জাল মুদ্রার ধাঁধার মধ্যে গাণিতিক সত্য খোঁজা

আমাদের ধাঁধা সাম্প্রতিক স্যুট নম্র ডবল-প্যান ব্যালেন্স স্কেল বৈশিষ্ট্যযুক্ত, ঐতিহাসিকভাবে বাণিজ্য এবং সরকার, শিল্প এবং বিজ্ঞানের প্রতীক। ব্যালেন্স স্কেল বিনোদনমূলক গণিতেও জনপ্রিয়। ভারসাম্যপূর্ণ পাজলগুলির জন্য স্পষ্ট, যৌক্তিক যুক্তির প্রয়োজন হয় এবং গাণিতিক সাধারণীকরণের জন্য নিজেদেরকে ভালভাবে ধার দেয়। দেখা যাক কিভাবে কোয়ান্টা পাঠকরা নীচের ধাঁধার মধ্যে এই গুণাবলী ভারসাম্য.

ধাঁধা 1

আপনার কাছে আটটি অভিন্ন চেহারার কয়েন আছে। একটি নকল এবং অন্যদের তুলনায় হালকা, যার ওজন অভিন্ন। দুটি ওজনের মধ্যে খারাপ মুদ্রা খুঁজুন। সর্বাধিক সংখ্যক কয়েনের সাধারণ সূত্র খুঁজুন যার জন্য আপনি জালটি খুঁজে পেতে পারেন x ওজন

একটি সমস্যার একটি সহজ সংস্করণ মোকাবেলা করা প্রায়ই সমাধানের চাবিকাঠি প্রকাশ করে। এই ক্ষেত্রে, কল্পনা করুন যে আপনার কাছে মাত্র তিনটি কয়েন আছে, যার একটি অন্য দুটির চেয়ে হালকা। আপনি যদি তাদের একটিকে অন্য দুটির একটির সাথে ওজন করেন তবে হয় তারা ভারসাম্য বজায় রাখবে বা তারা করবে না। যদি তারা না করে, আপনি জানেন কোনটি হালকা। যদি তারা ভারসাম্য করে, তাহলে তৃতীয়টি হল হালকা। আপনি শুধুমাত্র একটি একক ওজন প্রয়োজন.

সুতরাং এই ধাঁধার মধ্যে, আপনি যদি প্রথম ওজনে হালকা মুদ্রা ধারণকারী তিনটি (বা কম) একটি দলকে আলাদা করতে পারেন, তবে আপনার আরও একটি ওজনের প্রয়োজন হবে। আপনি অন্য যেকোনো তিনটির বিপরীতে যেকোনো তিনটিকে ভারসাম্য রেখে এটি করতে পারেন। যদি দুটি গ্রুপ ভারসাম্যহীন হয়, তাহলে আপনি হালকা একটি গোষ্ঠীর মধ্যে খুঁজে পেয়েছেন এবং দ্বিতীয় ওজনের জন্য উপরের মত এগিয়ে যেতে পারেন। যদি তারা ভারসাম্য রাখে, তবে বাকি দুটি মুদ্রা একে অপরের বিরুদ্ধে ওজন করুন এবং আপনি হালকাটি পাবেন।

লক্ষ্য করুন যে এটিও কাজ করে যদি ওজন না করা গ্রুপে তিনজন থাকে, তাই আমরা নয়টি মুদ্রা দিয়ে শুরু করতে পারতাম। এই যুক্তি অনুসরণ করে, এবং তিনটি মুদ্রা দিয়ে শুরু করে, প্রতিটি অতিরিক্ত ওজনের জন্য আমরা আগের কয়েনের তিনগুণে হালকা মুদ্রা খুঁজে পেতে পারি। সূত্র আমাদের সর্বোচ্চ সংখ্যক কয়েন দেয় n in w ওজন তাই n = 3^w.

