ভূমিকা
2,000 বছরেরও বেশি আগে, গ্রীক গণিতবিদ ইরাটোসথেনিস মৌলিক সংখ্যাগুলি খুঁজে বের করার জন্য একটি পদ্ধতি নিয়ে এসেছিলেন যা আজও গণিতের মাধ্যমে প্রতিধ্বনিত হচ্ছে। তার ধারণা ছিল প্রাইম নয় এমন সংখ্যাগুলিকে ধীরে ধীরে "চালিয়ে" দিয়ে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু পর্যন্ত সমস্ত প্রাইম চিহ্নিত করা। তার চালনীটি 2 এর সমস্ত গুণিতক (নিজেই 2 ব্যতীত) ক্রস করে শুরু হয়, তারপর 3 এর গুণিতকগুলি (নিজেই 3 ব্যতীত)। পরবর্তী সংখ্যা, 4, ইতিমধ্যেই ক্রস আউট হয়ে গেছে, তাই পরবর্তী ধাপ হল 5 এর গুণিতক ক্রস আউট করা, ইত্যাদি। টিকে থাকা একমাত্র সংখ্যাগুলি হল মৌলিক - যে সংখ্যাগুলির একমাত্র ভাজক হল 1 এবং নিজেদের।
ইরাটোসথেনিস প্রাইমগুলির সম্পূর্ণ সেটের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করেছিলেন, তবে আপনি সমস্ত ধরণের বিশেষ বৈশিষ্ট্য সহ প্রাইমগুলি সন্ধান করতে তার চালুনির বিভিন্নতা ব্যবহার করতে পারেন। 2 এবং 11 বা 13 এবং 599 এর মত মাত্র 601 ব্যবধানে থাকা "টুইন প্রাইম" খুঁজে পেতে চান? এর জন্য একটি চালুনি আছে। 1 বা 17 এর মত একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্রের চেয়ে 257 বড় প্রাইমগুলি খুঁজে পেতে চান? এটার জন্যও একটা চালুনি আছে।
আধুনিক চালনীগুলি ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য থেকে এখনও অপ্রমাণিত যমজ প্রাইম অনুমান পর্যন্ত সমস্যাগুলির উপর সংখ্যা তত্ত্বের অনেক বড় অগ্রগতি ঘটিয়েছে, যা বলে যে যমজ প্রাইমগুলির অসীম অনেক জোড়া রয়েছে। 1965 সালে হাঙ্গেরিয়ান গণিতবিদ পল এরডস লিখেছিলেন চালনি পদ্ধতি, "সম্ভবত সংখ্যা তত্ত্বে আমাদের সবচেয়ে শক্তিশালী প্রাথমিক হাতিয়ার।"
তবুও সংখ্যারেখা বরাবর প্রাইমগুলি কীভাবে বিতরণ করা হয় সে সম্পর্কে গণিতবিদদের সীমিত বোঝার দ্বারা এই শক্তি সীমাবদ্ধ। 100 এর মত কিছু ছোট সংখ্যা পর্যন্ত একটি চালনী চালানো সহজ। কিন্তু গণিতবিদরা সংখ্যা বড় হলে চালনীর আচরণ বুঝতে চান। তারা সমস্ত সংখ্যার তালিকা করার আশা করতে পারে না যা কিছু অত্যন্ত বড় স্টপিং পয়েন্ট পর্যন্ত চালনীতে বেঁচে থাকে। সুতরাং পরিবর্তে, তারা সেই তালিকায় কতগুলি সংখ্যা রয়েছে তা অনুমান করার চেষ্টা করে।
ভূমিকা
Eratosthenes-এর চালনীর জন্য, এই অনুমান নির্ভর করে কত ঘন ঘন পূর্ণ সংখ্যাগুলি 2, বা 3, বা 5 দ্বারা বিভাজ্য, এবং তাই - তুলনামূলকভাবে সহজ তথ্য পাওয়া যায়। কিন্তু আরও জটিল চালনির জন্য, যেমন টুইন প্রাইমগুলির জন্য, গুরুত্বপূর্ণ তথ্যগুলি প্রায়শই অবশিষ্টাংশগুলিকে উদ্বেগ করে যেগুলি বিভিন্ন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে প্রাইমগুলি পিছনে চলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, 1 দ্বারা ভাগ করলে প্রাইমগুলি কত ঘন ঘন 3 এর অবশিষ্টাংশ ছেড়ে যায়? নাকি 8 দিয়ে ভাগ করলে 15-এর অবশিষ্টাংশ?
