Introduktion
Ideen om uendelighed er sandsynligvis lige så gammel som tallene selv, og går tilbage til dengang, folk først indså, at de kunne blive ved med at tælle for evigt. Men selvom vi har et tegn på uendelighed og kan henvise til begrebet i tilfældig samtale, forbliver uendelighed dybt mystisk, selv for matematikere. I denne episode chatter Steven Strogatz med sin medmatematiker Justin Moore fra Cornell University om, hvordan en uendelighed kan være større end en anden (og om vi kan være sikre på, at der ikke er en mellemliggende uendelighed mellem dem). De diskuterer også, hvordan fysikere og matematikere bruger uendelighed forskelligt og betydningen af uendelighed for selve grundlaget for matematik.
Lyt til Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, Stitcher, TuneIn eller din foretrukne podcasting-app, eller du kan stream det fra Quanta.
Transcript
Steven Strogatz (00:03): Jeg er Steve Strogatz, og det er det Glæden ved hvorfor, en podcast fra Quanta Magazine som tager dig ind i nogle af de største ubesvarede spørgsmål inden for matematik og naturvidenskab i dag.
(00:13) I denne episode skal vi diskutere uendelighed. Ingen ved rigtigt, hvor tanken om uendelighed kom fra, men den må være meget gammel - lige så gammel som folks håb og frygt for ting, der kunne tænkes at fortsætte for evigt. Nogle af dem er skræmmende, som bundløse gruber, og nogle af dem er opløftende, som uendelig kærlighed. Inden for matematikken er tanken om uendelighed nok omtrent lige så gammel som tallene selv. Engang indså folk, at de bare kunne blive ved med at tælle for evigt - 1, 2, 3 og så videre. Men selvom uendelighed er en meget gammel idé, forbliver den dybt mystisk. Folk har kløet sig i hovedet om uendelighed i tusinder af år nu, i hvert fald siden Zeno og Aristoteles i det antikke Grækenland.
(00:57) Men hvordan forstår matematikere uendeligheden i dag? Er der forskellige størrelser af uendelighed? Er uendelighed nyttig for matematikere? Og hvis ja, hvordan præcist? Og hvad har alt dette at gøre med selve matematikkens grundlag?
(01:14) Sammen med mig i dag for at diskutere uendelighed er Justin Moore, professor i matematik ved Cornell. Hans forskningsinteresser omfatter mængdeteori, matematisk logik og uendelig kombinatorik og deres anvendelser på andre felter af matematik, såsom topologi, funktionel analyse og algebra. Velkommen, Justin.
Justin Moore (01:33): Hej, Steve. Tak for at have mig.
Strogatz (01:35): Ja, jeg er meget spændt på at tale med dig. Jeg må sige, måske for fuld afsløring, Justin er min ven og kollega i matematikafdelingen hos Cornell. OK, så går vi i gang med at tænke på uendeligheden, mens matematikere tænker på det. Faktisk, måske før vi dykker ned i matematikdelen, lad os lige tale et øjeblik om den virkelige verden, for vi vil ikke være der længe. Har jeg ret i, at du engang blev uddannet i fysikkens verden?
Moore (02:02): Ja, det var en fysik dobbelt hovedfag med matematik, da jeg var bachelor. Jeg blev lidt brændt ud af fysik. Jeg startede med at foretrække fysik og var også mere rekreativt interesseret i matematik. Og så på en eller anden måde, i løbet af det, blev jeg mere interesseret i matematik og fysik.
Strogatz (02:18): OK. Nå, hvad med uendelighedens fysik? Giver det overhovedet mening? Er der nogen uendelige ting i den virkelige verden, som vi kender til?