ধাঁধা 2

আপনার কাছে 12টি অভিন্ন চেহারার কয়েন আছে। একটি অন্যদের তুলনায় ভারী বা হালকা, যার ওজন অভিন্ন।

1. তিনটি ওজনে খারাপ মুদ্রা খুঁজুন।

2. সর্বোচ্চ কত কয়েন যার জন্য আপনি চারটি ওজনের মধ্যে খারাপটি খুঁজে পেতে পারেন? আপনি কিভাবে জাল মুদ্রা খুঁজে পাবেন বর্ণনা করুন.

এই ধাঁধার সমাধানটি ভালভাবে বর্ণনা করেছেন ট্যাড্, যিনি আরও দেখিয়েছেন যে আপনি আসলে তিনটি ওজনের 13টি মুদ্রার মধ্যে খারাপ মুদ্রা সনাক্ত করতে পারেন। এখানে টেডের সমাধান (প্রতিটি ক্ষেত্রে তিনটি ওজন আলাদা করার জন্য ইন্ডেন্টেশন সহ):

4 কয়েন বনাম 4 কয়েন ওজন করে শুরু করুন।

কেস 1: ভারসাম্যহীন হলে, দ্বিতীয় ওজনের জন্য স্কেলের উভয় পাশে 2টি ভারী দিক এবং 1টি হালকা পাশ দিয়ে রাখুন।

1a: ভারসাম্যহীন হলে, খারাপ মুদ্রা হল 2টি কয়েন যেটি ভারী সাইডে স্থির থাকে বা একটি একক মুদ্রা হালকা দিকে থাকে।

2টি সম্ভাব্য ভারী মুদ্রার ওজন করুন, খারাপটি হয় দুটির মধ্যে ভারী, অথবা একক হালকা একটি যদি তারা ভারসাম্যপূর্ণ হয়।

1b: যদি দ্বিতীয় ওজন ভারসাম্যপূর্ণ হয়, খারাপ মুদ্রাটি প্রথম ওজনের হালকা দিক থেকে অব্যবহৃত 2টির মধ্যে একটি।

একে অপরের বিরুদ্ধে তাদের ওজন করুন, লাইটারটি খারাপ।

কেস 2: ভারসাম্য থাকলে, খারাপ মুদ্রাটি অবশিষ্ট 5টির মধ্যে একটি। ইতিমধ্যে ওজন করা 3টির বিপরীতে 3টির ওজন করুন (যা ভাল বলে পরিচিত)।

কেস 2a: ভারসাম্যহীন হলে, আপনি জানেন খারাপ মুদ্রাটি সেই 3টির মধ্যে একটি এবং এটি হালকা বা ভারী কিনা।

তৃতীয় ওজন একে অপরের বিরুদ্ধে যে কোন 2 - যদি ভারসাম্যহীন হয়, এটি খারাপ মুদ্রা চিহ্নিত করে, যদি ভারসাম্যপূর্ণ হয় তবে এটি তিনটির মধ্যে শেষ।

কেস 2b: যদি দ্বিতীয় ওজন ভারসাম্যপূর্ণ হয়, খারাপ মুদ্রাটি অবশিষ্ট 2-এর মধ্যে একটি।

একটি পরিচিত ভাল মুদ্রার বিপরীতে তাদের উভয়ের ওজন করুন। যদি এই ফলাফলটি ভারসাম্যহীন হয় তবে এই নতুন মুদ্রাটি খারাপ এবং আপনি জানেন যে এটি ভারী না হালকা। যদি এই ফলাফলটি ভারসাম্যপূর্ণ হয়, 13 তম মুদ্রাটি খারাপ, তবে এটি ভারী নাকি হালকা তা অজানা (যা আমাদের জানার দরকার নেই, তাই আমরা শেষ করেছি)।

ট্যাড্ আরও দেখান যে চারটি ওজনের জন্য সর্বোচ্চ সংখ্যক কয়েন হল 40। এই ধাঁধার সূত্রটি হল: n = (3)^w − 1)/2।

