Hvor stor er Infinity?

I slutningen af ​​Marvel-blockbusteren Avengers: Endgame, et forudindspillet hologram af Tony Stark siger farvel til sin unge datter ved at sige: "Jeg elsker dig 3,000." Det rørende øjeblik afspejler en tidligere scene, hvor de to er engageret i det legende sengetidsritual med at kvantificere deres kærlighed til hinanden. Ifølge Robert Downey Jr., skuespilleren, der spiller Stark, var linjen inspireret af lignende udvekslinger med hans egne børn.

Spillet kan være en sjov måde at udforske store tal på:

"Jeg elsker dig 10."

"Men jeg elsker dig 100."

"Nå, jeg elsker dig 101!"

Det er netop sådan "googolplex" blev et populært ord i mit hjem. Men vi ved alle, hvor dette argument i sidste ende fører hen:

"Jeg elsker dig i det uendelige!"

"Oh yeah? Jeg elsker dig uendeligt plus 1!"

Uanset om det er på legepladsen eller ved sengetid, møder børn begrebet uendelighed længe før matematiktimerne, og de udvikler forståeligt nok en fascination af dette mystiske, komplicerede og vigtige koncept. Nogle af disse børn vokser op til at blive matematikere, der er fascineret af uendelighed, og nogle af disse matematikere opdager nye og overraskende ting om uendelighed.

Du ved måske, at nogle sæt tal er uendeligt store, men vidste du, at nogle uendeligheder er større end andre? Og at vi ikke er sikre på, om der er andre uendeligheder klemt mellem de to, vi kender bedst? Matematikere har overvejet dette andet spørgsmål i mindst et århundrede, og noget nyligt arbejde har ændret den måde, folk tænker på spørgsmålet.

For at løse spørgsmål om størrelsen af ​​uendelige sæt, lad os starte med sæt, der er nemmere at tælle. Et sæt er en samling af objekter eller elementer, og et endeligt sæt er blot et sæt, der indeholder endeligt mange objekter.

Det er nemt at bestemme størrelsen af ​​et begrænset sæt: Tæl bare antallet af elementer, det indeholder. Da sættet er begrænset, ved du, at du vil stoppe med at tælle til sidst, og når du er færdig, kender du størrelsen på dit sæt.

Denne strategi virker ikke med uendelige sæt. Her er mængden af ​​naturlige tal, som er betegnet ℕ. (Nogle vil måske hævde, at nul ikke er et naturligt tal, men den debat påvirker ikke vores undersøgelser af uendeligheden.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,...}$

Hvad er størrelsen på dette sæt? Da der ikke er noget største naturlige tal, vil det ikke fungere at prøve at tælle antallet af elementer. En løsning er simpelthen at erklære størrelsen af ​​dette uendelige sæt for at være "uendeligt", hvilket ikke er forkert, men når du begynder at udforske andre uendelige sæt, indser du, at det heller ikke er helt rigtigt.

Overvej mængden af ​​reelle tal, som er alle de tal, der kan udtrykkes i en decimaludvidelse, som 7, 3.2, −8.015, eller en uendelig udvidelse som $latexsqrt{2} = 1.414213...$. Da hvert naturligt tal også er et reelt tal, er mængden af ​​reelle værdier mindst lige så stor som mængden af ​​naturlige tal, og skal derfor også være uendelig.

Men der er noget utilfredsstillende ved at erklære størrelsen af ​​sættet af reelle tal for at være den samme "uendelighed", der bruges til at beskrive størrelsen af ​​de naturlige tal. For at se hvorfor, vælg to vilkårlige tal, f.eks. 3 og 7. Mellem disse to tal vil der altid være endeligt mange naturlige tal: Her er det tallene 4, 5 og 6. Men der vil altid være uendeligt mange reelle tal mellem dem, tal som 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666 ... og så videre.

Bemærkelsesværdigt nok, uanset hvor tæt to forskellige reelle tal er på hinanden, vil der altid være uendeligt mange reelle tal imellem. I sig selv betyder dette ikke, at mængderne af reelle tal og naturlige tal har forskellige størrelser, men det antyder, at der er noget fundamentalt anderledes ved disse to uendelige mængder, der berettiger yderligere undersøgelse.

Matematikeren Georg Cantor undersøgte dette i slutningen af ​​det 19. århundrede. Han viste, at disse to uendelige sæt virkelig har forskellige størrelser. For at forstå og værdsætte, hvordan han gjorde det, må vi først forstå, hvordan man sammenligner uendelige mængder. Hemmeligheden er en fast bestanddel af matematiktimer overalt: funktioner.

Der er mange forskellige måder at tænke funktioner på - funktionsnotation som $latex f(x) = x^2 +1$, grafer af parabler i det kartesiske plan, regler som "tag input og læg 3 til det" - men her vil vi tænke på en funktion som en måde at matche elementerne i et sæt med elementerne i et andet.

