ভূমিকা
আমরা গণিতকে সম্পূর্ণরূপে যৌক্তিক বলে মনে করি, কিন্তু গণিতের শিক্ষা, এর মূল্যবোধ, এর উপযোগিতা এবং এর কাজগুলি সূক্ষ্মভাবে পরিপূর্ণ। তাহলে "ভাল" গণিত কি? 2007 সালে, গণিতবিদ ড টেরেন্স টাও জন্য একটি প্রবন্ধ লিখেছেন আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির বুলেটিন যে এই প্রশ্নের উত্তর চেয়েছিল. আজ, একটি ফিল্ডস মেডেল, গণিতে একটি ব্রেকথ্রু পুরস্কার এবং একটি ম্যাকআর্থার ফেলোশিপ প্রাপক হিসাবে, তাও জীবিত সবচেয়ে সম্মানিত এবং বিশিষ্ট গণিতবিদদের একজন। এই পর্বে, তিনি আমাদের হোস্ট এবং সহকর্মী গণিতবিদদের সাথে যোগ দেন স্টিভেন স্ট্রোগাটজ ভাল গণিত তৈরির পুনর্বিবেচনা করতে।
শুনুন অ্যাপল পডকাস্ট, Spotify এর, গুগল পডকাস্ট, Stitcher, চালু করা অথবা আপনার প্রিয় পডকাস্টিং অ্যাপ, অথবা আপনি করতে পারেন এটা থেকে স্ট্রিম কোয়ান্টা.
প্রতিলিপি
স্টিভেন স্ট্রোগাটজ: 2007 সালের অক্টোবরে, যখন প্রথম প্রজন্মের আইফোন এখনও একটি হট কমোডিটি ছিল এবং মহামন্দার আগে স্টক মার্কেট সর্বকালের উচ্চতায় ছিল, তখন UCLA-এর গণিতের অধ্যাপক টেরেন্স টাও একটি উত্তর দিতে দৃঢ়প্রতিজ্ঞ ছিলেন। গণিতবিদদের মধ্যে দীর্ঘকাল ধরে বিতর্কিত প্রশ্নটি ছিল: ভাল গণিত আসলে কী?
এটা কঠোরতা সম্পর্কে? কমনীয়তা? বাস্তব বিশ্বের উপযোগিতা? টেরি একটি খুব চিন্তাশীল এবং উদার লিখেছিলেন, আমি এমনকি মনেপ্রাণে বলব, গণিত ভাল হতে পারে এমন সমস্ত উপায় সম্পর্কে প্রবন্ধ। কিন্তু এখন, 15 বছরেরও বেশি সময় পরে, আমাদের কি ভাল গণিত কী তা পুনর্বিবেচনা করার দরকার আছে?
আমি স্টিভ স্ট্রোগাটজ, এবং এটি হল “দ্য জয় অফ কেন,” থেকে একটি পডকাস্ট Quanta ম্যাগাজিন যেখানে আমার সহ-হোস্ট, জান্না লেভিন, এবং আমি পালাক্রমে আজ গণিত এবং বিজ্ঞানের সবচেয়ে বড় উত্তর না দেওয়া প্রশ্নগুলির মধ্যে কিছু অন্বেষণ করি৷
(থিম নাটক)
গণিতকে কী ভালো করে তোলে সেই চিরন্তন প্রশ্নটি এখানে আজকে পুনর্বিবেচনা করতে টেরি টাও নিজেই। প্রফেসর টাও গণিতের একটি আশ্চর্যজনকভাবে বিস্তৃত অংশের উপর 300 টিরও বেশি গবেষণাপত্র লিখেছেন যার মধ্যে রয়েছে সুরেলা বিশ্লেষণ, আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, সংমিশ্রণ, সংখ্যা তত্ত্ব, ডেটা সায়েন্স, র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স এবং আরও অনেক কিছু। তাকে "গণিতের মোজার্ট" হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে। এবং একটি ফিল্ডস মেডেল, গণিতে একটি ব্রেকথ্রু পুরস্কার, একটি ম্যাকআর্থার ফেলোশিপ এবং অন্যান্য অনেক পুরষ্কার বিজয়ী হিসাবে, সেই মনিকার অবশ্যই প্রাপ্য।
টেরি, "দ্য জয় অফ কেন"-এ স্বাগতম।
টেরেন্স তাও: এখানে থাকতে পেরে আনন্দিত।
স্ট্রোগাটজ: আমি খুবই উত্তেজিত এই প্রশ্নটি সম্পর্কে আপনার সাথে কথা বলতে পেরে খুবই উত্তেজিত বোধ করছি যা কিছু ধরণের গাণিতিক গবেষণাকে ভালো করে তোলে। আমি বেশ vividly মাধ্যমে flipping মনে করতে পারেন আমেরিকান ম্যাথ সোসাইটির বুলেটিন ফিরে 2007 এবং জুড়ে আসছে এই সমস্যা সম্পর্কে আপনার প্রবন্ধ যে আপনি আমাদের জন্য জাহির. এটি এমন কিছু যা সমস্ত গণিতবিদরা চিন্তা করেন। কিন্তু সেখানকার লোকেদের জন্য যারা এতটা পরিচিত নাও হতে পারে, আপনি কি আমাদের বলতে পারেন, আপনি কীভাবে এই প্রশ্নে অবতীর্ণ হলেন? সেই সময়ে আপনি কীভাবে ভাল গণিতকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন?
টিএও: ঠিক, হ্যাঁ। এটা আসলে একটি অনুরোধ ছিল. তাই এর সম্পাদক ড বুলেটিন সেই সময় আমাকে একটি নিবন্ধে অবদান রাখতে বলেছিলেন। আমি মনে করি একজন ছাত্র হিসাবে গণিত কী তা সম্পর্কে আমার খুব নির্বোধ ধারণা ছিল। আমার এই ধারণা ছিল যে কিছু ধরণের ধূসর দাড়ির কাউন্সিল রয়েছে যা লোকেদের কাজ করার জন্য সমস্যাগুলি হস্তান্তর করবে। এবং এটি একজন স্নাতক ছাত্র হিসাবে আমার কাছে এক ধরণের ধাক্কা ছিল, বুঝতে পেরেছিল যে সমস্যাগুলি হস্তান্তর করার জন্য এই কেন্দ্রীয় কর্তৃপক্ষ আসলে ছিল না এবং লোকেরা স্ব-নির্দেশিত গবেষণা করেছিল।
আমি কথা বলতে থাকলাম এবং শুনতে থাকলাম যে কীভাবে অন্য গণিতবিদরা তাদের কী উত্তেজনাপূর্ণ মনে করেন এবং কী তাদের গণিত সম্পর্কে উত্তেজিত করে, এবং প্রতিটি গণিতবিদদের গণিতের কাছে যাওয়ার আলাদা উপায় রয়েছে। যেমন, কেউ অ্যাপ্লিকেশন অনুসরণ করবে, কেউ নান্দনিক সৌন্দর্যের মাধ্যমে, কেউ কেবল সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে। তারা একটি সমস্যা সমাধান করতে চেয়েছিল এবং তারা সবচেয়ে কঠিন, সবচেয়ে চ্যালেঞ্জিং কাজগুলির উপর ফোকাস করবে। কেউ কেউ কৌশলের উপর ফোকাস করবে; কিছু জিনিস যতটা সম্ভব মার্জিত করার চেষ্টা করবে।
কিন্তু এই বিভিন্ন গণিতবিদদের মধ্যে অনেকের কথা শুনে যেটা আমাকে আপ্লুত করেছিল যে তারা গণিতে কী মূল্যবান বলে মনে করে তা হল, যদিও আমাদের সকলেরই ভাল গণিত দেখতে কেমন হওয়া উচিত সে সম্পর্কে বিভিন্ন ধরনের আদর্শ ছিল, তারা সব ধরনের প্রবণতা রাখে। একই জিনিস একত্রিত.
যদি গণিতের একটি অংশ সত্যিই ভাল হয়, যারা সৌন্দর্য অনুসরণ করে তারা অবশেষে এটি জুড়ে ঘটবে। যারা অনুসরণ করে, যারা মূল্য দেয়, আপনি জানেন, প্রযুক্তিগত শক্তি বা অ্যাপ্লিকেশনগুলি অবশেষে এটির উপর অবতরণ করবে।
ইউজিন উইগনার একটি খুব বিখ্যাত রচনা ছিল গণিতের অযৌক্তিক কার্যকারিতা প্রায় এক শতাব্দী আগে ভৌত বিজ্ঞানে, যেখানে তিনি এইমাত্র লক্ষ্য করেছিলেন যে গণিতের কিছু ক্ষেত্র রয়েছে - উদাহরণস্বরূপ, রিমেনিয়ান জ্যামিতি, বাঁকা স্থানের অধ্যয়ন - যা প্রাথমিকভাবে গণিতবিদদের জন্য একটি সম্পূর্ণরূপে তাত্ত্বিক অনুশীলন ছিল, আপনি জানেন, প্রমাণ করার চেষ্টা করছেন। সাধারণ আপেক্ষিকতার গণিতকে বর্ণনা করার জন্য আইনস্টাইন এবং পয়নকেরে এবং হিলবার্টের যা প্রয়োজন ছিল তা সমান্তরাল পোস্টুলেট ইত্যাদি। এবং যে শুধুমাত্র একটি ঘটনা ঘটে যে.
তাই এটা শুধু গণিত নয়, যে [কি] গণিতবিদরা বুদ্ধিগতভাবে আকর্ষণীয় মনে করেন শেষ পর্যন্ত শারীরিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ। কিন্তু গণিতের মধ্যেও, গণিতবিদরা যে বিষয়গুলিকে মার্জিত মনে করেন তাও গভীর অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে।
আমি যা অনুভব করি তা হল, আপনি জানেন, সেখানে কিছু প্লেটোনিক ভাল গণিত রয়েছে, এবং আমাদের সমস্ত বিভিন্ন মান ব্যবস্থা সেই উদ্দেশ্যমূলক ভাল জিনিসগুলি অ্যাক্সেস করার বিভিন্ন উপায়।
স্ট্রোগাটজ: এটা খুবই মজার। নিজেকে প্লেটোনিক চিন্তাভাবনার দিকে ঝুঁকে পড়া এক ধরণের ব্যক্তি হওয়ার কারণে, আমি একমত হতে প্রলুব্ধ হয়েছি। যদিও আমি আপনার কথা শুনে কিছুটা অবাক হয়েছি, কারণ আমি ভাবতাম আপনি কোথায় যাচ্ছেন প্রাথমিকভাবে মনে হচ্ছে, এই সম্পর্কে অনেকগুলি ভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি রয়েছে। এটি একটি মজার সত্য, যদিও, এক ধরনের অভিজ্ঞতামূলক সত্য যে, কোনটি ভাল বা ভাল নয় সে সম্পর্কে আমরা একমত হতে পারি, যদিও আপনি যেমন বলছেন, আমরা এটিতে অনেকগুলি ভিন্ন মূল্যবোধ থেকে এসেছি।
টিএও: ঠিক। একত্রিত হতে সময় লাগতে পারে। আপনি জানেন, তাই অবশ্যই এমন ক্ষেত্র রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, যেখানে অন্যদের তুলনায় একটি মেট্রিক দ্বারা পরিমাপ করা হলে সেগুলি অনেক ভাল দেখায়। হয়তো তাদের অনেক অ্যাপ্লিকেশন আছে, কিন্তু তাদের উপস্থাপনা অত্যন্ত জঘন্য, আপনি জানেন।
(স্ট্রগাটজ হাসে)
অথবা যে জিনিসগুলি খুব মার্জিত কিন্তু বাস্তব জগতে এখনও অনেক ভাল অ্যাপ্লিকেশন নেই৷ কিন্তু আমি মনে করি শেষ পর্যন্ত এটি একত্রিত হবে।
স্ট্রোগাটজ: আচ্ছা, আমাকে বাস্তব জগতের সাথে যোগাযোগের এই বিন্দু সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করতে দিন। এটি গণিতে একটি আকর্ষণীয় উত্তেজনা। এবং, আপনি জানেন, ছোট বাচ্চাদের হিসাবে, ধরা যাক, আমরা যখন প্রথম জ্যামিতি সম্পর্কে শিখি, তখন আপনি ভাবতে পারেন যে ত্রিভুজগুলি বাস্তব, বা বৃত্ত বা সরলরেখাগুলি বাস্তব, এবং তারা আপনাকে আয়তক্ষেত্রাকার আকারগুলি সম্পর্কে বলতে পারে বিশ্বের বিল্ডিং আউট, অথবা যে জরিপকারী জ্যামিতি ব্যবহার করতে হবে. এবং সর্বোপরি, শব্দটি পৃথিবীর পরিমাপ থেকে এসেছে, ঠিক, "জ্যামিতি।" আর তাই, একটা সময় ছিল যখন জ্যামিতি ছিল অভিজ্ঞতামূলক।
কিন্তু আমি আপনাকে যা জিজ্ঞাসা করতে চেয়েছিলাম তা একটি মন্তব্যের সাথে করতে হবে জন ভন নিউম্যান তৈরি সুতরাং ভন নিউম্যান, পরিচিত নয় এমন কারো জন্য, তিনি নিজেই একজন মহান গণিতবিদ ছিলেন। এবং তিনি এই প্রবন্ধে এই মন্তব্য করেছেন, "গণিতবিদ"গণিত এবং অভিজ্ঞতামূলক জগতের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে, বাস্তব জগতে, যেখানে তিনি মোটামুটিভাবে বলেছেন যে গাণিতিক ধারণাগুলি অভিজ্ঞতার মধ্যে উদ্ভূত হয়, কিন্তু যে কোনও সময়ে, আপনি একবার গাণিতিক ধারণাগুলি পেয়ে গেলে, বিষয়টি তার জীবনকে গ্রহণ করতে শুরু করে। নিজস্ব এবং তারপরে এটি শিল্পের একটি সৃজনশীল অংশের মতো। নান্দনিক মানদণ্ড গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। কিন্তু তিনি বলেন, এটা বিপদ ডেকে আনে। যখন একটি বিষয় তার অভিজ্ঞতামূলক উত্স থেকে অনেক দূরে সরে যেতে শুরু করে, বিশেষত তার দ্বিতীয় বা তৃতীয় প্রজন্মের মতো, সে বলে যে বিষয়টি খুব বেশি বিমূর্ত ইনব্রিডিং থেকে ভুগতে পারে এবং এটি অবক্ষয়ের ঝুঁকিতে রয়েছে।
যে সম্পর্কে কোন চিন্তা? আমি বলতে চাচ্ছি, গণিতকে কি এর অভিজ্ঞতামূলক উত্সের সাথে যোগাযোগ রাখতে হবে?