আপনি সংখ্যা রেখা বরাবর বেরিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে এই অবশিষ্টাংশগুলি পরিসংখ্যানগতভাবে অনুমানযোগ্য প্যাটার্নে স্থির হয়। 1896 সালে, বেলজিয়ান গণিতবিদ চার্লস-জিন দে লা ভ্যালি পাউসিন প্রমাণ করেছিলেন যে অবশিষ্টাংশগুলি ধীরে ধীরে সমান হয়ে যায় - উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি দুটি বালতির মধ্যে একটিতে প্রাইমগুলি ফেলে দেন তবে তাদের অবশিষ্টাংশ 1 বা 2 কিনা তার উপর নির্ভর করে যখন তারা 3 দ্বারা বিভক্ত হয়, দুটি বালতি শেষ পর্যন্ত প্রায় একই সংখ্যক প্রাইম ধরে রাখবে। কিন্তু চালনী পদ্ধতি থেকে পূর্ণ সম্ভাবনা আহরণ করার জন্য, গণিতবিদদের শুধুমাত্র বালতিগুলি শেষ পর্যন্ত এমনকি বের হওয়াই নয়, কত তাড়াতাড়ি তারা তা করতে পারে তা জানতে হবে।
সেটা চ্যালেঞ্জিং প্রমাণিত হয়েছে। 1960-এর দশকে এবং 1980-এর দশকে আরও একটি অগ্রগতির বিস্ফোরণের পর, নতুন উন্নয়নগুলি বেশিরভাগই বেরিয়ে আসে। 2013 সালে একটি উল্লেখযোগ্য ব্যতিক্রম ঘটেছে, যখন Yitang Zhang একটি প্রকাশ করেছে ল্যান্ডমার্ক প্রমাণ যে কিছু সসীম আবদ্ধ থেকে পরস্পরের কাছাকাছি অসীমভাবে অনেক জোড়া প্রাইম আছে। কিন্তু 80 এর দশকে বিকশিত কাজের মূল অংশটি মূলত তিন দশকেরও বেশি সময় ধরে কোনও অগ্রগতি দেখেনি।
এখন বিষয় একটি নবজাগরণ উপভোগ করছে, একটি দ্বারা sparked ক্রম of তিন কাগজপত্র অক্সফোর্ড গণিতবিদ দ্বারা লিখিত জেমস মেইনার্ড 2020 সালে (তিনি হওয়ার দুই বছর আগে ফিল্ডস মেডেল প্রদান করেন, গণিতের সর্বোচ্চ সম্মান)। মেনার্ড "বন্টনের স্তর" নামক একটি সংখ্যা বিশ্লেষণ করেছিলেন যা ক্যাপচার করে যে কত দ্রুত মৌলিক অবশিষ্টাংশগুলি সমানভাবে বালতিতে বিতরণ করা হয় (কখনও কখনও নির্দিষ্ট ধরণের চালনির ক্ষেত্রে)। অনেক সাধারণভাবে ব্যবহৃত চালনির জন্য, তিনি দেখিয়েছিলেন যে বিতরণের স্তরটি কমপক্ষে 0.6, যা 0.57 এর দশকের 1980 এর আগের রেকর্ডকে পরাজিত করে।
মেনার্ডের কাজ এবং ফলো-অন অধ্যয়ন এটিকে প্ররোচিত করেছে "বিশ্লেষণীয় সংখ্যা তত্ত্বে নতুন জীবন শ্বাস নিচ্ছে," বলেছেন জন ফ্রিডল্যান্ডার টরন্টো বিশ্ববিদ্যালয়ের, যারা 1980 এর দশকের উন্নয়নে একটি বড় ভূমিকা পালন করেছিল। "এটি একটি বাস্তব পুনরুজ্জীবন।"
ভূমিকা
গত কয়েক মাসে মেনার্ডের স্নাতক ছাত্রদের মধ্যে তিনজন আছে লিখিত কাগজপত্র মেনার্ড এবং ঝাং উভয়ের ফলাফল প্রসারিত করা; এই কাগজপত্র এক, দ্বারা জ্যারেড ডুকার লিচম্যান (এখন স্ট্যানফোর্ড ইউনিভার্সিটিতে একজন পোস্টডক্টরাল ফেলো), মেনার্ডের বিতরণের স্তরকে প্রায় 0.617 পর্যন্ত ঠেলে দিয়েছে। লিচম্যান তারপরে একটি নির্দিষ্ট স্টপিং পয়েন্ট পর্যন্ত যমজ প্রাইমগুলির সংখ্যার উপর উন্নত ঊর্ধ্ব সীমা গণনা করতে এবং "গোল্ডবাচ উপস্থাপনা" - দুটি প্রাইমের যোগফল হিসাবে জোড় সংখ্যার প্রতিনিধিত্বের সংখ্যা গণনা করতে সেই বৃদ্ধি ব্যবহার করেছিলেন।
"এই অল্পবয়সী লোকেরা এখন আসলেই আলোচিত বিষয় কী তা অনুসরণ করছে," বলেছেন৷ অ্যান্ড্রু গ্র্যানভিল মন্ট্রিল বিশ্ববিদ্যালয়ের।
সংখ্যা তত্ত্বের বাইরের লোকেদের কাছে 0.6 থেকে 0.617 পর্যন্ত বৃদ্ধি ছোট অ্যাকাউন্ট বলে মনে হতে পারে। কিন্তু চালনী তত্ত্বে, গ্রানভিল বলেছিলেন, "কখনও কখনও সেই সামান্য জয়গুলি বিধ্বংসী পরিণতি হতে পারে।"
সহ এবং বাদ
একটি চালনী কিছু স্টপিং পয়েন্ট পর্যন্ত কত সংখ্যা অপসারণ করে তা অনুমান করতে N, গণিতবিদরা অন্তর্ভুক্তি/বর্জন নামক কিছুর উপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতি ব্যবহার করেন। এটি কিভাবে কাজ করে তা দেখতে, Eratosthenes এর চালনি বিবেচনা করুন। এই চালনীটি 2 এর সমস্ত গুণকগুলিকে সরিয়ে দিয়ে শুরু হয় - এটি সংখ্যার প্রায় অর্ধেক N. এরপর চালুনিটি 3-এর সমস্ত গুণিতকগুলিকে সরিয়ে দেয় - পর্যন্ত সংখ্যার প্রায় 1/3 N. তাই আপনি ভাবতে পারেন যে এখন পর্যন্ত আপনি সংখ্যার প্রায় 1/2 + 1/3 মুছে ফেলেছেন N.
