দ্য নিউ ম্যাথ অফ রিঙ্কলিং

মিশিগান বিশ্ববিদ্যালয়ে একটি 2018 আলাপের কয়েক মিনিট, ইয়ান টোবাস্কো কাগজের একটি বড় টুকরো তুলে নিয়ে আপাতদৃষ্টিতে বিশৃঙ্খল বলের মধ্যে চূর্ণবিচূর্ণ হয়ে গেল। তিনি দর্শকদের দেখার জন্য এটি ধরে রেখেছিলেন, ভাল পরিমাপের জন্য এটি চেপে ধরেন, তারপর আবার ছড়িয়ে দেন।

"আমি ভাঁজগুলির একটি বন্য ভর পেয়েছি যা উদ্ভূত হয় এবং এটিই ধাঁধা," তিনি বলেছিলেন। "কি এই প্যাটার্নটিকে অন্য, আরও সুশৃঙ্খল প্যাটার্ন থেকে নির্বাচন করে?"

তারপরে তিনি একটি দ্বিতীয় বড় কাগজের টুকরোটি ধরেছিলেন - এটি মিউরা-ওরি নামে পরিচিত সমান্তরালগ্রামের একটি বিখ্যাত অরিগামি প্যাটার্নে পূর্ব-ভাঁজ হয়েছিল - এবং এটিকে চেপে চেপে ধরেছিল। কাগজের প্রতিটি শীটে তিনি যে শক্তি ব্যবহার করেছিলেন তা প্রায় একই ছিল, তিনি বলেছিলেন, তবে ফলাফলগুলি আরও আলাদা হতে পারে না। মিউরা-ওরি জ্যামিতিক অঞ্চলে সুন্দরভাবে বিভক্ত ছিল; চূর্ণবিচূর্ণ বল ছিল জ্যাগড লাইনের একটি জগাখিচুড়ি।

"আপনি অনুভব করছেন যে এটি," তিনি চূর্ণবিচূর্ণ শীটে ক্রিজগুলির বিক্ষিপ্ত বিন্যাসের দিকে ইঙ্গিত করে বলেছিলেন, "এটির একটি এলোমেলো বিশৃঙ্খল সংস্করণ।" তিনি ঝরঝরে, সুশৃঙ্খল মিউরা-ওরি নির্দেশ করেছিলেন। "তবে আমরা আমাদের আঙুল রাখিনি যে এটি সত্য কিনা।"

সেই সংযোগ তৈরি করতে ইলাস্টিক প্যাটার্নের সর্বজনীন গাণিতিক নিয়ম প্রতিষ্ঠার চেয়ে কম কিছুর প্রয়োজন হবে না। টোবাস্কো বছরের পর বছর ধরে এটি নিয়ে কাজ করছে, এমন সমীকরণগুলি অধ্যয়ন করছে যা পাতলা স্থিতিস্থাপক পদার্থকে বর্ণনা করে — এমন জিনিস যা তার আসল আকারে ফিরে আসার চেষ্টা করে বিকৃতির প্রতিক্রিয়া জানায়। একটি বেলুনকে যথেষ্ট শক্তভাবে খোঁচা দিন এবং রেডিয়াল বলির একটি স্টারবার্স্ট প্যাটার্ন তৈরি হবে; আপনার আঙুল সরান এবং তারা আবার মসৃণ হবে. কাগজের একটি চূর্ণবিচূর্ণ বল চেপে ধরুন এবং আপনি যখন এটি ছেড়ে দেবেন তখন এটি প্রসারিত হবে (যদিও এটি সম্পূর্ণরূপে মুক্ত হবে না)। প্রকৌশলী এবং পদার্থবিজ্ঞানীরা অধ্যয়ন করেছেন যে কীভাবে এই নিদর্শনগুলি নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে আবির্ভূত হয়, কিন্তু একজন গণিতবিদদের কাছে এই ব্যবহারিক ফলাফলগুলি আরও মৌলিক প্রশ্নের পরামর্শ দেয়: সাধারণভাবে, কোনটি অন্য প্যাটার্নের পরিবর্তে একটি প্যাটার্ন নির্বাচন করে তা কি বোঝা সম্ভব?

