সিক্রেট কোড এবং স্পেস কমিউনিকেশনের পিছনে মৌলিক বীজগণিত

মহাকাশ অনুসন্ধানের জন্য অত্যন্ত নির্ভুলতার প্রয়োজন। আপনি যখন নিকটতম সার্ভিস স্টেশন থেকে 70 মিলিয়ন মাইল দূরে মঙ্গলে একটি রোভার অবতরণ করছেন, তখন আপনাকে সর্বাধিক দক্ষতা বাড়াতে হবে এবং অপ্রত্যাশিতটির জন্য প্রস্তুত হতে হবে। এটি মহাকাশযানের নকশা থেকে ডেটা ট্রান্সমিশন পর্যন্ত সমস্ত কিছুর জন্য প্রযোজ্য: 0 এবং 1 সেকেন্ডের স্থির প্রবাহ হিসাবে পৃথিবীতে ফিরে আসা সেই বার্তাগুলিতে কিছু ত্রুটি থাকতে বাধ্য, তাই আপনাকে মূল্যবান সময় এবং শক্তি নষ্ট না করে সেগুলি সনাক্ত করতে এবং সংশোধন করতে সক্ষম হতে হবে৷

সেখানেই গণিত আসে৷ গণিতবিদরা তথ্য প্রেরণ এবং সঞ্চয় করার বুদ্ধিমান উপায় আবিষ্কার করেছেন৷ একটি আশ্চর্যজনকভাবে কার্যকর পদ্ধতি ব্যবহার করে রিড-সলোমন কোড, যা একই মৌলিক বীজগণিতের উপর নির্মিত যা শিক্ষার্থীরা স্কুলে শেখে। রিড-সলোমন কোডগুলি কীভাবে পপ আপ হওয়া ব্যয়বহুল ত্রুটিগুলি সংশোধন করার সময় তথ্য প্রেরণ এবং সুরক্ষিত করতে সহায়তা করে তা দেখতে একটি গণিত ক্লাসে প্রবেশ করা যাক।

দুই ছাত্র, আর্ট এবং জেকে, মিসেস আল-জাবরের গণিত ক্লাসে গোপন বার্তা বিনিময় করছে। শিল্প 57 এবং 99 নম্বর প্রকাশ করার জন্য Zeke এর সর্বশেষ নোট উন্মোচন করে। তিনি জানেন যে তাকে সরবরাহ করতে হবে x-বিন্দু (3, 6) এবং (3, 57) তৈরি করতে 6 এবং 99 স্থানাঙ্ক। শিল্প প্রতিটি বিন্দুকে রৈখিক সমীকরণে প্লাগ করে y = Ax + B এবং নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেম তৈরি করে:

57 = 3A + B

99 = 6A + B

বার্তাটি ডিকোড করার জন্য, শিল্পকে সমাধান করতে হবে A এবং B. তিনি দ্বিতীয় থেকে প্রথম সমীকরণ বিয়োগ করে শুরু করেন:

এটি দূর করে B. এই নতুন সমীকরণের উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করা আর্টকে বলে A = 14, এবং তারপর এটিকে প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে, 57 = 3 × 14 + B, দেয় B = 15

শিল্প এখন জানে যে (3, 57) এবং (6, 99) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাটি সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত হয়েছে y = 14x + 15. কিন্তু তিনি এটাও জানেন যে একটি রিড-সলোমন কোডে, গোপন বার্তাটি সহগগুলির মধ্যে লুকিয়ে আছে। তিনি তাদের সহজ সম্মত বর্ণমালার সাইফার ব্যবহার করে Zeke-এর বার্তা ডিকোড করেন: 14 হল "N" এবং 15 হল "O", যা আর্টকে বলে যে, না, Zeke আজ স্কুলের পরে ভিডিও গেম খেলতে পারবে না৷

