দূরত্ব বিভাজক বিন্দুর একটি নতুন সীমা আছে | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

একটি সমতলে তিনটি বিন্দু ছড়িয়ে দিন, তারপর তাদের প্রতিটি জোড়ার মধ্যে দূরত্ব পরিমাপ করুন। সব সম্ভাবনায়, আপনি তিনটি ভিন্ন দূরত্ব খুঁজে পাবেন। কিন্তু যদি আপনি একটি সমবাহু ত্রিভুজে বিন্দু সাজান, তাহলে প্রতিটি দূরত্ব একই। একটি সমতলে, এটি চার পয়েন্ট দিয়ে করা অসম্ভব। আপনি যে সংখ্যক দূরত্ব তৈরি করতে পারেন তা হল 2 - একটি বর্গক্ষেত্রের প্রান্ত এবং কর্ণ।

কিন্তু আপনি যদি একটি পিরামিড তৈরি করতে সমতল থেকে একটি বিন্দুকে উপরে তোলেন, যার প্রতিটি বাহু একটি সমবাহু ত্রিভুজ, তাহলে আপনার কাছে চারটি বিন্দুর একটি সেট থাকবে যা একটি একক অনন্য দূরত্ব দ্বারা বিভক্ত - এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য। ত্রিভুজ

আপনার যদি প্রচুর পয়েন্ট থাকে তবে এই নিদর্শনগুলি আরও স্পষ্ট হয়ে উঠবে। একটি সমতলে একশত এলোমেলোভাবে বিক্ষিপ্ত বিন্দু সম্ভবত 4,950টি স্বতন্ত্র যুগলভিত্তিক দূরত্বকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। কিন্তু যদি আপনি একটি সমতল, বর্গাকার গ্রিডে 100 পয়েন্টের ব্যবস্থা করেন, তাহলে যেকোন জোড়া পয়েন্ট শুধুমাত্র 50টি সম্ভাব্য দূরত্বের একটি দ্বারা আলাদা করা হবে। পয়েন্টগুলিকে একটি ত্রিমাত্রিক গ্রিডে তুলুন এবং আপনি সেই সংখ্যাটিকে আরও কমাতে পারেন৷

পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্বের সংখ্যা সম্পর্কে প্রশ্নের উত্তর দেওয়া একটি রহস্যময় অনুশীলনের মতো শোনাতে পারে। কিন্তু এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য কয়েক দশক-দীর্ঘ অনুসন্ধানে, গণিতবিদরা এমন সরঞ্জামগুলি তৈরি করেছেন যেগুলিতে সংখ্যা তত্ত্ব থেকে পদার্থবিদ্যা পর্যন্ত বিস্তৃত অন্যান্য অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে।

"লোকেরা যখন সমস্যার সমাধান করার চেষ্টা করেছিল," বলেছেন পাবলো শমারকিন ব্রিটিশ কলাম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের, "তারা এমন সংযোগগুলি আবিষ্কার করতে শুরু করেছিল যা আশ্চর্যজনক এবং অপ্রত্যাশিত ছিল।"

সর্বশেষ উন্নয়ন গত বছরের শেষের দিকে এসেছিল, যখন চার গণিতবিদদের সহযোগিতা একটি নতুন সম্পর্ক প্রমাণিত বিন্দুর সেটের জ্যামিতি এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের মধ্যে।

বিন্দুর সেট দ্বারা নির্ধারিত বিভিন্ন দূরত্বের তালিকাকে এর দূরত্ব সেট বলা হয়; সেই তালিকায় কতগুলি সংখ্যা আছে তা গণনা করুন এবং আপনি দূরত্ব সেটের আকার পাবেন। 1946 সালে, বিশিষ্ট গণিতবিদ পল এরডস অনুমান করেছিলেন যে প্রচুর সংখ্যক বিন্দুর জন্য, আপনি যখন পয়েন্টগুলিকে গ্রিডে সাজান তখন আপনি যা পাবেন তার চেয়ে দূরত্ব সেট ছোট হতে পারে না। সমস্যাটি যদিও তার মুখে সহজ, তবে এটি অত্যন্ত গভীর এবং কঠিন হয়ে উঠেছে। এমনকি দুই মাত্রায়, এটি এখনও পুরোপুরি প্রমাণিত হয়নি, যদিও 2010 সালে, দুই গণিতবিদ এত কাছাকাছি পেয়েছিলাম যে এটি এখন কার্যকরভাবে নিষ্পত্তি বলে বিবেচিত হয়; এটি উচ্চ মাত্রায় খোলা থাকে।