জানুয়ারী 2021 সালে, টোবাস্কো প্রকাশ করেছে একটি কাগজ যেটি সেই প্রশ্নের উত্তরটি ইতিবাচকভাবে দিয়েছে — অন্ততপক্ষে একটি মসৃণ, বাঁকা, ইলাস্টিক শীটের ক্ষেত্রে সমতলতায় চাপা (একটি পরিস্থিতি যা প্রশ্নটি অন্বেষণ করার একটি পরিষ্কার উপায় সরবরাহ করে)। তার সমীকরণগুলি ভবিষ্যদ্বাণী করে যে আপাতদৃষ্টিতে এলোমেলো বলিতে "শৃঙ্খল" ডোমেন রয়েছে, যার পুনরাবৃত্তি, সনাক্তযোগ্য প্যাটার্ন রয়েছে। এবং তিনি একটি গবেষণাপত্র সহ-লেখেন, যা গত মাসে প্রকাশিত হয়েছে, যা একটি নতুন শারীরিক তত্ত্ব দেখায়, যা কঠোর গণিতে ভিত্তি করে, যা বাস্তবসম্মত পরিস্থিতিতে প্যাটার্নগুলির পূর্বাভাস দিতে পারে।

উল্লেখযোগ্যভাবে, টোবাস্কোর কাজ পরামর্শ দেয় যে কুঁচকে যাওয়া, তার অনেকগুলি আঙ্গিকে, একটি জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান হিসাবে দেখা যেতে পারে। "এটি গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি সুন্দর অংশ," বলেছেন স্টিফান মোলার জার্মানির বনের হাউসডর্ফ সেন্টার ফর ম্যাথমেটিক্সের।

এটি প্রথমবারের মতো, এই সাধারণ ঘটনার পিছনে গাণিতিক নিয়ম - এবং একটি নতুন উপলব্ধি - সুন্দরভাবে তুলে ধরেছে। "এখানে গণিতের ভূমিকা ছিল এমন একটি অনুমান প্রমাণ করা যা পদার্থবিদরা ইতিমধ্যে তৈরি করেছিলেন," বলেছেন রবার্ট কোহন, নিউ ইয়র্ক ইউনিভার্সিটির কোরান্ট ইনস্টিটিউটের একজন গণিতবিদ এবং টোবাস্কোর স্নাতক স্কুল উপদেষ্টা, "কিন্তু এমন একটি তত্ত্ব প্রদান করতে যেখানে আগে কোন পদ্ধতিগত বোঝাপড়া ছিল না।"

টেনে বের করা

বলিরেখা এবং স্থিতিস্থাপক নিদর্শনগুলির একটি তত্ত্ব বিকাশের লক্ষ্য একটি পুরানো। 1894 সালে, একটি পর্যালোচনায় প্রকৃতি, গণিতবিদ জর্জ গ্রিনহিল তাত্ত্বিকদের মধ্যে পার্থক্য নির্দেশ করেছেন ("আমরা কী ভাবব?") এবং তারা যে দরকারী অ্যাপ্লিকেশনগুলি বের করতে পারে ("আমরা কী করব?")।

19 তম এবং 20 শতকে, বিজ্ঞানীরা মূলত পরবর্তীতে অগ্রগতি করেছেন, বিকৃত হওয়া নির্দিষ্ট বস্তুর বলিরেখা জড়িত সমস্যাগুলি অধ্যয়ন করেছেন। প্রারম্ভিক উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে সমুদ্রগামী জাহাজের জন্য মসৃণ, বাঁকা ধাতব প্লেট তৈরির সমস্যা এবং পৃথিবীর ভূত্বকের উত্তাপের সাথে পর্বত গঠনের সংযোগ করার চেষ্টা করা।