Lad os tage et af disse sæt for at være ℕ, sættet af naturlige tal. Til det andet sæt, som vi kalder S, tager vi alle de lige naturlige tal. Her er vores to sæt:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$

Der er en simpel funktion, der gør elementerne i ℕ til elementerne i S: $latex f(x) = 2x$. Denne funktion fordobler simpelthen sine input, så hvis vi tænker på elementerne af ℕ som input af $latex f(x)$ (vi kalder sættet af input af en funktion for "domænet"), vil output altid være elementer af S. For eksempel $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ og så videre.

Du kan visualisere dette ved at placere elementerne i de to sæt side om side og bruge pile til at angive, hvordan funktionen $latex f$ omdanner input fra ℕ til output i S.

Læg mærke til, hvordan $latex f(x)$ tildeler præcis ét element af S til hvert element af ℕ. Det er hvad funktioner gør, men $latex f(x)$ gør det på en speciel måde. Først tildeler $latex f$ alt ind S til noget i ℕ. Ved hjælp af funktionsterminologi siger vi, at hvert element af S er "billedet" af et element af ℕ under funktionen $latex f$. For eksempel er det lige tal 3,472 inde S, og vi kan finde en x i ℕ sådan, at $latex f(x) = 3,472$ (nemlig 1,736). I denne situation siger vi, at funktionen $latex f(x)$ afbildes ℕ på S. En mere avanceret måde at sige det på er, at funktionen $latex f(x)$ er "surjektiv." Uanset hvordan du beskriver det, er det vigtigt dette: Da funktionen $latex f(x)$ omdanner input fra ℕ til output i S, intet i S bliver savnet i processen.

Den anden specielle ting ved, hvordan $latex f(x)$ tildeler output til input, er, at ikke to elementer i ℕ bliver transformeret til det samme element i S. Hvis to tal er forskellige, så er deres doubler forskellige; 5 og 11 er forskellige naturlige tal i ℕ, og deres output i S er også forskellige: 10 og 22. I dette tilfælde siger vi, at $latex f(x)$ er "1-til-1" (også skrevet "1-1"), og vi beskriver $latex f(x)$ som "injektiv." Nøglen her er, at der ikke er noget i S bliver brugt to gange: Hvert element i S er parret med kun ét element i ℕ.

Disse to funktioner i $latex f(x)$ kombineres på en kraftfuld måde. Funktionen $latex f(x)$ skaber et perfekt match mellem elementerne i ℕ og elementerne i S. Det faktum, at $latex f(x)$ er "onto", betyder, at alt i S har en partner i ℕ, og det faktum, at $latex f(x)$ er 1-til-1, betyder, at intet i S har to partnere i ℕ. Kort sagt, funktionen $latex f(x)$ parrer hvert element af ℕ med nøjagtigt et element af S.

En funktion, der er både injektiv og surjektiv, kaldes en bijektion, og en bijektion skaber en 1-til-1 overensstemmelse mellem de to sæt. Det betyder, at hvert element i et sæt har præcis én partner i det andet sæt, og dette er en måde at vise, at to uendelige sæt har samme størrelse.

Da vores funktion $latex f(x)$ er en bijektion, viser dette, at de to uendelige mængder ℕ og S er af samme størrelse. Dette kan virke overraskende: Når alt kommer til alt, er hvert lige naturligt tal i sig selv et naturligt tal, så ℕ indeholder alt i S og mere. Skulle det ikke gøre ℕ større end S? Hvis vi havde at gøre med endelige mængder, ville svaret være ja. Men et uendeligt sæt kan fuldstændig indeholde et andet, og de kan stadig være af samme størrelse, sådan som "uendelighed plus 1" faktisk ikke er en større mængde kærlighed end almindelig gammel "uendelighed." Dette er blot en af ​​de mange overraskende egenskaber ved uendelige sæt.

En endnu større overraskelse kan være, at der findes uendelige sæt af forskellige størrelser. Tidligere undersøgte vi de forskellige natur af de uendelige mængder af reelle og naturlige tal, og Cantor beviste, at disse to uendelige mængder har forskellige størrelser. Det gjorde han med sit geniale, og berømte, diagonale argument.

Da der er uendeligt mange reelle tal mellem to forskellige reelle tal, lad os lige for øjeblikket fokusere på de uendeligt mange reelle tal mellem nul og 1. Hvert af disse tal kan opfattes som en (muligvis uendelig) decimaludvidelse, som denne.

Her er $latex a_1, a_2, a_3$ og så videre kun cifrene i tallet, men vi vil kræve, at ikke alle cifrene er nul, så vi inkluderer ikke selve tallet nul i vores sæt.

Det diagonale argument starter i det væsentlige med spørgsmålet: Hvad ville der ske, hvis der eksisterede en bijektion mellem de naturlige tal og disse reelle tal? Hvis en sådan funktion eksisterede, ville de to sæt have samme størrelse, og du kunne bruge funktionen til at matche hvert reelt tal mellem nul og 1 med et naturligt tal. Du kunne forestille dig en ordnet liste over de matchende, som denne.