এই সাধারণ রিড-সলোমন কোডের গোপনীয়তা জ্যামিতির দুটি মৌলিক তথ্য দিয়ে শুরু হয়। প্রথমত, যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি অনন্য রেখা রয়েছে। দ্বিতীয়, সহগ জন্য A এবং B, প্রতিটি (অ-উল্লম্ব) লাইন আকারে লেখা যেতে পারে y = Ax + B. একসাথে, এই দুটি তথ্য গ্যারান্টি দেয় যে আপনি যদি একটি লাইনের দুটি পয়েন্ট জানেন তবে আপনি খুঁজে পেতে পারেন A এবং B, এবং যদি আপনি জানেন A এবং B, আপনি লাইনের সমস্ত পয়েন্ট জানেন। সংক্ষেপে, তথ্যের উভয় সেটের অধিকারী হওয়া লাইনটি জানার সমতুল্য।

রিড-সলোমন কোডগুলি তথ্যের এই সমতুল্য সেটগুলিকে ব্যবহার করে। গোপন বার্তা সহগ হিসাবে এনকোড করা হয় A এবং B, এবং লাইনের পয়েন্টগুলিকে টুকরো টুকরো করে বিভক্ত করা হয়েছে, যার মধ্যে কিছু সর্বজনীনভাবে প্রেরণ করা হয়, এবং কিছু ব্যক্তিগত রাখা হয়৷ বার্তাটি ডিকোড করতে, আপনি কেবল টুকরোগুলি সংগ্রহ করুন এবং সেগুলিকে একসাথে রাখুন৷ এবং এর জন্য যা দরকার তা হল কিছু সহজ বীজগণিত।

জেকের টুকরা ছিল 57 এবং 99 নম্বর, যা তিনি আর্টে পাঠিয়েছিলেন। এই নম্বরগুলি বার্তার সর্বজনীন অংশ। আর্ট পয়েন্ট (3, 6) এবং (3, 57) পুনর্গঠনের জন্য তার নিজের টুকরা 6 এবং 99 এর সাথে একত্রিত করেছে। এখানে, 3 এবং 6 বার্তাটির ব্যক্তিগত অংশ গঠন করে, যা আর্ট এবং জেকে আগেই সম্মত হয়েছিল।

দুটি বিন্দু একটি লাইনে রয়েছে এবং বার্তাটি ডিকোড করতে, আপনাকে কেবল সেই লাইনের সমীকরণটি খুঁজে বের করতে হবে। প্রতিটি পয়েন্টে প্লাগ করা হচ্ছে y = Ax + B আপনাকে লাইন সম্পর্কে দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম দেয় যা অবশ্যই সত্য হতে হবে। এখন কৌশলটি সোজা: সিস্টেমটি সমাধান করুন, লাইন নির্ধারণ করুন এবং বার্তাটি ডিকোড করুন।

বীজগণিত ক্লাসে আপনি সম্ভবত সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার অনেক পদ্ধতি শিখেছেন, যেমন গ্রাফিং, অনুমান করা এবং পরীক্ষা করা এবং প্রতিস্থাপন। আর্ট এলিমিনেশন ব্যবহার করে, একটি পদ্ধতি যেখানে আপনি সমীকরণগুলিকে বীজগণিতিকভাবে ব্যবহার করেন যাতে ভেরিয়েবলগুলিকে একবারে নির্মূল করা যায়। প্রতিবার আপনি একটি ভেরিয়েবল মুছে ফেললে, সিস্টেমটি সমাধান করা একটু সহজ হয়ে যায়।

অন্যান্য এনক্রিপশন স্কিমগুলির মতো, এটি সর্বজনীন এবং ব্যক্তিগত তথ্যের চতুর সংমিশ্রণ যা বার্তাগুলিকে সুরক্ষিত রাখে। জেকে শ্রেণীকক্ষ জুড়ে তার 57 এবং 99 নম্বরগুলি চিৎকার করতে পারে এবং এটি শিল্পে তার বার্তার নিরাপত্তাকে বিপন্ন করবে না (যদিও এটি তাকে মিসেস আল-জাবরের সাথে সমস্যায় পড়তে পারে)। কারণ সংশ্লিষ্ট ব্যক্তিগত তথ্য ছাড়াই - xস্থানাঙ্ক 3 এবং 6 — লাইনের সমীকরণ সনাক্ত করা অসম্ভব। যতক্ষণ না তারা এই মূল্যবোধগুলি নিজেদের কাছে রাখে, ততক্ষণ তারা নিরাপদে তাদের গোপন বার্তা জনসমক্ষে পাঠাতে পারে।

লাইন y = 14x দুই-অক্ষরের "না" শব্দটি প্রেরণের জন্য + 15 ভাল, তবে শিক্ষার্থীরা যদি একটি দীর্ঘ গোপনীয়তা ভাগ করতে চায় তবে কী হবে? এখানে বীজগণিত, জ্যামিতি এবং রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির সম্পূর্ণ শক্তি কার্যকর হয়৷

ধরুন Zeke জানতে চায় যে আর্ট কীভাবে মনে করে সে আগামীকালের ইংরেজি পরীক্ষায় করবে। আর্ট তার তিনটি অক্ষরের উত্তরকে 14, 59 এবং 82 নম্বরে রূপান্তরিত করে এবং সেগুলি Zeke-এর কাছে দেয়। ছাত্ররা আগেই সম্মত হয়েছিল যে 3 দৈর্ঘ্যের রিড-সলোমন কোড ব্যবহার করার সময়, তাদের ব্যক্তিগত সংখ্যা 2, 5 এবং 6, তাই Zeke পয়েন্টগুলি (2, 14), (5, 59) এবং (6, 82)।

এখন, এই তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া কোনো রৈখিক ফাংশন নেই। কিন্তু একটি অনন্য দ্বিঘাত ফাংশন আছে যা করে। আর যেহেতু প্রতিটি দ্বিঘাত ফাংশন ফর্মে লেখা যায় y = Ax² + Bx + C, একই সাধারণ পদ্ধতি প্রয়োগ করা যেতে পারে। পার্থক্য শুধুমাত্র সিস্টেমের আকার.

প্রতিটি পয়েন্টে প্লাগ করা হচ্ছে y = Ax² + Bx + C একটি সমীকরণ প্রদান করে, তাই তিনটি বিন্দু তিনটি সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেম তৈরি করে:

(2, 14):          14 = 4A + + 2B + C

(5, 59):          59 = 25A + + 5B + C

(6, 82):          82 = 36A + + 6B + C

তিনটি অজানা সমীকরণের একটি সিস্টেম দুটি অজানা সহ দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেমের চেয়ে সমাধান করতে একটু বেশি কাজ করতে হবে, কিন্তু লক্ষ্য একই: ভেরিয়েবলগুলি নির্মূল করার জন্য চতুরভাবে সমীকরণের জোড়া একত্রিত করুন৷

উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি দ্বিতীয়টি থেকে প্রথম সমীকরণটি বিয়োগ করেন, আপনি নতুন সমীকরণ 45 = 21 পাবেনA + + 3B. একইভাবে, আপনি যদি তৃতীয় থেকে দ্বিতীয় সমীকরণটি বিয়োগ করেন, আপনি 23 = 11 পাবেনA + B. এই বীজগণিতিক ম্যানিপুলেশনগুলি একটি নতুন সিস্টেম তৈরি করে:

45 = 21A + + 3B

23 = 11A + B

এখন আপনার কাছে একটি "টু-বাই-টু" সিস্টেম রয়েছে: দুটি অজানা সহ দুটি সমীকরণ। এটি সমাধান করতে, আপনি দ্বিতীয় সমীকরণটিকে −3 দ্বারা গুণ করতে পারেন এবং এটিকে প্রথম সমীকরণে যোগ করতে পারেন:

লক্ষ্য করুন কিভাবে বারবার নির্মূল করা তিনটি সমীকরণের মূল সিস্টেমটিকে একটি একক সমীকরণে পরিণত করেছে যা সহজেই সমাধান করা যেতে পারে: A = 2. পিছনে কাজ, আপনি প্লাগ করতে পারেন A = 2 এর মধ্যে একটি সমীকরণ দুই-বাই-টু পদ্ধতিতে বের করতে হবে B = 1, এবং তারপর পেতে দুটি মানকে মূল সমীকরণের একটিতে প্লাগ করুন C = 4. 2, 1 এবং 4 এ সহজ বর্ণমালার সাইফার ব্যবহার করার পরে, Zeke জানে যে আর্ট আগামীকালের ইংরেজি পরীক্ষায় "খারাপ" করতে যাচ্ছে। অন্তত সে প্রচুর বীজগণিত অনুশীলন করছে।

বহুপদী ফাংশন সম্পর্কে একটি বিশেষ তথ্যের জন্য ধন্যবাদ, আপনি রিড-সলোমন কোডগুলি ব্যবহার করে যে কোনও দৈর্ঘ্যের একটি বার্তা প্রেরণ করতে পারেন। মূল এই: যে কোনো দেওয়া n বিভিন্ন সঙ্গে সমতল পয়েন্ট x-স্থানাঙ্ক, "ডিগ্রী" এর একটি অনন্য বহুপদ আছে n − 1 যা তাদের মধ্য দিয়ে যায়। একটি বহুপদীর ডিগ্রি হল রাশিতে একটি চলকের সর্বোচ্চ শক্তি, তাই একটি দ্বিঘাত ফাংশন যেমন Ax² + Bx + C ডিগ্রী 2 আছে, সর্বোচ্চ ক্ষমতা থেকে x হল 2. এবং একটি লিনিয়ার ফাংশনের ডিগ্রি 1 আছে, যেহেতু সমীকরণে y = Ax + B, সর্বোচ্চ ক্ষমতা x 1 হয়

প্রথম উদাহরণে আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করেছি যে দুটি বিন্দু একটি অনন্য রৈখিক, বা ডিগ্রি -1, বহুপদী নির্ধারণ করে। দ্বিতীয়টিতে, আমরা এই সত্যটির উপর নির্ভর করেছি যে তিনটি বিন্দু একটি অনন্য ডিগ্রি -2, বা দ্বিঘাত, বহুপদ নির্ধারণ করে। এবং যদি আপনি 10 দৈর্ঘ্যের একটি বার্তা পাঠাতে চান, শুধুমাত্র একটি ডিগ্রি-10 বহুপদী ফাংশনের 9 সহগ হিসাবে বার্তাটিকে এনকোড করুন। একবার আপনার ফাংশন হয়ে গেলে, 10 জন পাবলিক গণনা করুন yপূর্বে সম্মত 10 ব্যক্তিগত-এ ফাংশন মূল্যায়ন করে মূল্য x-মান। একবার আপনি এটি করলে, আপনি নিরাপদে সেগুলি পাস করতে পারেন y-আপনার রিসিভার ডিকোড করার জন্য জনসাধারণের মধ্যে স্থানাঙ্ক। অনুশীলনে, রিড-সলোমন কোডগুলি এর চেয়ে কিছুটা জটিল, আরও পরিশীলিত ধরণের সহগ এবং অনুবাদ স্কিমগুলি ব্যবহার করে, তবে মৌলিক ধারণাটি একই।

আপনার বার্তা সুরক্ষিত রাখার পাশাপাশি, রিড-সলোমন কোডগুলি ভুল ধরতে এবং এমনকি সংশোধন করার সহজ এবং কার্যকর উপায়ও অফার করে। ডেটা প্রেরণ বা সংরক্ষণ করা যে কোনো সময় এটি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ কিছু তথ্য হারিয়ে যাওয়ার বা দূষিত হওয়ার সম্ভাবনা সবসময় থাকে।

এই সমস্যার একটি সমাধান হ'ল কেবলমাত্র ডেটার অতিরিক্ত অনুলিপি প্রেরণ করা। উদাহরণস্বরূপ, Zeke [14, 14] এর পরিবর্তে [14, 15, 15, 15, 14, 15] বার্তা পাঠাতে পারে। যতক্ষণ আর্ট জানে যে বার্তাটির প্রতিটি অংশ ত্রিগুণে পাঠানো হয়েছে, তিনি বার্তাটি ডিকোড করতে পারেন এবং ত্রুটিগুলি পরীক্ষা করতে পারেন। প্রকৃতপক্ষে, তিনি যদি কোন ত্রুটি খুঁজে পান, তবে সেগুলি সংশোধন করার একটি ভাল সুযোগ রয়েছে। যদি আর্ট [14, 14, 24, 15, 15, 15] পায়, তবে প্রথম তিনটি সংখ্যা ভিন্ন তাকে একটি ত্রুটির বিষয়ে সতর্ক করে এবং যেহেতু তাদের মধ্যে দুটি 14, সে অনুমান করতে পারে যে 24টি সম্ভবত একটি হওয়া উচিত। 14 পাশাপাশি. বার্তাটি বিরক্ত করার জন্য বলার পরিবর্তে, আর্ট তার ডিকোডিং চালিয়ে যেতে পারে। এটি একটি কার্যকর কিন্তু ব্যয়বহুল কৌশল। পাঠাতে যত সময়, শক্তি এবং প্রচেষ্টা প্রয়োজন n তথ্যের টুকরো, এর জন্য তিনগুণ বেশি প্রয়োজন।

কিন্তু রিড-সলোমন কোডের পিছনের গণিত একটি দক্ষ বিকল্প প্রস্তাব করে। প্রতিটি ডেটার একাধিক কপি পাঠানোর পরিবর্তে, আপনি শুধু একটি অতিরিক্ত পয়েন্ট পাঠাতে পারেন! যদি সেই অতিরিক্ত বিন্দুটি আপনার বহুপদে মানানসই হয়, তাহলে তথ্যটি সঠিক। যদি এটি না হয়, একটি ত্রুটি হয়েছে।

এটি কীভাবে কাজ করে তা দেখতে, ধরুন আপনি প্রথম উদাহরণে "না" বার্তাটি পরীক্ষা করতে চান৷ Zeke শুধু অতিরিক্ত পাঠাতে পারেন y-সমন্বয় 155. ধরে নিচ্ছি তিনি এবং আর্ট একটি তৃতীয় ব্যক্তিগত বিষয়ে একমত হয়েছেন x- আগে থেকে সমন্বয় করুন, বলুন x = 10, আর্ট তার ডিকোড করা লাইনের বিপরীতে এই তৃতীয় বিন্দুটি পরীক্ষা করতে পারে। যখন সে প্লাগ করে x = 10 ইন y = 14x + 15 এবং দেখে যে ফলাফল 155, সে জানে ট্রান্সমিশনে কোন ত্রুটি ছিল না।

এটি শুধু লাইনের জন্য কাজ করে না। Zeke দ্বিতীয় উদাহরণে "খারাপ" চেক করতে সক্ষম করতে, আর্ট পাঠাতে পারে y = 25. যদি তারা সম্মত হয় যে 3 অতিরিক্ত ব্যক্তিগত x-সমন্বয়, Zeke প্লাগ করতে পারেন x = 3 তার দ্বিঘাত ফাংশনে y = 2x² + x + 4 এবং যাচাই করুন যে বিন্দু (3, 25) ফিট করে, আবার একটি ত্রুটি-মুক্ত ট্রান্সমিশন নিশ্চিত করে আরও একটি পয়েন্ট দিয়ে।

এবং যে অতিরিক্ত বিন্দু সম্ভাব্য ভুল সংশোধন করতে পারেন পাশাপাশি. যদি একটি ত্রুটি সনাক্ত করা হয় এবং রিসিভার বার্তাটি ধারণ করে বহুপদী ফাংশন তৈরি করতে না পারে, তবে তারা পরিবর্তে রিগ্রেশন কৌশল ব্যবহার করে "সর্বোত্তম-ফিট" বহুপদী তৈরি করতে পারে। পরিসংখ্যান ক্লাসে সেরা ফিট একটি লাইনের মতো, এটি হল বহুপদী ফাংশন যা গাণিতিকভাবে প্রদত্ত পয়েন্টগুলির সাথে সবচেয়ে ঘনিষ্ঠভাবে মাপসই করার জন্য নির্ধারিত হয়, এমনকি যদি এটি তাদের সকলের মধ্য দিয়ে না যায়। বার্তার গঠন এবং আপনি কতটা অতিরিক্ত তথ্য পাঠাচ্ছেন তার উপর নির্ভর করে, এই সেরা-ফিট বহুপদী আপনাকে সঠিক বহুপদ পুনর্গঠন করতে সাহায্য করতে পারে — এবং এইভাবে সঠিক বার্তা — এমনকি দুর্নীতিগ্রস্ত তথ্য থেকেও।

যোগাযোগের প্রেরণ এবং সংশোধনের এই দক্ষতা ব্যাখ্যা করে কেন NASA চাঁদ এবং মঙ্গল গ্রহে তার মিশনে রিড-সলোমন কোড ব্যবহার করেছে। এবং এটি আপনাকে চিন্তা করার জন্য কিছু দেয় যখন আপনি আপনার পরবর্তী সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করেন। আপনি যেমন অনুমান করেন, সমাধানের জন্য আপনার পথটি পরীক্ষা করুন বা নির্মূল করুন, রিড-সলোমন কোডগুলির শক্তি এবং কমনীয়তা এবং আপনার সিস্টেম যে সমস্ত গোপনীয়তা প্রকাশ করতে পারে সেগুলি সম্পর্কে চিন্তা করুন।

অনুশীলন

1. একই স্কিম ব্যবহার করে তারা ক্লাসে ব্যবহার করেছিল, আর্ট জেকে ডিকোড করার জন্য পাবলিক নম্বর 33 এবং 57 পোস্ট করে। বার্তা কি?

2. আর্ট এবং জেকে কীভাবে নিশ্চিত হতে পারে যে সমীকরণের সিস্টেম যা তাদের ব্যক্তিগত সংখ্যার ফলাফল x = 3 এবং x = 6 সবসময় একটি সমাধান হবে?

3. ইংরেজি পরীক্ষা সম্পর্কে শিল্পের "খারাপ" বার্তার জবাবে, জেকে ফেরত পাঠায় [90, 387, 534]। ধরে নিচ্ছি যে তারা ক্লাসে ব্যবহৃত একই স্কিমটি ব্যবহার করে, তার বার্তা কী?

4. লোলা আপনাকে একটি দুই-অক্ষরের বার্তা পাঠায় এবং একটি রিড-সলোমন কোড ব্যবহার করে একটি ত্রুটি-পরীক্ষা নম্বর এবং আর্ট এবং জেকে ব্যবহৃত একই সাধারণ বর্ণমালা সাইফার ব্যবহার করে। আপনি গোপনে সম্মত হয়েছেন x- 1, 3 এবং 10 অগ্রিম স্থানাঙ্ক, এবং লোলা সর্বজনীন সংখ্যাগুলি প্রেরণ করে [27, 43, 90]। বার্তাটিতে কি কোনো ত্রুটি আছে?