Farvelægning efter tal afslører aritmetiske mønstre i brøker

Et år efter han startede sin ph.d. i matematik ved McGill University havde Matt Bowen et problem. "Jeg tog mine kvalificerende eksamener og klarede mig helt forfærdeligt på dem," sagde han. Bowen var sikker på, at hans resultater ikke afspejlede hans matematiske færdigheder, og han besluttede at bevise det. Sidste efterår gjorde han, da han og hans rådgiver, Marcin Sabok, postet et stort fremskridt inden for området kendt som Ramsey teori.

I næsten et århundrede har Ramsey-teoretikere indsamlet beviser for, at matematisk struktur fortsætter under fjendtlige omstændigheder. De kan bryde store sæt tal fra hinanden, såsom heltal eller brøker, eller opdele forbindelserne mellem punkter på et netværk. De finder derefter måder at bevise, at visse strukturer er uundgåelige, selvom du forsøger at undgå at skabe dem ved at bryde eller skære på en smart måde.

Når Ramsey-teoretikere taler om at opdele et sæt tal, bruger de ofte farvelægningssproget. Vælg flere farver: rød, blå og gul, for eksempel. Tildel nu en farve til hvert tal i en samling. Selvom du gør dette på en tilfældig eller kaotisk måde, vil visse mønstre uundgåeligt dukke op, så længe du kun bruger et begrænset antal forskellige farver, selvom det tal er meget stort. Ramsey-teoretikere forsøger at finde disse mønstre og søger efter strukturerede sæt tal, der er "monokromatiske", hvilket betyder, at deres elementer alle er blevet tildelt den samme farve.

De første farveresultater går tilbage til slutningen af ​​det 19. århundrede. I 1916 havde Issai Schur bevist, at uanset hvordan man farver de positive heltal (også kendt som naturlige tal), vil der altid være et par tal x , y sådan at x, y, og deres sum x+y er alle i samme farve. Gennem det 20. århundrede fortsatte matematikere med at arbejde med farveproblemer. I 1974, Neil Hindman forlænget Schurs resultat at inkludere en uendelig delmængde af de heltal. Ligesom Schurs sætning gælder Hindmans, uanset hvordan de naturlige tal er farvet (med et endeligt antal farveblyanter). Ikke alene har disse heltal i Hindmans sæt alle samme farve, men hvis du opsummerer en samling af dem, vil resultatet også være den farve. Sådanne mængder ligner de lige tal i det, ligesom enhver sum af lige tal altid er lige, så ville summen af ​​alle tal i et af Hindmans mængder også være indeholdt i den mængde.

"Hindmans teorem er et fantastisk stykke matematik," sagde Sabok. "Det er en historie, som vi kan lave en film af."

Men Hindman troede, at mere var muligt. Han mente, at man kunne finde et vilkårligt stort (men endeligt) monokromatisk sæt, der ikke kun indeholdt summen af ​​dets medlemmer, men også produkterne. "Jeg har fastholdt i årtier, at det er en kendsgerning," sagde han og tilføjede: "Jeg hævder ikke, at jeg kan bevise det."

Hindmans formodning

Hvis du giver op på summen og kun vil sikre dig, at produkterne har samme farve, er det ligetil at tilpasse Hindmans sætning ved at bruge eksponentiering til at omdanne summer til produkter (meget som en diasregel gør).

At bryde med summer og produkter på én gang er dog langt hårdere. "Det er meget svært at få de to til at tale med hinanden," sagde Joel Moreira, matematiker ved University of Warwick. "At forstå, hvordan addition og multiplikation hænger sammen - dette er på en måde grundlaget for al talteori, næsten."

Selv en enklere version, som Hindman først foreslog i 1970'erne, viste sig at være udfordrende. Han formodede, at enhver farvning af de naturlige tal måtte indeholde et monokromatisk sæt af formen {x, y, xy, x+y} — to tal x , y, samt deres sum og produkt. "Folk gjorde ikke rigtig fremskridt med dette problem i årtier," sagde Bowen. "Og så pludselig, omkring 2010, begyndte folk at bevise flere og flere ting om det."