অবশিষ্ট ধাঁধার জন্য, সাধারণীকৃত সূত্রগুলি এখনও পেশাদার গণিতবিদদের দ্বারা তদন্তাধীন এবং প্রকাশিত গবেষণাপত্রের বিষয়, যার মধ্যে কয়েকটি উদ্ধৃত করা হয়েছে বৃষ্টির জন্য বসন্ত. ধাঁধার মধ্যে আমরা যে কয়েনগুলি বিবেচনা করি তার সমাধানের জন্য আমি নিজেকে সীমাবদ্ধ রাখব এবং শুধুমাত্র সাধারণীকরণগুলি উল্লেখ করব যা এই ক্ষেত্রে ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলি থেকে স্বাভাবিকভাবে অনুসরণ করে।

ধাঁধা 3

এটি ধাঁধা 1 এর একটি ভিন্নতা। আপনার কাছে আবার আটটি অভিন্ন চেহারার কয়েন আছে, যার একটি অন্যগুলোর তুলনায় হালকা। যাইহোক, এখন আপনার তিনটি স্কেল আছে। দুটি স্কেল কাজ করে, কিন্তু তৃতীয়টি ভেঙে যায় এবং এলোমেলো ফলাফল দেয় (এটি কখনও কখনও সঠিক এবং কখনও কখনও ভুল)। আপনি জানেন না কোন স্কেল ভাঙ্গা। হালকা মুদ্রা বের করতে কত ওজন লাগবে?

আমরা সমস্যা 1 এ দেখেছি, এটি একটি ভাল ভারসাম্য সহ মাত্র দুটি ওজন নেয়। আমরা এও জানি যে দুটি ভাল ব্যালেন্স সবসময় একমত হবে, তাই আমরা যদি তিনটি ভারসাম্যের প্রতিটি ওজনের পুনরাবৃত্তি করি, তাহলে একজন পাঠকের পরামর্শ অনুযায়ী আমাদের কাছে ছয়টি ওজনের উত্তর থাকবে। আমরা যদি অল্প সংখ্যক ওজনে এটি করার চেষ্টা করি তবে এটি কিছুটা জটিল হয়ে যায়। আমরা একই মুদ্রা দুটি স্কেলে ওজন করে একটি ভাল স্কেল সনাক্ত করতে পারি না, কারণ তারা সম্মত হলেও, উভয়ের মধ্যে একটি খারাপ স্কেল হতে পারে। (এটি আরও দেখায় যে কত সহজে ভুল তথ্য বা এলোমেলো তথ্য সত্যকে অস্পষ্ট করতে পারে।)

আসলে, এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে, খুব চতুরভাবে, মাত্র চারটি ওজনে! বৃষ্টির জন্য বসন্ত এই ধাঁধার জন্য তৈরি করা হয়েছে বলে মনে হচ্ছে একটি নতুন ফ্যাংলাড নোটেশন ব্যবহার করে সমাধানটি পোস্ট করেছে। কিন্তু আপনি সেখানে যাওয়ার আগে, আমি চাই আপনি এমন একটি দৃশ্যকল্প কল্পনা করুন যা আমি আশা করি জিনিসগুলিকে আরও স্বজ্ঞাত করে তুলবে।

কল্পনা করুন যে আপনি একজন গোয়েন্দা একটি ছোট দেশে হিট-অ্যান্ড-রানের তদন্ত করছেন যার গাড়ির দুটি সংখ্যার লাইসেন্স প্লেট রয়েছে শুধুমাত্র 0, 1 এবং 2 সংখ্যা ব্যবহার করে। তিনজন ব্যক্তি, A, B এবং C, ঘটনাটি পর্যবেক্ষণ করেছেন। তাদের মধ্যে দু'জন সর্বদা একটি তিন-পছন্দের প্রশ্নের সঠিক উত্তর দেয় এবং একজন সম্পূর্ণ এলোমেলো উত্তর দেয়। এলোমেলো উত্তরদাতা কে তা আপনি জানেন না। আপনাকে তাদের প্রত্যেককে একটি একক তিন-পছন্দের প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে হবে এবং তারপরে আরও তথ্য পাওয়ার জন্য যিনি অবশ্যই সত্য বলছেন তাকে বেছে নিন।