কিন্তু এটি একটি অতিরিক্ত গণনা, কারণ আপনার কাছে দ্বিগুণ গণনা করা সংখ্যা রয়েছে যা 2 এবং 3 উভয়ের গুণিতক (6-এর গুণিতক)। এগুলি পর্যন্ত সমস্ত সংখ্যার প্রায় 1/6 N, তাই তাদের দুবার গণনা করার জন্য সংশোধন করতে, আপনাকে 1/6 বিয়োগ করতে হবে, যা আপনি 1/2 + 1/3 − 1/6 তে সরিয়ে দিচ্ছেন তার জন্য চলমান মোট আনতে হবে।
এরপরে আপনি 5 এর গুণে যেতে পারেন — এটি গণনায় 1/5 যোগ করতে চলেছে, তবে আপনাকে 1/10 এবং 1/15 বিয়োগ করতে হবে 2 এবং 5 বা উভয় 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার অতিরিক্ত গণনার জন্য সংশোধন করতে। এবং 5. তারপরও আপনি পুরোপুরি সম্পন্ন করেননি — আপনি ভুলবশত 2, 3 এবং 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলির জন্য দুবার সংশোধন করেছেন, তাই এটি ঠিক করতে আপনাকে আপনার গণনায় 1/30 যোগ করতে হবে, চলমান মোট সংখ্যা আনতে হবে থেকে 1/2 + 1/3 − 1/6 + 1/5 − 1/10 − 1/15 + 1/30।
এই প্রক্রিয়াটি চলতে থাকলে, যোগফল আরও বেশি করে পদ লাভ করে, বড় এবং বড় হরগুলির সাথে ভগ্নাংশকে জড়িত করে। "প্রায় 1/2" এবং "প্রায় 1/3" এর মতো অনুমানে ছোট ত্রুটিগুলিকে খুব বেশি জমা হওয়া থেকে রোধ করতে, সংখ্যা তাত্ত্বিকরা সাধারণত পুরো চালুনির মধ্য দিয়ে যাওয়ার আগে যোগ এবং বিয়োগ প্রক্রিয়াটি বন্ধ করে দেয় এবং নিজেদেরকে সন্তুষ্ট করে। সঠিক উত্তরের পরিবর্তে উপরের এবং নিম্ন সীমানা।
তাত্ত্বিকভাবে, একটি অনুরূপ প্রক্রিয়া প্রাইমগুলির ফ্যান্সিয়ার সেটের জন্য কাজ করা উচিত, যেমন টুইন প্রাইম। কিন্তু যখন টুইন প্রাইম এর মত কিছু আসে, তখন ইনক্লুশন/বর্জন কাজ করবে না যদি না আপনি জানেন কিভাবে সমানভাবে প্রাইম অবশিষ্টাংশগুলিকে বালতিতে বিতরণ করা হয়।
ভূমিকা
এটি দেখতে, কিভাবে একটি যমজ প্রাইম চালুনি কাজ করতে পারে তা সম্পর্কে চিন্তা করুন। পর্যন্ত সমস্ত প্রাইমগুলি খুঁজে পেতে আপনি ইরাটোসথেনিসের চালুনি ব্যবহার করে শুরু করতে পারেন N. তারপরে, একটি দ্বিতীয় রাউন্ড ছেঁকে ফেলুন যা প্রতিটি প্রাইমকে সরিয়ে দেয় যা একটি টুইন প্রাইম জোড়ার অংশ নয়। এটি করার একটি উপায় হল একটি প্রাইম বের করা যদি তার বাম দিকের দুটি দাগের সংখ্যাটি প্রাইম না হয় (অথবা আপনি ডানদিকে দুটি দাগ দেখতে পারেন - হয় চালুনি কাজ করবে)। বাম দিকের চালনী ব্যবহার করে, আপনি 13 এর মত প্রাইম রাখবেন, যেহেতু 11ও প্রাইম, কিন্তু 23 এর মত প্রাইম ক্রস আউট করুন, যেহেতু 21 প্রাইম নয়।
আপনি এই চালনীটিকে প্রথমে সংখ্যারেখার দুটি দাগকে বাম দিকে স্থানান্তরিত করার মতো, তারপর স্থানান্তরিত সেটের সংখ্যাগুলিকে ক্রস আউট করার মতো মনে করতে পারেন যা প্রাইম নয় (যেমন 21)। স্থানান্তরিত সেটে, আপনি 3 এর গুণিতক ক্রস আউট করবেন, তারপর 5 এর গুণিতক এবং আরও অনেক কিছু। (আপনাকে 2 এর গুণিতক সম্পর্কে চিন্তা করতে হবে না, যেহেতু স্থানান্তরিত সেটের সংখ্যাগুলি প্রথমটি ছাড়া, সমস্ত বিজোড়।)
এরপরে আসে অন্তর্ভুক্তি/বর্জন, অনুমান করার জন্য যে আপনি কত নম্বর অতিক্রম করেছেন। Eratosthenes এর চালনীতে, 3 এর গুণিতক ক্রস আউট করা সমস্ত সংখ্যার প্রায় 1/3 সরিয়ে দেয়। কিন্তু স্থানান্তরিত প্রাইমগুলির ছোট সেটে, যখন আমরা 3 এর গুণিতকগুলি অতিক্রম করব তখন কতগুলি পড়বে তা অনুমান করা কঠিন।
যে কোনও নম্বর k স্থানান্তরিত সেটে কিছু প্রাইম থেকে 2 কম। তাই যদি k 3 এর গুণিতক, তারপর এর সংশ্লিষ্ট মৌলিক, k + 2, 2 দ্বারা ভাগ করলে একটি অবশিষ্ট থাকে 3। মৌলিক সংখ্যাগুলির একটি অবশিষ্ট থাকে 1 বা 2 যখন 3 দ্বারা ভাগ করা হয় (3টি বাদে), তাই আপনি অনুমান করতে পারেন যে অর্ধেক মৌলিক সংখ্যা পর্যন্ত N বাকি আছে 1 এবং অর্ধেক বাকি আছে 2. এর মানে হল যে চালনির এই ধাপে আপনি স্থানান্তরিত সেটের প্রায় অর্ধেক সংখ্যা অতিক্রম করছেন (এরাটোসথেনিসের চালুনির মতো 1/3 এর পরিবর্তে)। তাই আপনি আপনার অন্তর্ভুক্তি/বর্জনের যোগফলের মধ্যে একটি 1/2 পদ লিখবেন।
