প্রথম-বর্ষের স্নাতক প্যারাডক্সিক্যাল নম্বর সেট খুঁজে পায় | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

গণিতবিদরা আনন্দিত হন যখন তারা প্রমাণ করেন যে আপাতদৃষ্টিতে অসম্ভব জিনিসের অস্তিত্ব রয়েছে। এ রকমই হয় ক নতুন প্রমাণ দ্বারা মার্চ অনলাইন পোস্ট সেড্রিক পিলাট, অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের প্রথম বর্ষের স্নাতক ছাত্র।

Pilatte প্রমাণ করেছেন যে একটি সেট তৈরি করা সম্ভব - সংখ্যার একটি সংগ্রহ - যা দুটি দৃশ্যত বেমানান বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। প্রথমটি হল সেটে কোন দুই জোড়া সংখ্যা একই মোট যোগ করে না। উদাহরণস্বরূপ, {1, 3, 5, 11}-এ যেকোনো দুটি সংখ্যা একসাথে যোগ করুন এবং আপনি সর্বদা একটি অনন্য সংখ্যা পাবেন। এইরকম ছোট "সিডন" সেটগুলি তৈরি করা সহজ, কিন্তু উপাদানগুলির সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে সমষ্টিগুলি মিলে যাওয়ার সম্ভাবনাও বৃদ্ধি পায়, সেটটির সিডন-নেস ধ্বংস করে।

দ্বিতীয় প্রয়োজন সেটটি খুব বড় হতে হবে। এটি অবশ্যই অসীম হতে হবে, এবং সেটে সর্বাধিক তিনটি সংখ্যা একসাথে যোগ করার মাধ্যমে আপনি যথেষ্ট পরিমাণে বড় সংখ্যা তৈরি করতে সক্ষম হবেন। এই বৈশিষ্ট্য, যা সেটটিকে একটি "অর্ডার 3 এর অ্যাসিম্পোটিক ভিত্তি" করে তোলে, এর জন্য একটি বড়, ঘন সংখ্যার সেট প্রয়োজন। "তারা বিপরীত দিকে টানছে," Pilatte বলেন. “Sidon সেট ছোট হতে বাধ্য, এবং একটি asymptotic ভিত্তি বড় হতে বাধ্য করা হয়. এটা স্পষ্ট ছিল না যে এটি কাজ করতে পারে।"

এই ধরনের একটি সেট বিদ্যমান কিনা সেই প্রশ্নটি কয়েক দশক ধরে দীর্ঘস্থায়ী হয়েছে, তখন থেকেই জাহির করা হয়েছিল 1993 সালে বিশিষ্ট হাঙ্গেরিয়ান গণিতবিদ পল এরডস এবং দুই সহযোগী দ্বারা। সিডন সেটের প্রতি এরডসের মুগ্ধতা 1932 সালে তাদের উদ্ভাবক সাইমন সিডনের সাথে একটি কথোপকথন থেকে পাওয়া যায়, যিনি সেই সময়ে এই সেটগুলির বৃদ্ধির হার বুঝতে আগ্রহী ছিলেন। (এরদস পরে সিডনকে "গড় গণিতবিদদের চেয়ে পাগল" হিসাবে বর্ণনা করবেন, যা তিনি প্রায় নিশ্চিতভাবেই প্রশংসা হিসাবে বোঝাতে চেয়েছিলেন।)

সিডন সেটগুলি সংখ্যা তত্ত্ব, সংমিশ্রণবিদ্যা, সুরেলা বিশ্লেষণ এবং ক্রিপ্টোগ্রাফি সহ বিভিন্ন গাণিতিক প্রসঙ্গে উদ্ভূত হয়, কিন্তু তারা কতটা বড় হতে পারে সেই সহজ প্রশ্নটি একটি স্থায়ী রহস্য যা এরডস তার ক্যারিয়ারের বেশিরভাগ সময় ধরে চিন্তা করেছিলেন। এরদস খুব তাড়াতাড়ি বুঝতে পেরেছিলেন যে সিডন সেটগুলি স্কেল করা অত্যন্ত কঠিন। 1941 সালে তিনি এবং অন্য একজন গণিতবিদ ড প্রতিপন্ন যে সবচেয়ে বড় সম্ভাব্য সিডন সেট যার সদস্যরা কিছু পূর্ণসংখ্যার চেয়ে কম N এর বর্গমূলের চেয়ে ছোট হতে হবে N প্লাস একটি শব্দ যা চতুর্থ মূলের অনুপাতে বৃদ্ধি পায় N. (1969 সালের মধ্যে, বার্ন্ট লিন্ডস্ট্রোম দেখাবেন যে এটি $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$ থেকে ছোট এবং 2021 সালে গণিতবিদদের আরেকটি দল আবদ্ধ আঁট থেকে $latex sqrt{N}+0.998 বার sqrt[4]{N}$.) সিডন সেট, অন্য কথায়, স্পার্স হতে হবে।

