'Entropy Bagels' og andre komplekse strukturer opstår fra simple regler | Quanta Magasinet

Gentagelser behøver ikke altid at være enfoldig. I matematik er det en stærk kraft, der er i stand til at skabe forvirrende kompleksitet.

Selv efter årtiers studier er matematikere ude af stand til at besvare spørgsmål om den gentagne udførelse af meget simple regler - de mest basale "dynamiske systemer". Men i forsøget på at gøre det, har de afsløret dybe forbindelser mellem disse regler og andre tilsyneladende fjerne områder af matematik.

For eksempel Mandelbrot-sættet, som I skrev om sidste måned, er et kort over, hvordan en familie af fungerer - beskrevet af ligningen f(x) = x² + c — opfører sig som værdien af c rækker over det såkaldte komplekse plan. (I modsætning til reelle tal, som kan placeres på en linje, har komplekse tal to komponenter, som kan plottes på x- , y-akser i et todimensionalt plan.)

Uanset hvor meget du zoomer ind på Mandelbrot-sættet, opstår der altid nye mønstre uden grænser. "Det er fuldstændig overvældende for mig, selv nu, at denne meget komplekse struktur opstår fra så simple regler," sagde Matthew Baker fra Georgia Institute of Technology. "Det er en af ​​de virkelig overraskende opdagelser i det 20. århundrede."

Mandelbrot-sættets kompleksitet kommer til dels frem, fordi det er defineret i form af tal, der i sig selv er komplekse. Men måske overraskende er det ikke hele historien. Selv når c er et ligetil reelt tal som f.eks. –3/2, alle mulige mærkelige fænomener kan forekomme. Ingen ved, hvad der sker, når du gentagne gange anvender ligningen f(x) = x² – 3/2, ved at bruge hvert output som det næste input i en proces kendt som iteration. Hvis du begynder at iterere fra x = 0 (det "kritiske punkt" i en andengradsligning), er det uklart, om du vil producere en sekvens, der til sidst konvergerer mod en gentagen cyklus af værdier, eller en, der fortsætter med at hoppe rundt i et kaotisk mønster.

For værdier af c mindre end –2 eller større end 1/4, blæser iteration hurtigt op til det uendelige. Men indenfor det interval er der uendeligt mange værdier af c kendt for at producere kaotisk adfærd, og uendeligt mange tilfælde som -3/2, hvor "vi ikke ved, hvad der sker, selvom det er super konkret," sagde Giulio Tiozzo fra University of Toronto.

Men i 1990'erne, Stony Brook University matematiker Misha Lyubich, som var fremtrædende i min rapport om Mandelbrot-sættet, bevist at i intervallet mellem –2 og 1/4 er langt de fleste værdier af c producere pæn "hyperbolsk" adfærd. (Matematikerne Jacek Graczyk og Grzegorz Swiatek uafhængigt bevist resultatet omkring samme tid.) Det betyder, at de tilsvarende ligninger, når de itereres, konvergerer til en enkelt værdi eller til en gentagen cyklus af tal.

Et årti senere viste en trio af matematikere, at de fleste værdier af c er hyperbolske ikke kun for andengradsligninger, men for enhver familie af rigtige polynomier (mere generelle funktioner, der kombinerer variable hævet til potenser, f.eks x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). Og nu en af ​​dem, Sebastian van Strien fra Imperial College London, mener, at han har et bevis på denne egenskab for en endnu bredere klasse af ligninger kaldet reelle analytiske funktioner, som omfatter sinus-, cosinus- og eksponentialfunktioner. Van Strien håber at kunne offentliggøre resultatet i maj. Hvis det holder stand efter peer review, vil det markere et stort fremskridt i karakteriseringen af, hvordan rigtige endimensionelle systemer opfører sig.

Usandsynlige skæringspunkter og entropibagels

Der er uendeligt mange rigtige andengradsligninger, der, når de itereres fra nul, er kendt for at ende med at producere en gentagende cyklus af tal. Men hvis du begrænser c til rationelle værdier - dem, der kan skrives som brøker - genererer kun tre værdier til sidst periodiske sekvenser: 0, -1 og -2. "Disse dynamiske systemer er meget, meget specielle," sagde Clayton Petsche fra Oregon State University.

In et papir udgivet sidste år, Petsche og Chatchai Noytatim fra University of Waterloo beviste, at de er endnu mere specielle, end de ser ud ved første øjekast. Matematikerne så på "helt rigtige" tal, som er mere restriktive end reelle tal, men mindre restriktive end rationelle.

Hvis du tilslutter et tal til et polynomium og får et output på nul, er det tal en løsning på eller roden af ​​polynomiet. For eksempel er 2 en rod af f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, og uendeligt mange andre ligninger. Sådanne polynomier kan have rødder, der er reelle, eller rødder, der er komplekse. (For eksempel rødderne af x² + 1 er kvadratroden af ​​–1, skrevet som i, og -i — begge komplekse tal.)

Et tal er fuldstændig reelt, hvis det opfylder en polynomialligning med heltalskoefficienter, der kun har reelle rødder. Alle rationelle tal er fuldstændig reelle, men det er nogle irrationelle tal også. $latex sqrt{2}$ er f.eks. helt ægte, fordi det er en løsning til f(x) = x² – 2, som kun har rigtige rødder ($latex sqrt{2}$ og dens "søster"-rod $latex -sqrt{2}$). Men terningroden af ​​2, $latex sqrt[3]{2}$, er ikke helt reel. Det er en løsning på f(x) = x³ – 2, som har yderligere to søsterrødder, også kendt som Galois-konjugater, som er komplekse.

Petsche og Noytaptim beviste, at der ikke er nogen irrationelle helt reelle tal, der til sidst producerer periodiske cyklusser. Tværtimod er 0, –1 og –2 de eneste helt reelle tal, der gør dette. De repræsenterer et usandsynligt skæringspunkt mellem egenskaber fra to tilsyneladende forskellige verdener - talteori (studiet af heltal) og dynamiske systemer. Petsche og Noytaptim brugte vigtige resultater fra talteori i deres bevis, hvilket fremhævede sammenhængen mellem de to felter.

Matematikerne Xavier Buff , Sarah Cook fundet endnu et usandsynligt kryds. De viste, at kun fire helt rigtige værdier af c — 1/4, –3/4, –5/4 og –7/4 — genererer sekvenser af en bestemt, velforstået type kaldet en parabolsk cyklus.

Galois-konjugater banede også vejen til opdagelsen af ​​et mystisk objekt kaldet "entropi-bagelen", en glødende fraktalring i det komplekse plan. Entropi er et mål for tilfældighed; i denne sammenhæng måler den, hvor svært det er at forudsige rækkefølgen af ​​tal genereret ved iteration x² + c. I sidste papir han skrev før han døde i 2012, tegnede den anerkendte topolog William Thurston et sæt af entropiværdier, der svarer til næsten en milliard forskellige reelle værdier af c — sammen med Galois-konjugaterne af disse entropiværdier, som kan være komplekse. Begrebet entropi "er bare på den rigtige linje, men på en eller anden måde kan du stadig se denne skygge af den komplekse verden," sagde Tiozzo.

"Du kan se, at dette organiserer sig selv i denne utrolige blonde fraktale struktur," sagde Koch. "Det er så sejt." Entropi-bagelen er kun et meget kompliceret mønster, der fremkommer ved iterationen af ​​rigtige andengradsligninger. "Vi lærer stadig alle disse magiske udsagn - små perler - om rigtige kvadratiske polynomier," tilføjede hun. "Du kan altid gå tilbage og blive overrasket over denne ting, du troede, du vidste ekstremt godt."