দে লা ভ্যালি পাউসিনকে ধন্যবাদ, আমরা জানি যে শেষ পর্যন্ত সমস্ত প্রাইমগুলির অর্ধেকের অবশিষ্ট থাকে 1 এবং অর্ধেকের অবশিষ্ট থাকে 2 যখন আপনি 3 দ্বারা ভাগ করেন। শেষ পর্যন্ত আউট — আপনি যে তারা দ্বারা ভারসাম্য আউট জানতে হবে N. অন্যথায়, আপনি অন্তর্ভুক্তি/বর্জনের যোগফলের “1/2”-এ কোনো আস্থা রাখতে পারবেন না। সম্ভবত, গণিতবিদরা এক শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে উদ্বিগ্ন, প্রাইমগুলির বন্টনে অদ্ভুত অদ্ভুততা রয়েছে যা আমাদের অন্তর্ভুক্তি/বর্জনের যোগফলের জন্য প্রয়োজনীয় কিছু গণনাকে হ্রাস করে।
"যদি আপনার বন্টন উপপাদ্য না থাকে, আপনি আপনার চালনি শেষ করলে কী হবে তা আপনি বুঝতে পারবেন না," বলেন টেরেন্স টাও ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের, লস এঞ্জেলেস।
একটি মৌলিক উপায়
বালতিগুলি কত দ্রুত সমান হতে শুরু করে সে সম্পর্কে একটি ভবিষ্যদ্বাণী সংখ্যা তাত্ত্বিকদের কাছে সংখ্যা তত্ত্বের সর্বাধিক উদযাপিত অমীমাংসিত সমস্যার আকারে উপলব্ধ ছিল - সাধারণীকৃত রিম্যান হাইপোথিসিস। এই অনুমান, যদি সত্য হয়, তাহলে বোঝাবে যে আমরা যদি কিছু খুব বড় সংখ্যা পর্যন্ত সমস্ত প্রাইম দেখছি N, তারপর মৌলিক অবশিষ্টাংশগুলি প্রায় বর্গমূল পর্যন্ত যেকোনো ভাজকের জন্য বালতিতে সমানভাবে বিতরণ করা হয় N. সুতরাং উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি প্রাইমগুলি 1 ট্রিলিয়নের কম দেখে থাকেন, আপনি আশা করবেন যে সেগুলিকে 120, বা 7,352, বা 945,328 দ্বারা ভাগ করলে বাকি বালতিতে সমানভাবে বিতরণ করা হবে — যে কোনো ভাজক প্রায় 1 মিলিয়নের কম ( 1 ট্রিলিয়নের বর্গমূল)। গণিতবিদরা বলেন যে সাধারণীকৃত রিম্যান হাইপোথিসিস ভবিষ্যদ্বাণী করে যে প্রাইমগুলির বন্টনের স্তরটি কমপক্ষে 1/2, যেহেতু অন্য একটি উপায়ে এর বর্গমূল লেখার N যেমন হয় N1/2.
ভূমিকা
যদি এই হাইপোথিসিসটি সঠিক হয়, তাহলে এর মানে হল যে আপনি যখন 1 ট্রিলিয়ন পর্যন্ত চালনা করছেন, তখন আপনি 2, তারপর 3, তারপর 5 এর গুণিতক ক্রস করতে পারবেন এবং যতক্ষণ না অন্তর্ভুক্তি/বর্জনের যোগফল প্রায় 1-এর উপরে ভাজককে যুক্ত করতে শুরু করে ততক্ষণ পর্যন্ত চালিয়ে যেতে পারেন। মিলিয়ন — সেই বিন্দুর বাইরে, আপনি আপনার যোগফলের শর্তাবলী গণনা করতে পারবেন না। 1900-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে, সংখ্যা তাত্ত্বিকরা ফর্মের অনেকগুলি চালনি উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন, "যদি সাধারণীকৃত রিম্যান হাইপোথিসিস সঠিক হয়, তাহলে ..."
কিন্তু এই ফলাফলগুলির অনেকেরই প্রকৃতপক্ষে সাধারণীকৃত রিম্যান হাইপোথিসিসের পূর্ণ শক্তির প্রয়োজন ছিল না — এটি জানা যথেষ্ট যে প্রাইমগুলি প্রতিটি ভাজকের পরিবর্তে প্রায় প্রতিটি ভাজকের জন্য বালতিতে ভালভাবে বিতরণ করা হয়েছিল। 1960 এর দশকের মাঝামাঝি, এনরিকো বোম্বিয়েরি এবং আস্কল্ড ভিনোগ্রাডভ আলাদাভাবে পরিচালিত এটা প্রমাণ করার জন্য: প্রাইমগুলির অন্তত 1/2 বন্টনের একটি স্তর রয়েছে, যদি আমরা জেনে সন্তুষ্ট থাকি যে প্রায় প্রতিটি ভাজকের জন্য বালতিগুলিও আউট।
Bombieri-Vinogradov উপপাদ্য, যা এখনও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, তাৎক্ষণিকভাবে অনেক ফলাফল প্রমাণ করে যা পূর্বে অপ্রমাণিত সাধারণীকৃত রিম্যান হাইপোথিসিসের উপর নির্ভর করেছিল। "এটি বন্টন উপপাদ্যের সোনার মান, " টাও বলেছেন।
কিন্তু গণিতবিদরা দীর্ঘদিন ধরে সন্দেহ করেছিলেন - এবং সংখ্যাগত প্রমাণগুলি পরামর্শ দিয়েছে - যে প্রাইমগুলির বিতরণের প্রকৃত স্তর অনেক বেশি। 1960 এর দশকের শেষের দিকে, পিটার এলিয়ট এবং হেইনি হালবারস্টাম অনুমান করা যে প্রাইমগুলির বন্টনের স্তরটি 1 এর নীচে একটি ছায়া - অন্য কথায়, আপনি যদি কিছু বিশাল সংখ্যা পর্যন্ত প্রাইমগুলির দিকে তাকান তবে সেগুলিকে সমানভাবে বালতিতে বিতরণ করা উচিত এমনকি বিশাল সংখ্যার আকারের খুব কাছাকাছি ভাজকের জন্যও . এবং আপনি যখন অন্তর্ভুক্তি/বর্জন করছেন তখন এই বৃহৎ বিভাজকগুলি গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু আপনি যখন অতিরিক্ত গণনার জন্য সংশোধন করছেন তখন এগুলি আসে। সুতরাং গণিতবিদগণ এলিয়ট এবং হালবারস্টামের ভবিষ্যদ্বাণীকৃত বন্টনের স্তরে যত কাছাকাছি পৌঁছাতে পারবেন, তত বেশি পদ তারা অন্তর্ভুক্তি/বর্জনের সমষ্টিতে গণনা করতে পারবেন। এলিয়ট-হালবারস্টাম অনুমান প্রমাণ করে, তাও বলেছিলেন, "স্বপ্ন।"