Moore (02:26): Du ved denne video, 10's magter, der blev skabt af Charles og Ray Eames? Hvor stort set hver — jeg tror, det er hvert 10. sekund, du er en magt på 10 mindre. Tja, til at begynde med tror jeg en styrke på 10 større. Du zoomer ud. Og så hvert 10. sekund, er du en potens på 10 mindre, og du går fra universets største skala ned til den mindste skala af subatomære partikler. Du ved, det her blev lavet tilbage i, jeg vil sige, slutningen af 70'erne eller begyndelsen af 80'erne. Og jeg tror, at vores forståelse af nogle ting har udviklet sig en lille smule siden da, men ikke voldsomt. Men jeg mener, pointen er, at der er omkring 40 potenser af 10, der adskiller den mindste længdeskala fra den største længdeskala, og måske kan du være generøs og smide flere ekstra potenser af 10 ind, bare for en god ordens skyld. Men det er rimeligt at sige, at der ikke er noget, du kan måle i fysik, der er større end, du ved, 10100 eller 10200 eller noget i den stil.
(03:22) Og måske vores idé om, at tingene er kontinuerlige - kontinuerlig bevægelse eller hvad som helst - måske er det hele bare en illusion. Måske er alt virkelig granulært og endeligt. Men hvad der er sandt er, at fysikere bestemt har opdaget meget om den verden, vi lever i, ved at forestille sig, at tingene er glatte og kontinuerlige, og at den uendelighed giver mening. Når du går ind i de dele af fysikken, hvor de endnu ikke rigtigt har formaliseret tingene, er mange af de problemer, som matematikere har med dette kogende ned til fysikerne, på en måde at behandle uendelighed på forskellige slags kavaleriske måder og trække uendeligheder fra uendeligheder. , og måske ikke være så ansvarlig for det, som en matematiker gerne vil have dem til at være. Jeg tror ikke, det er en kontroversiel udtalelse. Jeg tror, at en fysiker ville - de fleste fysikere ville nok - jeg mener, okay, måske ville du vide bedre. Men jeg tror, at de fleste fysikere vil sige, at det er et ret korrekt udsagn.
Strogatz (04:20): Så hvad angår din egen personlige historie - jeg lover, at jeg ikke vil gå for dybt for at gøre dig forlegen over dette - men hvad var det, der trak dig til det uendelige? Var det på en eller anden måde, at fysikken føltes for lille til dig? Eller kan du bare lide matematikkens stringens, eller...?
Moore (04:33): Jeg mener, jeg tror, jeg blev interesseret i matematik som helhed og voksede væk fra fysik, før jeg blev interesseret i mængdeteori specifikt. Ironisk nok var det fordi jeg – ja, hvis du tager en fysiktime, på et tidspunkt, ender du med at være ret hurtig og løs med matematikken. Og enten er du ok med det, eller også er du ikke. Jeg var en af dem, der ikke var okay med det.
Strogatz (04:56): Huh. Og jeg var en, der var OK, og jeg gør det stadig. Du ved, jeg mener, de ting har ikke bekymret mig for meget, selvom jeg respekterer den omsorg, som - den intellektuelle integritet, som rene matematikere har, du ved, bekymrer sig om disse ting.
(05:11): OK, så antag, at jeg bare var, jeg ved det ikke, som en nysgerrig teenager, og jeg ved ikke engang, hvad uendelighed er. Hvad vil du sige det er? Skal jeg tænke på det som et meget stort tal? Er det et eller andet symbol? Er det en ejendom? Hvad er en god måde at tænke på, hvad uendelighed er?
Moore (05:26): Ja, jeg mener, det er vel – det kan være et idealiseret punkt for enden af linjen, okay? Det kan være et formelt symbol. Du ved, du kan tænke på det på en måde … et formelt symbol i samme betydning som at sige, vi introducerer -1, ikke? Og jeg kan huske, da jeg var et lille barn, at lærere ikke ville være villige til at gøre det klart, om det var sikkert at tale om negative tal. Og ja, det lyder dumt set i bakspejlet, men på et eller andet niveau eksisterer -1 ikke i den virkelige verden? Men du kan formelt manipulere det, og du kan formelt manipulere uendeligheden på et eller andet niveau, men du skal måske udvise en smule mere omhu. Du kan også bruge uendelighed som et middel til at kvantificere, hvor mange der er af noget. Og det åbner flere døre der, for man kan tale om, at der er uendelige sæt, hvoraf nogle er større end andre.
