'মনুমেন্টাল' গণিত প্রমাণ ট্রিপল বাবল সমস্যা এবং আরও অনেক কিছু সমাধান করে

যখন বুদ্বুদ ক্লাস্টারের আকৃতি বোঝার কথা আসে, তখন গণিতবিদরা সহস্রাব্দ ধরে আমাদের শারীরিক অন্তর্দৃষ্টিকে ধরে রেখে চলেছেন। প্রকৃতিতে সাবান বুদবুদ ক্লাস্টারগুলি প্রায়শই সর্বনিম্ন-শক্তির অবস্থায় স্ন্যাপ করে বলে মনে হয়, যা তাদের দেয়ালের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে (বুদবুদের মধ্যবর্তী দেয়াল সহ) ছোট করে। তবে সাবানের বুদবুদগুলি এই কাজটি সঠিকভাবে পাচ্ছে কিনা তা পরীক্ষা করা - বা বড় বুদবুদ ক্লাস্টারগুলি কেমন হওয়া উচিত তা অনুমান করা - জ্যামিতির অন্যতম কঠিন সমস্যা। 19 শতকের শেষ পর্যন্ত গণিতবিদদের সময় লেগেছিল প্রমাণ করতে যে গোলকটি সেরা একক বুদ্বুদ, যদিও গ্রীক গণিতবিদ জেনোডোরাস 2,000 বছরেরও বেশি আগে এটি দাবি করেছিলেন।

বুদ্বুদ সমস্যাটি বলার জন্য যথেষ্ট সহজ: আপনি ভলিউমের জন্য সংখ্যার একটি তালিকা দিয়ে শুরু করুন এবং তারপরে সর্বনিম্ন পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ব্যবহার করে বাতাসের সেই ভলিউমগুলিকে কীভাবে আলাদাভাবে আবদ্ধ করবেন তা জিজ্ঞাসা করুন। কিন্তু এই সমস্যা সমাধানের জন্য, গণিতবিদদের অবশ্যই বুদবুদের দেয়ালের জন্য বিভিন্ন সম্ভাব্য আকারের বিস্তৃত পরিসর বিবেচনা করতে হবে। এবং যদি অ্যাসাইনমেন্টটি পাঁচটি ভলিউমকে আবদ্ধ করা হয়, তাহলে পাঁচটি বুদবুদের ক্লাস্টারে আমাদের মনোযোগ সীমিত করার বিলাসিতাও আমাদের কাছে নেই - সম্ভবত পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে ছোট করার সর্বোত্তম উপায় হল একাধিক বুদবুদের মধ্যে একটি ভলিউমকে বিভক্ত করা।

এমনকি দ্বি-মাত্রিক সমতলের সহজ সেটিংয়ে (যেখানে আপনি ঘেরটি ছোট করার সময় এলাকাগুলির একটি সংগ্রহ ঘেরাও করার চেষ্টা করছেন), নয়টি বা 10টি এলাকাকে ঘেরাও করার সর্বোত্তম উপায় কেউ জানে না। বুদবুদের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে, "দ্রুত, আপনি সত্যিই কোনও যুক্তিযুক্ত অনুমান করতে পারবেন না," বলেছেন ইমানুয়েল মিলম্যান হাইফা, ইস্রায়েলের প্রযুক্তির।

কিন্তু দেড় শতাব্দীরও বেশি সময় আগে, জন সুলিভান, এখন বার্লিনের টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি, বুঝতে পেরেছে যে কিছু ক্ষেত্রে, একটি আছে পথনির্দেশক অনুমান to be had বুদ্বুদ সমস্যাগুলি যেকোন মাত্রার মধ্যেই বোঝা যায়, এবং সুলিভান খুঁজে পেয়েছেন যে যতক্ষণ পর্যন্ত আপনি যে পরিমাণ ভলিউমগুলিকে ঢেকে দেওয়ার চেষ্টা করছেন তা মাত্রার থেকে সর্বাধিক এক, ভলিউমগুলিকে আবদ্ধ করার একটি নির্দিষ্ট উপায় আছে যা একটি নির্দিষ্ট অর্থে, অন্য যেকোন থেকে বেশি সুন্দর - একটি গোলকের উপর পুরোপুরি প্রতিসম বুদ্বুদ ক্লাস্টারের এক ধরণের ছায়া। এই ছায়া ক্লাস্টার, তিনি অনুমান করেছিলেন, এমন একটি হওয়া উচিত যা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে ছোট করে।

পরবর্তী দশকে, গণিতবিদরা সুলিভানের অনুমান প্রমাণ করার জন্য একটি যুগান্তকারী কাগজপত্র লিখেছিলেন যখন আপনি শুধুমাত্র দুটি ভলিউম ঘেরাও করার চেষ্টা করছেন। এখানে, সমাধান হল একটি পরিচিত ডাবল বুদবুদ যা আপনি পার্কে একটি রৌদ্রোজ্জ্বল দিনে উড়িয়ে দিয়েছেন, দুটি গোলাকার টুকরো দিয়ে তৈরি যার মধ্যে একটি সমতল বা গোলাকার প্রাচীর রয়েছে (নির্ভর করে দুটি বুদবুদ একই বা ভিন্ন ভলিউম আছে কিনা)।

কিন্তু তিন খণ্ডের জন্য সুলিভানের অনুমান প্রমাণ করেছেন, গণিতবিদ ফ্র্যাঙ্ক মরগান উইলিয়ামস কলেজের জল্পিত 2007 সালে, "আরো একশ বছর সময় লাগতে পারে।"

এখন, গণিতবিদদের সেই দীর্ঘ অপেক্ষা থেকে রেহাই দেওয়া হয়েছে - এবং ট্রিপল বাবল সমস্যার সমাধানের চেয়ে অনেক বেশি কিছু অর্জন করেছেন। ক কাগজ মে, Milman এবং অনলাইন পোস্ট জো নিমান, ইউনিভার্সিটি অফ টেক্সাস, অস্টিনের, তিন এবং উপরে মাত্রায় ট্রিপল বুদবুদ এবং চার এবং উপরে মাত্রায় চারগুণ বুদবুদের জন্য সুলিভানের অনুমান প্রমাণ করেছে, পাঁচ এবং তার উপরে মাত্রার কুইন্টুপল বুদবুদের উপর একটি ফলো-আপ পেপার দিয়ে।

এবং যখন এটি ছয় বা ততোধিক বুদবুদের কথা আসে, মিলম্যান এবং নিমান দেখিয়েছেন যে সেরা ক্লাস্টারে সুলিভানের প্রার্থীর অনেকগুলি মূল বৈশিষ্ট্য থাকতে হবে, সম্ভাব্যভাবে গণিতবিদদের এই ক্ষেত্রেও অনুমান প্রমাণ করার পথে। "আমার ধারণা হল যে তারা সুলিভান অনুমানের পিছনে প্রয়োজনীয় কাঠামোটি উপলব্ধি করেছে," বলেছেন ফ্রান্সেসকো ম্যাগি টেক্সাস বিশ্ববিদ্যালয়ের, অস্টিনের।

মিলম্যান এবং নিম্যানের কেন্দ্রীয় উপপাদ্য হল "স্মৃতিমূলক," মরগান একটি ইমেলে লিখেছেন। "এটি অনেক নতুন ধারণার সাথে একটি উজ্জ্বল কৃতিত্ব।"

ছায়া বুদবুদ

সত্যিকারের সাবান বুদবুদগুলির সাথে আমাদের অভিজ্ঞতাগুলি সর্বোত্তম বুদবুদ ক্লাস্টারগুলি কেমন হওয়া উচিত সে সম্পর্কে লোভনীয় অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে, অন্তত যখন এটি ছোট ক্লাস্টারের ক্ষেত্রে আসে। আমরা সাবানের কাঠি দিয়ে যে ট্রিপল বা চতুর্গুণ বুদবুদ ফুঁকিয়ে দেই তাতে মনে হয় গোলাকার দেয়াল আছে (এবং মাঝে মাঝে সমতল) এবং বুদবুদের লম্বা চেইন না বলে আঁটসাঁট গুঁড়ি তৈরি করে।