ইতিমধ্যে, গণিতবিদরাও অনুমানের নতুন সংস্করণ তৈরি করেছিলেন। এর মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ একটি উদ্ভূত হয়েছিল ক 1985 কাগজ by কেনেথ ফ্যালকনার, স্কটল্যান্ডের সেন্ট অ্যান্ড্রুজ বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ। ফ্যালকনার অবাক হয়েছিলেন যে অসীম সংখ্যক বিন্দুর মধ্যে স্বতন্ত্র দূরত্ব সম্পর্কে কী বলা যেতে পারে।

আপনার যদি অসীমভাবে অনেকগুলি পয়েন্ট থাকে তবে কেবল গণনা করা আর খুব দরকারী নয়। কিন্তু গণিতবিদদের আকার সংজ্ঞায়িত করার অন্যান্য উপায় আছে। ফ্যালকনারের অনুমান বিন্দুগুলির সেটের জ্যামিতির মধ্যে একটি সম্পর্ক স্থাপন করে — যাকে ফ্র্যাক্টাল ডাইমেনশন বলে একটি সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় — এবং দূরত্ব সেটের আকার, যাকে পরিমাপ বলে একটি সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

ফ্র্যাক্টাল মাত্রা মাত্রা সম্পর্কে সাধারণ অন্তর্দৃষ্টির সাথে সারিবদ্ধ। মাত্রার আরও পরিচিত ধারণার মতোই, একটি লাইন সেগমেন্টের একটি ফ্র্যাক্টাল মাত্রা 1 থাকে, যখন একটি বর্গক্ষেত্র (এর অভ্যন্তর ভরাট) একটি ফ্র্যাক্টাল মাত্রা 2 থাকে৷ কিন্তু যদি বিন্দুগুলির একটি সংগ্রহ একটি আরও জটিল ফ্র্যাক্টাল প্যাটার্ন তৈরি করে — একটি বক্ররেখার মতো যেখানে আপনি যতদূর জুম করুন না কেন মাইক্রোস্কোপিক বাঁক এবং বাঁকগুলি প্রদর্শিত হতে থাকে - এর ফ্র্যাক্টাল মাত্রা সম্পূর্ণ সংখ্যা নাও হতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, নীচে দেখানো কোচ স্নোফ্লেক বক্ররেখা, যার একটি অন্তহীন সিরিজ রয়েছে ছোট ছোট ত্রিভুজাকার বাম্প, যার মাত্রা প্রায় 1.26।

সাধারণভাবে, বিন্দুগুলির একটি অসীম সংগ্রহের একটি ফ্র্যাক্টাল মাত্রা রয়েছে যা মোটামুটিভাবে এটি কতটা বিচ্ছুরিত তার উপর নির্ভর করে। যদি এটি সমতলের চারপাশে ছড়িয়ে পড়ে, তবে এর ফ্র্যাক্টাল মাত্রা 2-এর কাছাকাছি হবে৷ যদি এটি একটি রেখার মতো দেখায় তবে এর ফ্র্যাক্টাল মাত্রা 1-এর কাছাকাছি হবে৷ ত্রিমাত্রিক স্থানের বিন্দুগুলির সেটের জন্য একই ধরণের কাঠামো সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে , বা এমনকি উচ্চ মাত্রায়.

ফ্যালকনারের অনুমানের অন্য দিকে দূরত্ব সেটের পরিমাপ। পরিমাপ হল দৈর্ঘ্যের ধারণার এক ধরণের গাণিতিক সাধারণীকরণ। একটি একক সংখ্যা, যা একটি সংখ্যারেখার একটি বিন্দু হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, এর পরিমাপ শূন্য রয়েছে। কিন্তু অসীম সেটেও শূন্য পরিমাপ থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যাগুলি বাস্তব সংখ্যাগুলির মধ্যে এতটাই পাতলাভাবে বিক্ষিপ্ত যে তাদের কোনও যৌথ "দৈর্ঘ্য" নেই এবং তাই পরিমাপ শূন্যের একটি সেট তৈরি করে। অন্যদিকে, বলুন, 3/4 এবং 1-এর মধ্যে প্রকৃত সংখ্যা 1/4 পরিমাপ করে, কারণ ব্যবধান কত দীর্ঘ।