Det geniale ved det diagonale argument er, at du kan bruge denne liste til at konstruere et reelt tal, der ikke kan være på listen. Begynd at bygge et reelt tal ciffer for ciffer på følgende måde: Gør det første ciffer efter decimaltegnet til noget anderledes end $latex a_1$, gør det andet ciffer til noget anderledes end $latex b_2$, gør det tredje ciffer til noget anderledes end $latex c_3 $, og så videre.

Dette reelle tal bliver defineret af dets forhold til diagonalen på listen. Er det på listen? Det kan ikke være det første tal på listen, da det har et andet første ciffer. Det kan heller ikke være det andet nummer på listen, da det har et andet andet ciffer. Faktisk kan det ikke være nnummer på denne liste, fordi den har et andet ndet ciffer. Og dette gælder for alle n, så dette nye tal, som er mellem nul og 1, kan ikke være på listen.

Men alle de reelle tal mellem nul og 1 skulle være på listen! Denne modsigelse opstår ud fra antagelsen om, at der eksisterer en bijektion mellem de naturlige tal og de reelle tal mellem nul og 1, og derfor kan en sådan bijektion ikke eksistere. Det betyder, at disse uendelige sæt har forskellige størrelser. Lidt mere arbejde med funktioner (se øvelserne) kan vise, at mængden af ​​alle reelle tal har samme størrelse som mængden af ​​alle reelle tal mellem nul og 1, og derfor skal de reelle, som indeholder de naturlige tal, være en større uendeligt sæt.

Den tekniske betegnelse for størrelsen af ​​et uendeligt sæt er dets "kardinalitet". Det diagonale argument viser, at de reelles kardinalitet er større end de naturlige tals kardinalitet. Kardinaliteten af ​​de naturlige tal skrives $latex aleph_0$, udtales "aleph intet." I en standardopfattelse af matematik er dette den mindste uendelige kardinal.

Den næste uendelige kardinal er $latex aleph_1$ ("aleph one"), og et enkelt anført spørgsmål har forvirret matematikere i mere end et århundrede: Er $latex aleph_1$ kardinaliteten af ​​de reelle tal? Med andre ord, er der andre uendeligheder mellem de naturlige tal og de reelle tal? Cantor mente, at svaret var nej - en påstand, der blev kendt som kontinuum hypotese - men han var ikke i stand til at bevise det. I begyndelsen af ​​1900-tallet blev dette spørgsmål anset for så vigtigt, at da David Hilbert sammensatte sin berømte liste over 23 vigtige åbne problemer i matematik, var kontinuumhypotesen nummer et.

Hundrede år senere er der sket store fremskridt, men det fremskridt har ført til nye mysterier. I 1940 den berømte logiker Kurt Gödel beviste at det under de almindeligt accepterede regler for mængdeteori er umuligt at bevise, at der eksisterer en uendelighed mellem de naturlige tals og realernes. Det kan virke som et stort skridt mod at bevise, at kontinuumhypotesen er sand, men to årtier senere matematikeren Paul Cohen bevist at det er umuligt at bevise, at sådan en uendelighed ikke eksisterer! Det viser sig, at kontinuumhypotesen ikke kan bevises på den ene eller den anden måde.

Tilsammen etablerede disse resultater kontinuumhypotesens "uafhængighed". Det betyder, at de almindeligt accepterede regler for mængder bare ikke siger nok til at fortælle os, om der eksisterer en uendelighed mellem de naturlige tal og de reelle tal. Men i stedet for at afskrække matematikere i deres stræben efter at forstå uendeligheden, har det ført dem i nye retninger. Matematikere leder nu efter nye grundlæggende regler for uendelige mængder, der både kan forklare, hvad man allerede ved om uendelighed og hjælpe med at udfylde hullerne.

At sige "Min kærlighed til dig er uafhængig af aksiomerne" er måske ikke så sjovt som at sige "Jeg elsker dig uendeligt plus 1", men måske vil det hjælpe den næste generation af uendelighedselskende matematikere med at få en god nats søvn.

Øvelser

1. Lad $latex T = {1,3,5,7,…}$, sættet af positive ulige naturlige tal. Er T større end, mindre end eller samme størrelse som ℕ sættet af naturlige tal?

2. Find en 1-til-1 overensstemmelse mellem mængden af ​​naturlige tal, ℕ, og mængden af ​​heltal $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.

3. Find en funktion $latex f(x)$, der er en bijektion mellem mængden af ​​reelle tal mellem nul og 1 og mængden af ​​reelle tal større end nul.

4. Find en funktion, der er en bijektion mellem mængden af ​​reelle tal mellem nul og 1 og mængden af ​​alle reelle tal.

Klik for svar 1:

Klik for svar 2:

Klik for svar 3:

Klik for svar 4: