কেন গণিতবিদরা নট অধ্যয়ন করেন

নট তত্ত্বটি মহাবিশ্বের মৌলিক মেকআপ বোঝার প্রচেষ্টা হিসাবে শুরু হয়েছিল। 1867 সালে, যখন বিজ্ঞানীরা উদগ্রীবভাবে সমস্ত বিভিন্ন ধরণের পদার্থের জন্য সম্ভাব্য কী হতে পারে তা বের করার চেষ্টা করছিলেন, স্কটিশ গণিতবিদ এবং পদার্থবিদ পিটার গুথ্রি টেইট তার বন্ধু এবং স্বদেশী স্যার উইলিয়াম থমসনকে ধোঁয়ার রিং তৈরির জন্য তার যন্ত্রটি দেখিয়েছিলেন। থমসন — পরে লর্ড কেলভিন হয়েছিলেন (তাপমাত্রার স্কেলের নাম) — রিংগুলির বিমোহিত আকৃতি, তাদের স্থায়িত্ব এবং তাদের মিথস্ক্রিয়া দ্বারা বিমোহিত হয়েছিলেন। তার অনুপ্রেরণা তাকে একটি আশ্চর্যজনক দিকে নিয়ে গিয়েছিল: সম্ভবত, তিনি ভেবেছিলেন, যেভাবে ধোঁয়ার বলয়গুলি বাতাসে ঘূর্ণি, পরমাণুগুলি আলোকিত ইথারে গিঁটযুক্ত ঘূর্ণি বলয়, একটি অদৃশ্য মাধ্যম যার মাধ্যমে, পদার্থবিদরা বিশ্বাস করেছিলেন, আলো প্রচারিত হয়েছিল।

যদিও এই ভিক্টোরিয়ান যুগের ধারণাটি এখন হাস্যকর শোনাতে পারে, এটি একটি অসার তদন্ত ছিল না। এই ঘূর্ণি তত্ত্বের সুপারিশ করার জন্য অনেক কিছু ছিল: গিঁটের নিছক বৈচিত্র্য, প্রতিটি সামান্য ভিন্ন, অনেক রাসায়নিক উপাদানের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যকে প্রতিফলিত করে। ঘূর্ণি রিংগুলির স্থায়িত্বও পরমাণুর প্রয়োজনীয় স্থায়ীত্ব প্রদান করতে পারে।

ঘূর্ণি তত্ত্ব বৈজ্ঞানিক সম্প্রদায়ের মধ্যে আকর্ষণ অর্জন করেছে এবং টেইটকে অনুপ্রাণিত করেছে সমস্ত গিঁটের সারণী তৈরি করতে, যা তিনি আশা করেছিলেন যে উপাদানগুলির একটি টেবিলের সমতুল্য হবে। অবশ্যই, পরমাণু গিঁট নয়, এবং কোন ইথার নেই। 1880 এর দশকের শেষের দিকে থমসন ধীরে ধীরে তার ঘূর্ণি তত্ত্ব পরিত্যাগ করছিলেন, কিন্তু ততক্ষণে টেইট তার নটগুলির গাণিতিক কমনীয়তায় বিমোহিত হয়েছিলেন এবং তিনি তার ট্যাবুলেশন প্রকল্প চালিয়ে যান। প্রক্রিয়ায়, তিনি গিঁট তত্ত্বের গাণিতিক ক্ষেত্র প্রতিষ্ঠা করেন।

আমরা সকলেই গিঁটের সাথে পরিচিত — তারা আমাদের পায়ে জুতা রাখে, নৌকাগুলিকে ডকের জন্য সুরক্ষিত রাখে এবং পর্বত আরোহীদের নীচের পাথর থেকে। কিন্তু সেই গিঁটগুলো ঠিক যাকে গণিতবিদরা (টেইট সহ) গিঁট বলবেন তা নয়। যদিও একটি জটযুক্ত এক্সটেনশন কর্ড গিঁটযুক্ত প্রদর্শিত হতে পারে, এটি সর্বদা বিচ্ছিন্ন করা সম্ভব। একটি গাণিতিক গিঁট পেতে, আপনাকে অবশ্যই কর্ডের মুক্ত প্রান্তগুলিকে একত্রে প্লাগ করে একটি বন্ধ লুপ তৈরি করতে হবে।