পরিমাপটি অসীমভাবে অনেকগুলি বিন্দুর মধ্যে স্বতন্ত্র দূরত্বের সেটের আকার চিহ্নিত করার একটি উপায় দেয়। যদি দূরত্বের সংখ্যা "ছোট" হয়, তার মানে দূরত্ব সেটের পরিমাপ শূন্য হবে: অনেকগুলি সদৃশ দূরত্ব রয়েছে৷ যদি, অন্য দিকে, দূরত্ব সেটে শূন্যের চেয়ে বড় একটি পরিমাপ থাকে, তার মানে অনেকগুলি ভিন্ন দূরত্ব রয়েছে।

দুই মাত্রায়, ফ্যালকনার প্রমাণ করেছেন যে 1.5-এর বেশি ফ্র্যাক্টাল মাত্রা সহ যেকোন বিন্দুর সেটের দূরত্ব অশূন্য পরিমাপের সাথে সেট করা আছে। কিন্তু গণিতবিদরা দ্রুত বিশ্বাস করেন যে এটি 1-এর চেয়ে বেশি ফ্র্যাক্টাল মাত্রা সহ সমস্ত সেটের জন্য সত্য। "আমরা এই 1/2 ব্যবধানটি সমাধান করার চেষ্টা করছি," বলেন ইউমেং ওউ পেনসিলভানিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের, নতুন কাগজের সহ-লেখকদের একজন। অধিকন্তু, ফ্যালকনারের অনুমান তিন বা ততোধিক মাত্রায় প্রসারিত: বিন্দু বিক্ষিপ্ত বিন্দুর জন্য d-মাত্রিক স্থান, এটি বলে যে যদি পয়েন্টের ফ্র্যাক্টাল মাত্রা বেশি হয় d/2, তাহলে দূরত্ব সেটের পরিমাপ অবশ্যই 0-এর বেশি হতে হবে।

2018 সালে, ওউ, সহকর্মীদের সাথে, দেখিয়েছেন যে অনুমান 5/4-এর বেশি ফ্র্যাক্টাল ডাইমেনশন সহ সমস্ত সেটের জন্য দুটি মাত্রায় ধারণ করে। এখন ওউ—সহ Xiumin Du নর্থওয়েস্টার্ন বিশ্ববিদ্যালয়ের, রুইক্সিয়াং ঝাং ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের, বার্কলে, এবং কেভিন রেন প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি - প্রমাণ করেছে যে উচ্চ মাত্রায়, অশূন্য পরিমাপ সহ একটি দূরত্ব নিশ্চিত করার থ্রেশহোল্ড এর চেয়ে সামান্য ছোট d/2 + 1/4। "উচ্চ মাত্রার সীমানা, এই কাগজে, প্রথমবারের মতো, মাত্রা 2 এর চেয়ে ভাল," শমারকিন বলেছিলেন। (দুটি মাত্রায়, থ্রেশহোল্ড সুনির্দিষ্টভাবে d/2 + 1/4।)

এই সর্বশেষ ফলাফল মাত্র এক মধ্যে একটি তরঙ্গ সাম্প্রতিক অগ্রগতির on ফ্যালকনারের অনুমান. সুরেলা বিশ্লেষণে প্রমাণ পরিমার্জিত কৌশল - গণিতের একটি আপাতদৃষ্টিতে দূরবর্তী এলাকা যা সরল তরঙ্গের পরিপ্রেক্ষিতে নির্বিচারে জটিল ফাংশনগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করে - আবদ্ধকে শক্তিশালী করতে। কিন্তু এই একই সমস্যা মোকাবেলা করার জন্য এই কৌশলগুলির মধ্যে কয়েকটি প্রথম তৈরি করা হয়েছিল।

পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্ব সম্পর্কে এই প্রশ্নটি "হারমোনিক বিশ্লেষণের সবচেয়ে বড় ধারণাগুলির জন্য একটি খেলার মাঠ হিসাবে কাজ করেছে," বলেছেন অ্যালেক্স ইওসেভিচ রচেস্টার বিশ্ববিদ্যালয়ের।

যদিও তারা তার 1985 সালের গবেষণাপত্রে ফ্যালকনারের রেখে যাওয়া ব্যবধানের অর্ধেকটি বন্ধ করে দিয়েছে, গণিতবিদরা সাম্প্রতিক কাজের ব্যবধানকে প্রমাণ হিসাবে দেখেন যে সম্পূর্ণ অনুমান শেষ পর্যন্ত নাগালের মধ্যে থাকতে পারে। ইতিমধ্যে, তারা তাদের সবচেয়ে পরিশীলিত সরঞ্জামগুলির জন্য একটি পরীক্ষার স্থল হিসাবে সমস্যাটি ব্যবহার করা চালিয়ে যাবে।