TAO: হ্যাঁ, আমি মনে করি এটা স্থল হতে হবে. যখন আমি বলি যে, অভিজ্ঞতাগতভাবে, গণিত করার এই সমস্ত বিভিন্ন উপায় একত্রিত হয়, এটি শুধুমাত্র কারণ - এটি তখনই ঘটে যখন বিষয়টি সুস্থ থাকে। সুতরাং, আপনি জানেন, ভাল খবর হল যে সাধারণত এটি হয়।
কিন্তু, উদাহরণস্বরূপ, গণিতবিদরা লম্বা প্রমাণের চেয়ে ছোট প্রমাণকে গুরুত্ব দেন, অন্য সব জিনিস সমান। কিন্তু কেউ কল্পনা করতে পারে যে লোকেরা ওভারবোর্ডে যাচ্ছে এবং যেমন, গণিতের একটি সাবফিল্ড যতটা সম্ভব সংক্ষিপ্ত প্রমাণ তৈরি করতে এবং গভীর উপপাদ্যগুলির এই অত্যন্ত অস্বচ্ছ দুই-লাইনের প্রমাণগুলি নিয়ে আচ্ছন্ন। এবং তারা এটিকে এই প্রতিযোগিতার মতো করে তোলে এবং তারপরে এটি এই ধরণের বিমূর্ত খেলায় পরিণত হয় এবং তারপরে আপনি সমস্ত অন্তর্দৃষ্টি হারান। আপনি সম্ভবত গভীর উপলব্ধি হারাচ্ছেন কারণ আপনি আপনার সমস্ত প্রমাণ যতটা সম্ভব সংক্ষিপ্ত করার জন্য এতটাই আচ্ছন্ন। এখন, বাস্তবে এটি ঘটে না। কিন্তু এটি একটি তাত্ত্বিক উদাহরণ, এবং আমি মনে করি ভন নিউম্যান একটি অনুরূপ পয়েন্ট তৈরি করছিল।
এবং ষাট এবং সত্তরের দশকে, যেমন, গণিতের একটি যুগ ছিল যেখানে বিমূর্ততা অনেকগুলি গণিতকে সরলীকরণ এবং একীভূত করার ক্ষেত্রে বিশাল অগ্রগতি তৈরি করছিল যা আগে খুব অভিজ্ঞতামূলক ছিল। বিশেষ করে বীজগণিতের মধ্যে, লোকেরা উপলব্ধি করছিল, আপনি জানেন, সংখ্যা এবং বহুপদ এবং অন্যান্য অনেক বস্তু যা আগে আলাদাভাবে বিবেচনা করা হয়েছিল, আপনি তাদের সকলকে একই বীজগণিত শ্রেণীর সদস্য হিসাবে ভাবতে পারেন, এই ক্ষেত্রে একটি রিং।
এবং সঠিক বিমূর্ততা খুঁজে বের করার মাধ্যমে গণিতে অনেক অগ্রগতি হয়েছে, আপনি জানেন, এটি একটি টপোলজিক্যাল স্পেস বা ভেক্টর স্পেস, যাই হোক না কেন, এবং দুর্দান্ত সাধারণভাবে উপপাদ্যগুলি প্রমাণ করে। এবং এটিকে কখনও কখনও আমরা গণিতে বোরবাকি যুগ বলি। এবং এটি গ্রাউন্ডেড হওয়া থেকে কিছুটা দূরে চলে গেছে।
আমরা অবশ্যই রাজ্যগুলিতে সম্পূর্ণ নতুন গণিত পর্বটি পেয়েছি, যেখানে শিক্ষাবিদরা চেষ্টা করেছিলেন বোরবাকি স্টাইলে গণিত শেখান এবং অবশেষে বুঝতে পেরেছিলেন যে এটি সেই স্তরে উপযুক্ত শিক্ষাবিদ্যা ছিল না।
কিন্তু এখন পেন্ডুলাম বেশ খানিকটা পিছিয়ে গেছে। আমাদের আছে - বিষয়টি বেশ কিছুটা পরিপক্ক হয়েছে এবং গণিত, জ্যামিতি, টপোলজি, যাই হোক না কেন, আমাদের সন্তোষজনক ফর্মালাইজেশন রয়েছে এবং আমরা জানি সঠিক বিমূর্ততাগুলি কী। এবং এখন ক্ষেত্রটি আবার আন্তঃসংযোগ এবং অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে ফোকাস করছে। এটি এখন বাস্তব জগতের সাথে অনেক বেশি সংযোগ করছে।
আমি বলতে চাচ্ছি, শুধু পদার্থবিদ্যা নয়, যা একটি ঐতিহ্যগত সংযোগ, কিন্তু, আপনি জানেন, কম্পিউটার বিজ্ঞান, জীবন বিজ্ঞান, সামাজিক বিজ্ঞান, আপনি জানেন। বিগ ডেটার উত্থানের সাথে সাথে, প্রায় কোনও মানব শৃঙ্খলা এখন কিছু পরিমাণে গণিত করা যেতে পারে।
স্ট্রোগাটজ: আপনি "আন্তঃসংযোগ" সম্পর্কে মাত্র এক মিনিট আগে যে শব্দটি ব্যবহার করেছেন তাতে আমি খুবই আগ্রহী কারণ এটি আমাদের আলোচনার জন্য একটি কেন্দ্রীয় বিন্দু বলে মনে হচ্ছে৷ এটি এমন কিছু যা আপনি আপনার প্রবন্ধে উল্লেখ করেছেন যে, এগুলোর সাথে, আপনি যাকে "স্থানীয়" মানদণ্ড বলবেন কমনীয়তা, বা বাস্তব-বিশ্বের অ্যাপ্লিকেশন, বা যাই হোক না কেন, আপনি ভাল গণিতের এই "গ্লোবাল" দিকটি উল্লেখ করেছেন: যে ভাল গণিত অন্যদের সাথে সংযোগ করে ভাল গণিত।
এটিকে ভালো করে তোলে, এটি অন্যান্য অংশের সাথে একত্রিত করা প্রায় মূল বিষয়। তবে এটি আকর্ষণীয় কারণ এটি প্রায় বৃত্তাকার যুক্তির মতো শোনায়: সেই ভাল গণিত হল সেই গণিত যা অন্যান্য ভাল গণিতের সাথে সংযোগ করে। কিন্তু এটি সত্যিই একটি শক্তিশালী ধারণা, এবং আমি শুধু ভাবছি যে আপনি এটিকে আরও কিছুটা প্রসারিত করতে পারেন কিনা।
টিএও: হ্যাঁ, তাই, আমি বলতে চাচ্ছি, গণিত কী সম্পর্কে — গণিত যে জিনিসগুলি করে তা হল এটি এমন সংযোগগুলি তৈরি করে যা খুব মৌলিক এবং মৌলিক, কিন্তু আপনি যদি এটিকে পৃষ্ঠের স্তর থেকে দেখেন তবে স্পষ্ট নয়। এর একটি খুব প্রাথমিক উদাহরণ হল কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের দেকার্তের আবিষ্কার যা জ্যামিতির মধ্যে একটি মৌলিক সংযোগ তৈরি করেছিল - বিন্দু এবং রেখা এবং স্থানিক বস্তুর অধ্যয়ন - এবং সংখ্যা, বীজগণিত।
সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্ত যা আপনি একটি জ্যামিতিক বস্তু হিসাবে ভাবতে পারেন, তবে আপনি এটিকে একটি সমীকরণ হিসাবেও ভাবতে পারেন: x2 + y2 = 1 একটি বৃত্তের সমীকরণ। সেই সময়ে, এটি একটি খুব বিপ্লবী সংযোগ ছিল। আপনি জানেন, প্রাচীন গ্রীকরা সংখ্যা তত্ত্ব এবং জ্যামিতিকে প্রায় সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন বিষয় হিসাবে দেখেছিল।
কিন্তু দেকার্তের সাথে এই মৌলিক সংযোগ ছিল। এবং এখন এটি অভ্যন্তরীণ; আপনি জানেন, আমরা যেভাবে গণিত শেখাই। এটি আর আশ্চর্যজনক নয় যে আপনার যদি জ্যামিতিক সমস্যা থাকে তবে আপনি সংখ্যা দিয়ে আক্রমণ করেন। অথবা যদি আপনার সংখ্যা নিয়ে সমস্যা হয়, আপনি জ্যামিতি দিয়ে আক্রমণ করতে পারেন।
এটি কিছুটা কারণ জ্যামিতি এবং সংখ্যা উভয়ই একই গাণিতিক ধারণার দিক। আমাদের বীজগণিত জ্যামিতি নামে একটি সম্পূর্ণ ক্ষেত্র রয়েছে, যা বীজগণিত বা জ্যামিতি নয়, তবে এটি একটি সমন্বিত বিষয় অধ্যয়নকারী বস্তু যা আপনি হয় জ্যামিতিক আকার হিসাবে ভাবতে পারেন, যেমন রেখা এবং বৃত্ত ইত্যাদি, বা সমীকরণ হিসাবে।
কিন্তু সত্যিই, এটা আমরা যে দুজনের অধ্যয়ন করি তার একটি সামগ্রিক মিলন। এবং বিষয়টি গভীর হওয়ার সাথে সাথে আমরা বুঝতে পেরেছি যে এটি বীজগণিত বা জ্যামিতির চেয়ে আলাদাভাবে, কিছু উপায়ে আরও মৌলিক। সুতরাং, এই সংযোগগুলি আমাদেরকে এমন বাস্তব গণিত আবিষ্কার করতে সাহায্য করছে যা প্রাথমিকভাবে, কোনো না কোনোভাবে, আমাদের অভিজ্ঞতামূলক অধ্যয়ন আমাদের কেবলমাত্র বিষয়ের একটি কোণ দেয়।
হাতির এই বিখ্যাত দৃষ্টান্তটি আছে, আমি কোথায় ভুলে গেছি, যদি আপনার কাছে থাকে… চারজন অন্ধ লোক আছে, এবং তারা একটি হাতি আবিষ্কার করে। এবং তাদের একজন হাতির পা অনুভব করে এবং তারা মনে করে, “ওহ, এটা, এটা খুব রুক্ষ। এটি অবশ্যই একটি গাছ বা অন্য কিছুর মতো হতে হবে।"
এবং তাদের মধ্যে একজন শুঁড়টি অনুভব করে এবং অনেক পরে তারা দেখতে পায় যে একটি একক হাতির বস্তু রয়েছে যা তাদের সমস্ত পৃথক অনুমান ব্যাখ্যা করছে। হ্যাঁ, তাই আমরা সবাই প্রথমে অন্ধ, আপনি জানেন। আমরা কেবল প্লেটোর গুহার ছায়া দেখছি এবং পরে বুঝতে পারি -
স্ট্রোগাটজ: বাহ, আপনি এখানে খুব দার্শনিক। এটা সামান্য. আমি এখন প্রতিরোধ করতে পারি না: আপনি যদি হাতি এবং অন্ধদের সম্পর্কে কথা বলতে শুরু করেন, তাহলে এটি প্রস্তাব করে যে আপনি মনে করেন যে গণিত সেখানে রয়েছে - যে এটি হাতির মতো কিছু এবং আমরা অন্ধ… অথবা, আপনি জানি, আমরা এমন কিছু দেখার চেষ্টা করছি যা মানুষের থেকে স্বাধীন। এটা কি সত্যিই আপনি বিশ্বাস করেন?