যদিও, আজ অবধি, বোম্বিয়েরি-ভিনোগ্রাডভ উপপাদ্য যেটি অর্জন করেছে তা সাধারণতার পূর্ণ মাত্রায় বিতরণের 1/2 স্তরকে কেউ হারাতে পারেনি। গণিতবিদরা এই পদস্খলনকে মৌলিক সংখ্যার জন্য "বর্গমূল বাধা" বলে অভিহিত করেছেন। এই বাধা, লিচম্যান বলেছেন, "আমাদের প্রাইমগুলি বোঝার ক্ষেত্রে একটি মৌলিক ধরণের পথপয়েন্ট।"
নতুন বিশ্ব রেকর্ড
অনেক চালনী সমস্যার জন্য, যদিও, প্রাইমগুলি কীভাবে বালতিতে বিভক্ত হয় সে সম্পর্কে অসম্পূর্ণ তথ্য দিয়েও আপনি অগ্রগতি করতে পারেন। টুইন প্রাইম সমস্যাটি ধরুন: একটি প্রাইম বের করা যদি তার বাম দিকের দুই নম্বর দাগটি 3 বা 5 বা 7 দ্বারা বিভাজ্য হয় তাহলে 2 বা 3 বা 5 দ্বারা ভাগ করলে প্রাইমটির নিজেই 7 অবশিষ্ট থাকে কিনা তা জিজ্ঞাসা করার সমান। অন্য কথায়, প্রাইম এই ভাজকের যে কোনো একটির জন্য "2" বাকেটের মধ্যে পড়ে কিনা। তাই এই ভাজকগুলির জন্য প্রাইমগুলি সমস্ত বালতি জুড়ে সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে কিনা তা আপনার জানার দরকার নেই — আপনাকে কেবল জানতে হবে প্রতিটি "2" বালতি আমাদের প্রত্যাশার সংখ্যা ধারণ করে কিনা।
1980-এর দশকে, গণিতবিদরা কীভাবে একটি নির্দিষ্ট বালতিতে ফোকাস করে এমন বিতরণ উপপাদ্য প্রমাণ করতে শুরু করেছিলেন। এই কাজ একটি মধ্যে চূড়ান্ত 1986 কাগজ Bombieri, Friedlander এবং দ্বারা হেনরিক ইওয়ানিইক যা একক বালতির জন্য বিতরণের স্তরকে 4/7 (প্রায় 0.57) পর্যন্ত ঠেলে দিয়েছে, সমস্ত চালনির জন্য নয় বরং তাদের একটি বিস্তৃত শ্রেণীর জন্য।
Bombieri-Vinogradov উপপাদ্যের মতো, 1980-এর দশকে বিকশিত ধারণার মূল অংশে প্রচুর অ্যাপ্লিকেশন পাওয়া যায়। সবচেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে, এটি একটি সক্রিয় প্রচুর লাফ ফার্মাটের শেষ উপপাদ্য সম্পর্কে গণিতবিদদের বোঝার মধ্যে, যা বলে যে সমীকরণ an + bn = cn কোনো সূচকের জন্য কোনো প্রাকৃতিক-সংখ্যা সমাধান নেই n 2 এর চেয়ে বেশি। (এটি পরবর্তীতে 1994 সালে এমন কৌশল ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়েছিল যা বিতরণ উপপাদ্যের উপর নির্ভর করে না।) 1980-এর দশকের উত্তেজনার পরে, কয়েক দশক ধরে প্রাইমগুলির বিতরণের স্তরে সামান্য অগ্রগতি ছিল।
তারপরে 2013 সালে, ঝাং বোম্বেরি, ফ্রিডল্যান্ডার এবং ইওয়ানিইকের থেকে ভিন্ন দিকে কীভাবে বর্গ-মূল বাধা অতিক্রম করতে হয় তা বের করেছিলেন। তিনি 1980-এর দশকের গোড়ার দিক থেকে পুরানো, অপ্রচলিত পদ্ধতিগুলি খনন করেছিলেন বোম্বিয়েরি এবং ভিনোগ্রাডভের 1/2 স্তরের বন্টনের ক্ষুদ্রতম উন্নতিগুলিকে এমন একটি প্রেক্ষাপটে যেখানে আপনি কেবল "মসৃণ" সংখ্যাগুলি দিয়ে ছেঁকে নিচ্ছেন — যেগুলির কোনও বড় মৌলিক কারণ নেই . এই ক্ষুদ্র উন্নতি ঝাংকে সক্ষম করেছে দীর্ঘস্থায়ী অনুমান প্রমাণ করুন যে আপনি সংখ্যা রেখা বরাবর বাইরে যাবেন, আপনি প্রাইম জোড়ার সম্মুখীন হতে থাকবেন যা কিছু নির্দিষ্ট সীমার চেয়ে কাছাকাছি। (পরবর্তীতে, মেনার্ড এবং টাও প্রত্যেকে আলাদাভাবে এসেছে এই উপপাদ্যটির আরেকটি প্রমাণ, একটি উন্নত চালনি ব্যবহার করে বন্টনের একটি উন্নত স্তরের পরিবর্তে।)
ঝাং এর ফলাফল রিম্যান হাইপোথিসিসের একটি সংস্করণে আঁকে যা বীজগণিত জ্যামিতির জগতে বাস করে। বম্বিয়েরি, ফ্রিডল্যান্ডার এবং ইওয়ানিইকের কাজ, ইতিমধ্যে, মেনার্ড যাকে স্বয়ংক্রিয় রূপ বলা বস্তুগুলির সাথে "কিছুটা জাদুকরী সংযোগ" বলে তার উপর নির্ভর করেছিল, যেগুলির রিম্যান হাইপোথিসিসের নিজস্ব সংস্করণ রয়েছে। স্বয়ংক্রিয় রূপগুলি অত্যন্ত প্রতিসম বস্তু যা, টাও বলেছেন, "সংখ্যা তত্ত্বের উচ্চ-ক্ষমতাসম্পন্ন প্রান্ত" এর অন্তর্গত।
কয়েক বছর আগে, মেনার্ড নিশ্চিত হয়েছিলেন যে তাদের অন্তর্দৃষ্টিগুলিকে একত্রিত করে এই দুটি পদ্ধতি থেকে আরও রস নিংড়ানো সম্ভব। 2020 সালে তার তিনটি গবেষণাপত্রের সিরিজে, যেটিকে গ্র্যানভিল একটি "ট্যুর ডি ফোর্স" হিসাবে চিহ্নিত করেছিলেন, মেনার্ড বম্বেরি, ফ্রিডল্যান্ডার এবং ইওয়ানিইক অধ্যয়নের চেয়ে কিছুটা সংকীর্ণ প্রেক্ষাপটে বিতরণের স্তরকে 3/5 বা 0.6 পর্যন্ত ঠেলে দিতে সক্ষম হন। .