Strogatz (06:15): OK. Okay. Så du har nævnt dette ord "sæt", og vi kommer helt sikkert til at tale meget om sæt i dag. Jeg sagde, at dine interesser omfatter mængdeteori. Vil du sige mere om, hvad du mener med et sæt?
Moore (06:26): Jeg tror, jeg... Svaret er både ja og nej. Så jeg synes, det er OK at flyve forbi sædet af ens bukser og bare se det som bare, du ved, et udefineret begreb og bruge det lidt intuitivt. Men det blev også brugt som en mekanisme til at skabe grundlaget for matematik, da folk indså, at vi skulle have noget, lave et omhyggeligt grundlag for, hvad matematik er.
Strogatz (06:49): Øh huh. Det er interessant. Fordi jeg - sådan som små børn lærer vi at tælle på vores fingre, eller vores forældre begynder sandsynligvis at sige ord, og så peger de måske på ting og siger: "1, 2, 3..." Og vi lærte lyde - børn sådan når de er meget små, jeg ved det, ikke? Jeg mener, hvis du selv har små børn eller slægtninge. Så der er den side af tingene. Og jeg tror, de fleste mennesker ville forestille sig, at tal er grundlaget for matematik. Men du siger, og jeg tror, de fleste matematikere vil være enige, at der er noget endnu dybere end tal, hvilket er dette begreb om mængder, ikke?
Moore (07:22): Jeg tror, at begrebet "sæt" opstod som et grundlæggende begreb, fordi det er så grundlæggende og så primitivt. Og hvis du er, hvis du vil have noget at bruge som stof til matematik, vil du starte med noget, hvor dets grundlæggende egenskaber virker meget primitive, og så starte derfra. Og så er tanken, at man så bruger sæt til at kode ting som tælletallene, og ting som de rationelle tal og de reelle tal og så videre. Og så derfra alle mulige andre mere komplicerede matematiske konstruktioner, som manifolder, eller, eller hvad som helst.
Strogatz (07:57): Så jeg kan huske, i en Sesam Street episode, som jeg plejede at se med mine børn. Det var i en film; Det tror jeg, det var. At der er en karakter, der bestilte fisk til et værelse fyldt med sultne pingviner. Og han bad pingvinerne om at råbe, og de sagde: "Fisk, fisk, fisk, fisk, fisk, fisk." Og så kalder tjeneren ned i køkkenet: "Fisk, fisk, fisk, fisk, fisk." Og så siger en anden: "Nej, du tog fejl." Og en anden siger, "Nå, hvorfor sagde du ikke bare, at de havde bestilt seks fisk?" Men det understreger, at denne idé om en række kommer efter denne samling af genstande af fisk. Og så bliver en anden karakter overrasket og siger: “Virker det til tændrør? Og kanelsnurrer?”
Moore (08:42): Jeg mener, jeg tror også, det er bare hvis du er interesseret i at prøve at forstå, kan du bevise dette? Eller kan du bevise det? Og du prøver at sætte reglerne op for, hvordan du vil bevise ting eller hvad som helst, du vil gerne have, at de grundlæggende principper er så enkle som muligt. Og i stedet for at prøve at nedskrive regler for, hvordan regnestykket fungerer, starter du med at skrive simplere regler ned for mere simple ting, og bygger derefter regnestykker ud af disse mere basale byggeklodser.