টিএও: আপনি যখন ভালো গণিত করেন, যেমন, এটা শুধু প্রতীককে ঠেলে দেওয়া নয়। আপনি মনে করেন এমন কিছু বাস্তব বস্তু আছে যা আপনি বোঝার চেষ্টা করছেন, এবং আমাদের কাছে থাকা সমস্ত সমীকরণগুলি কেবল এটির প্রায় বাছাই বা ছায়া।
আপনি আসলে বাস্তবতা কি এবং তাই ঘোষণা দার্শনিক পয়েন্ট বিতর্ক করতে পারেন. আমি বলতে চাচ্ছি, এগুলি এমন জিনিস যা আপনি আসলে স্পর্শ করতে পারেন, এবং আরও বাস্তব জিনিসগুলি গাণিতিকভাবে পাওয়া যায়, কখনও কখনও কম শারীরিক বলে মনে হয়। আপনি যেমন বলেছিলেন, জ্যামিতি প্রাথমিকভাবে, আপনি জানেন, ভৌত স্থানের বস্তুগুলির সম্পর্কে একটি খুব বাস্তব জিনিস ছিল যা আপনি করতে পারেন — আপনি জানেন, আপনি আসলে একটি বৃত্ত এবং একটি বর্গক্ষেত্র এবং আরও অনেক কিছু তৈরি করতে পারেন।
কিন্তু আধুনিক জ্যামিতিতে, আপনি জানেন, আমরা উচ্চ মাত্রায় কাজ করি। আমরা বিচ্ছিন্ন জ্যামিতি সম্পর্কে কথা বলতে পারি, সব ধরনের বিদঘুটে টপোলজি। এবং, আমি বলতে চাচ্ছি, বিষয়টি এখনও জ্যামিতি বলার যোগ্য, যদিও পৃথিবী আর পরিমাপ করা হচ্ছে না। প্রাচীন গ্রীক ব্যুৎপত্তি খুব পুরানো কিন্তু এটা, কিন্তু সেখানে অবশ্যই কিছু আছে। কিনা—তুমি এটাকে কতটা বাস্তব বলতে চাও। কিন্তু আমি অনুমান করি যে পয়েন্টটি আসলে গণিত করার উদ্দেশ্যে, এটি বিশ্বাস করতে সাহায্য করে যে এটি বাস্তব।
স্ট্রোগাটজ: হ্যাঁ, এটা আকর্ষণীয় না? এটা করে. মনে হচ্ছে এটি এমন কিছু যা গণিতের ইতিহাসে খুব গভীরে যায়। আর্কিমিডিস তার বন্ধু বা অন্তত সহকর্মী ইরাটোস্থেনিসের কাছে লেখা একটি প্রবন্ধ দেখে আমি হতবাক হয়েছিলাম।
আমরা এখন কথা বলছি, যেমন, 250 খ্রিস্টপূর্বাব্দ এবং তিনি মন্তব্য করেছেন, তিনি একটি ক্ষেত্র খুঁজে বের করার একটি উপায় আবিষ্কার করেছেন যাকে আমরা প্যারাবোলার অংশ বলব। তিনি একটি প্যারাবোলা নিচ্ছেন, তিনি প্যারাবোলার অক্ষের একটি তির্যক কোণে একটি রেখার অংশ দিয়ে এটিকে কেটেছেন এবং তিনি এই এলাকাটি বের করেছেন। সে খুব সুন্দর ফল পায়। কিন্তু তিনি ইরাটোস্থেনিসকে কিছু বলেছেন যেমন, "এই ফলাফলগুলি সর্বদা পরিসংখ্যানের মধ্যে অন্তর্নিহিত ছিল।" আপনি জানেন, তারা সেখানে আছে. তারা আছে. তারা শুধু তাকে খুঁজে পাওয়ার জন্য অপেক্ষা করছে।
তিনি তাদের তৈরি করেছেন এমন নয়। এটা কবিতার মত নয়। আমি বলতে চাচ্ছি, এটা আকর্ষণীয়, আসলে, তাই না? যে অনেক মহান শিল্পী — মাইকেল এঞ্জেলো পাথর থেকে মূর্তিটি মুক্তির বিষয়ে কথা বলেছিলেন, আপনি জানেন, যেন এটি শুরু করার জন্য সেখানে ছিল। এবং এটি আপনার এবং অন্যান্য অনেক মহান গণিতবিদদের মত শোনাচ্ছে - আপনি যেমন বলেন, এই ধারণাটি বিশ্বাস করা খুব দরকারী, এটি আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে, সঠিক মন এটি আবিষ্কার করার জন্য অপেক্ষা করছে।
টিএও: ঠিক। ঠিক আছে, আমি মনে করি এর একটি প্রকাশ হল যে ধারণাগুলি যখন প্রথম আবিষ্কৃত হয় তখন ব্যাখ্যা করার জন্য প্রায়শই খুব জটিল হয়, সেগুলি সরল হয়ে যায়। আমি বলতে চাচ্ছি, আপনি জানেন, প্রায়শই শুরুতে কিছু খুব গভীর বা কঠিন মনে হওয়ার কারণ হল আপনার সঠিক স্বরলিপি নেই।
উদাহরণ স্বরূপ, সংখ্যার কারসাজি করার জন্য এখন আমাদের দশমিক স্বরলিপি আছে এবং এটি খুবই সুবিধাজনক। কিন্তু অতীতে, আপনি জানেন, রোমান সংখ্যা এবং তারপরে আরও বেশি আদিম সংখ্যা পদ্ধতি ছিল যেগুলি যদি আপনি গণিত করতে চান তবে তার সাথে কাজ করা সত্যিই কঠিন ছিল।
ইউক্লিডের উপাদানসমূহ, আপনি জানেন — এই প্রাচীন গ্রন্থে কিছু যুক্তি। যেমন, ইউক্লিডের একটি উপপাদ্য আছে উপাদানসমূহ আমি মনে করি বোকার সেতু বা অন্য কিছু বলা হয়. এটা বিবৃতির মতো যে, আমি মনে করি বিবৃতিটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের মতো, দুটি ভিত্তি কোণ সমান। যেমন, এটি আধুনিক জ্যামিতিক পাঠ্যের একটি দুই-লাইন প্রমাণের মতো, আপনি জানেন, সঠিক স্বতঃসিদ্ধ সহ। কিন্তু ইউক্লিড এটা করার এই ভয়ঙ্কর উপায় ছিল. এবং এটি ছিল যেখানে ক্লাসিক্যাল যুগে জ্যামিতির অনেক শিক্ষার্থী গণিতকে পুরোপুরি ছেড়ে দিয়েছিল।
স্ট্রোগাটজ: সত্যি। (হাসি)
টিএও: কিন্তু, আপনি জানেন, আমাদের কাছে এখন এটি করার আরও ভাল উপায় রয়েছে। তাই প্রায়শই আমরা গণিতে যে জটিলতাগুলি দেখি তা আমাদের নিজস্ব সীমাবদ্ধতার নিদর্শন। এবং, তাই, আমরা পরিণত হওয়ার সাথে সাথে, আপনি জানেন, জিনিসগুলি আরও সহজ হয়ে যায়। এবং এটির কারণে এটি আরও বাস্তব মনে হয়। আমরা নিদর্শন দেখছি না. আমরা সারমর্ম দেখছি.
স্ট্রোগাটজ: আচ্ছা, তাই আপনার প্রবন্ধে ফিরে যাচ্ছি: আপনি যখন এটি লিখেছিলেন, সেই সময়ে — মানে, এটি আপনার ক্যারিয়ারের খুব প্রথম দিকে ছিল, একেবারে শুরু নয়, তবে এখনও। আপনি কেন তখন মনে করেছিলেন যে ভাল গণিত কী তা সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করা গুরুত্বপূর্ণ ছিল?
টিএও: আমি মনে করি... তাই সেই সময়ে, আমি ইতিমধ্যেই স্নাতক ছাত্রদের উপদেশ দেওয়া শুরু করেছিলাম, এবং আমি লক্ষ্য করছিলাম যে, আপনি জানেন, কোনটি ভাল এবং কোনটি নয় সে সম্পর্কে কিছু ভুল ধারণা ছিল। এবং আমি বিভিন্ন ক্ষেত্রের গণিতবিদদের সাথেও কথা বলছিলাম, এবং গণিতে একজনের ক্ষেত্রটি অন্যদের থেকে আলাদা বলে মনে হয়েছিল। কিন্তু তবুও, কোনো না কোনোভাবে আমরা সবাই একই বিষয়ে অধ্যয়ন করছিলাম।
এবং কখনও কখনও কেউ এমন কিছু বলত যা আমাকে ভুলভাবে ঘষে, আপনি জানেন, যেমন, "এই গণিতের কোনও প্রয়োগ নেই, তাই এর কোনও মূল্য নেই।" অথবা “এই প্রমাণটি খুবই জটিল; তাই এর কোন মূল্য নেই,” বা কিছু। অথবা বিপরীতভাবে, আপনি জানেন, “এই প্রমাণটি খুবই সহজ; তাই এটা মূল্যহীন..." আপনি জানেন. লাইক, কিছু ছিল, যেমন, নোংরামি ইত্যাদি, মাঝে মাঝে আমি সম্মুখীন হতাম।
এবং আমার অভিজ্ঞতায়, সর্বোত্তম গণিত এসেছিল যখন আমি একটি ভিন্ন দৃষ্টিকোণ বুঝতে পেরেছিলাম, একটি ভিন্ন ক্ষেত্রের কারও কাছ থেকে গণিত সম্পর্কে চিন্তা করার একটি ভিন্ন উপায় এবং এটিকে আমি যত্নশীল একটি সমস্যায় প্রয়োগ করি। এবং তাই গণিতকে কীভাবে সঠিকভাবে ব্যবহার করতে হয়, কীভাবে এটি চালাতে হয় সে সম্পর্কে আমার অভিজ্ঞতা এগুলোর থেকে অনেক আলাদা ছিল - "গণিত করার একটি সত্য উপায়"।
আমার মনে হয়েছিল যে এই পয়েন্টটি কোনওভাবে তৈরি করা উচিত। যে সত্যিই গণিত করার একটি বহুবচন উপায় আছে, কিন্তু যেখানে গণিত এখনও একত্রিত।
স্ট্রোগাটজ: এটা খুবই প্রকাশক, কারণ আমি অবাক হয়েছিলাম, আপনি জানেন, আমার ভূমিকায় আমি গণিতের বিভিন্ন শাখার উল্লেখ করেছি যেগুলি আপনি অন্বেষণ করেছেন, এবং আমি কিছু অন্তর্ভুক্ত করিনি। যেমন, আমি মনে করতে পারি মাত্র কয়েক বছর আগে, তরল গতিবিদ্যার এই রহস্য সম্পর্কে আপনার কাজ, আমরা মনে করি যে নির্দিষ্ট সমীকরণগুলি জল এবং বায়ুর গতির আনুমানিক কাজ করে কিনা তা নিয়ে। আমি খুব বেশি বিশদে যেতে চাই না, তবে শুধু বলতে চাই, আপনি এখানে আছেন, লোকেরা মনে করে আপনি সংখ্যা তত্ত্ব বা সুরেলা বিশ্লেষণ করছেন এবং হঠাৎ আপনি তরল গতিবিদ্যার প্রশ্নে কাজ করছেন। আমি বলতে চাচ্ছি, আমি বুঝতে পারি এটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। কিন্তু তবুও, আপনার আগ্রহের প্রশস্ততা বিভিন্ন অন্তর্দৃষ্টি, ভাল গণিত করার বিভিন্ন উপায় থেকে বিভিন্ন মূল্যবান ধারণা গ্রহণ করার আপনার প্রস্থের সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে।
টিএও: আমি ভুলে গেছি কে বলেছে, কিন্তু গণিতবিদ দুই প্রকার। হেজহগ এবং শিয়াল আছে। শিয়াল হল এমন একজন যিনি সবকিছু সম্পর্কে কিছুটা জানেন। একটি হেজহগ এমন একটি প্রাণী যা একটি জিনিস খুব ভালভাবে জানে। এবং কোনটিই অন্যটির চেয়ে ভাল নয়। তারা একে অপরের পরিপূরক। আমি বলতে চাচ্ছি, গণিতে, আপনার এমন লোকদের প্রয়োজন যারা একটি সাবফিল্ডে সত্যিই গভীর ডোমেন বিশেষজ্ঞ, এবং তারা ভিতরে-বাইরে একটি বিষয় জানেন। এবং আপনার এমন লোকদের প্রয়োজন যারা একটি ক্ষেত্র এবং অন্যটির মধ্যে সংযোগ দেখতে পারে। তাই আমি অবশ্যই একটি শিয়াল হিসাবে চিহ্নিত, কিন্তু আমি অনেক হেজহগ সঙ্গে কাজ. আমি যে কাজটি নিয়ে সবচেয়ে বেশি গর্বিত তা প্রায়শই এই ধরনের সহযোগিতা।
স্ট্রোগাটজ: ও আচ্ছা. তারা কি বুঝতে পারে যে তারা হেজহগ?