এখানে আপনি এটা কিভাবে. A কে জিজ্ঞাসা করুন যদি প্রথম অঙ্কটি 0, 1 বা 2 হয়। ধরা যাক A বলে 2। B কে জিজ্ঞাসা করুন যদি দ্বিতীয় সংখ্যাটি 0, 1 বা 2 হয়। ধরা যাক B বলে 1। তারপর C কে এই তিনটি বিবৃতির মধ্যে একটি পছন্দ করতে বলুন:

• শুধু ক সত্য বলছে।
• শুধুমাত্র B সত্য বলছে।
• দুজনেই সত্যি কথা বলছে।

আপনি C যা আপনাকে বলে তা বিশ্বাস করতে পারেন এবং সেই ব্যক্তিকে অন্য সংখ্যা সম্পর্কে প্রশ্ন করতে পারেন। কেন দেখতে, বিবেচনা করুন যে A যদি মিথ্যা বলে, তবে C নির্ভরযোগ্য এবং বলবে যে B সত্য বলছে। দ্বিতীয় অঙ্কটি প্রকৃতপক্ষে 1 হবে এবং আপনি B কে প্রথম অঙ্ক সম্পর্কে প্রশ্ন করতে পারেন। একইভাবে, যদি B মিথ্যা বলে, তবে C আবার নির্ভরযোগ্য এবং বলবে যে A সত্য বলছে। তারপর প্রথম অঙ্কটি আসলে 2 এবং আপনি দ্বিতীয় সংখ্যা সম্পর্কে A কে প্রশ্ন করতে পারেন। অবশেষে, যদি C মিথ্যা বলে, তাহলে A এবং B উভয়ই নির্ভরযোগ্য, তাই আপনি এখনও বিশ্বাস করতে পারেন এবং C যাকে বলেন তাকে বেছে নিতে পারেন। (এবং যদি C বলে A এবং B উভয়ই সত্য বলছে, তাহলে তাদের উভয়ই হতে হবে।) এখানে মূল বিষয় হল আপনার পছন্দের প্রশ্নগুলি C কে এমনভাবে মিথ্যা বলার অনুমতি দেয় না যাতে A এবং B উভয়ের উপরই সন্দেহ সৃষ্টি হয়। যেহেতু A এবং B এর মধ্যে অন্তত একটি অবশ্যই নির্ভরযোগ্য হতে হবে, আপনি সর্বদা একটি বেছে নিতে পারেন যার সাথে C সম্মত হয়, এমনকি যদি এটি শুধুমাত্র একটি এলোমেলো উত্তর হয়। যদি তাদের তিনটিই সম্মত হয়, তাহলে আপনার কাছে ইতিমধ্যেই লাইসেন্স প্লেটের দুটি সংখ্যা রয়েছে।

এই গল্পটি আমাদের ধাঁধায় কীভাবে অনুবাদ করা যায় তা এখানে। স্কেলগুলি হল A, B এবং C। আপনি লাইসেন্স প্লেটের দুটি সংখ্যাকে নিম্নরূপ মুদ্রায় অনুবাদ করতে পারেন: 01 হল মুদ্রা 1, 02 হল মুদ্রা 2, 10 হল মুদ্রা 3, 11 হল মুদ্রা 4, 12 হল মুদ্রা 5, 20 হল কয়েন 6, 21 হল কয়েন 7 এবং 22 হল কয়েন 8৷ বিচক্ষণ পাঠকরা চিনতে পারবে যে এটি হল বেস 3 (বা ত্রিদেশীয়) সংখ্যা পদ্ধতি৷ এছাড়াও নোট করুন যে একটি অতিরিক্ত সম্ভাব্য সংখ্যা 00 রয়েছে, যা আপনি একটি নবম মুদ্রার জন্য ব্যবহার করতে পারেন যার জন্য এই কৌশলটিও কাজ করবে, যেমন ধাঁধা 1-এ।