Strogatz (09:08): OK. Så da, og det minder mig også om "New Math", da vi som barn i 60'erne plejede at lære om skæringspunkter og Venn-diagrammer og fagforeninger, ikke? Det var begyndelsen på mængdeteorien. De lærte os det i — jeg kan ikke huske — det var anden eller tredje klasse; mine forældre vidste ikke hvorfor. Men det var, gætter jeg på, matematikere af din type, eller andre, der mente, at børn skulle lære sæt, enten før eller samtidig med, at de lærer om regning.
Moore (09:33): Ja, det meste af det, folk studerer i mængdeteori, jeg mener, i disse dage er virkelig, hvordan uendelige sæt fungerer. Fordi vores intuition om uendelige mængder ikke er så god som vores intuition om endelige mængder. Og jeg tror, det er meget af grunden til, at drivkraften efter fonde var der. Det var til dels fordi vi gerne ville skrive ned, OK, hvad er vi ret sikre på skal være egenskaberne for uendelige mængder og mængder generelt, og så prøve at udvikle hvad der er sandt om uendelige mængder derfra?
Strogatz (10:03): OK, så hvorfor har vi ikke et par eksempler? Kan du fortælle mig nogle eksempler på ting, der er uendelige mængder?
Moore (10:08): Jamen, ligesom de naturlige tal. Som du sagde - som 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og så videre - men også ting som de rationelle tal. Du ved, brøker som to naturlige tal over hinanden, eller måske en negativ brøk. Men så er der også ting som de reelle tal, hvor - du ved, alt hvad du kan udtrykke med en decimal, inklusive ting som pi og e.
Strogatz (10:28): Mm-hmm. Så de kunne have uendeligt mange cifre efter decimalkommaet.
Moore (10:32): Ja, ja, uendeligt mange cifre. De behøver ikke at gentage.
Strogatz (10:35): Øh huh. Og hvad med ting som former eller punkter eller geometriske ting, ikke kun numeriske ting?
Moore (10:41): Ja, du kan også tale om samlinger af geometriske former.
Strogatz (10:45): OK, så dette er en fin egenskab ved mængder: at vi med mængder kan forene eller i det mindste have et fælles sprog til at tale om aritmetik, geometri, … .
Moore (10:54): Ja.
Strogatz (10:55): Jeg formoder, at vi kunne tale om et sæt funktioner, hvis vi tog et præcalculus-kursus. Du ved, ligesom mængden af kontinuerte funktioner, hvis vi var i et calculusforløb.
Moore (11:04): Selvfølgelig. Ja.
Strogatz (11:05): Eller hvad som helst. Så ja, så dette giver os et fælles sprog for alle forskellige dele af matematik.
Moore (11:09): Ja.
Strogatz (11:10): Og - men det er en relativt ny idé som et fundament for matematik i forhold til matematikkens overordnede historie, ville du ikke sige?
Moore (11:16): Ja, jeg mener, jeg... Nå, moderne matematik, som vi kender det, er et sted mellem 100 og 150 år gammelt. Men jeg plejer at forbinde det omkring - den første del af forrige århundrede var, da vi virkelig begyndte at se alle de vigtigste dele af matematik, som vi kender dem i dag, begynde at udvikle sig og virkelig blive deres egne fag. Og det var også omkring samme tid, som [Bertrand] Russell opdagede sit paradoks, som ansporede behovet for en slags stringent grundlag for matematik.
Strogatz (11:49): Øh, huh. Vi bør nævne - ja. Så Bertrand Russell, vi taler om nu, er ofte bedre kendt som en filosof eller en pacifist, og alligevel var han en ret stærk matematiker og logiker, nogen interesseret i logik som en del af matematik.
Moore: Ja ja.
Strogatz (12:04): Så som du siger, så var han en af de mennesker, der hjalp med at få sætteorien virkelig til at rulle. Og selv før ham var der denne herre, Georg Cantor, som vi kommer til at tale en del om, i Tyskland i slutningen af 1800-tallet.
(12:17): OK, så hvordan inden for matematik, lad os sige, bruger matematikere uendelighed? Du nævnte, hvor nyttigt det kan være. Hvor bliver det brugt?