টিএও: আচ্ছা, ঠিক আছে, সময়ের সাথে ভূমিকা পরিবর্তন হয়। যেমন, অন্যান্য সহযোগিতা রয়েছে যেখানে আমি হেজহগ এবং অন্য কেউ শিয়াল। এগুলি স্থায়ী নয় - আপনি জানেন, এগুলি আপনার ডিএনএতে নেই।
স্ট্রোগাটজ: আহ, ভালো কথা। আমরা দত্তক নিতে পারি—আমরা উভয় পোশাক পরতে পারি।
আচ্ছা, কি সম্পর্কে, সেই সময়ে প্রবন্ধটির প্রতিক্রিয়া ছিল? লোকেরা কি আপনাকে কিছু বলেছে?
টিএও: আমি সাধারণভাবে মোটামুটি ইতিবাচক প্রতিক্রিয়া পেয়েছি। মানে, the AMS এর বুলেটিন আমি মনে করি এটি একটি বিশাল, ব্যাপকভাবে প্রচারিত প্রকাশনা নয়। এবং এছাড়াও, আমি সত্যিই খুব বিতর্কিত কিছু বলিনি। এছাড়াও, এই ধরণের পূর্ববর্তী সামাজিক মিডিয়া, তাই, আমি মনে করি সম্ভবত কয়েকটি গণিতের ব্লগ আছে যা এটি তুলেছে, কিন্তু কোন টুইটার ছিল না। এটা ভাইরাল করার কিছু ছিল না।
হ্যাঁ, আমিও মনে করি, সাধারণভাবে, গণিতবিদরা তাদের বেশি সময় এবং বুদ্ধিবৃত্তিক পুঁজি অনুমানে ব্যয় করেন না। মানে, অন্য একজন গণিতবিদকে ডাকা হয়েছে মিনহয়ং কিম যার খুব সুন্দর রূপক ছিল যে, গণিতবিদদের কাছে বিশ্বাসযোগ্যতা মুদ্রার মতো, টাকার মতো। আপনি যদি উপপাদ্য প্রমাণ করেন এবং আপনি প্রমাণ করেন যে আপনি বিষয়টি জানেন, আপনি কোনো না কোনোভাবে ব্যাংকে বিশ্বাসযোগ্যতার এই মুদ্রা জমা করছেন। এবং একবার আপনার কাছে পর্যাপ্ত মুদ্রা থাকলে, আপনি কিছুটা দার্শনিক হয়ে একটু অনুমান করার সামর্থ্য রাখতে পারেন এবং আপনি আসলে কী প্রমাণ করতে পারেন তার চেয়ে কি সত্য হতে পারে।
কিন্তু আমরা রক্ষণশীল হওয়ার প্রবণতা, এবং আমরা আমাদের ব্যাঙ্ক অ্যাকাউন্টে ওভারড্রাফ্ট চাই না। আপনি জানেন, আপনি চান না যে আপনার বেশিরভাগ লেখাই অনুমানমূলক হোক এবং প্রকৃতপক্ষে কিছু প্রমাণ করার জন্য শুধুমাত্র এক শতাংশের মতো হোক।
স্ট্রোগাটজ: যথেষ্ট ফর্সা। ঠিক আছে তাহলে. তো, তারপর থেকে বহু বছর কেটে গেছে। আমরা কি বিষয়ে কথা বলছি? এটি 15 বছরেরও বেশি।
টিএও: ওহ হ্যাঁ, সময় উড়ে যায়।
স্ট্রোগাটজ: আপনার মতামত কি পরিবর্তিত হয়েছে? আমাদের সংশোধন করতে হবে এমন কিছু আছে কি?
টিএও: আচ্ছা, গণিতের সংস্কৃতি বেশ খানিকটা বদলে যাচ্ছে। গণিত সম্পর্কে আমার আগে থেকেই বিস্তৃত দৃষ্টিভঙ্গি ছিল এবং এখন আমার কাছে আরও বিস্তৃত রয়েছে।
সুতরাং, একটি অত্যন্ত সুনির্দিষ্ট উদাহরণ হল: 2007 সালে কম্পিউটার-সহায়ক প্রমাণগুলি এখনও বিতর্কিত ছিল। কেপলার অনুমান নামে একটি বিখ্যাত অনুমান ছিল, যা ত্রিমাত্রিক স্থানে একক বল প্যাক করার সবচেয়ে কার্যকর উপায় নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। এবং একটি স্ট্যান্ডার্ড প্যাকিং আছে, আমি মনে করি এটিকে কিউবিক সেন্ট্রাল প্যাকিং বা অন্য কিছু বলা হয়, যা কেপলার সর্বোত্তম সম্ভাব্য বলে অনুমান করেছিলেন।
এটি অবশেষে সমাধান করা হয়েছে, কিন্তু প্রমাণটি খুব কম্পিউটার-সহায়তা ছিল. এটা বেশ জটিল ছিল, এবং [থমাস] হেলসএই বিশেষ প্রমাণটিকে আনুষ্ঠানিকভাবে যাচাই করার জন্য অবশেষে প্রকৃতপক্ষে একটি সম্পূর্ণ কম্পিউটার ভাষা তৈরি করে, কিন্তু বহু বছর ধরে এটি একটি বাস্তব প্রমাণ হিসাবে গৃহীত হয়নি। কিন্তু এটি প্রমাণ করেছে যে প্রমাণের ধারণাটি কতটা বিতর্কিত ছিল যে আপনার যাচাই করার জন্য কম্পিউটার সহায়তা প্রয়োজন।
এর পরের বছরগুলিতে, প্রমাণের আরও অনেক উদাহরণ রয়েছে যেখানে একজন মানুষ একটি জটিল সমস্যাকে এমন কিছুতে কমিয়ে দিতে পারে যা যাচাই করার জন্য এখনও একটি কম্পিউটারের প্রয়োজন। এবং তারপর কম্পিউটার এগিয়ে যায় এবং এটি যাচাই করে। দায়িত্বের সাথে কীভাবে এটি করা যায় সে সম্পর্কে আমরা এক ধরণের উন্নত অনুশীলন করেছি। আপনি জানেন, কীভাবে কোড এবং ডেটা প্রকাশ করতে হয় এবং চেক করার উপায় এবং নতুন ওপেন-সোর্স জিনিস এবং আরও অনেক কিছু। এবং এখন, কম্পিউটার-সহায়ক প্রমাণগুলির ব্যাপক গ্রহণযোগ্যতা রয়েছে।
এখন, আমি মনে করি, পরবর্তী সাংস্কৃতিক পরিবর্তন হবে AI-উত্পন্ন প্রমাণগুলি গ্রহণ করা হবে কিনা. এই মুহুর্তে, AI সরঞ্জামগুলি এমন স্তরে নেই যেখানে তারা সত্যিকারের গাণিতিক সমস্যাগুলিকে এগিয়ে নেওয়ার জন্য প্রমাণ তৈরি করতে পারে। হতে পারে স্নাতক-স্তরের হোমওয়ার্ক অ্যাসাইনমেন্ট, তারা এক ধরণের পরিচালনা করতে পারে, কিন্তু গণিত নিয়ে গবেষণা করে, তারা এখনও সেই স্তরে নেই। কিন্তু এক পর্যায়ে, আমরা এআই-সহায়ক কাগজপত্র দেখতে শুরু করতে যাচ্ছি এবং একটি বিতর্ক হবে।
যেভাবে আমাদের সংস্কৃতি কিছু উপায়ে পরিবর্তিত হয়েছে... 2007 সালে, শুধুমাত্র গণিতবিদদের একটি ভগ্নাংশ তাদের প্রিপ্রিন্টগুলি প্রকাশের আগে উপলব্ধ করেছিল। জার্নাল থেকে গ্রহণযোগ্যতার বিজ্ঞপ্তি না পাওয়া পর্যন্ত লেখকরা ঈর্ষান্বিতভাবে তাদের প্রিপ্রিন্টগুলিকে রক্ষা করবে। এবং তারপর তারা ভাগ হতে পারে.
কিন্তু এখন সবাই তাদের কাগজপত্র রাখে arXiv এর মত পাবলিক সার্ভার. একটি কাগজের ধারনা কোথা থেকে আসে সে সম্পর্কে ভিডিও এবং ব্লগ পোস্ট করার জন্য অনেক বেশি খোলামেলাতা রয়েছে। কারণ লোকেরা বুঝতে পারে যে এটিই কাজকে আরও প্রভাবশালী এবং আরও প্রভাবশালী করে তোলে। আপনি যদি আপনার কাজ প্রচার না করার চেষ্টা করেন এবং এটি সম্পর্কে খুব গোপন করেন তবে এটি একটি স্প্ল্যাশ তৈরি করে না।
গণিত হয়ে গেছে অনেক বেশি সহযোগী. আপনি জানেন, 50 বছর আগে, আমি বলব যে গণিতের বেশিরভাগ কাগজপত্র একক-লেখক ছিল। এখন, অবশ্যই সংখ্যাগরিষ্ঠ দুই বা তিন বা চারজন লেখক। এবং আমরা সবেমাত্র সত্যিই বড় প্রকল্পগুলি দেখতে শুরু করেছি যেমন আমরা বিজ্ঞানে করি, আপনি জানেন, দশজনের মতো, শত শত লোক সহযোগিতা করে। গণিতবিদদের পক্ষে এটি করা এখনও কঠিন, তবে আমি মনে করি আমরা সেখানে যেতে যাচ্ছি।
একই সাথে, আমরা অনেক বেশি আন্তঃবিভাগীয় হয়ে উঠছি। আমরা অন্যান্য বিজ্ঞানের সাথে আরও অনেক বেশি কাজ করছি। আমরা গণিতের ক্ষেত্রগুলির মধ্যে কাজ করছি। এবং ইন্টারনেটের কারণে, আমরা সারা বিশ্বের মানুষের সাথে সহযোগিতা করতে পারি। সুতরাং, আমরা যেভাবে গণিত করি তা অবশ্যই পরিবর্তন হচ্ছে।
আমি আশা করি ভবিষ্যতে, আমরা অপেশাদার গণিত সম্প্রদায়কে আরও ব্যবহার করতে সক্ষম হব। জ্যোতির্বিদ্যার মতো অন্যান্য ক্ষেত্র রয়েছে, যেখানে জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা অপেশাদার জ্যোতির্বিদ্যা সম্প্রদায়ের দুর্দান্ত ব্যবহার করে, যেমন আপনি জানেন, প্রচুর ধূমকেতু, উদাহরণস্বরূপ, অপেশাদারদের দ্বারা পাওয়া যায়।
কিন্তু গণিতবিদরা... গণিতের কয়েকটি বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্র রয়েছে যেমন, টাইলিং, দ্বি-মাত্রিক টাইলিং, এবং সম্ভবত মৌলিক সংখ্যায় রেকর্ড খুঁজে পাওয়া। গণিতের কিছু খুব নির্বাচিত ক্ষেত্র রয়েছে যেখানে অপেশাদাররা অবদান রাখে এবং তাদের স্বাগত জানানো হয়। কিন্তু অনেক বাধা আছে। গণিতের বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, আপনার এত বেশি প্রশিক্ষণ এবং অভ্যন্তরীণ বা প্রচলিত জ্ঞানের প্রয়োজন যে আমরা জিনিসগুলিকে ভিড় করতে পারি না। কিন্তু ভবিষ্যতে এই পরিবর্তন হতে পারে। হতে পারে AI এর একটি প্রভাব হল অপেশাদার গণিতবিদদের গণিতে অর্থপূর্ণ অবদান রাখার অনুমতি দেওয়া।
স্ট্রোগাটজ: এটা খুবই মজার।
[বিজ্ঞাপন সন্নিবেশের জন্য বিরতি]
স্ট্রোগাটজ: তাই অপেশাদাররা, এআই-এর সাহায্যে, হয় নতুন প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারে যা ভাল বা বিদ্যমান প্রশ্নগুলির ভাল অনুসন্ধানে সাহায্য করতে পারে, এই ধরণের জিনিস?
টিএও: অনেক ভিন্ন পদ্ধতি আছে — হ্যাঁ। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, এখন এই জিনিসগুলির মধ্যে বড় উপপাদ্যগুলির প্রমাণকে আনুষ্ঠানিক করার প্রকল্প রয়েছে আনুষ্ঠানিক প্রমাণ সহকারী, যা কম্পিউটার ভাষার মতো যা 100% যাচাই করতে পারে যে একটি উপপাদ্য সত্য বা না এবং - প্রমাণিত বা না। এটি আসলে গণিতে বড় আকারের সহযোগিতাকে সক্ষম করে।
তাই অতীতে, আপনি যদি একটি উপপাদ্য প্রমাণ করতে অন্য 10 জন লোকের সাথে সহযোগিতা করেন, এবং প্রত্যেকে একটি ধাপ অবদান রাখে, প্রত্যেককে অন্য সবার গণিত যাচাই করতে হবে। কারণ গণিতের বিষয়টি হল যে যদি একটি ধাপে ত্রুটি থাকে তবে পুরো জিনিসটি ভেঙে যেতে পারে।
সুতরাং আপনার বিশ্বাসের প্রয়োজন, এবং তাই — তাই এটি বাধা দেয়, এটি সত্যিই গণিতে বড় আকারের সহযোগিতাকে বাধা দেয়। কিন্তু এখন আছে, সত্যিকারের বড় উপপাদ্যগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে রূপান্তরিত হওয়ার সফল উদাহরণ রয়েছে যেখানে একটি বিশাল সম্প্রদায় রয়েছে, তারা সবাই একে অপরকে জানে না, তারা সবাই একে অপরকে বিশ্বাস করে না, তবে তারা কিছু গিথুব সংগ্রহস্থলে আপলোড করার মাধ্যমে যোগাযোগ করে বা কিছু, যেমন, যুক্তিতে পৃথক পদক্ষেপের স্বতন্ত্র প্রমাণ। এবং আনুষ্ঠানিক প্রমাণ সফ্টওয়্যার সবকিছু যাচাই করে, এবং তাই আপনাকে বিশ্বাস সম্পর্কে চিন্তা করতে হবে না। তাই আমরা সহযোগিতার নতুন মোড সক্ষম করছি, যা আমরা অতীতে সত্যিই দেখিনি।
স্ট্রোগাটজ: আপনার দৃষ্টিভঙ্গি শুনতে সত্যিই আকর্ষণীয়, টেরি। এটি একটি আকর্ষণীয় চিন্তা. আপনি "নাগরিক গণিতবিদ" বাক্যাংশটি শুনতে পাচ্ছেন না। আপনি নাগরিক বিজ্ঞানের কথা শুনেছেন, কিন্তু নাগরিক গণিত কেন নয়?