তবে এটি প্রমাণ করা এত সহজ নয় যে এগুলি সত্যিই সর্বোত্তম বুদ্বুদ ক্লাস্টারগুলির বৈশিষ্ট্য। উদাহরণস্বরূপ, গণিতবিদরা জানেন না যে একটি মিনিমাইজিং বাবল ক্লাস্টারের দেয়ালগুলি সর্বদা গোলাকার বা সমতল হয় - তারা কেবল জানেন যে দেয়ালগুলির "ধ্রুবক গড় বক্রতা" থাকে, যার মানে গড় বক্রতা এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে একই থাকে। গোলক এবং সমতল পৃষ্ঠের এই বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে অন্যান্য অনেক পৃষ্ঠতল যেমন সিলিন্ডার এবং তরঙ্গায়িত আকারগুলিকে আনডুলয়েড বলে। স্থির গড় বক্রতা সহ পৃষ্ঠগুলি "একটি সম্পূর্ণ চিড়িয়াখানা," মিলম্যান বলেছিলেন।

কিন্তু 1990-এর দশকে, সুলিভান স্বীকার করেছিলেন যে যখন আপনি যে ভলিউমগুলিকে আবদ্ধ করতে চান তার মাত্রার চেয়ে একটি বেশি, সেখানে একটি প্রার্থী ক্লাস্টার রয়েছে যা বাকিদেরকে ছাড়িয়ে যায় - এমন একটি (এবং শুধুমাত্র একটি) ক্লাস্টার যার বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের প্রবণতা রয়েছে বাস্তব সাবান বুদবুদ ছোট ক্লাস্টার দেখতে.

এই ধরনের একজন প্রার্থীকে কীভাবে তৈরি করা হয়েছে তা বোঝার জন্য, আসুন সমতল সমতলে একটি ত্রি-বুদবুদ ক্লাস্টার তৈরি করতে সুলিভানের পদ্ধতি ব্যবহার করি (তাই আমাদের "বুদবুদ" ত্রিমাত্রিক বস্তুর পরিবর্তে সমতলের অঞ্চল হবে)। আমরা একটি গোলকের চারটি বিন্দু বেছে নিয়ে শুরু করি যা একে অপরের থেকে একই দূরত্বে। এখন কল্পনা করুন যে এই চারটি বিন্দুর প্রতিটি একটি ক্ষুদ্র বুদবুদের কেন্দ্র, শুধুমাত্র গোলকের পৃষ্ঠে বসবাস করে (যাতে প্রতিটি বুদবুদ একটি ছোট ডিস্ক)। চারটি বুদবুদকে গোলকের উপর স্ফীত করুন যতক্ষণ না তারা একে অপরের সাথে ধাক্কা খেতে শুরু করে এবং তারপরে তারা সম্মিলিতভাবে পুরো পৃষ্ঠটি পূরণ না করা পর্যন্ত স্ফীত করতে থাকুন। আমরা চারটি বুদবুদের একটি প্রতিসম ক্লাস্টারের সাথে শেষ করি যা গোলকটিকে একটি ফুলে যাওয়া টেট্রাহেড্রনের মতো দেখায়।

এর পরে, আমরা এই গোলকটিকে একটি অসীম সমতল সমতলের উপরে রাখি, যেন গোলকটি একটি অন্তহীন মেঝেতে বিশ্রামরত একটি বল। কল্পনা করুন যে বলটি স্বচ্ছ এবং উত্তর মেরুতে একটি লণ্ঠন আছে। চারটি বুদবুদের দেয়াল মেঝেতে ছায়া তৈরি করবে, সেখানে একটি বুদবুদ ক্লাস্টারের দেয়াল তৈরি করবে। গোলকের চারটি বুদবুদের মধ্যে তিনটি মেঝেতে ছায়ার বুদবুদের দিকে নামবে; চতুর্থ বুদবুদ (যেটিতে উত্তর মেরু রয়েছে) তিনটি ছায়া বুদবুদের ক্লাস্টারের বাইরে মেঝের অসীম বিস্তৃতি পর্যন্ত প্রজেক্ট করবে।

আমরা যে নির্দিষ্ট থ্রি-বাবল ক্লাস্টারটি পাই তা নির্ভর করে আমরা যখন গোলকটিকে মেঝেতে রাখি তখন আমরা কীভাবে অবস্থান করি তার উপর। যদি আমরা গোলকটি ঘোরান যাতে একটি ভিন্ন বিন্দু উত্তর মেরুতে লণ্ঠনের দিকে চলে যায়, আমরা সাধারণত একটি ভিন্ন ছায়া পাব এবং মেঝেতে থাকা তিনটি বুদবুদের বিভিন্ন এলাকা থাকবে। গণিতবিদদের আছে প্রতিপন্ন যে কোন তিনটি সংখ্যার জন্য আপনি ক্ষেত্রগুলির জন্য চয়ন করেন, মূলত গোলকটি স্থাপন করার জন্য একটি একক উপায় রয়েছে যাতে তিনটি ছায়া বুদবুদের সেই অঞ্চলগুলি সঠিকভাবে থাকবে।

আমরা যেকোনো মাত্রায় এই প্রক্রিয়াটি চালাতে স্বাধীন (যদিও উচ্চ-মাত্রিক ছায়াগুলি কল্পনা করা কঠিন)। কিন্তু আমাদের ছায়া ক্লাস্টারে কতগুলি বুদবুদ থাকতে পারে তার একটা সীমা আছে। উপরের উদাহরণে, আমরা প্লেনে একটি চার-বাবল ক্লাস্টার তৈরি করতে পারতাম না। এর জন্য গোলকের পাঁচটি বিন্দু দিয়ে শুরু করতে হবে যা একে অপরের থেকে একই দূরত্বে রয়েছে — তবে একটি গোলকের উপর এতগুলি সমদূরত্ব বিন্দু স্থাপন করা অসম্ভব (যদিও আপনি উচ্চ-মাত্রিক গোলকের সাথে এটি করতে পারেন)। সুলিভানের পদ্ধতি শুধুমাত্র দ্বি-মাত্রিক স্থানে তিনটি বুদবুদ, ত্রিমাত্রিক স্থানে চারটি বুদবুদ, চার-মাত্রিক স্থানে পাঁচটি বুদবুদ ইত্যাদির ক্লাস্টার তৈরি করতে কাজ করে। এই প্যারামিটার রেঞ্জের বাইরে, সুলিভান-স্টাইলের বুদবুদ ক্লাস্টারগুলি বিদ্যমান নেই।

কিন্তু এই পরামিতিগুলির মধ্যে, সুলিভানের পদ্ধতি আমাদের শারীরিক অন্তর্দৃষ্টি যা বুঝতে পারে তার চেয়ে অনেক বেশি সেটিংসে আমাদের বুদ্বুদ ক্লাস্টার দেয়। "[15-মাত্রিক স্থান] 23-বুদবুদ কী তা কল্পনা করা অসম্ভব," ম্যাগি বলেছিলেন। "আপনি কীভাবে এমন একটি বস্তুর বর্ণনা করার স্বপ্ন দেখেন?"

তবুও সুলিভানের বুদবুদ প্রার্থীরা তাদের গোলাকার পূর্বপুরুষদের কাছ থেকে উত্তরাধিকার সূত্রে প্রাপ্ত বৈশিষ্ট্যের একটি অনন্য সংগ্রহ যা আমরা প্রকৃতিতে দেখতে পাই সেই বুদবুদের স্মরণ করিয়ে দেয়। তাদের দেয়ালগুলি গোলাকার বা সমতল, এবং যেখানেই তিনটি দেয়াল মিলিত হয়, তারা 120-ডিগ্রি কোণ তৈরি করে, যেমন একটি প্রতিসম Y আকারে। আপনি যে ভলিউমগুলিকে আবদ্ধ করার চেষ্টা করছেন তার প্রতিটি একাধিক অঞ্চলে বিভক্ত হওয়ার পরিবর্তে একটি একক অঞ্চলে রয়েছে। এবং প্রতিটি বুদবুদ একে অপরকে (এবং বাহ্যিক) স্পর্শ করে, একটি টাইট ক্লাস্টার গঠন করে। গণিতবিদরা দেখিয়েছেন যে সুলিভানের বুদবুদগুলিই একমাত্র ক্লাস্টার যা এই সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে।

যখন সুলিভান অনুমান করেছিলেন যে এগুলি এমন ক্লাস্টার হওয়া উচিত যা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে ছোট করে, তখন তিনি মূলত বলছিলেন, "আসুন আমরা সৌন্দর্য ধরে নিই," ম্যাগি বলেছিলেন।

