latex y=x^n$ ওভার থেকে ব্যবধান $latex 0$ থেকে $latex x$ $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$ দ্বারা দেওয়া হয়। (ওয়ালিস তার ইন্ডাকটিভ পদ্ধতির মাধ্যমে এই নিয়মটি অনুমান করেছিলেন, এবং পিয়েরে দে ফার্মাট এটি চূড়ান্তভাবে প্রমাণ করেছিলেন।) এই নিয়মের সাথে সজ্জিত, নিউটন জানতেন যে $latex y_4$ বক্ররেখার নিচের এলাকাটি $latex x- frac{2x^3}{3 } + ফ্র্যাক{x^5}{5}$।
একই নিয়ম তাকে উপরের তালিকায় পূর্ণ-সংখ্যার ক্ষমতা সহ অন্যান্য বক্ররেখার নীচে এলাকা খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়। বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফলের জন্য $latex A_n$ লিখি $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, যেখানে $latex n= 0, 1, 2, …$। নিয়ম প্রয়োগ করলে ফল পাওয়া যায়
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
এবং তাই নিউটনের ধূর্ত ধারণা ছিল শূন্যস্থান পূরণ করা, অন্য সিরিজে তিনি যা দেখতে পান তার উপর ভিত্তি করে $latexA_1$ (বৃত্তাকার অংশের অজানা এলাকার জন্য সিরিজ) অনুমান করার আশায়। একটি জিনিস অবিলম্বে পরিষ্কার ছিল: প্রতিটি $latexA_n$ কেবল $latex x$ দিয়ে শুরু হয়েছিল। এটি এই মত সূত্র সংশোধন করার পরামর্শ দিয়েছে:
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$।
তারপর, প্রশ্ন চিহ্নের পরবর্তী ব্যাচ প্রতিস্থাপন করতে, নিউটন $latex x^3$ শর্তাবলীর দিকে তাকালেন। সামান্য লাইসেন্সের মাধ্যমে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এমনকি $latexA_0$-এও এই কিউবিক পদগুলির একটি ছিল, যেহেতু আমরা এটিকে $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$ হিসাবে পুনরায় লিখতে পারি। নিউটন যেমন লাইবনিজকে ব্যাখ্যা করেছিলেন, তিনি লক্ষ্য করেছিলেন যে "দ্বিতীয় পদ $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac" 3}{3}x^3$ ইত্যাদি, গাণিতিক অগ্রগতিতে ছিল" (তিনি অংকের মধ্যে 0, 1, 2, 3 উল্লেখ করছিলেন)। এই গাণিতিক অগ্রগতিটি ফাঁকের মধ্যেও প্রসারিত হতে পারে বলে সন্দেহ করে, নিউটন অনুমান করেছিলেন যে জ্ঞাত এবং অজানা সংখ্যার সমগ্র ক্রমটি $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2} দ্বারা পৃথক করা সংখ্যা হওয়া উচিত }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ “এবং এই সিরিজের প্রথম দুটি পদ”-এ তিনি আগ্রহী ছিলেন — এখনও অজানা $latex A_1$ , $latex A_3$ এবং $latex A_5$ — “$latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac) হওয়া উচিত {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, ইত্যাদি।"
এইভাবে, এই পর্যায়ে প্যাটার্নগুলি নিউটনকে পরামর্শ দিয়েছে যে $latex A_1$ হিসাবে শুরু করা উচিত
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$।
এটি একটি ভাল শুরু ছিল, কিন্তু তার আরও প্রয়োজন ছিল। যখন তিনি অন্যান্য নিদর্শন খুঁজছিলেন, নিউটন লক্ষ্য করলেন যে সমীকরণের হরগুলি সর্বদা ক্রমবর্ধমান ক্রমে বিজোড় সংখ্যা ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, $latex A_6$ দেখুন, যার হরগুলিতে 1, 3, 5 এবং 7 রয়েছে। একই প্যাটার্ন $latex A_4$ এবং $latex A_2$ এর জন্য কাজ করেছে। যথেষ্ট সহজ. এই প্যাটার্নটি দৃশ্যত সমস্ত সমীকরণের সমস্ত হরগুলিতে বজায় ছিল।