কিন্তু আমি শুধু ভাবছি, এমন কোন প্রবণতা আছে যা নিয়ে আপনি চিন্তিত, উদাহরণস্বরূপ, কম্পিউটার-সহায়ক প্রমাণ বা AI-উত্পন্ন প্রমাণ সহ? আমরা কি জানব যে নির্দিষ্ট ফলাফল সত্য, কিন্তু কেন আমরা বুঝতে পারব না?
টিএও: তাই এটা একটা সমস্যা। আমি বলতে চাচ্ছি, AI এর আবির্ভাবের আগেই এটি একটি সমস্যা। সুতরাং, এমন অনেক ক্ষেত্র রয়েছে যেখানে একটি বিষয়ের কাগজপত্র দীর্ঘ থেকে দীর্ঘতর হচ্ছে, শত শত পৃষ্ঠা। এবং আমি আশাবাদী যে AI আসলে বিপরীতভাবে সহজ করতে সাহায্য করতে পারে এবং এটি ব্যাখ্যা করার পাশাপাশি প্রমাণ করতে পারে।
সুতরাং ইতিমধ্যেই পরীক্ষামূলক সফ্টওয়্যার রয়েছে যেখানে, আপনি যদি একটি প্রমাণ গ্রহণ করেন যা আনুষ্ঠানিক করা হয়েছে, আপনি আসলে এটিকে একটি ইন্টারেক্টিভ মানব-পাঠযোগ্য নথিতে রূপান্তর করতে পারেন, যেখানে আপনার কাছে প্রমাণ রয়েছে এবং আপনি উচ্চ-স্তরের পদক্ষেপগুলি দেখতে পাবেন এবং যদি একটি বাক্য থাকে আপনি বুঝতে পারছেন না আপনি এটিতে ডাবল-ক্লিক করতে পারেন এবং এটি ছোট ধাপে প্রসারিত হবে। শীঘ্রই আমি মনে করি আপনি প্রমাণের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় আপনার পাশে বসে একটি AI চ্যাটবটও পেতে পারেন, এবং তারা প্রশ্ন নিতে পারে এবং তারা প্রতিটি পদক্ষেপ ব্যাখ্যা করতে পারে যেন তারা লেখক। আমি মনে করি আমরা ইতিমধ্যে যে খুব কাছাকাছি.
উদ্বেগ আছে. আমাদের শিক্ষার্থীদের শিক্ষিত করার উপায় আমাদের পরিবর্তন করতে হবে, বিশেষ করে এখন হোমওয়ার্ক নির্ধারণের আমাদের অনেক প্রথাগত উপায় এবং আরও অনেক কিছু, আমরা প্রায় এমন পর্যায়ে পৌঁছেছি যেখানে এই AI টুলগুলি আমাদের অনেক স্ট্যান্ডার্ড পরীক্ষার প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে। এবং তাই, আমাদের শিক্ষার্থীদের নতুন দক্ষতা শেখাতে হবে, যেমন কিভাবে এআই-উত্পন্ন আউটপুট সঠিক কিনা তা যাচাই করা যায় এবং কিভাবে দ্বিতীয় মতামত পাওয়া যায়।
এবং আমরা গণিতের আরও পরীক্ষামূলক দিকের আবির্ভাব দেখতে পারি, আপনি জানেন। সুতরাং, গণিত প্রায় সম্পূর্ণ তাত্ত্বিক, যেখানে বেশিরভাগ বিজ্ঞানের একটি তাত্ত্বিক এবং পরীক্ষামূলক উভয় উপাদান রয়েছে। আমরা শেষ পর্যন্ত এমন ফলাফল পেতে পারি যা প্রথমে শুধুমাত্র কম্পিউটার দ্বারা প্রমাণিত হয় এবং আপনি যেমন বলেন, আমরা বুঝতে পারি না। কিন্তু তারপরে একবার আমাদের কাছে ডেটা আছে যা AI, কম্পিউটার দ্বারা তৈরি প্রমাণগুলি সরবরাহ করে, আমরা পরীক্ষা চালাতে সক্ষম হতে পারি।
এখন একটু পরীক্ষামূলক গণিত আছে। লোকেরা অধ্যয়ন করে, যেমন, বিভিন্ন জিনিসের বড় ডেটা সেট, উপবৃত্তাকার বক্ররেখা, বলে। তবে ভবিষ্যতে এটি আরও বড় হতে পারে।
স্ট্রোগাটজ: জি, আপনি একটি খুব আশাবাদী দৃষ্টিভঙ্গি আছে, এটা আমার মত শোনাচ্ছে. গোল্ডেন এজ অতীতের মতো নয়। যদি আমি আপনাকে ঠিক শুনছি, আপনি মনে করেন যে সামনে অনেক উত্তেজনাপূর্ণ জিনিস রয়েছে।
টিএও: হ্যাঁ, অনেক নতুন প্রযুক্তিগত সরঞ্জাম খুব ক্ষমতায়ন করে। আমি বলতে চাচ্ছি, সাধারণভাবে AI এর অনেক জটিল উত্থান-পতন রয়েছে। এবং বিজ্ঞানের বাইরে, অর্থনীতি, বুদ্ধিবৃত্তিক সম্পত্তির অধিকার এবং আরও অনেক কিছুতে সম্ভাব্য ব্যাঘাত ঘটতে পারে। কিন্তু গণিতের মধ্যে, আমি মনে করি ভালো থেকে খারাপের অনুপাত অন্য অনেক ক্ষেত্রের তুলনায় ভালো।
এবং, আপনি জানেন, ইন্টারনেট সত্যিই আমাদের গণিত করার উপায়কে পরিবর্তন করেছে। আমি বিভিন্ন ক্ষেত্রে অনেক লোকের সাথে সহযোগিতা করি। আমি ইন্টারনেট ছাড়া এই কাজ করতে পারে না. সত্য যে আমি উইকিপিডিয়া বা যাই হোক না কেন এবং একটি বিষয় শিখতে শুরু করতে পারি, এবং আমি কাউকে ইমেল করতে পারি এবং আমরা অনলাইনে সহযোগিতা করতে পারি। যদি আমাকে পুরানো স্কুলের জিনিসগুলি করতে হয় যেখানে আমি কেবল আমার বিভাগের লোকেদের সাথে কথা বলতে পারি এবং অন্য সবকিছুর জন্য শারীরিক মেল ব্যবহার করতে পারি, আমি এখন যে গণিত করি তা আমি করতে পারতাম না।
স্ট্রোগাটজ: বাহ, ঠিক আছে। আপনি এইমাত্র যা বলেছেন তা আমাকে আন্ডারলাইন করতে হবে, কারণ আমি এক মিলিয়ন বছরেও ভাবিনি যে আমি এটি শুনতে যাচ্ছি: টেরি টাও গণিত শিখতে উইকিপিডিয়া পড়ে?
টিএও: একটি শুরু বিন্দু হিসাবে. আমি বলতে চাচ্ছি, এটি সবসময় উইকিপিডিয়া নয়, তবে শুধু কীওয়ার্ড পেতে, এবং তারপরে আমি আরও বিশেষায়িত অনুসন্ধান করব, বলুন, ম্যাথএসসিনেট বা অন্য কিছু ডাটাবেস। কিন্তু হ্যাঁ.
স্ট্রোগাটজ: এটা কোনো সমালোচনা নয়। মানে, আমিও একই কাজ করি। উইকিপিডিয়া আসলে, যদি উইকিপিডিয়াতে গণিতের কোনো সমালোচনা থাকে, তাহলে হয়ত এটা কখনো কখনো পাঠকদের জন্য একটু বেশিই অগ্রসর হয় যার জন্য এটি করা হয়েছে, আমি মনে করি। সবসময় নয়। মানে, এটা নির্ভর করে। এটি নিবন্ধ থেকে নিবন্ধে অনেক পরিবর্তিত হয়। কিন্তু যে শুধু মজার. আমি যে শুনতে ভালোবাসি.
টিএও: মানে, এই টুলস, আপনাকে আউটপুট পরীক্ষা করতে সক্ষম হতে হবে। আপনি জানেন, তাই, আমি বলতে চাচ্ছি, আমি কেন গণিত করতে উইকিপিডিয়া ব্যবহার করতে পারি কারণ আমি ইতিমধ্যেই যথেষ্ট গণিত জানি যে গণিতের উইকিপিডিয়ার একটি অংশ সন্দেহজনক কিনা তা আমি গন্ধ করতে পারি। আপনি জানেন, এটি কিছু উত্স পেতে পারে এবং তাদের মধ্যে একটি অন্যটির চেয়ে ভাল উত্স হতে চলেছে৷ এবং আমি লেখকদের জানি, এবং আমার একটি ধারণা আছে কোন রেফারেন্স আমার জন্য ভাল হতে চলেছে। যদি আমি উইকিপিডিয়া ব্যবহার করি এমন একটি বিষয় সম্পর্কে জানার জন্য যে বিষয়ে আমার কোনো অভিজ্ঞতা নেই, তাহলে আমি মনে করি এটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হবে।
স্ট্রোগাটজ: ঠিক আছে, তাই আমরা ভালো গণিত, নতুন ধরনের ভালো গণিতের সম্ভাব্য ভবিষ্যত তৈরি করে তা নিয়ে বেশ কিছু কথা বলেছি। কিন্তু হয়তো আমাদের এই প্রশ্নটি সম্বোধন করা উচিত: কেন এটি এমনকি গুরুত্বপূর্ণ? গণিত ভালো হওয়া কেন গুরুত্বপূর্ণ?
টিএও: আচ্ছা, তাই, প্রথমত, আমি বলতে চাচ্ছি, কেন আমাদের গণিতবিদ নেই? সমাজ কেন গণিতবিদদের মূল্য দেয় এবং আমরা যা করি তা করার জন্য আমাদের সংস্থান দেয়? আপনি জানেন, কারণ আমরা কিছু মান প্রদান করি। আমরা বাস্তব বিশ্বের অ্যাপ্লিকেশন থাকতে পারে. বুদ্ধিবৃত্তিক আগ্রহ আছে, এবং আমরা যে তত্ত্বগুলি বিকাশ করি তার কিছু শেষ পর্যন্ত অন্যান্য ঘটনার অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে।
এবং সমস্ত গণিত সমান মূল্যের নয়। আমি বলতে চাচ্ছি, আপনি পাই এর আরও বেশি সংখ্যা গণনা করতে পারেন, কিন্তু কিছু সময়ে, আপনি কিছুই শিখবেন না। যেকোন বিষয়ের জন্য কিছু ধরণের মূল্য বিচার প্রয়োজন কারণ আপনাকে সম্পদ বরাদ্দ করতে হবে। সেখানে অনেক গণিত আছে. আপনি কোন অগ্রগতিগুলি হাইলাইট এবং প্রচার করতে চান এবং অন্য লোকেদের জানাতে চান এবং কোনটি হয়ত কোথাও একটি জার্নালে চুপচাপ বসে থাকা উচিত?
এমনকি যদি আপনি একটি বিষয়কে সম্পূর্ণ উদ্দেশ্যমূলক বলে মনে করেন এবং আপনি জানেন, সেখানে শুধুমাত্র সত্য বা মিথ্যা, আমাদের এখনও পছন্দ করতে হবে। আপনি জানেন, শুধু কারণ সময় একটি সীমিত সম্পদ। মনোযোগ একটি সীমিত সম্পদ। অর্থ একটি সীমিত সম্পদ। সুতরাং, এগুলি সর্বদা গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন।
স্ট্রোগাটজ: ভাল, মজার বিষয় যে আপনি প্রচারের কথা উল্লেখ করেছেন, কারণ এটি এমন কিছু যা আমি মনে করি আপনার কাজের একটি স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য, যে আপনি গণিতকে আপনার ব্লগের মাধ্যমে, বিভিন্ন নিবন্ধের মাধ্যমে সর্বজনীনভাবে অ্যাক্সেসযোগ্য করার জন্য অনেক প্রচেষ্টা করেছেন। লিখেছি। আমার মনে আছে আপনি যেটা লিখেছিলেন সে বিষয়ে আলোচনা করেছি আমেরিকান বিজ্ঞানী সার্বজনীনতা এবং সেই ধারণা সম্পর্কে। গণিতকে সর্বজনীনভাবে অ্যাক্সেসযোগ্য এবং বোধগম্য করা কেন গুরুত্বপূর্ণ? আমি বলতে চাচ্ছি, আপনি কি করার চেষ্টা করছেন?
