Michel Talagrand vinder Abel-prisen for tilfældighed i arbejdskampe | Quanta Magasinet

Tilfældige processer finder sted overalt omkring os. Det regner den ene dag, men ikke den næste; aktier og obligationer vinder og taber værdi; trafikpropper smelter sammen og forsvinder. Fordi de er styret af adskillige faktorer, der interagerer med hinanden på komplicerede måder, er det umuligt at forudsige den nøjagtige adfærd af sådanne systemer. I stedet tænker vi på dem i form af sandsynligheder, og karakteriserer udfald som sandsynlige eller sjældne.

I dag er den franske sandsynlighedsteoretiker Michel Talagrand blev tildelt Abelprisen, en af ​​de højeste udmærkelser inden for matematik, for at udvikle en dyb og sofistikeret forståelse af sådanne processer. Prisen, overrakt af kongen af ​​Norge, er modelleret efter Nobelprisen og kommer med 7.5 millioner norske kroner (ca. $700,000). Da han fik at vide, at han havde vundet, "blev mit sind tomt," sagde Talagrand. ”Den form for matematik, jeg laver, var slet ikke på mode, da jeg startede. Det blev betragtet som ringere matematik. Det faktum, at jeg fik denne pris, er et absolut bevis på, at det ikke er tilfældet."

Andre matematikere er enige. Talagrands arbejde "ændrede den måde, jeg ser verden på," sagde Assaf Naor fra Princeton University. I dag tilføjede Helge Holden, formanden for Abelpriskomiteen, "det er ved at blive meget populært at beskrive og modellere begivenheder i den virkelige verden ved hjælp af tilfældige processer. Talagrands værktøjskasse kommer op med det samme.”

Talagrand ser sit eget liv som en kæde af usandsynlige begivenheder. Han bestod knap folkeskolen i Lyon: Selvom han var interesseret i naturvidenskab, kunne han ikke lide at studere. Da han var 5 år, mistede han synet på højre øje, efter at hans nethinde løsnede sig; i en alder af 15 fik han tre nethindeløsninger i sit andet øje, hvilket tvang ham til at tilbringe en måned på hospitalet med forbindinger om øjnene, af frygt for at han ville blive blind. Hans far, en matematikprofessor, besøgte ham hver dag og holdt hans sind travlt ved at lære ham matematik. "Sådan lærte jeg abstraktionskraften," Talagrand skrev i 2019 efter at have vundet Shaw-prisen, en anden stor matematikpris, der kommer med en dusør på $1.2 millioner. (Talagrand bruger nogle af disse penge sammen med sine Abel-gevinster til at stifte en egen pris, "som anerkendelse af unge forskeres præstationer på de områder, som jeg har viet mit liv til.")

Han gik glip af et halvt års skolegang, mens han kom sig, men han blev inspireret til at begynde at fokusere på sine studier. Han udmærkede sig i matematik, og efter sin eksamen fra college i 1974 blev han ansat af det franske nationale center for videnskabelig forskning, Europas største forskningsinstitut, hvor han arbejdede indtil sin pensionering i 2017. I løbet af den tid opnåede han sin doktorgrad; blev forelsket i sin kommende kone, en statistiker, ved første blik (han friede til hende tre dage efter at have mødt hende); og efterhånden udviklede interessen for sandsynlighed og udgav hundredvis af artikler om emnet.

Det var ikke forudbestemt. Talagrand begyndte sin karriere med at studere højdimensionelle geometriske rum. "I 10 år havde jeg ikke opdaget, hvad jeg var god til," sagde han. Men han fortryder ikke denne omvej. Det førte ham til sidst til sandsynlighedsteori, hvor "Jeg havde dette andet synspunkt ... som gav mig en måde at se tingene anderledes på," sagde han. Det gjorde det muligt for ham at undersøge tilfældige processer gennem linsen af ​​højdimensionel geometri.

"Han bringer sin geometriske intuition til at løse rent sandsynlighedsspørgsmål," sagde Naor.

En tilfældig proces er en samling af hændelser, hvis udfald varierer alt efter tilfældigheder på en måde, der kan modelleres - som en sekvens af møntskift, eller atomernes baner i en gas eller daglige nedbørsmængder. Matematikere ønsker at forstå forholdet mellem individuelle resultater og aggregeret adfærd. Hvor mange gange skal du vende en mønt for at finde ud af, om den er rimelig? Vil en flod flyde over sine bredder?

Talagrand fokuserede på processer, hvis resultater er fordelt efter en klokkeformet kurve kaldet en Gauss. Sådanne fordelinger er almindelige i naturen og har en række ønskelige matematiske egenskaber. Han ønskede at vide, hvad der med sikkerhed kan siges om ekstreme udfald i disse situationer. Så han beviste et sæt uligheder, der satte snævre øvre og nedre grænser for mulige udfald. "At opnå en god ulighed er et stykke kunst," sagde Holden. Den kunst er nyttig: Talagrands metoder kan give et optimalt estimat af, for eksempel, det højeste niveau, en flod kan stige til i de næste 10 år, eller størrelsen af ​​det kraftigste potentielle jordskælv.

Når vi har at gøre med komplekse, højdimensionelle data, kan det være svært at finde sådanne maksimale værdier.

Lad os sige, at du vil vurdere risikoen for en flodoversvømmelse - hvilket vil afhænge af faktorer som nedbør, vind og temperatur. Du kan modellere flodens højde som en tilfældig proces. Talagrand brugte 15 år på at udvikle en teknik kaldet generisk kæde, der gjorde det muligt for ham at skabe et højdimensionelt geometrisk rum relateret til en sådan tilfældig proces. Hans metode "giver dig en måde at læse det maksimale ud fra geometrien," sagde Naor.