এখন, মেনার্ডের ছাত্ররা এই কৌশলগুলিকে আরও এগিয়ে নিয়ে যাচ্ছে। লিচটম্যান সম্প্রতি বের করা হয়েছে কিভাবে মেনার্ডের বিতরণের মাত্রা প্রায় 0.617 পর্যন্ত প্রসারিত করা যায়। তারপরে তিনি এই বৃদ্ধিটিকে নতুন উচ্চ সীমার মধ্যে সমন্বিত করেছেন উভয় যমজ প্রাইম এবং গোল্ডবাচের দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে জোড় সংখ্যার প্রতিনিধিত্বের উপর। পরেরটির জন্য, এটি প্রথমবারের মতো যে কেউ ক্লাসিক বোম্বিয়েরি-ভিনোগ্রাডভ উপপাদ্য থেকে 1/2 এর বাইরে বিতরণের একটি স্তর ব্যবহার করতে সক্ষম হয়েছে।
মেনার্ডের আরেকজন ছাত্র, আলেকজান্দ্রু পাসকাদি, আছে 0.617 চিত্রের সাথে মিলেছে প্রাইম নয় কিন্তু মসৃণ সংখ্যার বন্টনের স্তরের জন্য। প্রাইমগুলির মতো, মসৃণ সংখ্যাগুলি সমস্ত সংখ্যা তত্ত্বে উঠে আসে এবং তাদের বিতরণের স্তর এবং প্রাইমগুলির প্রায়শই হাতে চলে যায়।
এদিকে তৃতীয় এক ছাত্র, জুলিয়া স্ট্যাডলম্যান, আছে বিতরণের মাত্রা বাড়িয়েছে ঝাং যে সেটিং অধ্যয়ন করেছিলেন তার প্রাইমগুলির মধ্যে, যেখানে ভাজক (সংখ্যাগুলিকে ভাগ করার পরিবর্তে) মসৃণ সংখ্যা। ঝাং সংকীর্ণভাবে বর্গাকার-মূল বাধাকে হারান এই প্রেক্ষাপটে, বিতরণের একটি 0.5017 স্তরে পৌঁছানো, এবং তারপর একটি অনলাইন সহযোগিতা নামক একটি পলিম্যাথ প্রকল্প সংখ্যা বাড়িয়েছে থেকে 0.5233 পর্যন্ত; স্ট্যাডম্যান এখন এটিকে 0.525 এ উন্নীত করেছে।
অন্যান্য গণিতবিদরা বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তাত্ত্বিকদের জ্বালাতন করেন, তাও বলেন, ছোট সংখ্যাগত অগ্রগতির প্রতি তাদের আবেশের জন্য। কিন্তু এই ক্ষুদ্র উন্নতিগুলির একটি তাত্পর্য রয়েছে প্রশ্নে থাকা সংখ্যার বাইরে। "এটি 100-মিটার ড্যাশ বা অন্য কিছুর মতো, [যেখানে] আপনি 3.96 সেকেন্ড থেকে 3.95 সেকেন্ড শেভ করেন," তিনি বলেছিলেন। প্রতিটি নতুন বিশ্ব রেকর্ড হল "আপনার পদ্ধতি কতটা অগ্রগতি হয়েছে তার একটি মানদণ্ড।"
সামগ্রিকভাবে, "কৌশলগুলি আরও স্পষ্ট এবং আরও একীভূত হচ্ছে," তিনি বলেছিলেন। "এটি স্পষ্ট হয়ে উঠছে, একবার আপনি একটি সমস্যায় অগ্রসর হলে, কীভাবে এটি অন্য সমস্যার সাথে খাপ খাইয়ে নেবেন।"
এই নতুন উন্নয়নের জন্য এখনও কোনও বোমাশেল অ্যাপ্লিকেশন নেই, তবে নতুন কাজ "অবশ্যই আমাদের চিন্তাভাবনা পরিবর্তন করে," গ্র্যানভিল বলেছিলেন। "এটি কেবল একটি পেরেককে আরও শক্ত করে মারছে না - এটি আসলে আরও উন্নত হাতুড়ি পাচ্ছে।"
কোয়ান্টা আমাদের শ্রোতাদের আরও ভালভাবে পরিবেশন করার জন্য সমীক্ষার একটি সিরিজ পরিচালনা করছে। আমাদের নিন গণিত পাঠক জরিপ এবং আপনি বিনামূল্যে জিততে প্রবেশ করা হবে কোয়ান্টা বণিক।
- এসইও চালিত বিষয়বস্তু এবং পিআর বিতরণ। আজই পরিবর্ধিত পান।
- PlatoData.Network উল্লম্ব জেনারেটিভ Ai. নিজেকে ক্ষমতায়িত করুন। এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটোএআইস্ট্রিম। Web3 ইন্টেলিজেন্স। জ্ঞান প্রসারিত. এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটোইএসজি। কার্বন, ক্লিনটেক, শক্তি, পরিবেশ সৌর, বর্জ্য ব্যবস্থাপনা. এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটো হেলথ। বায়োটেক এবং ক্লিনিক্যাল ট্রায়াল ইন্টেলিজেন্স। এখানে প্রবেশ করুন.