যা অবশিষ্ট ছিল তা হল সংখ্যায় একটি প্যাটার্ন খুঁজে বের করা। নিউটন আবার $latex A_2$, $latex A_4$ এবং $latex A_6$ পরীক্ষা করে কিছু দেখতে পেলেন। $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$-এ তিনি $latex x$ কে একটি 1 গুন করতে দেখেছেন এবং $latexfrac {1}{1}x^3$ (তিনি এটিকে উপেক্ষা করেছেন আপাতত নেতিবাচক চিহ্ন)। $latex A_3 = x-frac{4}{2}x^3 + frac{3}{1}x^5$ এ, তিনি 5, 1, 2 এর সংখ্যা দেখেছিলেন। এবং $latex A_1=x-frac{ 6}{3}x^3 + frac{3}{3}x^5 -frac{5}{1}x^7$ , তিনি 7, 1, 3, 3 সংখ্যা দেখেছেন। এই সংখ্যাগুলি যে কারও পরিচিত হওয়া উচিত যিনি কখনও প্যাসকেলের ত্রিভুজ অধ্যয়ন করেছেন, সংখ্যাগুলির একটি ত্রিভুজাকার বিন্যাস যা, তার সবচেয়ে সহজে, উপরে 1 দিয়ে শুরু করে, উপরের সংখ্যাগুলিকে একত্রিত করে তৈরি করা হয়।
প্যাসকেলকে আহ্বান করার পরিবর্তে, নিউটন এই সংখ্যাগুলিকে "11 নম্বরের ক্ষমতা" হিসাবে উল্লেখ করেছেন। উদাহরণস্বরূপ, 112 = 121, যা ত্রিভুজের দ্বিতীয় সারি, এবং 113 = 1331, যা তৃতীয়। আজকাল এই সংখ্যাগুলিকে দ্বিপদ সহগও বলা হয়। এগুলি দেখা দেয় যখন আপনি ($latex a +b$) এর মত দ্বিপদীর ক্ষমতা প্রসারিত করেন, যেমন $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$। এই প্যাটার্নটি হাতে নিয়ে, নিউটনের কাছে এখন $latex A_2, A_4, A_6$ এবং অন্যান্য সমস্ত সমান-সংখ্যার লেখার সহজ উপায় ছিল Aএস
এর পরে, তার ফলাফলগুলিকে অর্ধ-শক্তি এবং বিজোড়-সংখ্যার সাবস্ক্রিপ্টগুলিতে (এবং অবশেষে তিনি যে সিরিজটি চেয়েছিলেন, $latex A_1$) তে পৌঁছানোর জন্য, নিউটনকে প্যাসকেলের ত্রিভুজটিকে একটি দুর্দান্ত নতুন ব্যবস্থায় প্রসারিত করতে হয়েছিল: সারিগুলির মধ্যে অর্ধেক পথ। এক্সট্রাপোলেশন সঞ্চালনের জন্য, তিনি প্যাসকেলের ত্রিভুজের যেকোন প্রদত্ত সারিতে দ্বিপদী সহগগুলির জন্য একটি সাধারণ সূত্র তৈরি করেছিলেন — সারি $latex m$ — এবং তারপর সাহসের সাথে $latex m= frac{1}{2}$ এ প্লাগ ইন করেন। এবং আশ্চর্যজনকভাবে, এটি কাজ করেছে। এটি তাকে একটি ইউনিট সার্কেল, $latexA_1$ এর জন্য যে সিরিজের অংকগুলি দিয়েছিল।
এখানে, নিউটনের নিজের কথায়, লাইবনিজের কাছে তিনি যুক্তির এই পর্যায় পর্যন্ত যে নিদর্শনগুলো লক্ষ্য করেছেন তার সারসংক্ষেপ:
আমি প্রতিফলিত করতে শুরু করেছি যে হর 1, 3, 5, 7, ইত্যাদি গাণিতিক অগ্রগতিতে ছিল, যাতে শুধুমাত্র সংখ্যার সংখ্যাগত সহগগুলি এখনও তদন্তের প্রয়োজন ছিল। কিন্তু পর্যায়ক্রমে প্রদত্ত এলাকায়, এগুলি ছিল 11 নম্বরের ক্ষমতার পরিসংখ্যান … অর্থাৎ প্রথম '1'; তারপর '1, 1'; তৃতীয়ত, '1, 2, 1'; চতুর্থত '1, 3, 3, 1'; পঞ্চমত '1, 4, 6, 4, 1' ইত্যাদি এবং তাই আমি অনুসন্ধান করতে শুরু করলাম যে সিরিজের অবশিষ্ট পরিসংখ্যানগুলি প্রথম দুটি প্রদত্ত পরিসংখ্যান থেকে কীভাবে নেওয়া যেতে পারে, এবং আমি দেখতে পেলাম যে দ্বিতীয়টির জন্য $latex m$ বসিয়ে চিত্রে, বাকিগুলি এই সিরিজের পদগুলির ক্রমাগত গুণনের দ্বারা উত্পাদিত হবে,
$latex frac{m-0}{1} বার frac{m-1}{2} বার frac {m-2}{3} বার frac{m-3}{4} বার frac {m-4}{5 }$, ইত্যাদি
… তদনুসারে আমি সিরিজের মধ্যে সিরিজ ইন্টারপোজ করার জন্য এই নিয়মটি প্রয়োগ করেছি, এবং যেহেতু, বৃত্তের জন্য, দ্বিতীয় পদটি ছিল $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, আমি $latex রাখলাম m=frac{1}{2}$, এবং উদ্ভূত পদগুলি ছিল৷