অতি সম্প্রতি, গণিতবিদ এবং পদার্থবিদরা তত্ত্ব এবং পর্যবেক্ষণকে কুঁচকে যাওয়া পরিস্থিতি, জ্যামিতি এবং উপকরণগুলির একটি বিস্তৃত অ্যারের সাথে সংযুক্ত করার প্রচেষ্টাকে প্রসারিত করেছেন। "এটি গত 10 বছর ধরে চলছে, যেখানে আমরা প্রথমে পরীক্ষা-নিরীক্ষা করছি এবং তারপরে তাদের বোঝার জন্য তত্ত্বটি খুঁজে বের করার চেষ্টা করছি," গণিতবিদ বলেছিলেন। ডমিনিক ভেলা অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের। "এটি সম্প্রতি যে আমরা একটি সঠিক বোঝাপড়া শুরু করেছি।"

উত্তেজনাপূর্ণ মাইলফলক হয়েছে. 2015 সালে, পেড্রো রেইস, ম্যাসাচুসেটস ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির একজন যান্ত্রিক প্রকৌশলী, শারীরিক আইন বর্ণিত জ্যামিতিক নিদর্শনগুলির জন্য যা ডিফ্লেটেড সিলিকন বলের উপর তৈরি হয়। তার কাজ সেই বলিরেখাগুলোকে ইলাস্টিক উপাদানের ভেতরের ও বাইরের স্তরের পুরুত্বের সাথে সংযুক্ত করেছিল। রেইস আরও উল্লেখ করেছেন যে বলিরেখাগুলি, ত্রুটি হিসাবে বিবেচিত হওয়ার পরিবর্তে, অভিনব যান্ত্রিক আচরণ ডিজাইন করার সুযোগ দিতে পারে। তারপর 2017 সালে, ভেলা বিশ্লেষণের নেতৃত্ব দেন চাপের মধ্যে একটি পাতলা ইলাস্টিক ফিল্মের কুঁচকানো অস্থিরতা, প্রাথমিক খোঁচা এবং অন্যান্য নির্দিষ্ট বিবরণের গভীরতা অনুসারে বলির সংখ্যা কীভাবে পরিবর্তিত হয়েছে তা বর্ণনা করে।

কিন্তু এই উন্নয়নগুলি এখনও শুধুমাত্র সমস্যার সমাধান করেছে। কীভাবে বলিরেখা তৈরি হয় তার আরও সাধারণ গাণিতিক বোঝার জন্য, একটি ভিন্ন পদ্ধতির প্রয়োজন ছিল। টোবাস্কো এটিকে এগিয়ে নিয়ে যাবে।

কৌতূহল অনুসরণ

যখন তিনি ছোট ছিলেন, টোবাস্কো ভেবেছিলেন তিনি মহাকাশ প্রকৌশলে যাবেন। তিনি 2011 সালে মিশিগান বিশ্ববিদ্যালয় থেকে এই ক্ষেত্রে স্নাতক ডিগ্রি অর্জন করেন, কিন্তু ততক্ষণে তিনি গাণিতিক যুক্তি এবং শারীরিক ব্যবস্থা সম্পর্কে গভীরভাবে চিন্তা করতে শুরু করেছিলেন। তিনি গণিতে ডক্টরেট অর্জন করেন, কিন্তু তিনি জোয় পলসেনকে দায়ী করেন, যিনি বর্তমানে সিরাকিউজ ইউনিভার্সিটির একজন পদার্থবিজ্ঞানী, তাকে বলিরেখার নির্দিষ্ট পথে সেট করার জন্য।

পলসেনের কর্মজীবনের শুরুতে, যখন তিনি অস্বাভাবিক পদার্থের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করছিলেন, তখন তিনি স্পিন আবরণ নামক একটি কৌশল ব্যবহার করে অতি-পাতলা পলিমার ফিল্ম তৈরি এবং বিশ্লেষণ করতে শিখেছিলেন। প্রথমে তিনি দ্রবীভূত পলিমারের ট্রেস পরিমাণ ধারণকারী একটি বিশেষ তরল উপাদান তৈরি করতে চান; তারপর তিনি একটি স্পিনিং প্লেটে উপাদান রাখুন. বেশিরভাগ তরল বাষ্পীভূত হয়ে যাবে, যখন পলিমার শক্ত হওয়ার আগে একটি সমান বেধে ছড়িয়ে পড়ে। একবার সিরাকিউজে তার নিজস্ব ল্যাব ছিল, পলসেন শিখেছিলেন কীভাবে বাঁকা ফিল্ম তৈরি করতে স্পিন আবরণকে মানিয়ে নিতে হয় — যেমন অতি-পাতলা কচ্ছপের খোলস।