Moore (12:27): Ja, så i en calculus-klasse er det et nyttigt symbol til at udføre visse beregninger. At tale om, hvordan en funktion opfører sig, når inputtet bliver meget stort. Du kan tale om grænsen ved uendelig, eller forhold mellem mængder, når et tal går til nul eller uendeligt eller sådan noget. Det er en forestilling om uendelighed, der er lidt i den første betydning, som jeg nævnte, hvor du ser uendelighed som et idealiseret punkt for enden af linjen.
(12:53) Men du kan også tale om det som - du ved, du kan, du kan tale om at tælle antallet af elementer i en eller anden samling eller et sæt, og holde styr på enten hvor endeligt mange elementer det har eller måske, hvis det har uendeligt mange elementer, forsøger at skelne mellem forskellige størrelser af uendelighed. Jeg mener, alle forstår - eller foregiver at forstå - forskellen mellem at være endelig og at være uendelig. Og jeg tror Cantors bemærkelsesværdige opdagelse var, at du kan, for et uendeligt sæt, kan du foretage yderligere sondringer. Du kan skelne mellem, at det er det, der kaldes tælleligt, og så det, der hedder at være utælleligt. Eller endda bare generelt, højere utallige kardinaler end forskelle mellem forskellige utallige kardinaler.
Strogatz (13:34): Så okay, lad os gå derhen. Fordi dette er, dette bringer os virkelig ind i hjertet af vores emne. Jeg tror, at den gennemsnitlige person, der hører ordet "tællelig" for første gang, måske tror, det betyder bogstaveligt talt, som noget, der har 10. Du ved, hvis der er 10 tændrør på bordet, kunne jeg tælle dem - 1, 2, 3 , op til 10. Men du og andre matematikere bruger tællelig til at betyde noget lidt andet end det.
Moore (13:56): Det betyder blot, at du kan tildele et naturligt tal til hvert element i sættet, så intet naturligt tal bliver brugt to gange.
Strogatz (13:56): Så noget kan være tælleligt og uendeligt.
Moore (13:57): Og uendelig. Så de naturlige tal er åbenbart tællelige, fordi de tæller sig selv. Men måske en lille smule mindre indlysende er, at heltal inklusive de negative af de naturlige tal, at de kan tælles.
Strogatz (14:18): Så lad os tale om det et øjeblik. Så hvis en person ikke har tænkt over det før, er det interessant. For ligesom - så du sagde, du kommer til at overveje alle tallene, alle de positive heltal, alle de negative heltal og nul.
Moore (14:29): Ja.
Strogatz (14:30): Og du kan gøre det forkert. Som hvis du startede ved nul og begyndte at tælle til højre, og du går 0, 1, 2, 3, ville du aldrig komme tilbage til de negative tal. Og så ville du have undladt at tælle alle de heltal.
Moore (14:41): Ja.
Strogatz: Men hvad skal du gøre i stedet for?
Moore: Det du kan gøre er, at du kan tælle, du ved, 0, 1, -1 og derefter 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. Og hvis du lister dem på denne måde, så lister du til sidst alt.
Strogatz (14:55): Smukt. Så dette zigzaggende argument, hvor du hopper frem og tilbage mellem det positive og det negative, er en fin, organiseret, systematisk måde at vise, at hvis du tænker på et heltal, vil det til sidst være på listen.
Moore: Ja. Ja.
Strogatz(15:07): Så det er fantastisk. Så OK, så heltal kan tælles. Cantor opdagede også, at nogle andre ting kunne tælles - jeg ved ikke, om han var overrasket, men mange af os bliver overraskede, når vi først lærer om det. Ligesom hvad?