যেহেতু একটি গিঁটের স্ট্র্যান্ডগুলি স্ট্রিংয়ের মতো নমনীয়, গণিতবিদরা গিঁট তত্ত্বকে একটি উপক্ষেত্র হিসাবে দেখেন টপোলজি, নমনীয় আকার অধ্যয়ন. কখনও কখনও একটি গিঁট খুলে ফেলা সম্ভব হয় তাই এটি একটি সাধারণ বৃত্তে পরিণত হয়, যাকে আমরা বলি "অনটন"। কিন্তু আরো প্রায়ই, একটি গিঁট untangling অসম্ভব।

গিঁট নতুন গিঁট তৈরি করতে একত্রিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি সাধারণ গিঁট যা ট্রেফয়েল নামে পরিচিত তার আয়না চিত্রের সাথে একত্রিত করলে একটি বর্গাকার গিঁট তৈরি হয়। (এবং আপনি যদি দুটি অভিন্ন ট্রেফয়েল নট যোগ করেন, আপনি একটি গ্র্যানি নট তৈরি করেন।)

সংখ্যার জগতের পরিভাষা ব্যবহার করে, গণিতবিদরা বলেন যে ট্রফয়েল একটি প্রধান গিঁট, বর্গাকার গিঁটটি যৌগিক এবং সংখ্যা 1-এর মতো, আননোটটিও নয়। এই সাদৃশ্যটিকে আরও সমর্থন করা হয়েছিল 1949 সালে যখন হর্স্ট শুবার্ট প্রমাণ করেছিলেন যে প্রতিটি গিঁট হয় প্রাইম বা অনন্যভাবে প্রধান গিঁটে পরিণত হতে পারে।

নতুন গিঁট তৈরি করার আরেকটি উপায় হল দুটি বা ততোধিক গিঁটকে একত্রিত করা, একটি লিঙ্ক তৈরি করা। বোরোমিয়ান রিংগুলি, এর নামকরণ করা হয়েছে কারণ এগুলি ইতালীয় হাউস অফ বোরোমিওর অস্ত্রের কোটে প্রদর্শিত হয়, এটি একটি সাধারণ উদাহরণ।

থমসন এবং টেটই প্রথম গাণিতিক উপায়ে গিঁট দেখেননি। 1794 সালের প্রথম দিকে, কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস তার ব্যক্তিগত নোটবুকে গিঁটের উদাহরণ লিখেছিলেন এবং আঁকেন। এবং গাউসের ছাত্র জোহান লিস্টিং তার 1847 সালের মনোগ্রাফে নট সম্পর্কে লিখেছেন Vorstudien zur Topologie ("প্রিলিমিনারি স্টাডিজ অফ টপোলজি") — যা টপোলজি শব্দটির উৎপত্তিও।

কিন্তু টেইট ছিলেন প্রথম পণ্ডিত যিনি গিঁট তত্ত্বের মৌলিক সমস্যাটি নিয়ে কাজ করেছিলেন: সমস্ত সম্ভাব্য গিঁটের শ্রেণীবিভাগ এবং ট্যাবুলেশন। শুধুমাত্র তার জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি ব্যবহার করে বছরের পর বছর শ্রমসাধ্য কাজের মাধ্যমে, তিনি সমস্ত প্রধান গিঁট খুঁজে পেয়েছেন এবং শ্রেণীবদ্ধ করেছেন যেগুলি, যখন একটি সমতলে প্রক্ষেপিত হয়, তখন সর্বাধিক সাতটি ক্রসিং থাকে।

19 শতকের শেষের দিকে, টেইট শিখেছিলেন যে অন্য দুই ব্যক্তি - রেভ. টমাস কার্কম্যান এবং আমেরিকান গণিতবিদ চার্লস লিটল -ও এই সমস্যাটি অধ্যয়ন করছেন। তাদের সম্মিলিত প্রচেষ্টায়, তারা 10টি পর্যন্ত ক্রসিং এবং অনেকগুলি 11টি ক্রসিং সহ সমস্ত প্রধান নটকে শ্রেণীবদ্ধ করে। আশ্চর্যজনকভাবে, তাদের টেবিল 10 পর্যন্ত সম্পূর্ণ ছিল: তারা কোনো গিঁট মিস করেনি।

এটা অসাধারণ যে টেইট, কার্কম্যান এবং লিটল পরবর্তী বছরগুলিতে যে উপপাদ্য এবং কৌশলগুলি আবিষ্কৃত হবে তা ছাড়াই অনেক কিছু সম্পন্ন করেছে। কিন্তু একটি জিনিস যা তাদের পক্ষে কাজ করেছিল তা হল যে বেশিরভাগ ছোট গিঁটগুলি "পর্যায়ক্রমে" হয়, যার অর্থ তাদের একটি অভিক্ষেপ রয়েছে যেখানে ক্রসিংগুলি একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ওভার-আন্ডার-ওভার-আন্ডার প্যাটার্ন প্রদর্শন করে।

বিকল্প গিঁটের বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা তাদের অ-অল্টারনেটিং গিঁটের চেয়ে শ্রেণীবদ্ধ করা সহজ করে তোলে। উদাহরণস্বরূপ, একটি গিঁটের যে কোনও অভিক্ষেপের জন্য সর্বনিম্ন ক্রসিংয়ের সংখ্যা খুঁজে পাওয়া কঠিন। কিন্তু টেইট, যিনি বছরের পর বছর ধরে ভুল করে ধরে নিয়েছিলেন যে সমস্ত গিঁট পর্যায়ক্রমিক ছিল, আপনি সেই ন্যূনতম সংখ্যাটি খুঁজে পেয়েছেন কিনা তা বলার একটি উপায় অনুমান করেছিলেন: যদি একটি বিকল্প প্রজেকশনে এমন কোনও ক্রসিং না থাকে যা গিঁটের অংশের উপর দিয়ে উল্টে সরানো যায়, তবে এটি অবশ্যই হবে ক্রসিং ন্যূনতম সংখ্যা সঙ্গে অভিক্ষেপ.

এটি এবং বিকল্প গিঁট সম্পর্কে টেইটের আরও দুটি অনুমান সত্য হয়েছে। তবুও এই বিখ্যাত অনুমানগুলি 1980-এর দশকের শেষের দিকে এবং 90-এর দশকের প্রথম দিকে ভন জোনস দ্বারা 1984 সালে তৈরি করা একটি গাণিতিক সরঞ্জাম ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়নি, যিনি নট তত্ত্বে তাঁর কাজের জন্য ফিল্ডস মেডেল জিতেছিলেন।

দুর্ভাগ্যবশত, বিকল্প গিঁটগুলি আপনাকে এতদূর নিয়ে যায়। একবার আমরা আট বা ততোধিক ক্রসিং সহ গিঁটে উঠলে, অ-পরবর্তী গিঁটের সংখ্যা দ্রুত বৃদ্ধি পায়, যা টেইটের কৌশলগুলিকে কম উপযোগী করে তোলে।

সমস্ত 10-ক্রসিং নটগুলির মূল টেবিলটি সম্পূর্ণ ছিল, তবে টেইট, কার্কম্যান এবং লিটল ডাবল-গণনা করা হয়েছে। 1970 এর দশকে কেনেথ পারকো, একজন আইনজীবী যিনি প্রিন্সটনে গিঁট তত্ত্ব অধ্যয়ন করেছিলেন, লক্ষ্য করেছিলেন যে দুটি গিঁট একে অপরের মিরর ইমেজ। তার সম্মানে তারা এখন পারকো জুটি নামে পরিচিত।

গত শতাব্দীতে, গিঁটগুলি সত্যিই আলাদা কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য গণিতবিদরা অনেক চতুর উপায় খুঁজে পেয়েছেন। মূলত, ধারণা করা হয় একটি অপরিবর্তনীয় চিহ্নিত করুন — একটি সম্পত্তি, পরিমাণ বা বীজগাণিতিক সত্তা যা গিঁটের সাথে যুক্ত এবং প্রায়শই সহজভাবে গণনা করা যায়। (এই বৈশিষ্ট্যগুলির নাম রয়েছে কালারেবিলিটি, ব্রিজ নম্বর বা রাইথের মতো।) এই লেবেলগুলির সাথে সজ্জিত, গণিতবিদরা এখন সহজেই দুটি গিঁট তুলনা করতে পারেন: যদি তারা কোনও প্রদত্ত বৈশিষ্ট্যের মধ্যে আলাদা হয় তবে তারা একই গিঁট নয়। যাইহোক, এই বৈশিষ্ট্যগুলির কোনটিই গণিতবিদদের সম্পূর্ণ অপরিবর্তনীয় বলে অভিহিত করে, যার অর্থ দুটি ভিন্ন নট একই সম্পত্তি থাকতে পারে।

এই সমস্ত জটিলতার কারণে, এটি আশ্চর্যের কিছু হতে পারে না যে গিঁটের ট্যাবুলেশন এখনও চলছে। অতি সম্প্রতি, 2020 সালে, বেঞ্জামিন বার্টন সমস্ত প্রধান নট শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে 19টি ক্রসিং পর্যন্ত (যার মধ্যে প্রায় 300 মিলিয়ন)

ঐতিহ্যগত গিঁট তত্ত্ব শুধুমাত্র তিনটি মাত্রার মধ্যেই বোঝা যায়: দুটি মাত্রায় শুধুমাত্র গিঁটই সম্ভব, এবং চারটি মাত্রায় অতিরিক্ত রুম গিঁটগুলিকে নিজেদেরকে খোলার অনুমতি দেয়, তাই প্রতিটি গিঁটই গিঁটটির মতোই।

যাইহোক, চার-মাত্রিক স্থানে আমরা গোলকগুলিকে গিঁট দিতে পারি। এর অর্থ কী তা বোঝার জন্য, নিয়মিত বিরতিতে একটি সাধারণ গোলককে টুকরো টুকরো করার কল্পনা করুন। এটি করলে অক্ষাংশের রেখার মতো বৃত্ত পাওয়া যায়। যাইহোক, যদি আমাদের একটি অতিরিক্ত মাত্রা থাকে, তাহলে আমরা গোলকটিকে গিঁট দিতে পারতাম যাতে স্লাইসগুলি, এখন দুইটির পরিবর্তে ত্রিমাত্রিক, গিঁট হতে পারে।

গিঁট তত্ত্বের সাম্প্রতিকতম ফলাফলগুলির একটির পিছনে এই ধারণাটি ছিল। 2018 সালে, তৎকালীন স্নাতক ছাত্র লিসা পিকিরিলো একটি 50 বছর বয়সী প্রশ্ন নিষ্পত্তি জন কনওয়ে প্রথম আবিষ্কৃত একটি 11-ক্রসিং নট সম্পর্কে। প্রশ্নটি স্লাইসনেস নামক একটি সম্পত্তির সাথে সম্পর্কিত ছিল। আমরা দেখেছি, যখন আমরা একটি গিঁটযুক্ত গোলককে চারটি মাত্রায় স্লাইস করি, তখন আমরা তিনটি মাত্রায় একটি গিঁট বা লিঙ্ক পাই। কখনও কখনও আমরা একটি সুন্দর মসৃণভাবে গিঁটযুক্ত গোলক থেকে একটি প্রদত্ত গিঁট পেতে পারি, তবে অন্যান্য গিঁটের জন্য গোলকটিকে গিঁট দিতে হবে এবং বর্জ্য কাগজের টুকরো মতো কুঁচকে যেতে হবে। পিকসিরিলো প্রমাণ করেছেন, সারমর্মে, কনওয়ের গিঁটটি পরবর্তী ধরণের ছিল। প্রযুক্তিগত ভাষাতে, তিনি প্রমাণ করেছেন যে এটি "মসৃণভাবে টুকরা" নয়।

নট তত্ত্ব বহু শতাব্দী ধরে গাণিতিক ল্যান্ডস্কেপকে অতিক্রম করেছে। এটি গণিতের একটি ফলিত ক্ষেত্র হিসাবে শুরু হয়েছিল, থমসন পদার্থের মেকআপ বোঝার জন্য নট ব্যবহার করার চেষ্টা করেছিলেন। এই ধারণাটি ম্লান হওয়ার সাথে সাথে এটি বিশুদ্ধ গণিতের একটি ক্ষেত্র হয়ে ওঠে, টপোলজির কৌতুহলী এবং এখনও অব্যবহারিক ডোমেনের একটি শাখা। কিন্তু সাম্প্রতিক বছরগুলিতে গিঁট তত্ত্ব আবার গণিতের একটি ফলিত ক্ষেত্র হয়ে উঠেছে, কারণ বিজ্ঞানীরা গবেষণার জন্য গিঁট তত্ত্ব থেকে ধারণাগুলি ব্যবহার করেন তরল গতিবিদ্যা, তড়িৎগতিবিদ্যা, গিঁটযুক্ত অণু যেমন ডিএনএ এবং তাই সৌভাগ্যবশত, যখন বিজ্ঞানীরা অন্যান্য বিষয় অধ্যয়ন করতে ব্যস্ত ছিলেন, তখন গণিতবিদরা গিঁটের ক্যাটালগ এবং তাদের গোপন রহস্য উন্মোচন করার সরঞ্জাম তৈরি করছিলেন।