প্রথম ওজনের জন্য, আপনি কয়েনগুলিকে তাদের প্রথম (বেস 3) সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন, তাই আপনার তিনটি গ্রুপ হবে কয়েন [1, 2], [3, 4, 5] এবং [6, 7, 8]। A স্কেলে [3, 4, 5] এর বিপরীতে [6, 7, 8] ওজন করুন। A যদি ভালভাবে কাজ করে তবে আপনার কাছে ধাঁধা 1 এর মতো সঠিক প্রথম সংখ্যার গ্রুপ থাকবে। একইভাবে, B স্কেলে দ্বিতীয় ওজনের জন্য আপনার গ্রুপগুলি একই দ্বিতীয় ডিজিটের সাথে হবে: [1, 4, 7], [2, 5, 8] এবং [3, 6]। যদি B ভাল কাজ করে, আপনার সঠিক দ্বিতীয় সংখ্যা থাকবে। তৃতীয় ওজনের জন্য, সি স্কেলে, আপনি সেই গ্রুপটিকে ওজন করেন যেটি A যে গ্রুপটি B করেছে তার বিপরীতে চিহ্নিত করেছে। আমাদের উদাহরণ অনুসরণ করে, 21-এর জন্য, গ্রুপগুলি হবে [6, 7, 8] এবং [1, 4, 7]। মুদ্রা 7 একই সময়ে উভয় পাশে রাখা যাবে না, তাই আমরা একে ছেড়ে দিয়ে একে অপরের বিরুদ্ধে [6, 8] এবং [1, 4] ওজন করি। মনে রাখবেন যে যদি A এবং B উভয়ই নির্ভরযোগ্য হয়, তাহলে 7 প্রকৃতপক্ষে সঠিক উত্তর, এবং C-তে কোন দিকটি হালকা হয়ে আসে তা বিবেচ্য নয়। যদি ঘটনাক্রমে C এর ওজন ভারসাম্যপূর্ণ হয়, তাহলে তিনটি দাঁড়িপাল্লাই একমত, এবং আপনার উত্তর আছে (মুদ্রা 7) মাত্র তিনটি ওজনে। যদি A নির্ভরযোগ্য হয় এবং B না হয়, তাহলে লাইটার কয়েনটি [6, 8]-এ থাকে, কোন স্কেল সি নিশ্চিত করবে, এবং যদি B নির্ভরযোগ্য হয় এবং A না হয়, তাহলে লাইটার কয়েনটি [1, 4]-এ থাকে, কোন স্কেলে C এছাড়াও নিশ্চিত করবে।

সুতরাং তিনটি ওজনের মধ্যে আমরা হয় হালকা মুদ্রাটিকে চিহ্নিত করেছি বা এটিকে দুটির একটি দলে সংকুচিত করেছি এবং আমরা একটি কার্যকরী স্কেলও চিহ্নিত করেছি। স্কেল A বা স্কেলে B (যেটি একটি স্কেল C এর সাথে একমত) চতুর্থ ওজন করবে বাকিটা করবে।

এই সমাধান আমাকে আশ্চর্যজনক সুন্দর হিসাবে আঘাত!

এই পদ্ধতিটি 3টির মধ্যে হালকা মুদ্রা খুঁজে বের করার জন্য সাধারণীকরণ করা যেতে পারে^2x 3 তে কয়েনx প্রদত্ত ব্যালেন্স স্কেলের সেট সহ + 1 ওজন। সুতরাং, 81টি কয়েনের জন্য আপনার সাতটি ওজনের প্রয়োজন। বড় সংখ্যক কয়েনের জন্য (>~1,000), একটি আরও শক্তিশালী সমাধান বিদ্যমান.