কিন্তু বুদ্বুদ গবেষকদের এই ধারণা থেকে সতর্ক হওয়ার ভালো কারণ রয়েছে যে প্রস্তাবিত সমাধান সুন্দর হওয়ার কারণে এটি সঠিক। "এখানে খুব বিখ্যাত সমস্যা আছে … যেখানে আপনি মিনিমাইজারদের জন্য প্রতিসাম্য আশা করবেন, এবং প্রতিসাম্য দর্শনীয়ভাবে ব্যর্থ হবে," ম্যাগি বলেন।

উদাহরণস্বরূপ, সমান-আয়তনের বুদবুদ দিয়ে অসীম স্থান পূরণ করার একটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত সমস্যা রয়েছে যা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে ছোট করে। 1887 সালে, ব্রিটিশ গণিতবিদ এবং পদার্থবিদ লর্ড কেলভিন পরামর্শ দিয়েছিলেন যে সমাধানটি একটি মার্জিত মৌচাকের মতো কাঠামো হতে পারে। এক শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে, অনেক গণিতবিদ বিশ্বাস করেছিলেন যে এটিই সম্ভাব্য উত্তর - 1993 সাল পর্যন্ত, যখন একজোড়া পদার্থবিদ একটি ভাল চিহ্নিত, যদিও কম প্রতিসম, বিকল্প। "গণিত পূর্ণ ... উদাহরণ যেখানে এই ধরনের অদ্ভুত জিনিস ঘটে," ম্যাগি বলেন।

একটি অন্ধকার শিল্প

1995 সালে যখন সুলিভান তার অনুমান ঘোষণা করেছিলেন, তখন এর দ্বিগুণ-বুদবুদ অংশটি ইতিমধ্যে এক শতাব্দী ধরে ভাসছিল। গণিতবিদরা সমাধান করেছিলেন 2D ডাবল-বাবল সমস্যা দুই বছর আগে, এবং পরবর্তী দশকে, তারা এটি সমাধান করেছিল ত্রিমাত্রিক স্থান এবং তারপর ভিতরে ঊর্ধ্বতন মাত্রা. কিন্তু যখন এটি সুলিভানের অনুমানের পরবর্তী ক্ষেত্রে আসে - ট্রিপল বুদবুদ - তারা পারে অনুমান প্রমাণ করুন শুধুমাত্র দ্বি-মাত্রিক সমতলে, যেখানে বুদবুদের মধ্যে ইন্টারফেসগুলি বিশেষভাবে সহজ।

তারপরে 2018 সালে, মিলম্যান এবং নিমান গাউসিয়ান বুদবুদ সমস্যা হিসাবে পরিচিত একটি সেটিংয়ে সুলিভানের অনুমানের একটি অনুরূপ সংস্করণ প্রমাণ করেছিলেন। এই সেটিংয়ে, আপনি মহাকাশের প্রতিটি বিন্দুকে একটি আর্থিক মূল্য হিসাবে ভাবতে পারেন: উত্সটি সবচেয়ে ব্যয়বহুল স্থান, এবং আপনি উত্স থেকে যত দূরে যাবেন, সস্তা জমি হয়ে যাবে, একটি বেল বক্ররেখা তৈরি করবে৷ লক্ষ্য হল পূর্বনির্বাচিত মূল্যের সাথে ঘের তৈরি করা (পূর্বনির্বাচিত ভলিউমের পরিবর্তে), এমনভাবে ঘেরের সীমানার খরচ কমিয়ে দেয় (সীমানার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তে)। এই গাউসিয়ান বুদবুদ সমস্যাটির জন্য কম্পিউটার বিজ্ঞানে রাউন্ডিং স্কিম এবং শব্দ সংবেদনশীলতার প্রশ্ন রয়েছে।

মিলমান এবং নিমান তাদের জমা দিয়েছেন প্রমাণ থেকে গণিতের ইতিহাস, তর্কযোগ্যভাবে গণিতের সবচেয়ে মর্যাদাপূর্ণ জার্নাল (যেখানে এটি পরে গৃহীত হয়েছিল)। কিন্তু এই জুটির কোনো দিন ডাকার ইচ্ছে ছিল না। তাদের পদ্ধতিগুলি ক্লাসিক বুদ্বুদ সমস্যার জন্যও আশাব্যঞ্জক বলে মনে হয়েছিল।