একদিন, তিনি এই বাঁকা ফিল্মগুলির কিছু স্থির জলের উপরে রেখেছিলেন এবং ছবি তোলেন যে কীভাবে তারা পৃষ্ঠে বসতি স্থাপন করেছিল। "এটি সম্পূর্ণরূপে কৌতূহল-চালিত ছিল," তিনি বলেছিলেন। 2017 সালে পলসেনের সাথে একটি অনানুষ্ঠানিক বৈঠকে ছবিগুলি টোবাস্কোর নজর কেড়েছিল।

"তারা দেখিয়েছে যে আপনি এই র্যান্ডম বিশৃঙ্খলাযুক্ত বলির ধরণগুলি পেতে পারেন - আপনি যখন দুবার পরীক্ষা করেছিলেন, তখন আপনি দুটি ভিন্ন নিদর্শন পেয়েছিলেন," বলেছেন টোবাস্কো, যিনি এখন শিকাগোর ইলিনয় বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন সহকারী অধ্যাপক। “আমি দেখতে চেয়েছিলাম যে আমি স্থিতিস্থাপকতা থেকে [সেই নিদর্শনগুলির ভবিষ্যদ্বাণী করার জন্য] কিছু আহরণযোগ্য উপায় নিয়ে আসতে পারি, যা শেলের আকৃতিকে অন্তর্ভুক্ত করে। এবং মডেলটি শেল থেকে শেল পর্যন্ত পরিবর্তিত হবে না।"

কুঁচকানো প্যাটার্ন হল ন্যূনতম সম্ভাব্য শক্তি সহ কনফিগারেশন। অর্থাৎ, পাতলা ফিল্মটি একটি সমতল পৃষ্ঠের উপর স্থির হওয়ার সাথে সাথে এটি আকারে পরিণত হয় যতক্ষণ না এটি বলিরেখার বিন্যাস খুঁজে পায়, বিশৃঙ্খল বা না হয়, যা বজায় রাখতে সর্বনিম্ন পরিমাণ শক্তি লাগে। "[প্যাটার্ন] প্রকাশের সময় সঞ্চিত শক্তির পরিমাণ দ্বারা আপনি নিদর্শনগুলিকে সংগঠিত করতে পারেন," টোবাস্কো বলেছেন।

সেই নির্দেশক নীতির নেতৃত্বে, তিনি ফিল্মটির কয়েকটি বৈশিষ্ট্যকে বিচ্ছিন্ন করেছিলেন যা প্রমাণিত হয়েছিল যে এটির প্যাটার্ন নির্বাচন করে, যার আকৃতির একটি পরিমাপ যার নাম গাউসিয়ান বক্রতা। ধনাত্মক গাউসিয়ান বক্রতা সহ একটি পৃষ্ঠ বলের বাইরের মতো নিজের থেকে দূরে বেঁকে যায়। নেতিবাচকভাবে বাঁকা পৃষ্ঠগুলি, বিপরীতে, স্যাডল-আকৃতির, একটি প্রিংলস চিপের মতো: আপনি যদি এক দিকে যান তবে আপনি উপরে যান, কিন্তু আপনি যদি অন্য দিকে যান তবে আপনি নীচে যান।

টোবাস্কো দেখেছে যে ধনাত্মক গাউসিয়ান বক্রতার ক্ষেত্রগুলি এক ধরণের বিন্যাস এবং বিশৃঙ্খল ডোমেন তৈরি করে এবং নেতিবাচক বক্রতাযুক্ত অঞ্চলগুলি অন্যান্য ধরণের উত্পাদন করে। "বিশদ জ্যামিতি এত গুরুত্বপূর্ণ নয়," ভেলা বলেছিলেন। "এটি সত্যিই গাউসিয়ান বক্রতার চিহ্নের উপর নির্ভর করে।"