Bowen lærte om {x, y, xy, x+y} problem i 2016, hans andet semester på college, da en af ​​hans professorer ved Carnegie Mellon University beskrev problemet i klassen. Bowen blev slået af dens enkelhed. "Det er en af ​​de her fede ting, hvor det er sådan, at jeg kan ikke meget matematik, men jeg kan godt forstå det her," sagde han.

I 2017, Moreira bevist at dig kan altid find et monokromatisk sæt, der indeholder tre af de fire ønskede elementer: x, xyog x + y. I mellemtiden begyndte Bowen afslappet at pille ved spørgsmålet i løbet af sit sidste år. "Jeg kunne faktisk ikke løse problemet," sagde han. "Men jeg ville vende tilbage til det hvert halve år eller deromkring." Efter hans dårlige opvisning på sin ph.d. kvalificerende eksamener i 2020, fordoblede han sin indsats. Et par dage senere havde han bevist, at {x, y, xy, x+y} formodning for tilfældet med to farver, et resultat som Ron Graham allerede havde bevist tilbage i 1970'erne ved hjælp af en computer.

Med den succes arbejdede Bowen sammen med Sabok for at udvide resultatet til et vilkårligt antal farver. Men de blev hurtigt viklet ind i tekniske detaljer. "Kompleksiteten af ​​problemet vokser helt ude af kontrol, når antallet af farver er stort," sagde Sabok. I 18 måneder forsøgte de at komme ud af sig selv uden lidt held. "I løbet af dette halvandet år havde vi omkring en million forkerte beviser," sagde Sabok.

Især én vanskelighed holdt de to matematikere fra at komme videre. Hvis du vælger to heltal tilfældigt, vil du sandsynligvis ikke være i stand til at dividere dem. Division virker kun i det sjældne tilfælde, hvor det første tal er et multiplum af det andet. Dette viste sig at være yderst begrænsende. Med denne erkendelse drejede Bowen og Sabok sig om at bevise {x, y, xy, x+y} formodning i de rationelle tal (som matematikere kalder brøker) i stedet for. Der kan tal opdeles med opgivelse.

Bowen og Saboks bevis er på sit mest elegante, når alle de involverede farver optræder hyppigt i de rationelle tal. Farver kan optræde "hyppigt" på flere forskellige måder. De kan hver især dække store bidder af tallinjen. Eller det kan betyde, at du ikke kan rejse for langt langs tallinjen uden at se hver farve. Normalt er farverne dog ikke i overensstemmelse med sådanne regler. I de tilfælde kan du fokusere på små områder inden for de rationelle tal, hvor farverne forekommer hyppigere, forklarede Sabok. "Det er her, størstedelen af ​​arbejdet kom," sagde han.

I oktober 2022 postede Bowen og Sabok et bevis på, at hvis du farver de rationelle tal med endeligt mange farver, vil der være et sæt af formen {x, y, xy, x+y} hvis elementer alle har samme farve. "Det er et utroligt smart bevis," sagde Imre leder fra University of Cambridge. "Den bruger kendte resultater. Men det kombinerer dem på en helt genial, meget original, meget innovativ måde.”

Der er masser af spørgsmål tilbage. Kan et tredje nummer z føjes til samlingen sammen med de efterfølgende summer og produkter? At opfylde Hindmans dristigeste forudsigelser ville betyde at tilføje et fjerde, et femte og til sidst vilkårligt mange nye tal til sekvensen. Det ville også kræve, at man flyttede fra de rationelle til de naturlige tal og at finde en vej uden om den opdelingsgåde, der hæmmede Bowen og Saboks indsats.

Leader mener, at med Moreira, Bowen og Sabok, der alle arbejder på problemet, er det bevis måske ikke langt væk. "De fyre virker særligt dygtige til at finde nye måder at gøre tingene på," sagde han. "Så jeg er lidt optimistisk om, at de eller nogle af deres kolleger kan finde det."

Sabok er mere forsigtig i sine forudsigelser. Men han udelukker ikke noget. "En af matematikkens charme er, at før du får et bevis, er alt muligt," sagde han.