Første-års kandidat finder paradoksalt talsæt | Quanta Magasinet

Matematikere glæder sig, når de beviser, at tilsyneladende umulige ting eksisterer. Sådan er det med en nyt bevis lagt online i marts af Cédric Pilatte, en førsteårs kandidatstuderende ved University of Oxford.

Pilatte beviste, at det er muligt at skabe et sæt - en samling af tal - der opfylder to tilsyneladende uforenelige egenskaber. Den første er, at ikke to par tal i sættet tæller op til den samme total. Tilføj f.eks. to vilkårlige tal i {1, 3, 5, 11}, og du vil altid få et unikt tal. Det er nemt at konstruere små "Sidon"-sæt som dette, men efterhånden som antallet af elementer stiger, øges sandsynligheden for, at beløbene vil falde sammen, hvilket ødelægger sættets Sidon-hed.

Det andet krav er, at sættet skal være meget stort. Det skal være uendeligt, og du bør være i stand til at generere et tilstrækkeligt stort tal ved at lægge sammen højst tre tal i sættet. Denne egenskab, som gør mængden til et "asymptotisk grundlag af orden 3", kræver et stort, tæt sæt tal. "De trækker i modsatte retninger," sagde Pilatte. "Sidon-sæt er begrænset til at være små, og et asymptotisk grundlag er begrænset til at være stort. Det var ikke indlysende, at det kunne virke.”

Spørgsmålet om, hvorvidt et sådant sæt eksisterer, har stået på i årtier, lige siden det blev stillet af den produktive ungarske matematiker Paul Erdős og to samarbejdspartnere i 1993. Erdős' fascination af Sidon-sæt kan spores til en samtale, han havde i 1932 med deres opfinder Simon Sidon, som på det tidspunkt var interesseret i at forstå væksthastigheden af ​​disse sæt. (Erdős ville senere beskrive Sidon som "galere end den gennemsnitlige matematiker", hvilket han næsten helt sikkert mente som en kompliment.)

Sidon-sæt opstår i en række matematiske sammenhænge, ​​herunder talteori, kombinatorik, harmonisk analyse og kryptografi, men det simple spørgsmål om, hvor store de kan blive, har været et vedvarende mysterium, som Erdős overvejede i store dele af sin karriere. Erdős indså tidligt, at Sidon-sæt er ekstremt svære at skalere. I 1941 han og en anden matematiker bevist at det størst mulige Sidon-sæt, hvis medlemmer alle er mindre end et helt tal N skal være mindre end kvadratroden af N plus et led, der vokser i forhold til den fjerde rod af N. (I 1969 ville Bernt Lindström vise, at den er mindre end $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$, og i 2021 en anden gruppe matematikere strammede bundet til $latex sqrt{N}+0.998 gange sqrt[4]{N}$.) Sidon-sæt skal med andre ord være sparsomme.

Det har længe været kendt, at et Sidon-sæt ikke kan være et asymptotisk grundlag for orden 2, hvor ethvert heltal kan udtrykkes som summen af ​​højst to tal. (De ulige tal danner f.eks. grundlag for rækkefølge 2.) Som Pilatte forklarede, er dette så enkelt at vise, at matematikere ikke gad at skrive det ned: "At rækkefølge 2 er umuligt var sandsynligvis kendt meget tidligere, end det eksplicit blev skrevet i litteraturen." Han forklarede, at dette skyldes, at "Sidon-sekvenser ikke kan overskride en vis tæthed, mens asymptotiske baser af orden 2 altid er tættere end den tærskel, så de to egenskaber kan ikke holde på én gang."

Det blev generelt antaget, at et asymptotisk grundlag af orden 3 kunne konstrueres ud fra et Sidon-sæt, men at bevise dette var en anden sag. "Folk troede, at dette burde være sandt," sagde Pilattes rådgiver James Maynard. "Men der var et problem med de teknikker, vi brugte."

Der var gjort nogle fremskridt, før Pilatte tog udfordringen op. I 2010 kyssede den ungarske matematiker Sándor viste at et Sidon-sæt kan være et asymptotisk grundlag af orden 5 - hvilket betyder, at ethvert tilstrækkeligt stort heltal kan skrives som summen af ​​højst fem elementer i sættet - og i 2013 Kiss og to af hans kolleger bevist formodningen om et asymptotisk grundlag for orden 4. To år senere, den spanske matematiker Javier Cilleruelo tog disse resultater et skridt videre ved at bevise, at det er muligt at konstruere et Sidon-sæt, der er en asymptotisk basis af orden 3+ e, hvilket betyder, at ethvert tilstrækkeligt stort heltal N kan skrives som summen af ​​fire medlemmer af Sidon-sættet, hvor en af ​​dem er mindre end N^e for vilkårligt lille positiv e.