তারা বেশ কয়েক বছর ধরে ধারনাকে সামনে পিছনে ফেলেছে। "আমাদের কাছে নোটের 200 পৃষ্ঠার নথি ছিল," মিলম্যান বলেছিলেন। প্রথমে, মনে হয়েছিল যেন তারা উন্নতি করছে। "কিন্তু তারপর দ্রুত এটি পরিণত হয়, 'আমরা এই দিকটি চেষ্টা করেছি - না। আমরা [সেই] দিকটি চেষ্টা করেছি — না।’’” তাদের বাজি হেজ করার জন্য, উভয় গণিতবিদ অন্যান্য প্রকল্পগুলিও অনুসরণ করেছিলেন।

তারপর শেষ পতনে, মিলম্যান বিশ্রামের জন্য আসেন এবং নিমানে যাওয়ার সিদ্ধান্ত নেন যাতে এই জুটি বুদ্বুদ সমস্যার উপর মনোযোগী ধাক্কা দিতে পারে। "বিশ্রামের সময় উচ্চ-ঝুঁকিপূর্ণ, উচ্চ-লাভের ধরণের জিনিসগুলি চেষ্টা করার জন্য এটি একটি ভাল সময়," মিলম্যান বলেছিলেন।

প্রথম কয়েক মাস তারা কোথাও পায়নি। অবশেষে, তারা সুলিভানের সম্পূর্ণ অনুমানের চেয়ে কিছুটা সহজ কাজ দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছে। আপনি যদি আপনার বুদবুদগুলিকে শ্বাস-প্রশ্বাসের ঘরের একটি অতিরিক্ত মাত্রা দেন তবে আপনি একটি বোনাস পাবেন: সেরা বুদবুদ ক্লাস্টারের একটি কেন্দ্রীয় সমতল জুড়ে আয়না প্রতিসাম্য থাকবে।

সুলিভানের অনুমান হল দুই এবং উপরের মাত্রায় ট্রিপল বুদবুদ, তিন এবং উপরের মাত্রায় চারগুণ বুদবুদ ইত্যাদি। বোনাস প্রতিসাম্য পাওয়ার জন্য, মিলম্যান এবং নিমান তাদের মনোযোগ সীমাবদ্ধ রেখেছেন তিন এবং তার উপরে মাত্রার ট্রিপল বুদবুদ, চার এবং উপরের মাত্রার চারগুণ বুদবুদ ইত্যাদিতে। "এটি সত্যিই তখনই যখন আমরা প্যারামিটারের সম্পূর্ণ পরিসরের জন্য এটি পাওয়ার ছেড়ে দিয়েছিলাম যে আমরা সত্যিই অগ্রগতি করেছি," নিম্যান বলেছিলেন।

এই মিরর প্রতিসাম্যতা তাদের নিষ্পত্তিতে, মিলম্যান এবং নিমান একটি বিভ্রান্তিকর যুক্তি নিয়ে এসেছিলেন যার মধ্যে রয়েছে আয়নার উপরে থাকা বুদ্বুদ ক্লাস্টারের অর্ধেকটি সামান্য স্ফীত করা এবং এর নীচে থাকা অর্ধেকটি ডিফ্ল্যাটিং। এই বিশৃঙ্খলা বুদবুদের আয়তন পরিবর্তন করবে না, তবে এটি তাদের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল পরিবর্তন করতে পারে। মিলম্যান এবং নিম্যান দেখিয়েছেন যে যদি সর্বোত্তম বুদ্বুদ ক্লাস্টারের এমন কোনো দেয়াল থাকে যা গোলাকার বা সমতল নয়, তাহলে এই বিশৃঙ্খলা বেছে নেওয়ার একটি উপায় থাকবে যাতে এটি ক্লাস্টারের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে কমিয়ে দেয় - একটি দ্বন্দ্ব, যেহেতু সর্বোত্তম ক্লাস্টারের ইতিমধ্যেই সর্বনিম্ন পৃষ্ঠ রয়েছে। এলাকা সম্ভব।

