Introduktion
Ligesom mange mennesker, der ville fortsætte med at blive matematikere, Wei Ho voksede op med at konkurrere i matematikkonkurrencer. I ottende klasse vandt hun Mathcounts State-konkurrencen i Wisconsin, og hendes hold tog tredjepladsen ved nationals.
I modsætning til mange fremtidige matematikere var hun ikke sikker på, at hun nogensinde ønskede at blive det.
"Jeg ville gøre alt hele tiden," sagde Ho. “Jeg tog ballet meget seriøst indtil den tidlige gymnasietid. Jeg redigerede det litterære magasin. Jeg lavede debat og retsmedicin. Jeg spillede tennis og fodbold og klaver og violin." Derimod så mange succesrige matematikere ud til at være besat af matematik med udelukkelse af alt andet. Hvordan kunne hun, en person med mange passioner, konkurrere med det fokusniveau?
I sidste ende blev Ho tiltrukket af matematikkens strenghed. Hun nyder stadig ballet, at læse romaner og lave kryptiske krydsord, selvom hun hjælper med at genopfinde det matematiske maskineri, der understøtter fundamentale matematiske objekter, såsom polynomielle ligninger, som har langvarige og forvirrende åbne spørgsmål forbundet med dem.
Ho studerer velkendte geometriske objekter, men hun omformulerer spørgsmålene for at placere dem i de rationelle tals rige - tal, der kan skrives som brøker. "Så begynder talteori at blive blandet ind i alt dette," sagde hun.
Hun er især interesseret i elliptiske kurver, som er defineret af en bestemt form for polynomialligning, der har anvendelse i forskellige grene af matematikken. Elliptiske kurver optræder i analyse - i store træk, studiet af kontinuerlige ting, som de reelle tal - og i algebra, som handler om at finde og definere præcise matematiske strukturer. (Selvom deres fokus er anderledes, er analyse og algebra mere opdelt efter følsomhed end af en streng grænse, da der er masser af overlap mellem dem.)
Introduktion
I et barrierebrydende preprint udgivet i 2018, Ho og hendes samarbejdspartner Levent Alpöge fra Harvard University opdagede en ny øvre grænse for antallet af heltalsløsninger til polynomier, der definerer elliptiske kurver. Deres teknik trækker på årtier gamle arbejde af Louis Mordell, en amerikansk matematiker, der emigrerede til Storbritannien i 1906. I deres papir var Ho og Alpöge i stand til at indsamle ny information om fordelingen af disse heltalsløsninger, der havde unddraget andre hold, der studerede lignende problemer.
Ho tilbringer året (på orlov fra sin fakultetsstilling ved University of Michigan) som gæsteprofessor ved Institute for Advanced Study, hvor hun for nylig blev udnævnt til den første direktør for IAS's Women and Mathematics-program. Hun er også stipendiat i 2023 i American Mathematical Society og forsker ved Princeton University.
Hun håber på, at ledelse af programmet Kvinder og matematik vil "i det mindste hjælpe samfundet mere, hjælpe flere mennesker, i stedet for at jeg bare er på mit kontor og laver matematikforskning alene eller sammen med samarbejdspartnere," sagde hun. »Jeg kan bevise sætninger, og måske kan jeg en dag bevise en sætning, som om 100 år vil have betydning. Måske, måske ikke. Men jeg følte, at jeg ikke havde nok indflydelse på verden eller på mennesker omkring mig."
Quanta talte med Ho i en række videokonferencer. Interviewene er blevet komprimeret og redigeret for klarhedens skyld.
Hvordan vil du beskrive den måde, du laver matematik på?
Nogle gange opdeler matematikere os selv i algebraiske og analytiske mennesker. Den matematik, jeg laver, berører begge sider, men i hjertet er jeg algebraist, selvom jeg er geometrisk på den måde, jeg tænker på. Jeg har ofte en tendens til at se algebra og geometri som i det væsentlige det samme.
Det er ikke helt præcist, men dybest set siden Descartes arbejde og især i det sidste århundrede er de to emner blevet virkelig tætte. Der er en ret præcis ordbog, der i nogle situationer kan hjælpe med at oversætte et geometrisk billede til algebraiske konsekvenser.
I mit eget tilfælde hjælper det geometriske billede ofte med at formulere udsagn og formodninger og give intuition, men så oversætter vi dem til algebra, når vi skriver. Det er lettere at opdage fejl, da algebra typisk er mere stringent. Det kan også være lettere at bruge algebra, når geometrien bliver for svær at visualisere.
Hvilke ideer har du fokuseret på i dit seneste arbejde?
En hel del af mit arbejde har at gøre med elliptiske kurver, som er meget naturlige objekter i talteori og aritmetisk geometri.
Det burde være svært at have heltalsløsninger af ligninger som disse. Vi forventer i bund og grund, at næsten alle kurver ikke skal have heltalsløsninger. Men det er meget svært at bevise det.
Levent og jeg studerede denne fordeling af antallet af integralpunkter. Vi bruger en klassisk konstruktion fra Mordells bog fra 1969 Diofantiske ligninger. Vi er i stand til at give en øvre grænse for antallet af integralpunkter på en elliptisk kurve. Andre mennesker har givet øvre grænser. Vi fandt en anden grænse, der er enkel at angive.
Hvilken rolle spillede Mordells tidligere arbejde i dit seneste resultat?
Vores spørgsmål involverer integrerede punkter på elliptiske kurver. Mordell har en måde at relatere det til noget andet, som vi er i stand til at studere.
Det er noget, vi gør hele tiden i matematik: Vi vil gerne forstå et objekt, men vi skal finde en proxy for at forstå det. Nogle gange er denne proxy meget nøjagtig. Nogle gange mister den information. Men det er faktisk noget, vi kan få adgang til.
Hvornår besluttede du dig for at fokusere på matematik?
Jeg tror ikke, der var et vendepunkt for mig. Jeg er glad for mit liv og min karriere nu, men jeg føler, at hvis tingene havde været lidt anderledes, kunne jeg have været glad i mange karrierer eller andre områder. Måske er det noget, de fleste matematikere ikke ville sige, fordi de kan lide at tale om, hvor passionerede de er omkring matematik, og hvordan de aldrig kunne tænke på noget andet. For mig tror jeg ikke, det er sandt.
Jeg er nysgerrig efter mange forskellige ting. Måske endte jeg med at blive matematiker, fordi jeg var frustreret over manglen på stringens på andre områder. Som barn blev jeg oplært til at tænke som en matematiker på nogle måder, for det var sådan, vi gjorde tingene derhjemme. Min far spillede matematikspil med mig, hvilket betød, at jeg lærte logiske ræsonnementer fra en ung alder. Jeg ville have, at tingene skulle bevises.
Men jeg var ikke sikker på, at jeg ville blive en god matematiker.
Hvorfor?
Da jeg var yngre, kendte jeg ikke så mange matematikfolk, der lignede mig på forskellige måder. Vi kaster disse ord rundt om rollemodeller. Det er ikke kun, at jeg ikke så nok kvinder eller asiatiske amerikanske kvinder.
Det, jeg mener, er, at jeg ikke så mange mennesker, der brændte for andre ting end matematik. Det fik mig til at tvivle meget på mig selv. Hvordan kan jeg få succes i matematik, hvis jeg ikke bruger 100 % af min tid på at tænke på matematik? Det var det, jeg så omkring mig. Jeg havde det indtryk, at andre mennesker nærmede sig matematik anderledes end jeg, mine jævnaldrende og folk ældre end mig. Jeg troede, det var svært at forfølge en karriere, hvor jeg ikke ville være sådan. Jeg ville have andre interesser.
Det menneskelige aspekt er noget, jeg ikke så andre mennesker bryde sig så meget om. Jeg var bange for, at en del af mig ville gøre mig dårlig til at blive matematiker.
Introduktion
Du er lige blevet udnævnt til direktør for IAS's kvinde- og matematikprogram. Hvad tilbyder det program kvindelige matematikere?
Det er en ugelang workshop for kvinder på forskellige karrierestadier, herunder bachelor-kvinder, kandidatstuderende, postdocs og nogle junior- og seniorfakultet. Det er at lære matematik i et støttende miljø.
Undergraduates, der måske ikke vidste, at de ønsker at forfølge matematik, møder meget senior matematikere og får mentorordninger hele vejen op. De kan se mange forskellige mennesker på forskellige karrierestadier og tale med folk om deres oplevelser. Jeg tror ikke, der er mange andre programmer, der har hele den rækkevidde og er fokuseret på et bestemt underområde.
2023-programmet hedder "Patterns in Integers." Det vil have en masse mennesker i additiv kombinatorik og analytisk talteori. Vi henter mennesker fra forskellige karriereveje, som de kan møde.
For de ældre kandidatstuderende, der allerede arbejder i dette område, møder de postdocs, junior- og seniorfakultet inden for deres felt og får en chance for at arbejde sammen med dem i en uge.
Du er også involveret i Stacks projekt, som er en omfattende onlineressource. Hvad er unikt ved det?
Det store volumen og tilgængeligheden af det. Det er dette enorme - mere end 7,500 sider, hvis du printede det ud - online samarbejdsprojekt. Men realistisk set [matematikeren fra Columbia University] Aise Johan de Jong skriver næsten det hele. Det er en streng, omhyggeligt skrevet ressource til algebraiske geometre. Det er en fantastisk ting, han har gjort for samfundet.
Hver eller anden uge vokser det. Det er en pålidelig reference til næsten alt. Det dækker en enorm mængde algebraisk geometri, som du skulle se på som 20 lærebøger for.
Det er at leve i den forstand, at ting kan tilføjes og redigeres. Hvis der er fejl, bliver de fanget.
Den anden ting, der er lidt interessant ved det, er tag-systemet. Selvom dette dokument konstant vokser, kan du stadig referere til et bestemt tag for evigt. Der er over 21,000 permanente tags for bestemte resultater, du måske vil citere. Pieter Belmans byggede hele bagenden, som også er blevet brugt i andre projekter. Andre mennesker har tilpasset teknologien til det.
Problemet er - og det ved Johan - at han til sidst ikke vil være i stand til at blive ved med at skrive dette. En dag, hvis vi ønsker at dette skal fortsætte, skal andre mennesker involveres mere.
Hvilken rolle spiller dine værksteder i Stacks-projektet?
Pointen er at begynde at involvere yngre mennesker. Vi får dem til at skrive stykker, som i sidste ende kan blive inkorporeret i det. Der er nogle spændinger her, for for at hjemmesiden forbliver korrekt og af høj kvalitet som ressource, skal den modereres omhyggeligt. Så Johan mangler stadig at gøre meget af arbejdet med at sætte tingene ind i det. Det kan ikke være ligesom Wikipedia, hvor alle kan røre ved det. Det er lidt uheldigt, men det skal ske, hvis du vil have det til at virke.
Vi forsøger at finde ud af, hvordan vi langsomt kan få flere mennesker involveret i Stacks-projektet. Vi henter mentorer til at arbejde på projekter med kandidatstuderende og postdocs. De lærer noget algebraisk geometri. Så skriver de noget.
We lige udgivet et bind med en masse redegørelsesartikler, som vi håber med tiden vil gå ind i Stacks-projektet.
Stacks-projektet kan fortsætte med at være ekstremt virkningsfuldt i hundreder af år, hvis nok mennesker bliver involveret og holder det i gang.