Moore (15:21): Ja, jeg tror, at to gode eksempler, der er overraskende, er - for det første rationalerne. Så samlingen af alle fraktioner af to heltal kan tælles. Det er faktisk ret nemt at se, når du tænker over det, fordi du bare kan liste alle brøker med nævner 1 - eller tæller og nævners absolutte værdi højst 1. Og så højst 2, højst 3, højst 4 Og på hvert trin er der kun endeligt mange brøker, hvor tælleren og nævneren er mindst i størrelsesorden højst n. Og så kan du udtømme alle rationalerne på den måde.
Strogatz (15:55): Så gerne, hvis jeg valgte tallet n til at være 3, så siger du, at jeg kunne have et tal som 1/2 eller 2/1 eller 0/3, fordi tælleren plus nævneren tæller sammen til 3?
Moore (16:06): Ja. En anden, som igen er lidt overraskende, er, hvis du tager det antal ord, du kan skrive ned i det latinske alfabet, eller et hvilket som helst alfabet, du ønsker. Der er højst tælleligt mange endelige ord, eller endelige rækker af symboler, der kommer fra dette alfabet. Hvis du tænker på alle ord eller alle sætninger, alle stykker litteratur, hvis du vil -
Strogatz: Åh.
Moore (16:30): - alt, der ikke kun eksisterer nu, men potentielt kan eksistere på et tidspunkt i fremtiden. Du ved, du sætter de uendeligt mange aber ved skrivemaskinen og ser på, hvad de output er, som de kunne generere på en begrænset tid. Det hele er bare et tælleligt sæt.
Strogatz (16:44): Wow. Så alle mulige bøger i alt, lad os sige, på latin, på alle mulige sprog, som vi kender?
Moore (16:50): På alle mulige sprog. Ja. Jeg mener, hvis du overhovedet kan lide, kan du have et tælleligt alfabet, hvis du vil. Det gør ikke noget større.
Strogatz (16:56): Så tælleligt ville virke som en meget stor uendelighed. Og stadigvæk -
Moore (16:59): Ja. Den første overraskende ting er, at de mængder, der ser ud til at være større end de naturlige tal, faktisk har samme størrelse som de naturlige tal. De er tællelige. Men så er der den anden overraskelse, som er, at de reelle tal, sættet af decimaltal, er utallige.
Strogatz (17:13): Så der er denne bemærkelsesværdige pointe, som du har nævnt, at der kan være sæt, der ikke kan tælles. Og jeg gætter på, måske det enkleste eksempel ville være: Tænk på en linje, der går ud i det uendelige i begge retninger. Altså som en uendelig lang, lige linje. Den rigtige linje, som vi ville kalde det. Det er utalligt.
Moore (17:32): Ja. Hvis du, hvis du giver mig en liste, en påstået liste over alle elementerne på den linje, er der en procedure kaldet det diagonale argument, som giver dig mulighed for at producere et nyt punkt, der er på linjen, men ikke på din liste. Det var Cantors berømte opdagelse.
Strogatz (17:49): Så det var en virkelig totalt forbløffende opdagelse, tror jeg på det tidspunkt, ikke? At man nu pludselig kunne tale om to uendelige mængder og sammenligne dem.
Moore (17:58): Ja, ja. Og sondringen mellem tællelig og utallig er virkelig nyttig i matematik. Dybest set, tællelige sæt, kan du stadig tale om summer, der er af tælleligt uendelig længde. Det er noget, der bliver undervist i slutningen af en standard — slutningen af et andet semesters calculus-kursus. Hvorimod summer over utallige sæt er mindre meningsfulde, eller i det mindste skal du definere dem på en mere delikat måde. Når det er sagt, noget mere i retning af et integral eller sådan noget.
Strogatz (18:30): OK, så nu, hvor vi har denne sondring mellem tællelige, ligesom de hele tal - 1, 2, 3, 4, 5 - og utellelige, ligesom punkterne på en linje. Der er et andet spørgsmål, som jeg synes ville være godt, hvis vi kunne bruge lidt tid på det. Kaldes kontinuumshypotesen. Kan du fortælle os, hvad det er?
Moore (18:50): