Et århundrede senere udglatter ny matematik den generelle relativitet | Quanta Magasinet

Albert Einsteins generelle relativitetsteori har haft stor succes med at beskrive, hvordan tyngdekraften virker, og hvordan den former universets struktur i stor skala. Det er opsummeret i et ordsprog af fysikeren John Wheeler: "Rum-tid fortæller noget om, hvordan man bevæger sig; materien fortæller rum-tid, hvordan man kurver." Alligevel er den almene relativitetsteori også dybt kontraintuitiv.

Fordi dens grundlæggende ligninger er så komplicerede, er selv de simplest lydende udsagn svære at bevise. For eksempel var det først omkring 1980, at matematikere beviste, som en del af en større sætning i generel relativitetsteorem, at et isoleret fysisk system eller rum, uden nogen masse i det, skal være fladt.

Dette efterlod uløst spørgsmålet om, hvordan et rum ser ud, hvis det næsten er et vakuum, der kun har en lille mængde masse. Er det nødvendigvis næsten fladt?

Selvom det kan virke indlysende, at mindre masse ville føre til mindre krumning, er tingene ikke så skåret og tørre, når det kommer til generel relativitetsteori. Ifølge teorien kan tætte koncentrationer af stof "forvride" en del af rummet, hvilket gør det meget buet. I nogle tilfælde kan denne krumning være ekstrem, hvilket muligvis fører til dannelsen af ​​sorte huller. Dette kan forekomme selv i et rum med små mængder stof, hvis det er koncentreret stærkt nok.

I en nyere papir, Conghan Dong, en kandidatstuderende ved Stony Brook University, og Antoine sang, en assisterende professor ved California Institute of Technology, beviste, at en sekvens af buede rum med mindre og mindre mængder masse til sidst vil konvergere til et fladt rum med nul krumning.

Dette resultat er et bemærkelsesværdigt fremskridt i den matematiske udforskning af generel relativitetsteori - en forfølgelse, der fortsætter med at betale udbytte mere end et århundrede efter, at Einstein udtænkte sin teori. Dan Lee, en matematiker ved Queens College, der studerer matematikken i generel relativitet, men ikke var involveret i denne forskning, sagde, at Dong og Songs bevis afspejler en dyb forståelse af, hvordan krumning og masse interagerer.

Hvad de beviste

Beviset af Dong og Song vedrører tredimensionelle rum, men overvej først et todimensionelt eksempel for illustrationens skyld. Forestil dig et fladt rum uden masse som et almindeligt, glat ark papir. Et rum med lille masse, i dette tilfælde, kan ligne på afstand - hvilket vil sige for det meste fladt. Men en nærmere inspektion kan afsløre nogle skarpe pigge eller bobler, der dukker op her og der - konsekvenser af klyngning af stof. Disse tilfældige udspring ville få papiret til at ligne en velholdt græsplæne med lejlighedsvis svampe eller stilk, der stikker ud fra overfladen.

Dong og Song beviste en formodning som blev formuleret i 2001 af matematikerne Gerhard Huisken , Tom Ilmanen. Formodningen siger, at når massen af ​​et rum nærmer sig nul, så skal dets krumning også gøre det. Huisken og Ilmanen erkendte dog, at dette scenarie er kompliceret af tilstedeværelsen af ​​bobler og pigge (som er matematisk adskilte fra hinanden). De antog, at boblerne og piggene kunne skæres af på en sådan måde, at grænseområdet efterladt på overfladen af ​​rummet ved hver udskæring var lille. De foreslog, men kunne ikke bevise, at den plads, der var tilbage efter at disse besværlige vedhæng var blevet fjernet, ville være tæt på flad. De var heller ikke sikre på, hvordan sådanne nedskæringer skulle foretages.

"Disse spørgsmål var vanskelige, og jeg forventede ikke at se en løsning på Huisken-Ilmanens formodning," sagde Lee.

Kernen i formodningen er en måling af krumning. Rummet kan bue på forskellige måder, forskellige mængder og forskellige retninger - som en sadel (i to dimensioner), der buer opad fremad og tilbage, men nedad går til venstre og højre. Dong og Song ignorerer disse detaljer. De bruger et koncept kaldet skalær krumning, som repræsenterer krumningen som et enkelt tal, der opsummerer den fulde krumning i alle retninger.

Dong og Songs nye værk, sagde Daniel Stern fra Cornell University, er "et af de stærkeste resultater, vi har hidtil, som viser os, hvordan skalær krumning styrer [geometrien]" af rummet som helhed. Deres papir illustrerer, at "hvis vi har en ikke-negativ skalar krumning og lille masse, forstår vi rummets struktur meget godt."

Beviset

Huisken-Ilmanen-formodningen vedrører geometrien af ​​rum med støt faldende masse. Den foreskriver en specifik metode til at sige, hvor tæt et rum med lille masse er på et fladt rum. Det mål kaldes Gromov-Hausdorff afstand, opkaldt efter matematikerne Mikhael Gromov og Felix Hausdorff. Beregning af afstanden Gromov-Hausdorff er en to-trins proces.

Det første skridt er at finde Hausdorff-afstanden. Antag, at du har to cirkler, A og B. Start med et hvilket som helst punkt på A, og find ud af, hvor langt det er til det nærmeste punkt på B.

Gentag dette for hvert punkt på A. Den største afstand, du finder, er Hausdorff-afstanden mellem cirklerne.