বুদবুদ অধ্যয়ন করার জন্য বিভ্রান্তি ব্যবহার করা একটি নতুন ধারণা থেকে অনেক দূরে, তবে বুদবুদ ক্লাস্টারের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলি কোন বিশৃঙ্খলতা সনাক্ত করবে তা খুঁজে বের করা "একটু অন্ধকার শিল্প," নিম্যান বলেছিলেন।

পশ্চাৎদৃষ্টির সাথে, "একবার আপনি [মিলম্যান এবং নিম্যানের বিভ্রান্তি] দেখতে পেলে, তারা বেশ স্বাভাবিক দেখায়," বলেন জোয়েল হাস ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের, ডেভিস।

কিন্তু বিশৃঙ্খলতাকে স্বাভাবিক হিসেবে স্বীকৃতি দেওয়া তাদের সাথে প্রথম স্থানে আসার চেয়ে অনেক সহজ, ম্যাগি বলেন। "এটি এমন কিছু নয় যা আপনি বলতে পারেন, 'অবশেষে লোকেরা এটি খুঁজে পেত,'" তিনি বলেছিলেন। "এটি সত্যিই একটি অসাধারণ স্তরে প্রতিভাবান।"

মিলম্যান এবং নিমান তাদের বিরক্তি ব্যবহার করে দেখাতে পেরেছিলেন যে সর্বোত্তম বুদবুদ ক্লাস্টারকে অবশ্যই সুলিভানের ক্লাস্টারের সমস্ত মূল বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করতে হবে, সম্ভবত একটি ছাড়া: এই শর্ত যে প্রতিটি বুদবুদ অবশ্যই একে অপরকে স্পর্শ করবে। এই শেষ প্রয়োজনীয়তা মিলম্যান এবং নিমানকে বাধ্য করেছিল যে সমস্ত উপায়ে বুদবুদগুলি একটি ক্লাস্টারে সংযুক্ত হতে পারে তার সাথে লড়াই করতে। যখন এটি মাত্র তিন বা চারটি বুদবুদের কথা আসে, তখন বিবেচনা করার মতো অনেকগুলি সম্ভাবনা নেই। কিন্তু আপনি বুদবুদের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে বিভিন্ন সম্ভাব্য সংযোগ প্যাটার্নের সংখ্যা বাড়তে থাকে, এমনকি দ্রুতগতিতেও।

মিলম্যান এবং নিমান প্রথমে আশা করেছিলেন যে এই সমস্ত কেসগুলিকে কভার করবে এমন একটি অত্যধিক নীতি খুঁজে পাবে। কিন্তু কয়েক মাস "আমাদের মাথা ভেঙ্গে" কাটানোর পরে, মিলম্যান বলেন, তারা আপাতত আরও অ্যাডহক পদ্ধতির সাথে নিজেদের সন্তুষ্ট করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে যা তাদের তিনগুণ এবং চারগুণ বুদবুদ পরিচালনা করতে দেয়। তারা একটি অপ্রকাশিত প্রমাণও ঘোষণা করেছে যে সুলিভানের কুইন্টুপল বুদবুদটি সর্বোত্তম, যদিও তারা এখনও প্রতিষ্ঠিত করেনি যে এটি একমাত্র সর্বোত্তম ক্লাস্টার।

মিলম্যান এবং নিম্যানের কাজ হল "আগের পদ্ধতির এক্সটেনশনের পরিবর্তে সম্পূর্ণ নতুন পদ্ধতি," মরগান একটি ইমেলে লিখেছেন। সম্ভবত, ম্যাগি ভবিষ্যদ্বাণী করেছিলেন যে এই পদ্ধতিটি আরও এগিয়ে যেতে পারে - সম্ভবত পাঁচটিরও বেশি বুদবুদের ক্লাস্টারে বা সুলিভানের অনুমানের ক্ষেত্রে যেখানে আয়নার প্রতিসাম্য নেই।

কেউ সহজে আরও অগ্রগতি আশা করে না; কিন্তু এটি মিলম্যান এবং নিমানকে কখনোই নিরুৎসাহিত করেনি। "আমার অভিজ্ঞতা থেকে," মিলম্যান বলেছিলেন, "আমি যে সমস্ত প্রধান জিনিসগুলি করতে পেরে সৌভাগ্যবান ছিলাম তার জন্য কেবল হাল ছেড়ে দেওয়া দরকার ছিল না।"