এটি দীর্ঘদিন ধরেই জানা গেছে যে একটি সিডন সেট অর্ডার 2 এর অ্যাসিম্পোটিক ভিত্তি হতে পারে না, যেখানে যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে সর্বাধিক দুটি সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়। (উদাহরণস্বরূপ, বিজোড় সংখ্যাগুলি ক্রম 2 এর ভিত্তি তৈরি করে।) পিলাট যেমন ব্যাখ্যা করেছেন, এটি দেখানোর জন্য এটি এত সহজ যে গণিতবিদরা এটি লিখতে বিরক্ত করেননি: "এই আদেশ 2 অসম্ভব সম্ভবত সাহিত্যে স্পষ্টভাবে লেখার চেয়ে অনেক আগে জানা ছিল।" তিনি ব্যাখ্যা করেছিলেন যে এর কারণ হল "সিডন সিকোয়েন্সগুলি একটি নির্দিষ্ট ঘনত্বের বেশি হতে পারে না, যখন ক্রম 2 এর অ্যাসিম্পোটিক বেসগুলি সর্বদা সেই প্রান্তিকের চেয়ে ঘন হয়, তাই দুটি বৈশিষ্ট্য একবারে ধরে রাখতে পারে না।"

এটি সাধারণত বিশ্বাস করা হত যে একটি সিডন সেট থেকে অর্ডার 3 এর একটি অ্যাসিম্পোটিক ভিত্তি তৈরি করা যেতে পারে, তবে এটি প্রমাণ করা অন্য বিষয় ছিল। "লোকেরা বিশ্বাস করেছিল যে এটি সত্য হওয়া উচিত," পিলাটের উপদেষ্টা বলেছেন জেমস মেইনার্ড. "কিন্তু আমরা যে কৌশলগুলি ব্যবহার করছিলাম তাতে একটি অসুবিধা ছিল।"

পিলাট চ্যালেঞ্জ গ্রহণ করার আগে কিছু অগ্রগতি করা হয়েছিল। 2010 সালে, হাঙ্গেরিয়ান গণিতবিদ স্যান্ডর কিস দেখিয়েছেন যে একটি সিডন সেট অর্ডার 5-এর একটি অ্যাসিম্পটোটিক ভিত্তি হতে পারে - যার অর্থ হল যে কোনও যথেষ্ট বড় পূর্ণসংখ্যা সেটের সর্বাধিক পাঁচটি উপাদানের যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে - এবং 2013 সালে কিস এবং তার দুই সহকর্মী প্রতিপন্ন অনুমান 4. দুই বছর পর, স্প্যানিশ গণিতবিদ জাভিয়ের সিলেরুয়েলো এই ফলাফল গ্রহণ এটি প্রমাণ করে যে এটি একটি সিডন সেট তৈরি করা সম্ভব যা অর্ডার 3 + এর একটি অ্যাসিম্পোটিক ভিত্তি। e, মানে যে কোনো যথেষ্ট বড় পূর্ণসংখ্যা N সিডন সেটের চার সদস্যের যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে, তাদের মধ্যে একটি তার থেকে ছোট N^e নির্বিচারে ছোট ইতিবাচক জন্য e.

এই ফলাফলগুলি Erdős দ্বারা প্রবর্তিত একটি সম্ভাব্য পদ্ধতির বৈচিত্র ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা হয়েছে যার মধ্যে পূর্ণসংখ্যার একটি এলোমেলো সেট তৈরি করা এবং উভয় বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি সেট তৈরি করার জন্য এটিকে সামান্য টুইক করা জড়িত।

পিলাট বুঝতে পেরেছিলেন যে সম্ভাব্য পদ্ধতিটি যতদূর যেতে পারে তা ঠেলে দেওয়া হয়েছে। "আপনি সম্ভাব্য পদ্ধতি ব্যবহার করে অর্ডার 4 এর ভিত্তি পেতে পারেন, কিন্তু আপনি অর্ডার 3 এর ভিত্তি পেতে পারেন না," তিনি বলেছিলেন। "এটা শুধু ব্যর্থ হয়।"

তাই Pilatte একটি ভিন্ন কৌশল নিয়েছে, পরিবর্তে একটি পদ্ধতির দিকে মোড় নিয়েছে যা সিডন সেটের বিল্ডিং ব্লক হিসাবে মৌলিক সংখ্যার লগারিদম ব্যবহার করে। হাঙ্গেরিয়ান সংখ্যা তত্ত্ববিদ দ্বারা বিকশিত ইমরে রুজসা এবং Cilleruelo, এই পন্থাটি সম্ভাব্য পদ্ধতির চেয়ে বড়, ঘন সিডন সেট দেয়, যা পিলাটকে নিম্ন শৃঙ্খলার একটি ভিত্তি তৈরি করতে প্রয়োজন ছিল যা সিডন সম্পত্তিকেও মেনে চলে। কিন্তু পদ্ধতিটির জন্য মৌলিক সংখ্যা সহ একটি সুবিধার প্রয়োজন ছিল যা বিশ্বের শীর্ষস্থানীয় বিশেষজ্ঞদের কাছেও ছিল না। "আপনার মৌলিক সংখ্যাগুলির একটি বোঝার প্রয়োজন হবে যা আমাদের যা কিছুর বাইরে যায়," পিলাট বলেছিলেন। "তাই ভাল ছিল না।"