তারা সন্দেহ করেছিল যে গাউসিয়ান বক্রতা কুঁচকে যাওয়ার জন্য গুরুত্বপূর্ণ, কিন্তু ভেলা বলেছিলেন যে এটি একটি আশ্চর্যের বিষয় যে ডোমেনগুলি চিহ্নের উপর এত বেশি নির্ভর করে। আরও কী ছিল, টোবাস্কোর তত্ত্বটি ইলাস্টিক পদার্থের বিস্তৃত বর্ণালীতেও প্রযোজ্য, শুধু পলসেনের রূপ নয়। "এটি একটি চমৎকার জ্যামিতিক নির্মাণ যা দেখায় কোথায় বলিরেখা দেখা দেবে," ভেলা বলেন। "তবে এটি কোথা থেকে আসে তা বোঝা সত্যিই গভীর এবং এক ধরণের আশ্চর্যজনক।"

পলসেন রাজি হন। "ইয়ানের তত্ত্বটি খুব সুন্দরভাবে যা করে তা হল আপনাকে পুরো প্যাটার্নটি দেওয়া, একযোগে।"

বাস্তব জীবনের বলি              

2018 সালের শুরুর দিকে, টোবাস্কো তার তত্ত্বটি বেশিরভাগই স্থির করেছিল — তবে এটি কাগজে কাজ করলেও, তিনি নিশ্চিত হতে পারেননি যে এটি বাস্তব জগতে সঠিক হবে। টোবাস্কো পলসেনের সাথে যোগাযোগ করেন এবং জিজ্ঞাসা করেন যে তিনি সহযোগিতা করতে আগ্রহী কিনা। পলসেন বলেন, "কিছুটা ঠিক এখনই কাজ করেছে।" "পরীক্ষামূলক ছবির উপরে রাখা ইয়ানের কিছু ভবিষ্যদ্বাণীর সাথে, আমরা এখনই দেখতে পাচ্ছি যে তারা সারিবদ্ধ হয়েছে।"

সেই বছরের সোসাইটি ফর ইন্ডাস্ট্রিয়াল অ্যান্ড অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিক্স কনফারেন্স অন ম্যাথমেটিকাল অ্যাসপেক্টস অব ম্যাটেরিয়ালস সায়েন্স, টোবাস্কোর সাথে পরিচয় হয় এলেনি কাটিফোরি, পেনসিলভানিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন পদার্থবিজ্ঞানী যিনি সীমিত শেলগুলিতে বলির প্যাটার্নের সমস্যাটি অন্বেষণ করছিলেন এবং ফলাফলের একটি ডাটাবেস তৈরি করছিলেন। এটি একটি নির্মম মুহূর্ত ছিল। "আমরা ডোমেনগুলি দেখতে পাচ্ছি [সিমুলেশনগুলিতে] যা ইয়ানের কাজ ব্যাখ্যা করেছে," তিনি বলেছিলেন। ম্যাচটি ছিল অস্বাভাবিক। এমনকি তাদের প্রথম আলোচনার সময়ও, এটা স্পষ্ট ছিল যে টোবাস্কোর তত্ত্ব, পলসেনের পরীক্ষামূলক ছবি এবং কাটিফোরির সিমুলেশন সবই একই ঘটনা বর্ণনা করেছে। "এমনকি প্রাথমিক পর্যায়ে, যখন আমাদের কাছে কংক্রিট কিছু ছিল না, আমরা সংযোগটি দেখতে পেতাম।"

সেই প্রথম দিকের উত্তেজনা দ্রুত সন্দেহের জন্ম দেয়। এটা সত্য হতে প্রায় খুব ভাল লাগছিল. "তিনি একজন গণিতবিদ এবং এই সমস্ত জিনিসগুলিকে অ-মাত্রিক করে তোলেন," পলসেন বলেন, কীভাবে বক্রতা সম্পর্কে টোবাস্কোর ধারণাগুলি দ্বি-মাত্রিক সমতল পদার্থের বাইরেও প্রসারিত হতে পারে। "আমরা কি সত্যিই একই সিস্টেমের দিকে তাকিয়ে আছি? এটা একমত, কিন্তু এটা কি রাজি হওয়া উচিত ছিল?