$latex frac {1}{2} বার frac{frac{1}{2}-1}{2}$ বা $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} বার frac{frac{1}{2}-2}{3}$ বা $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} বার frac{frac{1}{2}-3}{4}$ বা $latex – frac {5}{128}$,তাই অনন্ত পর্যন্ত। কোথা থেকে আমি বুঝতে পেরেছি যে বৃত্তাকার অংশের ক্ষেত্র যা আমি চেয়েছিলাম
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
অবশেষে, $latex x=1$ প্লাগ ইন করে, নিউটন $latexfrac{π}{4}$ এর জন্য একটি অসীম যোগফল পেতে পারে। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার ছিল, কিন্তু এটি দেখা যাচ্ছে যে অসীম যোগফলের মাধ্যমে পাই আনুমানিক করার আরও ভাল উপায় রয়েছে, কারণ নিউটন নিজেই এই ধরণের অসীম রাশিগুলির মধ্যে এই প্রাথমিক অভিযানের পরে শীঘ্রই আবিষ্কার করেছিলেন, যাকে এখন পাওয়ার সিরিজ বলা হয়। অবশেষে তিনি পাই এর প্রথম 15টি সংখ্যা গণনা করলেন।
বৃত্তাকার অংশের সমস্যায় ফিরে এসে, নিউটন বুঝতে পেরেছিলেন যে বৃত্তের জন্য সমীকরণটি (শুধুমাত্র এটির নীচের ক্ষেত্রটি নয়) একটি পাওয়ার সিরিজ দ্বারাও প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। তাকে যা করতে হবে তা হল হরগুলি বাদ দেওয়া এবং উপরে প্রদর্শিত পাওয়ার সিরিজে $latex x$ এর ক্ষমতা 1 দ্বারা কমানো। এইভাবে তাকে অনুমান করতে পরিচালিত হয়েছিল
এই ফলাফলটি বোধগম্য কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, নিউটন নিজেই এটিকে গুণ করেছেন: "এটি $latex 1-x^2$ হয়ে গেছে, বাকি পদগুলি অসীম পর্যন্ত সিরিজের ধারাবাহিকতার দ্বারা অদৃশ্য হয়ে গেছে।"
বিশদ বিবরণ থেকে কিছুটা পিছিয়ে গেলে, আমরা এখানে সমস্যা সমাধান সম্পর্কে বেশ কয়েকটি পাঠ দেখতে পাচ্ছি। যদি একটি সমস্যা খুব কঠিন হয়, এটি পরিবর্তন করুন। যদি এটি খুব নির্দিষ্ট বলে মনে হয় তবে এটি সাধারণ করুন। নিউটন উভয়ই করেছেন এবং তিনি যা চেয়েছিলেন তার চেয়ে বেশি গুরুত্বপূর্ণ এবং আরও শক্তিশালী ফলাফল পেয়েছেন।
নিউটন একগুঁয়েভাবে বৃত্তের এক চতুর্থাংশ স্থির করেননি। তিনি আরও সাধারণ আকৃতির দিকে তাকালেন, $latex x$ প্রস্থের যেকোনো বৃত্তাকার অংশ। $latex x=1$ এ আটকে থাকার পরিবর্তে, তিনি $latex x$কে 0 থেকে 1 পর্যন্ত অবাধে চালানোর অনুমতি দিয়েছিলেন। এটি তার সিরিজের সহগগুলির দ্বিপদী চরিত্র প্রকাশ করেছিল - প্যাসকেলের ত্রিভুজে সংখ্যার অপ্রত্যাশিত উপস্থিতি এবং তাদের সাধারণীকরণ - যা নিউটনকে এমন নিদর্শন দেখতে দিন যা ওয়ালিস এবং অন্যরা মিস করেছিলেন। সেই নিদর্শনগুলি দেখে নিউটনকে পাওয়ার সিরিজের তত্ত্বটি আরও ব্যাপকভাবে এবং সাধারণভাবে বিকাশের জন্য প্রয়োজনীয় অন্তর্দৃষ্টি দিয়েছিলেন।
তার পরবর্তী কাজে, নিউটনের পাওয়ার সিরিজ তাকে ক্যালকুলাসের জন্য একটি সুইস আর্মি ছুরি দেয়। সেগুলির সাহায্যে, তিনি পূর্ণাঙ্গ করতে পারতেন, বীজগণিতীয় সমীকরণের মূল খুঁজে বের করতে পারতেন এবং সাইন, কোসাইন এবং লগারিদমের মান গণনা করতে পারতেন। তিনি যেমনটি লিখেছেন, "তাদের সাহায্যে, বিশ্লেষণ পৌঁছেছে, আমি প্রায় বলতে পারি, সমস্ত সমস্যায়।"
নৈতিকতা: সমস্যা পরিবর্তন করা প্রতারণা নয়। এটা সৃজনশীল. এবং এটি আরও বড় কিছুর চাবিকাঠি হতে পারে।