একটি সমাধানের অনুসন্ধান পিলাটকে একটি অপ্রত্যাশিত দিকে নিয়ে যায়, যোজক সংখ্যা তত্ত্ব থেকে দূরে এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতির জগতে, গণিতের একটি শাখা যা জ্যামিতিক আকারের মধ্যে সম্পর্ক অধ্যয়ন করে, যেমন বক্ররেখা এবং পৃষ্ঠতল এবং সমীকরণগুলি যা তাদের সংজ্ঞায়িত করে। Cilleruelo's এর একটি ধারণাকে কাজে লাগিয়ে, Pilatte সংখ্যাগুলিকে বহুপদ দিয়ে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে শুরু করেন, যা অবিলম্বে সমস্যাটিকে আরও সহজ করে তোলে।

একটি বহুপদ হল একটি বীজগাণিতিক রাশি যা পদগুলির সমষ্টি দ্বারা গঠিত, যার প্রতিটি একটি ধ্রুবক সহগ এবং এক বা একাধিক চলক অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা শক্তিতে উত্থাপিত হয়। পদগুলি যোগ, বিয়োগ এবং গুণ ব্যবহার করে একত্রিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 3x² + + 22x + 35 তিনটি পদ সহ একটি বহুপদ। একটি বহুপদী ফ্যাক্টর করার অর্থ এটিকে অন্যান্য, সহজ বহুপদীর গুণফলের মধ্যে বিভক্ত করা। এই উদাহরণে, 3x² + + 22x + ৩৫ = (x + 5)(3x + 7)। একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদী - যেটিকে গুণিত করা যায় না - একটি মৌলিক সংখ্যার অ্যানালগ।

ভেরিয়েবল এবং সহগগুলির জন্য পূর্ণসংখ্যাগুলিকে অদলবদল করা অদ্ভুত শোনাতে পারে, তবে তাদের মধ্যে আপনার ধারণার চেয়ে বেশি মিল রয়েছে। "এটি দেখা যাচ্ছে যে বহুপদগুলি পূর্ণসংখ্যার সাথে খুব একই রকম আচরণ করে," পিলাটের অক্সফোর্ড সহকর্মী বলেছেন টমাস ব্লুম. "আমি তাদের যোগ করতে পারি, বিয়োগ করতে পারি, গুণ করতে পারি, ভাগ করতে পারি।" এবং কিছু ক্ষেত্রে গণিতবিদরা সংখ্যার চেয়ে বহুপদকে অনেক ভালো বোঝেন। "এই সমস্ত জিনিসগুলি, যেগুলি প্রাইম সহ, আমাদের কাছে বৈজ্ঞানিক কল্পকাহিনীর মতো শোনায় বহুপদী বিশ্বে পরিচিত," মেনার্ড বলেছিলেন।

ব্যবহার করে একটি সাম্প্রতিক ফলাফল কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ দ্বারা উইল সাউইন গাণিতিক অগ্রগতিতে অপরিবর্তনীয় বহুপদীর বণ্টনের উপর, পিলাট এমন একটি সেট তৈরি করতে সক্ষম হয়েছিলেন যেটিতে সঠিক পরিমাণ এলোমেলোতা এবং সঠিক সংখ্যার ঘনত্ব ছিল এরডসের সীমাবদ্ধতাগুলিকে সন্তুষ্ট করার জন্য।

"আমি অত্যন্ত খুশি ছিলাম," পিলাট বলেছিলেন। "আমি এখানে এমন লোকেদের দলে যোগ দিচ্ছি যারা এরদোর সমস্যার সমাধান করেছে, এবং এটি মজাদার।"

কিন্তু যেটা তাকে সবচেয়ে বেশি আনন্দ দেয় তা হল সে সমাধানে এসে আশ্চর্যজনক উপায়। "এটি দুর্দান্ত যে বীজগণিত জ্যামিতির এই খুব গভীর কৌশলগুলি সংখ্যার সেট সম্পর্কে এই সহজ এবং সুনির্দিষ্ট প্রশ্নের জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে," তিনি বলেছিলেন।

গণিতের অনুমিতভাবে সম্পর্কহীন শাখাগুলির মধ্যে সংযোগ খুঁজে বের করার জন্য Erdő এর সমস্যাগুলির একটি অদ্ভুত দক্ষতা রয়েছে এবং তাদের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করার সময় গণিতবিদরা যে আবিষ্কারগুলি করেন তা প্রায়শই উত্তরগুলির চেয়ে বেশি অর্থবহ হয়। "তারা কতটা গভীরে প্রতারণামূলক, এবং সেড্রিকের সমাধান এটির একটি দুর্দান্ত উদাহরণ," ব্লুম বলেছিলেন। "আমি নিশ্চিত এরদস রোমাঞ্চিত হতেন।"

কারেকশন: জুন 5, 2023
এই নিবন্ধটি মূলত একটি সিডন সেটের একটি উদাহরণ দিয়েছে যা আসলে একটি সিডন সেট নয়। সেই উদাহরণ মুছে ফেলা হয়েছে।