পরের দুই বছর ধরে, তিনজন গবেষক বিশদ বিবরণ বের করেছেন, দেখিয়েছেন যে টোবাস্কোর তত্ত্ব সত্যিই ভবিষ্যদ্বাণী করেছিল — ঠিক — পলসেন তার পরীক্ষায় এবং কাটিফোরি তার কম্পিউটার মডেলগুলিতে দেখেছিলেন এমন বলির বিন্যাস। 25 আগস্ট, তারা একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেছে প্রকৃতি পদার্থবিজ্ঞান দেখাচ্ছে কিভাবে তিনটি পন্থা সব একই, বলিরেখার সরল জ্যামিতিক বিন্যাসে একত্রিত হয়। উল্লেখযোগ্যভাবে, তারা দেখেছে যে নিদর্শনগুলি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলির ঝরঝরে পরিবারগুলির মধ্যে পড়ে যা ক্রম এবং বিশৃঙ্খলার ডোমেনগুলিকে চিহ্নিত করে। উপরন্তু, ফলাফলগুলি অসম্ভব পাতলা পদার্থের গাণিতিক বিমূর্তকরণের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয় তবে পুরুত্বের মাত্রার একাধিক আদেশকে সম্বোধন করে।

তাদের কাজটি তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগগুলি প্রসারিত করার সুযোগেরও পরামর্শ দেয়। কাটিফোরি বলেছেন যে একজন পদার্থবিদ হিসাবে, তিনি নতুন উপকরণ ডিজাইন করার ভবিষ্যদ্বাণীগুলি ব্যবহার করতে আগ্রহী। "আমি বুঝতে চাই আপনি কীভাবে পৃষ্ঠতলগুলি ডিজাইন করতে পারেন যাতে তারা আসলে আপনার পছন্দ মতো কিছুতে কুঁচকানো নিদর্শনগুলিকে স্ব-সংগঠিত করে।"

আরেকটি উন্মুক্ত প্রশ্ন হল কিভাবে তত্ত্বটি বিভিন্ন ধরণের বাঁকা পৃষ্ঠে প্রয়োগ করা যেতে পারে। "এটি এমন পরিস্থিতিতে খুব ফোকাস করে যেখানে [গাউসিয়ান বক্রতা] হয় ইতিবাচক বা নেতিবাচক, তবে কিছু অঞ্চলে অনেকগুলি পরিস্থিতি রয়েছে যা ইতিবাচক এবং কিছু নেতিবাচক," ভেলা বলেছিলেন।

পলসেন সম্মত হন যে এটি একটি উত্তেজনাপূর্ণ সম্ভাবনা, এবং টোবাস্কো বলেছেন যে তিনি সক্রিয়ভাবে এই এলাকায় কাজ করছেন এবং অন্যান্য আকারের শেলগুলি বিবেচনা করছেন - যেমন গর্তযুক্ত।

কিন্তু পলসেন বলেছিলেন যে তত্ত্বটি, যদিও এটি বর্তমানে দাঁড়িয়ে আছে, সুন্দর এবং আশ্চর্যজনক। "যদি আমি আপনাকে একটি শেল এবং একটি সীমানা আকৃতি এবং এই সহজ নিয়মের সেট দিই যা ইয়ানের তত্ত্ব ভবিষ্যদ্বাণী করেছে, তাহলে আপনি একটি কম্পাস এবং শাসক নিতে পারেন এবং মূলত বলি আঁকতে পারেন," তিনি বলেছিলেন। “এটা এভাবে ঘটতে হত না। এটা সম্পূর্ণ ভয়ঙ্কর হতে পারে।"