ধাঁধা 4

আপনার কাছে 16টি কয়েন আছে, যার মধ্যে আটটি ভারী এবং একই ওজনের। বাকি আটটি হালকা এবং একই ওজনের। আপনি জানেন না কোন মুদ্রা ভারী বা হালকা। বিশেষ চিহ্ন আছে এমন একটি ছাড়া কয়েনগুলো দেখতে একই রকম। একটি ভাল স্কেল দিয়ে, আপনি কি বের করতে পারেন যে বিশেষ মুদ্রাটি তিনটি ওজনে হালকা নাকি ভারী? আপনি কতগুলি কয়েন দিয়ে শুরু করতে পারেন এবং সফলভাবে চারটি ওজনে এই সমস্যার সমাধান করতে পারেন?

প্রথম দর্শনে, এই ধাঁধাটি তিনটি ওজনের মধ্যে করা প্রায় অসম্ভব বলে মনে হচ্ছে, যেমন আমাদের একজন পাঠক উপসংহারে পৌঁছেছেন। তবুও, কিছু চতুরতার সাথে এটি করা যেতে পারে এবং উভয়ই ট্যাড্ এবং বৃষ্টির জন্য বসন্ত সঠিক সমাধান প্রদান করে। টেড কিছু অমূল্য সাধারণ নীতি প্রদান করেছেন যা মনোযোগ দেওয়ার মতো।

প্রথমত, যতক্ষণ না আপনি ওজন থেকে ভারসাম্যহীন ফলাফল পান, বিশেষ মুদ্রাটি ভারী বা হালকা কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য আপনার কাছে পর্যাপ্ত তথ্য থাকবে না। তাই আপনাকে একটি ভারসাম্যহীন ফলাফলের জন্য জোর করে চেষ্টা করতে হবে।

দ্বিতীয়ত, যদি আপনি একটি ভারসাম্যপূর্ণ ফলাফল পান (বলুন বিশেষ মুদ্রা A ভারসাম্যযুক্ত মুদ্রা B), আপনি ভারসাম্যপূর্ণ কয়েনগুলিকে একত্রিত করতে পারেন এবং আরও দুটি মুদ্রা, C এবং D এর সাথে ওজন করতে পারেন। যদি সেগুলি ভারসাম্যহীন হয়, আপনার কাছে উত্তর আছে; অন্যথায়, আপনি এখন অনুরূপ মুদ্রার সংখ্যা দ্বিগুণ করেছেন, যা আপনাকে পরবর্তী ওজনে একটি ভারসাম্যহীন উত্তর পেতে সাহায্য করতে পারে। আপনি যদি নিম্নলিখিত সমাধানে দেখা যায় এমন প্রাথমিক ভারসাম্যহীন ফলাফল থাকলে আপনি দুটি (4, 8, ইত্যাদি) ক্ষমতার কয়েনের সংখ্যার সাথে বিপরীতভাবেও এই প্রক্রিয়াটি চালাতে পারেন।

নীচে সম্পূর্ণ পদ্ধতি রয়েছে যা তিনটি ওজনের ক্ষেত্রে বিশেষ মুদ্রা A-এর ধরন সনাক্ত করতে পারে। (B, C এবং D হল তিনটি কয়েন যা 1 (W1) ওজনের A-এর একই পাশে স্থাপন করা হয়েছে; X এবং Y হল দুটি মুদ্রা W1-এ ব্যবহৃত হয় না।)

এই ধাঁধাটি আবিষ্কার করেছিলেন রাশিয়ান গণিতবিদ কনস্ট্যান্টিন নপ, মুদ্রা ওজনের ধাঁধার উপর একটি বিশ্ব কর্তৃপক্ষ। তার অনেক কাগজপত্র রাশিয়ান ভাষায়, তবে আপনি অনেকগুলি মুদ্রা পাজল (অন্যান্য আকর্ষণীয় ধাঁধার মধ্যে) খুঁজে পেতে পারেন ব্লগ তার সহযোগী তানিয়া খোভানোভা।

সাধারণীকরণের জন্য, আমি এটি আপনার উপর ছেড়ে দেব যে এই একই পদ্ধতিটি 32টি মুদ্রার মধ্যে একটি বিশেষ মুদ্রার ধরন খুঁজে বের করার জন্য কাজ করে কিনা, যার মধ্যে 16টি ভারী এবং 16টি হালকা।

ধাঁধা 5

তোমার আছে n অভিন্ন চেহারার কয়েন, যার মধ্যে কিছু জাল এবং অন্যদের তুলনায় হালকা। আপনি শুধু জানেন যে অন্তত একটি জাল কয়েন আছে এবং নকলের চেয়ে বেশি সাধারণ কয়েন আছে। আপনার কাজ হল সমস্ত জাল কয়েন সনাক্ত করা।

অন্তত একটি হালকা মুদ্রা আছে এবং হালকা মুদ্রার চেয়ে বেশি সাধারণ কয়েন রয়েছে এই সত্যটি এই ধাঁধাটিকে প্রথম প্রদর্শিত হওয়ার চেয়ে কম জটিল করে তোলে, অন্তত ছোট সংখ্যার জন্য। আসুন এক থেকে আট মুদ্রার ওজনের সংখ্যা দেখি।

এক এবং দুটি মুদ্রার জন্য, দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী কোন হালকা মুদ্রা থাকতে পারে না, তাই কোন ওজনের প্রয়োজন নেই।

তিনটি মুদ্রা: শুধুমাত্র একটি হালকা মুদ্রা। ধাঁধা প্রতি একটি ওজন প্রয়োজন 1.

চার মুদ্রা: শুধুমাত্র একটি হালকা মুদ্রা। একটি অতিরিক্ত ওজন প্রয়োজন, তাই w = 2

পাঁচটি মুদ্রা: এক থেকে দুটি হালকা মুদ্রা। এটি প্রথম আকর্ষণীয় কেস। প্রশ্ন হল: আমাদের কি এক মুদ্রার বিপরীতে ওজন করা উচিত, নাকি দুইটির বিপরীতে দুটি মুদ্রা?

যদি আমরা একটিকে একের বিপরীতে ওজন করি, তাহলে আমাদের থাকতে পারে:

1. দুটি ভারসাম্যহীন ওজন: দুটি মুদ্রা আবিষ্কৃত হয়েছে; আমরা করেছি.
2. দুটির মধ্যে একটি সুষম ওজন: সুষম মুদ্রা স্বাভাবিক হতে হবে, তাই শেষ মুদ্রার আরেকটি ওজন প্রয়োজন, w = 3
3. দুটি ভারসাম্যপূর্ণ ওজন: তৃতীয় ওজনে, প্রতিটি আগে থেকে একটি মুদ্রা অন্যটির বিপরীতে ওজন করুন। যদি তারা ভারসাম্যপূর্ণ হয়, তবে চারটিই স্বাভাবিক, এবং মুদ্রা 5 হল হালকা। আমরা করেছি; w = 3 আবার। যদি তারা ভারসাম্যহীন হয়, আমরা দুটি হালকা মুদ্রা খুঁজে পেয়েছি, এবং আমরা তিনটি ওজনে সম্পন্ন করেছি।

পরিবর্তে যদি আমরা দুইটির বিপরীতে দুটি ওজন করি, তবে আমাদের এখনও তিনটি ওজনের প্রয়োজন, কারণ আমাদের সম্ভাবনার মধ্যে পার্থক্য করতে হবে যে মুদ্রাগুলি উভয় দিকে ভিন্ন বা একই রকম হতে পারে। একত্রে গোষ্ঠীবদ্ধ অল্প সংখ্যক মুদ্রা ব্যবহার করে ওজন করা একক মুদ্রার সাথে ওজনের তুলনায় কোন সুবিধা আছে বলে মনে হয় না।

এটি এর জন্য বহন করা হয়:

ছয় মুদ্রা: এক থেকে দুটি হালকা মুদ্রা; w = 4

সাত মুদ্রা: এক থেকে তিনটি হালকা মুদ্রা; w = 5

আট মুদ্রা: এক থেকে তিনটি হালকা মুদ্রা; w = 6. এই সমাধানটির একটি সাধারণ কাঠামো রয়েছে:

• প্রথমে একটি মুদ্রার চারটি ওজন পরেরটির বিপরীতে করুন। সব কয়েন ব্যবহার করা হয়।
• সবচেয়ে খারাপ কেস: চারটি ওজনই ভারসাম্যপূর্ণ (দুটি হালকা মুদ্রা রয়েছে যা একে অপরের ভারসাম্য রাখে)।
• পরবর্তী দুটি ওজন: 1 থেকে একটি মুদ্রার ওজন 2 ওজনের একটি মুদ্রার বিপরীতে; একইভাবে, 3 ওজনের একটি মুদ্রার ওজন 4 থেকে একটি মুদ্রার বিপরীতে।
• এই ওজনের একটি ভারসাম্যহীন হবে, দুটি হালকা মুদ্রা চিহ্নিত করবে। আমরা ছয় ওজন সম্পন্ন করা হয়.

দুঃখিত, আমাদের 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 এর ক্রম অবশ্যই জমা দেওয়ার জন্য যথেষ্ট আকর্ষণীয় নয় অন-লাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ইন্টিজার সিকোয়েন্স!

As জোনাস টগারসেন কেজেলস্টাডলি নির্দেশিত, সমাধান বলে মনে হচ্ছে w = n ছোট সংখ্যার জন্য 2, কিন্তু আমরা প্রমাণ করিনি যে এটি বড় সংখ্যার জন্য পরিবর্তন হবে না। কিছুতে n, একাধিক মুদ্রার ওজন ব্যবহার করলে ভাল কাজ করা শুরু হতে পারে, বা তার চেয়ে বেশি ওজন n −2 প্রয়োজন হতে পারে। আমরা সাধারণীকরণ করতে পারি আটটি কয়েনের সমাধানকে 2 এর সমস্ত শক্তিতে, প্রদান n − 2 হল 2 এর সমস্ত শক্তির ওজনের সংখ্যার জন্য উপরের সীমানা।

মার্ক পিয়ারসন ত্রুটি-সংশোধনকারী কোডের সাথে এই সমস্যার মিল নিয়ে আলোচনা করেছেন এবং সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যার উপর ভিত্তি করে একটি তথ্য তত্ত্ব পদ্ধতি ব্যবহার করার পরামর্শ দিয়েছেন। এই ধরনের একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে, মাইক রবার্টস আরো সাধারণ ক্ষেত্রে জন্য একটি নিম্ন আবদ্ধ পোস্ট, যা বৃষ্টির জন্য বসন্ত জন্য একটি আনুমানিক উদ্ভূত. রেনারও একটি পোস্ট করেছেন ঊর্ধ্বসীমা একটি প্রকাশিত কাগজ থেকে কিন্তু উল্লেখ্য যে সীমানা কম জন্য তীক্ষ্ণ নয় n এবং তাই আমরা উপরে বিবেচনা করা ছোট সংখ্যার জন্য সহায়ক নয়। এইভাবে, সাতটি মুদ্রার জন্য, উদ্ধৃত সীমাগুলি 4 থেকে 16 এর একটি পরিসীমা দেয়, যা আমাদের উত্তর, 5, এর মধ্যে পড়ে। জে পেয়েট সমস্ত ধাঁধার জন্য অতিরিক্ত গাণিতিক রেফারেন্স এবং সীমানা দেয়।

যারা অংশগ্রহন করেছো সবাইকে ধন্যবাদ. এই মাসের জন্য অন্তর্দৃষ্টি পুরস্কার যৌথভাবে টেড এবং রেনার এবং স্প্রিং-এর কাছে যায়৷ অভিনন্দন!

নতুনের জন্য পরের বার দেখা হবে অন্তর্দৃষ্টিগুলির.