- উত্স: https://www.quantamagazine.org/a-new-generation-of-mathematicians-pushes-prime-number-barriers-20231026/
- : আছে
- : হয়
- :না
- :কোথায়
- [পৃ
- $ ইউপি
- 000
- 1
- 100
- 11
- 13
- 15%
- 17
- 1994
- 2013
- 2020
- 23
- 7
- 8
- a
- সক্ষম
- সম্পর্কে
- AC
- হিসাব
- জাতিসংঘের
- দিয়ে
- প্রকৃতপক্ষে
- খাপ খাওয়ানো
- যোগ
- যোগ
- আগাম
- অগ্রগতি
- পর
- পূর্বে
- সব
- প্রায়
- বরাবর
- ইতিমধ্যে
- এছাড়াও
- an
- বিশ্লেষণমূলক
- বিশ্লেষণ
- এবং
- অ্যাঞ্জেলেস
- অন্য
- উত্তর
- কোন
- যে কেউ
- পৃথক্
- আবেদন
- অ্যাপ্লিকেশন
- অভিগমন
- আন্দাজ
- রয়েছি
- AS
- জিজ্ঞাসা
- At
- পাঠকবর্গ
- সহজলভ্য
- ভারসাম্য
- বাধা
- বাধা
- ভিত্তি
- BE
- বীট
- হয়ে ওঠে
- কারণ
- পরিণত
- মানানসই
- হয়েছে
- আগে
- আচরণ
- পিছনে
- হচ্ছে
- নিচে
- উচ্চতার চিহ্ন
- উত্তম
- তার পরেও
- বিশাল
- বড়
- বৃহত্তম
- বাধা
- শরীর
- উভয়
- আবদ্ধ
- সীমা
- শ্বাসক্রিয়া
- আনয়ন
- কিন্তু
- by
- গণনা করা
- ক্যালিফোর্নিয়া
- নামক
- কলিং
- কল
- মাংস
- CAN
- পেতে পারি
- ক্যাচ
- বহন
- সুপ্রসিদ্ধ
- শতাব্দী
- চ্যালেঞ্জিং
- পরিবর্তন
- শ্রেণী
- সর্বোত্তম
- পরিষ্কার
- ঘনিষ্ঠ
- কাছাকাছি
- সহযোগিতা
- কলোরাডো
- মিশ্রন
- আসা
- আসে
- সাধারণভাবে
- তুলনামূলকভাবে
- জটিল
- উদ্বেগ
- আবহ
- বিশ্বাস
- অনুমান
- ফল
- বিবেচনা
- বিষয়বস্তু
- প্রসঙ্গ
- চলতে
- প্রতীত
- ঠিক
- সংশোধিত
- অনুরূপ
- পারা
- গণনাকারী
- ক্রস
- অতিক্রান্ত
- উত্তরণ
- কঠোর
- হানাহানি
- দিন
- কয়েক দশক ধরে
- ডিগ্রী
- নির্ভর করে
- নির্ভর করে
- বিধ্বংসী
- উন্নত
- উন্নয়ন
- বিভিন্ন
- অভিমুখ
- বণ্টিত
- বিতরণ
- বিভক্ত করা
- বিভক্ত
- do
- করছেন
- সম্পন্ন
- Dont
- স্বপ্ন
- ড্রপ
- প্রতি
- গোড়ার দিকে
- সহজ
- পারেন
- ইলিয়ট
- সক্ষম করা
- মুখোমুখি
- শেষ
- যথেষ্ট
- প্রবিষ্ট
- ত্রুটি
- মূলত
- হিসাব
- এমন কি
- সমান
- অবশেষে
- প্রতি
- প্রমান
- উদাহরণ
- ছাড়া
- ব্যতিক্রম
- হুজুগ
- আশা করা
- প্রসারিত করা
- ব্যাপ্ত
- নির্যাস
- অত্যন্ত
- কারণের
- পতন
- ঝরনা
- এ পর্যন্ত
- দ্রুত
- বৈশিষ্ট্য
- সহকর্মী
- কয়েক
- ক্ষেত্রসমূহ
- মূর্ত
- আবিষ্কার
- আবিষ্কার
- শেষ
- প্রথম
- প্রথমবার
- ঠিক করা
- স্থায়ী
- কেন্দ্রবিন্দু
- দৃষ্টি নিবদ্ধ করা
- অনুসরণ
- জন্য
- বল
- ফর্ম
- ফর্ম
- পাওয়া
- থেকে
- প্রসার
- সম্পূর্ণ
- মৌলিক
- অধিকতর
- একেই
- প্রজন্ম
- পাওয়া
- পেয়ে
- প্রদত্ত
- Go
- চালু
- স্বর্ণ
- স্বর্ণমান
- সর্বস্বান্ত
- ধীরে ধীরে
- স্নাতক
- গ্রিক
- ছিল
- অর্ধেক
- হাতুড়ি
- হাত
- এরকম
- কঠিনতর
- আছে
- he
- ঊর্ধ্বতন
- সর্বোচ্চ
- অত্যন্ত
- তার
- রাখা
- ঝুলিতে
- আশা
- নিমন্ত্রণকর্তা
- গরম
- কিভাবে
- কিভাবে
- যাহোক
- HTTPS দ্বারা
- প্রচুর
- হাঙ্গেরীয়
- খোজা
- ধারণা
- ধারনা
- সনাক্ত করা
- if
- উন্নত
- উন্নতি
- উন্নতি
- in
- অন্যান্য
- বৃদ্ধি
- তথ্য
- অর্ন্তদৃষ্টি
- উদাহরণ
- অবিলম্বে
- পরিবর্তে
- মধ্যে
- জড়িত করা
- ঘটিত
- IT
- এর
- নিজেই
- মাত্র
- রাখা
- রকম
- জানা
- বুদ্ধিমান
- বড়
- গত
- বিলম্বে
- পরে
- অন্তত
- ত্যাগ
- বাম
- কম
- উচ্চতা
- জীবন
- মত
- সীমিত
- লাইন
- তালিকা
- সামান্য
- লাইভস