টিএও: এটা জৈবভাবে ঘটেছে. আমার কর্মজীবনের প্রথম দিকে, ওয়ার্ল্ড ওয়াইড ওয়েব তখনও খুব নতুন ছিল, এবং গণিতবিদরা বিভিন্ন বিষয়বস্তু সহ ওয়েবপেজ তৈরি করতে শুরু করেছিলেন, কিন্তু কেন্দ্রীয় ডিরেক্টরির খুব বেশি কিছু ছিল না। Google এবং এর আগে, ব্যক্তিগত সম্পদ খুঁজে পাওয়া আসলেই কঠিন ছিল।
সুতরাং, আমি সাজানোর শুরু আমার ওয়েবপেজে ছোট ডিরেক্টরি. এবং আমি আমার নিজস্ব কাগজপত্রের জন্য ওয়েবপেজ তৈরি করব এবং আমি কিছু মন্তব্য করব। প্রাথমিকভাবে, এটি আমার নিজের সুবিধার জন্য আরও ছিল, শুধু একটি সাংগঠনিক হাতিয়ার হিসাবে, আমাকে জিনিসগুলি খুঁজে পেতে সহায়তা করার জন্য। একটি উপজাত হিসাবে, এটি জনসাধারণের জন্য উপলব্ধ ছিল, কিন্তু আমি প্রাথমিক ভোক্তা ছিলাম, বা অন্তত তাই আমি ভেবেছিলাম, আমার নিজস্ব ওয়েবপৃষ্ঠাগুলি।
কিন্তু আমার খুব স্পষ্টভাবে মনে আছে, একটা সময় ছিল যখন আমি একটা পেপার লিখেছিলাম এবং সেটা আমার ওয়েবপেজে রেখেছিলাম, এবং আমার একটা ছোট্ট সাবপেজ ছিল “নতুন কি?” এবং আমি শুধু বললাম, “এখানে একটা কাগজ আছে। এটিতে একটি প্রশ্ন রয়েছে যার উত্তর আমি এখনও দিতে পারিনি এবং আমি জানি না কিভাবে এটি সমাধান করা যায়।" এবং আমি শুধু এই মন্তব্য করেছি. এবং তারপরে দুই দিন পরে, আমি একটি ইমেল পেয়েছি, "ওহ, আমি শুধু আপনার হোমপেজটি পরীক্ষা করছিলাম। আমি এর উত্তর জানি। একটি কাগজ আছে যা আপনার সমস্যার সমাধান করবে।"
এবং এটি আমাকে বুঝতে পেরেছিল, প্রথমত, লোকেরা আসলে আমার ওয়েবপৃষ্ঠাটি ভিজিট করছে, যা আমি সত্যিই জানতাম না। কিন্তু সম্প্রদায়ের সাথে সেই মিথস্ক্রিয়া সত্যিই পারে - ভাল, এটি আমাকে সরাসরি আমার প্রশ্নগুলি সমাধান করতে সহায়তা করতে পারে।
এই আইন বলা আছে নেটওয়ার্কিং মধ্যে Metcalfe এর আইন যে, আপনি জানেন, যদি আপনার থাকে n মানুষ, এবং তারা সবাই একে অপরের সাথে কথা বলে, প্রায় আছে n2 তাদের মধ্যে সংযোগ। আর তাই, যত বৃহত্তর শ্রোতা এবং বৃহত্তর ফোরাম যেখানে প্রত্যেকে অন্য সবার সাথে কথা বলতে পারে, আপনি তত বেশি সম্ভাব্য সংযোগ তৈরি করতে পারেন এবং আরও ভাল জিনিস ঘটতে পারে।
আমি বলতে চাচ্ছি, আমার কর্মজীবনে, আমি যতগুলো আবিষ্কার করেছি, বা আমি যে সংযোগগুলি তৈরি করেছি তার একটি অপ্রত্যাশিত সংযোগের কারণে। আমার পুরো কর্মজীবনের অভিজ্ঞতা এমন আরও সংযোগের মতো হয়েছে যা ঘটছে আরও ভাল জিনিসের সমান।
স্ট্রোগাটজ: আমি মনে করি আপনি যা উল্লেখ করছেন তার একটি সুন্দর উদাহরণ, কিন্তু আমি আপনাকে এটি সম্পর্কে কথা বলতে শুনতে চাই, আপনি ডেটা সায়েন্সের লোকদের সাথে যে সংযোগগুলি তৈরি করেছেন যারা মেডিকেল রেজোন্যান্স ইমেজিংয়ের সাথে সম্পর্কিত প্রশ্নগুলিতে আগ্রহী। , এমআরআই। আপনি কি আমাদের সেই গল্প সম্পর্কে একটু বলতে পারেন?
টিএও: তাই, এটা ছিল প্রায় 2006, 2005, আমি মনে করি। সুতরাং, এখানে ইউসিএলএ-তে ক্যাম্পাসে একটি আন্তঃবিষয়ক প্রোগ্রাম ছিল, আমি মনে করি, মাল্টিস্কেল জ্যামিতিক বিশ্লেষণ, বা এরকম কিছু, যেখানে তারা বিশুদ্ধ গণিতবিদদের একত্রিত করছিল যারা নিজের অধিকারে মাল্টিস্কেল টাইপ জ্যামিতি বাছাই করতে আগ্রহী ছিল, এবং তারপর, আপনি জানেন, যারা খুব কংক্রিট ডাটা টাইপ সমস্যা ছিল.
এবং আমি সবেমাত্র র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স তত্ত্বের কিছু সমস্যা নিয়ে কাজ শুরু করেছি, তাই আমি এমন একজন হিসাবে পরিচিত ছিলাম যিনি ম্যাট্রিক্সকে ম্যানিপুলেট করতে পারেন। এবং আমি এমন একজনের সাথে দেখা করেছি যাকে আমি ইতিমধ্যেই চিনি, ইমানুয়েল ক্যান্ডেস, কারণ সেই সময় তিনি ক্যালটেকের পাশের বাড়িতে কাজ করতেন। এবং তিনি এবং অন্য সহযোগী, জাস্টিন রমবার্গ, তারা এই অস্বাভাবিক ঘটনা আবিষ্কার করেছিল।
তাই তারা এমআরআই চিত্রগুলি দেখছিল, কিন্তু তারা খুব ধীর। একটি মানবদেহের পর্যাপ্ত সত্যিকারের উচ্চ-রেজোলিউশনের ছবি সংগ্রহ করতে, বা টিউমার ধরার জন্য যথেষ্ট, বা আপনি যা কিছু চিকিৎসাগতভাবে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য খুঁজে পেতে চান, এটি প্রায়শই কয়েক মিনিট সময় নেয় কারণ তাদের এই সমস্ত বিভিন্ন কোণ স্ক্যান করতে হয় এবং তারপরে ডেটা সংশ্লেষিত করতে হয়। . এবং এটি একটি সমস্যা ছিল, আসলে, কারণ ছোট বাচ্চারা, উদাহরণস্বরূপ, এমআরআই মেশিনে তিন মিনিটের জন্য স্থির হয়ে বসে থাকা বেশ সমস্যাযুক্ত ছিল।
তাই তারা কিছু রৈখিক বীজগণিত ব্যবহার করে একটি ভিন্ন উপায়ে পরীক্ষা করছিল। তারা 10%, 20% ভাল কর্মক্ষমতা উন্নতি পাওয়ার আশা করছিল। আপনি জানেন, একটি সামান্য তীক্ষ্ণ ইমেজ স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদম সামান্য বিট tweaking দ্বারা.
তাই স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদমকে বলা হত ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র আনুমানিকতা, এবং তারা অন্য কিছু করছিল, যাকে বলা হয় মোট প্রকরণ ন্যূনতমকরণ। কিন্তু তারপরে যখন তারা কম্পিউটার সফ্টওয়্যার চালায়, তখন তারা তাদের পরীক্ষার চিত্রের প্রায় নিখুঁত পুনর্গঠনের মতো পেয়েছিল। ব্যাপক, ব্যাপক উন্নতি। এবং তারা এই ব্যাখ্যা করতে পারে না.
কিন্তু ইমানুয়েল এই প্রোগ্রামে ছিল, এবং আমরা চা বা অন্য কিছুতে আড্ডা দিচ্ছিলাম। এবং তিনি শুধু এটি উল্লেখ করেছেন এবং আসলে, আমার প্রথম ধারণা ছিল যে আপনি অবশ্যই আপনার গণনায় ভুল করেছেন, আপনি যা বলছেন তা আসলে সম্ভব নয়। এবং আমি সেই রাতে বাড়ি ফিরে গিয়েছিলাম এবং একটি বাস্তব প্রমাণ লিখতে চেষ্টা করেছি যে তারা যা দেখছিল তা আসলে ঘটতে পারে না। এবং তারপর অর্ধেক পথ, আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে আমি একটি অনুমান করেছি যা সত্য ছিল না। এবং তারপর আমি বুঝতে পেরেছি যে আসলে এটি কাজ করতে পারে। এবং তারপর আমি ব্যাখ্যা কি হতে পারে. এবং তারপর আমরা একসাথে কাজ করেছি, এবং আমরা আসলে একটি ভাল ব্যাখ্যা পেয়েছি এবং আমরা তা প্রকাশ করেছি।
এবং একবার আমরা এটি করেছিলাম, লোকেরা বুঝতে পেরেছিল যে এমন আরও অনেক পরিস্থিতি ছিল যেখানে আপনাকে একটি পরিমাপ করতে হয়েছিল যার জন্য সাধারণত প্রচুর এবং প্রচুর ডেটার প্রয়োজন হয় এবং কিছু ক্ষেত্রে আপনি খুব কম পরিমাণ ডেটা নিতে পারেন এবং এখনও সত্যিই উচ্চ- রেজোলিউশন পরিমাপ।
সুতরাং এখন, আধুনিক এমআরআই মেশিনগুলি, উদাহরণস্বরূপ - একটি স্ক্যান যা তিন মিনিট সময় লাগত এখন 30 সেকেন্ড সময় নিতে পারে কারণ এই সফ্টওয়্যার, এই অ্যালগরিদমটি এখন মেশিনগুলিতে হার্ডওয়্যারড, হার্ড-কোডেড।
স্ট্রোগাটজ: এটা একটা সুন্দর গল্প, এটা একটা দারুণ গল্প। আমি বলতে চাচ্ছি, মেডিকেল ইমেজিংয়ের এই প্রেক্ষাপটে আক্ষরিক অর্থে জীবনকে বদলে দিচ্ছে এমন গুরুত্বপূর্ণ গণিত সম্পর্কে কথা বলুন। আমি এটির নির্মমতা এবং আপনার মুক্তমনাকে ভালবাসি, আপনি জানেন, এই ধারণাটি শুনতে এবং তারপরে ভাবুন, ভাল, "এটি অসম্ভব, আমি এটি প্রমাণ করতে পারি।" এবং তারপর উপলব্ধি, না, আসলে. গণিত এমন প্রভাব ফেলতে দেখে চমত্কার।
আচ্ছা, ঠিক আছে, আমার মনে হয় তোমাকে ছেড়ে দেওয়া ভালো, টেরি। আপনার সাথে ভাল গণিতের সারমর্ম নিয়ে আলোচনা করতে পেরে সত্যিকারের আনন্দ হয়েছে। আজ আমাদের সাথে যোগদানের জন্য অনেক ধন্যবাদ.
টিএও: হ্যাঁ, না, এটি একটি আনন্দ হয়েছে.
[বিজ্ঞাপন সন্নিবেশের জন্য বিরতি]
স্ট্রোগাটজ: “The Joy of Why” থেকে একটি পডকাস্ট Quanta ম্যাগাজিন, সিমন্স ফাউন্ডেশন দ্বারা সমর্থিত একটি সম্পাদকীয় স্বাধীন প্রকাশনা। এই পডকাস্টে বা এর মধ্যে বিষয়, অতিথি বা অন্যান্য সম্পাদকীয় সিদ্ধান্ত নির্বাচনের উপর সিমন্স ফাউন্ডেশনের অর্থায়নের সিদ্ধান্তের কোন প্রভাব নেই Quanta ম্যাগাজিন.