Når du har Hausdorff-distancen, kan du beregne Gromov-Hausdorff-distancen. For at gøre det skal du placere dine genstande i et større rum for at minimere Hausdorff-afstanden mellem dem. I tilfælde af to identiske cirkler, da du kan sætte dem bogstaveligt talt oven på hinanden, er afstanden mellem Gromov-Hausdorff nul. Geometrisk identiske objekter som disse kaldes "isometriske".

At måle afstand er selvfølgelig sværere, når objekterne eller mellemrummene, der sammenlignes, er ens, men ikke ens. Gromov-Hausdorff-afstanden giver et præcist mål for lighederne (eller forskellene) mellem formerne på to objekter, der oprindeligt ligger i forskellige rum. "Gromov-Hausdorff afstand er en af ​​de bedste måder, vi har til at sige, at to rum er næsten isometriske, og det giver et tal til det 'næsten'," sagde Stern.

Før Dong og Song kunne lave sammenligninger mellem et rum med en lille masse og et rum, der er helt fladt, var de nødt til at klippe de irriterende fremspring af - de smalle spidser, hvor stoffet er tæt pakket og endnu tættere bobler, der kan rumme små sorte huller. "Vi skar dem, så grænseområdet [hvor skiven blev lavet] er lille," sagde Song, "og vi viste, at området bliver mindre, efterhånden som massen falder."

Selvom den taktik kan lyde som en snyd, sagde Stern, at det er tilladt at bevise formodningen at udføre en slags forbehandling ved at skære bobler og pigge ud, hvis areal skrumper til nul, når massen falder.

Som en proxy for et rum med lille masse, foreslog han, kunne vi forestille os et krøllet ark papir, der efter at være blevet glattet ud igen stadig har skarpe folder og folder. Du kan bruge en hulmaskine til at fjerne de mest fremtrædende uregelmæssigheder og efterlade et lidt ujævnt stykke papir med nogle huller i. Efterhånden som størrelsen af ​​disse huller krymper, vil ujævnheden i papirets terræn også mindskes. Ved grænsen, kan du sige, ville hullerne krympe til nul, højene og højdedragene ville forsvinde, og du ville stå tilbage med et ensartet glat stykke papir - en ægte stand-in for flad plads.

Det var, hvad Dong og Song søgte at bevise. Det næste trin var at se, hvordan disse blottede rum – uden deres ru træk – stablet op mod standarden for fuldstændig fladhed. Den strategi, de fulgte, gjorde brug af en særlig slags kort, som er en måde at sammenligne to rum ved at forbinde punkter i et rum med punkter i et andet. Kortet de brugte blev udviklet i en papir skrevet af Stern og tre kolleger - Hubert Bray, Demetre Kazaras og Marcus Khuri. Denne procedure kan præcisere, hvor tæt to mellemrum er.

For at forenkle deres opgave, adopterede Dong og Song et andet matematisk trick fra Stern og hans medforfattere, som viste, at et tredimensionelt rum kan opdeles i uendeligt mange todimensionelle skiver kaldet niveausæt, ligesom et hårdkogt æg kan segmenteres i smalle ark af de stramme tråde i en æggeskærer.

Niveausættene arver krumningen af ​​det tredimensionelle rum, de udgør. Ved at fokusere deres opmærksomhed på niveausæt snarere end på det større tredimensionelle rum, var Dong og Song i stand til at reducere dimensionaliteten af ​​problemet fra tre til to. Det er meget gavnligt, sagde Song, fordi "vi ved meget om todimensionelle objekter ... og vi har en masse værktøjer til at studere dem."

Hvis de kunne vise, at hvert niveausæt er "en slags fladt," sagde Song, ville dette give dem mulighed for at nå deres overordnede mål om at vise, at et tredimensionelt rum med lille masse er tæt på fladt. Heldigvis lykkedes denne strategi.

Næste trin

Når vi ser fremad, sagde Song, at en af ​​feltets næste udfordringer er at gøre beviset mere eksplicit ved at opstille en præcis procedure for at slippe af med bobler og pigge og bedre beskrive de områder, der er blevet skåret væk. Men for nu, indrømmede han, "vi har ikke en klar strategi for at opnå det."

 En anden lovende vej, sagde Song, ville være at udforske en separat formodning der blev formuleret i 2011 af Lee og Christina Sormani, matematiker ved City University of New York. Lee-Sormani-formodningen stiller et spørgsmål svarende til det, som Huisken og Ilmanen stillede, men det er baseret på en anden måde at måle forskellen mellem former på. I stedet for at overveje den maksimale afstand mellem to former, som afstanden Gromov-Hausdorff gør, spørger Lee-Sormani-tilgangen om rumfanget mellem dem. Jo mindre volumen er, jo tættere er de.

Song håber i mellemtiden at undersøge grundlæggende spørgsmål om skalar krumning, som ikke er motiveret af fysik. "I generel relativitetsteori," sagde han, "beskæftiger vi os med meget specielle rum, der er næsten flade i det uendelige, men i geometri bekymrer vi os om alle slags rum."

"Der er håb om, at disse teknikker kan være af værdi i andre indstillinger", der ikke er relateret til generel relativitetsteori, sagde Stern. "Der er en stor familie af relaterede problemer," sagde han, som venter på at blive udforsket.

Quanta gennemfører en række undersøgelser for bedre at kunne betjene vores publikum. Tag vores matematiklæserundersøgelse og du vil være med til at vinde gratis Quanta merch.