Teknikken er meget generel og derfor bredt anvendelig. Lad os sige, at du vil analysere et massivt, højdimensionelt datasæt, der afhænger af tusindvis af parametre. For at drage en meningsfuld konklusion, ønsker du at bevare datasættets vigtigste egenskaber, mens du karakteriserer det med blot nogle få parametre. (Dette er f.eks. en måde at analysere og sammenligne de komplicerede strukturer af forskellige proteiner på.) Mange avancerede metoder opnår denne forenkling ved at anvende en tilfældig operation, der kortlægger de højdimensionelle data til et rum med lavere dimensioner . Matematikere kan bruge Talagrands generiske kædemetode til at bestemme den maksimale mængde fejl, som denne proces introducerer - hvilket giver dem mulighed for at bestemme chancerne for, at nogle vigtige funktioner ikke er bevaret i det forenklede datasæt.

Talagrands arbejde var ikke kun begrænset til at analysere de bedste og værst mulige resultater af en tilfældig proces. Han undersøgte også, hvad der sker i den gennemsnitlige sag.

I mange processer kan tilfældige individuelle hændelser samlet set føre til meget deterministiske udfald. Hvis målingerne er uafhængige, så bliver totalerne meget forudsigelige, selvom hver enkelt hændelse er umulig at forudsige. Slå for eksempel en fair mønt. Man kan ikke sige noget på forhånd om, hvad der vil ske. Vend den 10 gange, og du får fire, fem eller seks hoveder - tæt på den forventede værdi af fem hoveder - omkring 66% af tiden. Men vend mønten 1,000 gange, og du vil få mellem 450 og 550 hoveder 99.7% af tiden, et resultat, der er endnu mere koncentreret omkring den forventede værdi på 500. "Det er usædvanligt skarpt omkring middelværdien," sagde Holden.

"Selvom noget har så meget tilfældighed, ophæver tilfældigheden sig selv," sagde Naor. "Det, der oprindeligt virkede som et forfærdeligt rod, er faktisk organiseret."

Dette fænomen, kendt som målekoncentration, forekommer også i meget mere komplicerede tilfældige processer. Talagrand kom med en samling af uligheder, der gør det muligt at kvantificere den koncentration, og beviste, at den opstår i mange forskellige sammenhænge. Hans teknikker markerede en afvigelse fra tidligere arbejde i området. At bevise den første sådan ulighed, skrev han i sit essay fra 2019, var "en magisk oplevelse." Han var "i en tilstand af konstant opstemthed."

Han er især stolt af en af ​​hans efterfølgende uligheder i koncentrationen. "Det er ikke let at få et resultat, der forsøger at tænke på universet, og som samtidig har et bevis på én side, der er let at forklare," sagde han. (Han husker med glæde, at han engang brugte en taxatjeneste, hvis ejer genkendte hans navn, efter at have lært uligheden under en sandsynlighedstime på handelsskolen. "Det var ekstraordinært," sagde han.)

Ligesom hans generiske kædemetode optræder Talagrands koncentrationsuligheder over hele matematikken. "Det er utroligt, hvor langt det rækker," sagde Naor. "Talagrand-uligheder er skruerne, der holder tingene sammen."

Overvej et optimeringsproblem, hvor du skal sortere varer af forskellig størrelse i beholdere - en model for ressourceallokering. Når du har mange varer, er det meget svært at finde ud af det mindste antal skraldespande, du har brug for. Men Talagrands uligheder kan fortælle dig, hvor mange skraldespande du sandsynligvis har brug for, hvis genstandenes størrelse er tilfældige.

Lignende metoder er blevet brugt til at bevise koncentrationsfænomener i kombinatorik, fysik, datalogi, statistik og andre indstillinger.

For nylig brugte Talagrand sin forståelse af tilfældige processer til at bevise en vigtig formodning om spin-briller, uordnede magnetiske materialer skabt af tilfældige, ofte modstridende interaktioner. Talagrand var frustreret over, at selvom spin-briller er matematisk veldefinerede, så forstod fysikere dem bedre end matematikere. "Det var en torn i foden på os," sagde han. Han beviste et resultat - om den såkaldte frie energi af spin-briller - der gav grundlag for en mere matematisk teori.

Gennem hele hans karriere har Talagrands forskning været præget af "denne evne til bare at træde tilbage og finde de generelle principper, der kan genbruges overalt," sagde Naor. ”Han genbesøger og genbesøger, og tænker på noget fra alle mulige perspektiver. Og til sidst fremlægger han en indsigt, der bliver en arbejdshest, som alle bruger.”

"Jeg kan godt lide at forstå simple ting meget godt, fordi min hjerne er meget langsom," sagde Talagrand. "Så jeg tænker på dem i meget, meget lang tid." Han er drevet, sagde han, af ønsket om at "forstå noget dybt, på en ren måde, hvilket gør teorien meget lettere. Så kan den næste generation starte derfra og gøre fremskridt på deres egne præmisser.”

I løbet af det seneste årti har han opnået dette ved at skrive lærebøger - ikke kun om tilfældige processer og spin-briller, men også om et område, han slet ikke arbejder med, kvantefeltteori. Han havde ønsket at lære om det, men indså, at alle de lærebøger, han kunne finde, var skrevet af og for fysikere, ikke matematikere. Så han skrev en selv. "Når du ikke længere kan opfinde ting, kan du forklare dem," sagde han.