“দ্য জয় অফ কেন” প্রযোজনা করেছে পিআরএক্স প্রোডাকশন. প্রযোজনা দলটি হল ক্যাটলিন ফল্ডস, লিভিয়া ব্রক, জেনেভিভ স্পনলার এবং মেরিট জ্যাকব। পিআরএক্স প্রোডাকশনের নির্বাহী প্রযোজক হলেন জোসেলিন গঞ্জালেস। মরগান চার্চ এবং এডউইন ওচোয়া অতিরিক্ত সহায়তা প্রদান করেন। থেকে Quanta ম্যাগাজিন, জন রেনি এবং থমাস লিন ম্যাট কার্লস্ট্রম, স্যামুয়েল ভেলাস্কো, নোনা গ্রিফিন, আরলিন সান্তানা এবং ম্যাডিসন গোল্ডবার্গের সহায়তায় সম্পাদকীয় নির্দেশিকা প্রদান করেছেন।
আমাদের থিম মিউজিক এপিএম মিউজিক থেকে। জুলিয়ান লিন পডকাস্টের নাম নিয়ে এসেছেন। পর্বের শিল্পটি পিটার গ্রিনউডের এবং আমাদের লোগোটি জাকি কিং এবং ক্রিস্টিনা আর্মিটেজের। কর্নেল ব্রডকাস্ট স্টুডিওতে কলম্বিয়া জার্নালিজম স্কুল এবং বার্ট ওডম-রিডকে বিশেষ ধন্যবাদ।
আমি আপনার হোস্ট, স্টিভ স্ট্রোগাটজ. আমাদের জন্য আপনার কোন প্রশ্ন বা মন্তব্য থাকলে, আমাদের ইমেল করুন . শোনার জন্য ধন্যবাদ.
- এসইও চালিত বিষয়বস্তু এবং পিআর বিতরণ। আজই পরিবর্ধিত পান।
- PlatoData.Network উল্লম্ব জেনারেটিভ Ai. নিজেকে ক্ষমতায়িত করুন। এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটোএআইস্ট্রিম। Web3 ইন্টেলিজেন্স। জ্ঞান প্রসারিত. এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটোইএসজি। কার্বন, ক্লিনটেক, শক্তি, পরিবেশ সৌর, বর্জ্য ব্যবস্থাপনা. এখানে প্রবেশ করুন.
- প্লেটো হেলথ। বায়োটেক এবং ক্লিনিক্যাল ট্রায়াল ইন্টেলিজেন্স। এখানে প্রবেশ করুন.
- উত্স: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- : আছে
- : হয়
- :না
- :কোথায়
- [পৃ
- $ ইউপি
- 1
- 10
- 15 বছর
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 বছর
- a
- সক্ষম
- সম্পর্কে
- আইটি সম্পর্কে
- বিমূর্ত
- বিমূর্তন
- AC
- গ্রহণযোগ্যতা
- গৃহীত
- গ্রহণ
- প্রবেশযোগ্য
- অ্যাক্সেস করা
- হিসাব
- দিয়ে
- আসল
- প্রকৃতপক্ষে
- Ad
- অতিরিক্ত
- ঠিকানা
- পোষ্যপুত্র গ্রহণ করা
- আগাম
- অগ্রসর
- অগ্রগতি
- আবির্ভাব
- পরামর্শ
- নান্দনিক
- পর
- আবার
- বয়স
- পূর্বে
- সম্মত
- এগিয়ে
- AI
- এআই চ্যাটবট
- এয়ার
- AIS
- অ্যালগরিদম
- জীবিত
- সব
- বরাদ্দ করা
- অনুমতি
- প্রায়
- বরাবর
- ইতিমধ্যে
- এছাড়াও
- যদিও
- সর্বদা
- অপেশাদার
- মার্কিন
- মধ্যে
- পরিমাণ
- an
- বিশ্লেষণ
- প্রাচীন
- এবং
- অন্য
- উত্তর
- কোন
- আর
- যে কেউ
- কিছু
- পৃথক্
- অ্যাপ্লিকেশন
- আপেল
- অ্যাপ্লিকেশন
- প্রয়োগ করা হচ্ছে
- সমীপবর্তী
- যথাযথ
- রয়েছি
- এলাকায়
- এলাকার
- যুক্তি
- আর্গুমেন্ট
- কাছাকাছি
- শিল্প
- প্রবন্ধ
- প্রবন্ধ
- শিল্পী
- AS
- জিজ্ঞাসা করা
- দৃষ্টিভঙ্গি
- আ
- সহায়তা
- ধৃষ্টতা
- জ্যোতির্বিদ্যা
- At
- আক্রমণ
- মনোযোগ
- পাঠকবর্গ
- লেখক
- রচনা
- কর্তৃত্ব
- লেখক
- সহজলভ্য
- পুরষ্কার
- অক্ষ
- পিছনে
- খারাপ
- ব্যাংক
- ব্যাংক হিসাব
- বাধা
- ভিত্তি
- মৌলিক
- BE
- সুন্দর
- সৌন্দর্য
- কারণ
- পরিণত
- হয়ে
- মানানসই
- হয়েছে
- আগে
- শুরু করা
- শুরু
- হচ্ছে
- প্রাণী
- বিশ্বাস করা
- সুবিধা
- সর্বোত্তম
- উত্তম
- মধ্যে
- বিশাল
- বড় ডেটা
- বড়
- বৃহত্তম
- বিট
- ব্লগ
- ব্লগ এর লেখাগুলো
- ব্লগ
- শরীর
- উভয়
- শাখা
- পানা
- বিরতি
- শত্রুবূহ্যভেদ
- ব্রিজ
- আনয়ন
- প্রশস্ত
- ব্রডকাস্ট
- বৃহত্তর
- নোংরা ব্যক্তি
- নির্মাণ করা
- ভবন
- কিন্তু
- by
- হিসাব
- কল
- নামক
- মাংস
- বিদ্যায়তন
- CAN
- রাজধানী
- পেশা
- কেস
- মামলা
- দঙ্গল
- কারণসমূহ
- ভুগর্ভস্থ ভাণ্ডার
- মধ্য
- কেন্দ্রীয় কর্তৃপক্ষ
- শতাব্দী
- কিছু
- অবশ্যই
- চ্যালেঞ্জিং
- সুযোগ
- পরিবর্তন
- পরিবর্তিত
- পরিবর্তন
- chatbot
- চ্যাটিং
- চেক
- পরীক্ষণ
- পছন্দ
- গির্জা
- বৃত্ত
- চেনাশোনা
- বিজ্ঞপ্তি
- নাগরিক
- শ্রেণী
- ঘনিষ্ঠ
- কো-হোস্ট
- কোড
- সহযোগিতা করা
- সহযোগিতা
- সহযোগীতামূলক
- সহকর্মী
- সংগ্রহ করা
- COLUMBIA
- আসা
- আসে
- ধূমকেতু
- আসছে
- মন্তব্য
- ভাষ্য
- মন্তব্য
- পণ্য
- যোগাযোগ
- সম্প্রদায়
- পূরক
- সম্পূর্ণরূপে
- জটিল
- জটিল
- উপাদান
- গনা
- কম্পিউটার
- কম্পিউটার বিজ্ঞান
- কম্পিউটার দ্বারা তৈরি
- কম্পিউটার
- ধারণা
- উদ্বেগ
- জমাটবদ্ধ
- অনুমান
- সংযোজক
- সংযোগ
- সংযোগ
- সংযোগ স্থাপন করে
- রক্ষণশীল
- ভোক্তা
- যোগাযোগ
- বিষয়বস্তু
- প্রসঙ্গ
- অবদান
- অবদান
- বিতর্কমূলক
- সুবিধাজনক
- প্রচলিত
- একত্রিত করা
- অভিসৃতি
- বিপরীতভাবে
- রূপান্তর
- কর্নেল
- কোণ
- ঠিক
- পারা
- পরিষদ
- পথ
- নির্মিত
- সৃজনী
- জীব
- বিশ্বাসযোগ্যতা
- নির্ণায়ক
- সমালোচনা
- ভিড়
- সাংস্কৃতিক
- সংস্কৃতি
- মুদ্রা
- কাট
- বিপদ
- উপাত্ত
- তথ্য বিজ্ঞান
- ডেটা সেট
- ডেটাবেস
- দিন
- বিতর্ক
- সিদ্ধান্ত
- গভীর
- গভীর
- নির্ধারণ করা
- স্পষ্টভাবে
- প্রদর্শন
- বিভাগ
- নির্ভর করে
- বর্ণনা করা
- দাবী
- বিস্তারিত
- নির্ধারিত
- বিকাশ
- উন্নত
- DID
- বিভিন্ন
- কঠিন
- ডিজিটের
- মাত্রা
- সরাসরি
- ডিরেক্টরি
- শৃঙ্খলা
- আবিষ্কার করা
- আবিষ্কৃত
- আলোচনা করা
- আলোচনা
- ভাঙ্গন
- স্বাতন্ত্র্যসূচক
- স্বতন্ত্র্র
- ডিএনএ
- do
- দলিল
- না
- না
- করছেন
- ডোমেইন
- Dont
- দরজা
- নিচে
- ডাউনসাইডস
- গতিবিদ্যা
- প্রতি
- গোড়ার দিকে
- পৃথিবী
- অর্থনীতি
- সম্পাদক
- সম্পাদকীয়
- শিক্ষিত করা
- শিক্ষাবিদদের
- এডুইন
- কার্যকারিতা
- দক্ষ
- প্রচেষ্টা
- আইনস্টাইন
- পারেন
- হাতি
- উপবৃত্তাকার
- আর
- অন্যদের
- ইমেইল
- ক্ষমতায়নের
- সম্ভব
- সক্রিয়
- সাক্ষাৎ
- শেষ
- যথেষ্ট
- সমগ্র
- সম্পূর্ণরূপে
- উপাখ্যান
- সমান
- সমান
- সমীকরণ
- যুগ
- ভুল
- বিশেষত
- প্রবন্ধ
- সারমর্ম
- এমন কি
- অবশেষে
- প্রতি
- সবাই
- সবাই
- সব
- ঠিক
- পরীক্ষা
- উদাহরণ
- উদাহরণ
- উত্তেজিত
- উত্তেজনাপূর্ণ
- কার্যনির্বাহী
- নির্বাহী প্রযোজক
- ব্যায়াম
- বিদ্যমান
- বিদ্যমান
- বিস্তৃত করা
- অভিজ্ঞতা
- পরীক্ষামূলক
- পরীক্ষা নিরীক্ষা
- পরীক্ষা-নিরীক্ষা
- বিশেষজ্ঞদের
- ব্যাখ্যা করা
- ব্যাখ্যা
- ব্যাখ্যা
- অন্বেষণ করা
- এক্সপ্লোরিং
- ব্যাপ্তি
- অত্যন্ত
- সত্য
- ন্যায্য
- নিরপেক্ষভাবে
- পতন
- মিথ্যা
- পরিচিত
- বিখ্যাত
- চমত্কার
- এ পর্যন্ত
- চটুল
- প্রিয়
- বৈশিষ্ট্য
- মনে
- মতানুযায়ী
- সহকর্মী
- অনুভূত
- কয়েক
- ক্ষেত্র
- ক্ষেত্রসমূহ
- মূর্ত
- পরিসংখ্যান
- পরিশেষে
- আবিষ্কার
- আবিষ্কার
- প্রথম
- তরল
- তরল গতিবিদ্যা
- কেন্দ্রবিন্দু
- মনোযোগ
- জন্য
- আনুষ্ঠানিকভাবে
- আনুষ্ঠানিকভাবে
- বের
- ফোরাম
- পাওয়া
- ভিত
- চার
- শিয়াল
- ভগ্নাংশ
- বন্ধু
- থেকে
- মৌলিক
- তহবিল
- হাস্যকর
- ভবিষ্যৎ
- খেলা
- দিলেন
- সাধারণ
- উত্পাদন করা
- প্রজন্ম
- উদার
- পাওয়া
- পায়
- পেয়ে
- GitHub
- দাও
- Go
- Goes
- চালু
- সুবর্ণ
- ভাল
- ভাল করেছ
- গুগল
- পেয়েছিলাম
- স্নাতক
- মহান
- গ্রিক
- গ্রিনউড
- ইশারা
- গ্রাউন্ডেড
- পাহারা
- অনুমান
- অতিথি
- পথপ্রদর্শন
- ছিল
- অর্ধেক
- হাত
- ঘটা
- ঘটেছিলো
- ঘটনা
- এরকম
- কঠিন
- আছে
- জমিদারি
- he
- সুস্থ
- শোনা
- শ্রবণ
- অসামাজিক ব্যক্তি
- সাহায্য
- সাহায্য
- সাহায্য
- এখানে
- উচ্চ
- উচ্চস্তর
- উচ্চ রেজল্যুশন
- ঊর্ধ্বতন
- লক্ষণীয় করা
- তাকে
- নিজে
- তার
- ইতিহাস
- হোলিস্টিক
- হোম
- হোমপেজে
- সম্মানিত
- আশা
- আশাপূর্ণ
- প্রত্যাশী
- নিমন্ত্রণকর্তা
- গরম
- কিভাবে
- কিভাবে
- HTTPS দ্বারা
- প্রচুর
- বিপুলভাবে
- মানবীয়
- মানব পাঠযোগ্য
- শত শত
- i
- ধারণা
- আদর্শের
- ধারনা
- সনাক্ত করা
- if
- ভাবমূর্তি
- চিত্র
- কল্পনা করা
- ইমেজিং
- প্রভাব
- প্রভাবী
- গুরুত্বপূর্ণ
- অসম্ভব
- উন্নতি
- in
- আনত
- অন্তর্ভুক্ত করা
- সুদ্ধ
- স্বাধীন
- স্বতন্ত্র
- প্রভাব
- প্রভাবশালী
- সহজাত
- প্রাথমিকভাবে
- সূক্ষ্মদৃষ্টি
- অর্ন্তদৃষ্টি
- অবিলম্বে
- সংহত
- বুদ্ধিজীবী
- বুদ্ধিজীবী সম্পত্তি
- অভিপ্রেত
- মিথষ্ক্রিয়া
- ইন্টারেক্টিভ
- স্বার্থ
- আগ্রহী
- মজাদার
- Internet
- মধ্যে
- ভূমিকা
- স্বজ্ঞা
- উদ্ভাবন
- আইফোন
- ভিন্ন
- IT
- এর
- জ্যাকব
- কাজ
- জন
- যোগদান
- আমাদের সাথে যোগদান
- যোগদান করেছে
- রোজনামচা
- সাংবাদিকতা
- আনন্দ
- মাত্র
- রাখা
- চাবি
- কীওয়ার্ড
- কিডস
- রকম
- ধরণের
- রাজা
- জানা
- পরিচিত
- জানে
- জমি
- ভাষা
- ভাষাসমূহ
- বড়
- বড় আকারের
- বৃহত্তর
- পরে
- আইন
- শিখতে
- শিক্ষা
- অন্তত
- কম
- দিন
- উচ্চতা
- জীবন
- জীবন বিজ্ঞান
- মত
- সীমাবদ্ধতা
- সীমিত
- লিন
- লাইন
- রৈখিক
- লাইন
- শ্রবণ
- সামান্য
- লাইভস
- যৌক্তিক
- লোগো
- দীর্ঘ
- আর
- দেখুন
- মত চেহারা
- খুঁজছি
- সৌন্দর্য
- হারান
- অনেক
- প্রচুর
- ভালবাসা
- মেশিন
- মেশিন
- প্রণীত
- পত্রিকা
- সংখ্যাগুরু
- করা
- তৈরি করে
- মেকিং
- পরিচালনা করা
- অনেক
- বাজার
- বৃহদায়তন
- গণিত
- গাণিতিক
- গাণিতিকভাবে
- অংক
- জরায়ু
- ঔজ্বল্যহীন
- ব্যাপার
- পরিণত
- মে..
- হতে পারে
- me
- গড়
- মাপা
- মিডিয়া
- চিকিৎসা
- সদস্য
- পুরুষদের
- উল্লেখ
- উল্লিখিত
- মিলিত
- ছন্দোময়
- হতে পারে
- মিলিয়ন
- হৃদয় ও মন জয়
- ন্যূনতমকরণ
- মিনিট
- মিনিট
- ভ্রান্ত ধারনা
- ভুল
- আধুনিক
- মোড
- টাকা
- অধিক
- মরগান
- সেতু
- গতি
- এমআরআই
- অনেক
- সঙ্গীত
- অবশ্যই
- my
- নিজেকে
- রহস্য
- সাদাসিধা
- নাম
- প্রয়োজন
- প্রয়োজন
- চাহিদা
- তন্ন তন্ন
- না
- নতুন
- সংবাদ
- পরবর্তী
- সুন্দর
- রাত
- না।
- স্বাভাবিকভাবে
- কিছু না
- প্রজ্ঞাপন
- এখন
- সামান্য পার্থক্য
- সংখ্যা
- সংখ্যার
- লক্ষ্য
- উদ্দেশ্য
- বস্তু
- সুস্পষ্ট
- ওচোএ
- অক্টোবর
- of
- প্রায়ই
- oh
- ঠিক আছে
- on
- একদা
- ONE
- ওগুলো
- অনলাইন
- কেবল
- অস্বচ্ছ
- ওপেন সোর্স
- অকপটতা
- অভিমত
- আশাবাদী
- or
- সংগঠিত
- সাংগঠনিক
- অন্যান্য
- অন্যরা
- আমাদের
- বাইরে
- সেকেলে
- আউটপুট
- বাহিরে
- শেষ
- নিজের
- প্যাক
- বস্তাবন্দী
- পেজ
- কাগজ
- কাগজপত্র
- সমান্তরাল
- বিশেষ
- বিশেষত
- যন্ত্রাংশ
- গৃহীত
- গত
- সম্প্রদায়
- শতাংশ
- নির্ভুল
- কর্মক্ষমতা
- স্থায়ী
- ব্যক্তি
- পিটার
- প্রপঁচ
- শারীরিক
- শারীরিক বিজ্ঞান
- শারীরিক
- পদার্থবিদ্যা
- অবচিত
- টুকরা
- Plato
- প্লেটো ডেটা ইন্টেলিজেন্স
- প্লেটো এর
- প্লেটোডাটা
- দয়া করে
- পরিতোষ
- পডকাস্ট
- পডকাস্ট
- কবিতা
- বিন্দু
- দৃশ্যের পয়েন্ট
- পয়েন্ট
- যাকে জাহির
- ধনাত্মক
- সম্ভব
- পোস্ট
- সম্ভাব্য
- ক্ষমতা
- ক্ষমতাশালী
- অনুশীলন
- চর্চা
- অবিকল
- উপহার
- চমত্কার
- প্রতিরোধ
- পূর্বে
- প্রাথমিক
- প্রধান
- আদিম
- পুরস্কার
- সমস্যা
- অনিশ্চিত
- সমস্যা
- প্রযোজনা
- সৃজনকর্তা
- উত্পাদনের
- প্রযোজনার
- অধ্যাপক
- কার্যক্রম
- উন্নতি
- প্রকল্প
- বিস্তৃত
- প্রমাণ
- প্রমাণাদি
- সঠিকভাবে
- সম্পত্তি
- সম্পত্তির অধিকার
- রক্ষিত
- গর্বিত
- প্রমাণ করা
- প্রমাণিত
- প্রদান
- প্রদত্ত
- প্রদানের
- প্রতিপাদন
- প্রকাশ্য
- প্রকাশন
- প্রকাশ্যে
- প্রকাশ করা
- প্রকাশিত
- প্রকাশক
- বিশুদ্ধ
- বিশুদ্ধরূপে
- উদ্দেশ্য
- অন্বেষণ করা
- ঠেলাঠেলি
- করা
- রাখে
- কোয়ান্টাম্যাগাজিন
- প্রশ্ন
- প্রশ্ন
- শান্তভাবে
- পুরোপুরি
- এলোমেলো
- বরং
- অনুপাত
- পাঠকদের
- বাস্তব
- বাস্তব জগতে
- বাস্তবতা
- সাধা
- প্রতীত
- নিরূপক
- সত্যিই
- কারণ
- মন্দা
- রেকর্ড
- হ্রাস করা
- উল্লেখ
- উল্লেখ করা
- সংশ্লিষ্ট
- সম্পর্ক
- আপেক্ষিকতা
- মুক্তি
- মনে রাখা
- অপসারিত
- সংগ্রহস্থলের
- প্রয়োজনীয়
- প্রয়োজন
- গবেষণা
- স্থিরপ্রতিজ্ঞ
- অনুরণন
- সংস্থান
- Resources
- প্রতিক্রিয়া
- দায়িত্বের
- ফল
- ফলাফল
- প্রকাশক
- পুন: পরিক্ষা
- বৈপ্লবিক
- অধিকার
- অধিকার
- রিং
- ওঠা
- ভূমিকা
- রোমান
- মোটামুটিভাবে
- চালান
- বলেছেন
- একই
- বলা
- উক্তি
- বলেছেন
- স্ক্যান
- স্কুল
- বিজ্ঞান
- বিজ্ঞান
- সার্চ
- দ্বিতীয়
- সেকেন্ড
- গোপনতাপূর্ণ
- দেখ
- এইজন্য
- মনে
- করলো
- মনে হয়
- দেখা
- রেখাংশ
- নির্বাচন করা
- নির্বাচন
- স্ব-পরিচালিত
- বাক্য
- আলাদা
- সার্ভারের
- সেট
- বিভিন্ন
- আকার
- শেয়ার
- পরিবর্তন
- সংক্ষিপ্ত
- উচিত
- পাশ
- অনুরূপ
- সহজ
- সহজ
- সরলীকৃত
- সহজতর করা
- সরলীকরণ
- থেকে
- একক
- বসা
- অধিবেশন
- পরিস্থিতিতে
- দক্ষতা
- ধীর
- ক্ষুদ্রতর
- So
- সামাজিক
- সামাজিক মাধ্যম
- সমাজ
- সফটওয়্যার
- অনুরোধ
- সমাধান
- সমাধানে
- কিছু
- একরকম
- কেউ
- কিছু
- কখনও কখনও
- কিছুটা
- কোথাও
- শীঘ্রই
- চাওয়া
- শব্দসমূহ
- উৎস
- সোর্স
- স্থান
- স্থান-সংক্রান্ত
- প্রশিক্ষণ
- বিশেষজ্ঞ
- ফটকা
- ফটকামূলক
- ব্যয় করা
- Spotify এর
- বর্গক্ষেত্র
- স্কোয়ার
- মান
- স্ট্যানফোর্ড
- শুরু
- শুরু
- শুরু হচ্ছে
- শুরু
- বিবৃতি
- যুক্তরাষ্ট্র
- থাকা
- ধাপ
- প্রারম্ভিক ব্যবহারের নির্দেশাবলী
- স্টিভ
- এখনো
- স্টক
- পুঁজিবাজার
- পাথর
- গল্প
- সোজা
- পদক্ষেপ
- ছাত্র
- শিক্ষার্থীরা
- গবেষণায়
- স্টুডিওর
- অধ্যয়ন
- অধ্যয়নরত
- বিষয়
- সফল
- এমন
- প্রস্তাব
- সমর্থন
- সমর্থিত
- পৃষ্ঠতল
- বিস্মিত
- বিস্ময়কর
- সন্দেহজনক
- সংশ্লেষ করা
- সিস্টেম
- গ্রহণ করা
- লাগে
- গ্রহণ
- আলাপ
- কথা বলা
- কথাবার্তা
- বাস্তব
- কাজ
- চা
- শিক্ষাদান
- টীম
- কারিগরী
- প্রযুক্তি
- প্রযুক্তিক
- বলা
- tends
- দশ
- পরীক্ষা
- চেয়ে
- ধন্যবাদ
- যে
- সার্জারির
- ক্ষেত্র
- ভবিষ্যৎ
- বিশ্ব
- তাদের
- তাহাদিগকে
- বিষয়
- তারপর
- তত্ত্বীয়
- তত্ত্ব
- সেখানে।
- অতএব
- এইগুলো
- তারা
- জিনিস
- কিছু
- মনে
- চিন্তা
- তৃতীয়
- তৃতীয় প্রজন্মের
- এই
- যদিও?
- চিন্তা
- তিন
- ত্রিমাত্রিক
- দ্বারা
- সময়
- থেকে
- আজ
- একসঙ্গে
- অত্যধিক
- টুল
- সরঞ্জাম
- টপিক
- মোট
- স্পর্শ
- ঐতিহ্যগত
- প্রশিক্ষণ
- রুপান্তরিত
- আচরণ
- বৃক্ষ
- প্রবণতা
- চেষ্টা
- সত্য
- আস্থা
- চেষ্টা
- চেষ্টা
- বাঁক
- পালা
- টোয়েকিং
- টুইটার
- দুই
- আদর্শ
- ধরনের
- শীর্ষ
- আনডারলাইন করা
- বোঝা
- বোধগম্য
- বোধশক্তি
- বোঝা
- অপ্রত্যাশিত
- সমন্বিত
- মিলন
- একক
- অবিভক্ত
- পর্যন্ত
- আপলোড
- উপরে
- ইউ.পি.
- us
- ব্যবহার
- ব্যবহৃত
- দরকারী
- ব্যবহার
- সাধারণত
- উপযোগ
- সদ্ব্যবহার করা
- দামি
- মূল্য
- দামী
- মানগুলি
- পরিবর্তনশীল
- বিভিন্ন
- যাচাই
- খুব
- VET
- Videos
- চেক
- ভাইরাসঘটিত
- দৃষ্টি
- ভন
- প্রতীক্ষা
- প্রয়োজন
- চেয়েছিলেন
- ছিল
- পর্যবেক্ষক
- পানি
- উপায়..
- উপায়
- we
- পরা
- ওয়েব
- webp
- স্বাগত
- স্বাগত
- আমরা একটি
- ছিল
- কি
- যাই হোক
- কখন
- যেহেতু
- কিনা
- যে
- যখন
- হু
- সমগ্র
- কেন
- ব্যাপক
- ব্যাপকভাবে
- ব্যাপক
- উইকিপিডিয়া
- ইচ্ছা
- বিজয়ী
- জ্ঞান
- সঙ্গে
- মধ্যে
- ছাড়া
- ভাবছি
- শব্দ
- ওয়ার্ডপ্রেস
- হয়া যাই ?
- কাজ করছে
- কাজ
- ক্রিয়াকাণ্ড
- বিশ্ব
- চিন্তিত
- চিন্তা
- would
- কি দারুন
- লেখা
- লেখা
- লিখিত
- ভুল
- লিখেছেন
- বছর
- হাঁ
- এখনো
- আপনি
- আপনার
- zephyrnet