- দীর্ঘ
- দীর্ঘস্থায়ী
- দেখুন
- খুঁজছি
- The
- লস এঞ্জেলেস
- অনেক
- নিম্ন
- পত্রিকা
- প্রধান
- করা
- পরিচালিত
- অনেক
- গণিত
- অংক
- ব্যাপার
- গড়
- এদিকে
- পদ্ধতি
- পদ্ধতি
- হতে পারে
- মিলিয়ন
- মাসের
- অধিক
- সেতু
- অধিকাংশ ক্ষেত্রে
- পদক্ষেপ
- অনেক
- বহু
- প্রয়োজন
- প্রয়োজন
- নতুন
- পরবর্তী
- না।
- স্মরণীয়
- লক্ষণীয়ভাবে
- এখন
- সংখ্যা
- সংখ্যার
- বস্তু
- প্রাপ্ত
- ঘটেছে
- of
- বন্ধ
- প্রায়ই
- পুরাতন
- on
- একদা
- ONE
- ওগুলো
- অনলাইন
- কেবল
- or
- অন্যান্য
- অন্যভাবে
- আমাদের
- বাইরে
- বাহিরে
- শেষ
- নিজের
- অক্সফোর্ড
- যুগল
- জোড়া
- কাগজপত্র
- অংশ
- বিশেষ
- গত
- নিদর্শন
- পল
- সম্প্রদায়
- নির্ভুল
- সম্ভবত
- Plato
- প্লেটো ডেটা ইন্টেলিজেন্স
- প্লেটোডাটা
- অভিনীত
- বিন্দু
- সম্ভব
- সম্ভাব্য
- ক্ষমতা
- ক্ষমতাশালী
- ভবিষ্যদ্বাণী করা
- আন্দাজের
- পূর্বাভাস
- ভবিষ্যদ্বাণী
- প্রেডিক্টস
- প্রতিরোধ
- আগে
- পূর্বে
- প্রধান
- সমস্যা
- সমস্যা
- প্রক্রিয়া
- উন্নতি
- অগ্রগতি
- প্রকল্প
- প্রমাণ
- প্রমাণ করা
- প্রতিপন্ন
- প্রতিপাদন
- প্রকাশিত
- ধাক্কা
- ধাক্কা
- পাহাড় জমে
- ঠেলাঠেলি
- কোয়ান্টাম্যাগাজিন
- প্রশ্ন
- দ্রুত
- পুরোপুরি
- উত্থাপিত
- রেঞ্জিং
- বরং
- পৌঁছনো
- পাঠক
- বাস্তব
- সত্যিই
- নথি
- উল্লেখ
- নির্ভর করা
- বাকি
- অপসারিত
- সরানোর
- রেনেসাঁ
- ফল
- ফলাফল
- অধিকার
- ভূমিকা
- শিকড়
- মোটামুটিভাবে
- বৃত্তাকার
- দৌড়
- বলেছেন
- একই
- করাত
- বলা
- বলেছেন
- দ্বিতীয়
- সেকেন্ড
- দেখ
- মনে
- ক্রম
- পরিবেশন করা
- সেট
- সেট
- বিন্যাস
- বসতি স্থাপন করা
- বিভিন্ন
- স্থানান্তরিত
- শিফটিং
- উচিত
- দেখিয়েছেন
- তাত্পর্য
- অনুরূপ
- সহজ
- থেকে
- একক
- আয়তন
- ছোট
- ক্ষুদ্রতর
- মসৃণ
- So
- যতদূর
- সলিউশন
- কিছু
- কিছু
- কখনও কখনও
- শীঘ্রই
- সৃষ্টি
- প্রশিক্ষণ
- দাগ
- বর্গক্ষেত্র
- লুৎফর
- মান
- স্ট্যানফোর্ড
- স্ট্যানফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়
- শুরু
- শুরু
- শুরু
- ধাপ
- এখনো
- থামুন
- বাঁধন
- শক্তি
- ছাত্র
- শিক্ষার্থীরা
- চর্চিত
- গবেষণায়
- হুমড়ি
- বিষয়
- পরবর্তীকালে
- এমন
- টেকা
- গ্রহণ করা
- ধরা
- প্রযুক্তি
- মেয়াদ
- শর্তাবলী
- চেয়ে
- যে
- সার্জারির
- বিশ্ব
- তাদের
- তাহাদিগকে
- নিজেদের
- তারপর
- তত্ত্ব
- সেখানে।
- এইগুলো
- তারা
- মনে
- তৃতীয়
- এই
- সেগুলো
- যদিও?
- তিন
- দ্বারা
- সময়
- থেকে
- আজ
- একসঙ্গে
- অত্যধিক
- টুল
- বিষয়
- টরন্টো
- মোট
- দশ সহস্রের ত্রিঘাত
- সত্য
- চেষ্টা
- দ্বিগুণ
- যমজ
- দুই
- ধরনের
- শীর্ষ
- অধোদেশ খনন করা
- বোঝা
- বোধশক্তি
- সমন্বিত
- বিশ্ববিদ্যালয়
- ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়
- অপ্রমাণিত
- পর্যন্ত
- আপগ্রেড
- ব্যবহার
- ব্যবহৃত
- ব্যবহার
- সাধারণত
- সংস্করণ
- খুব
- প্রয়োজন
- ছিল
- উপায়..
- we
- webp
- আমরা একটি
- ছিল
- কি
- কখন
- কিনা
- যে
- হু
- সমগ্র
- যাহার
- ব্যাপক
- ব্যাপকভাবে
- ইচ্ছা
- জয়
- জয়ী
- সঙ্গে
- শব্দ
- হয়া যাই ?
- কাজ
- বিশ্ব
- চিন্তিত
- চিন্তা
- would
- লেখা
- লিখিত
- লিখেছেন
- বছর
- এখনো
- আপনি
- ছোট
- আপনার
- zephyrnet