Disse resultater blev opnået ved hjælp af variationer af en probabilistisk metode udviklet af Erdős, der involverer generering af et tilfældigt sæt heltal og tweaking det lidt for at skabe et sæt, der opfylder begge egenskaber.

Pilatte indså, at den probabilistiske metode var blevet skubbet så langt, som den kunne gå. "Du kan få et grundlag for ordre 4 ved at bruge probabilistiske metoder, men du kan ikke få et grundlag for ordre 3," sagde han. "Det mislykkes bare."

Så Pilatte tog et andet slag og vendte i stedet til en procedure, der bruger logaritmerne af primtal som byggesten i Sidon-mængderne. Udviklet af den ungarske talteoretiker Imre Ruzsa , Cilleruelo, giver denne tilgang større, tættere Sidon-sæt end den probabilistiske metode, som Pilatte havde brug for for at skabe et grundlag af lav orden, der også adlød Sidon-egenskaben. Men metoden krævede et anlæg med primtal, som selv verdens fremmeste eksperter manglede. "Du ville have brug for en forståelse af primtal, der går ud over alt, hvad vi har," sagde Pilatte. "Så det var ikke godt."

Søgningen efter en løsning tog Pilatte i en uventet retning, væk fra additiv talteori og ind i algebraisk geometris verden, en gren af ​​matematikken, der studerer forholdet mellem geometriske former, som kurver og overflader, og de ligninger, der definerer dem. Ved at bruge en idé fra Cilleruelo begyndte Pilatte med at erstatte tal med polynomier, hvilket straks gjorde problemet mere håndterbart.

Et polynomium er et algebraisk udtryk, der består af en sum af led, som hver er et produkt af en konstant koefficient og en eller flere variable hævet til ikke-negative heltalspotenser. Begreberne kan kombineres ved hjælp af addition, subtraktion og multiplikation. For eksempel 3x² + 22x + 35 er et polynomium med tre led. At faktorisere et polynomium betyder at opdele det i et produkt af andre, enklere polynomier. I dette eksempel, 3x² + 22x + 35 = (x + 5)(3x + 7). Et irreducerbart polynomium - et der ikke kan faktoriseres - er analogen til et primtal.

At bytte heltal til variable og koefficienter lyder måske mærkeligt, men de har mere til fælles, end du måske tror. "Det viser sig, at polynomier opfører sig meget på samme måde som de heltal," sagde Pilattes Oxford-kollega Thomas Bloom. "Jeg kan tilføje dem, trække dem fra, gange dem, dividere dem." Og i nogle henseender forstår matematikere polynomier langt bedre end tal. "Alle disse ting, der, med primtal, lyder som science fiction for os, er kendt i den polynomielle verden," sagde Maynard.

Ved hjælp af en nylige resultat af Columbia University matematiker Will Sawin på fordelingen af ​​irreducerbare polynomier i aritmetiske progressioner, var Pilatte i stand til at konstruere et sæt, der besad den helt rigtige mængde tilfældighed og den helt rigtige tæthed af tal til at tilfredsstille Erdős' begrænsninger.

"Jeg var meget glad," sagde Pilatte. "Jeg slutter mig til gruppen af ​​mennesker her, der har løst et Erdős-problem, og det er sjovt."

Men det, der glæder ham mest, er den overraskende måde, han nåede frem til løsningen på. "Det er fedt, at disse meget dybe teknikker fra algebraisk geometri også kan bruges til dette enkle og konkrete spørgsmål om sæt af tal," sagde han.

Erdős problemer har en uhyggelig evne til at afdække forbindelser mellem formodet uafhængige grene af matematik, og de opdagelser matematikere gør, mens de forsøger at besvare dem, er ofte mere meningsfulde end selve svarene. "De er vildledende i, hvor dybe de er, og Cédrics løsning er et godt eksempel på dette," sagde Bloom. "Jeg er sikker på, at Erdős ville have været begejstret."

Rettelse: 5. Juni, 2023
Denne artikel gav oprindeligt et eksempel på et Sidon-sæt, der faktisk ikke er et Sidon-sæt. Det eksempel er blevet fjernet.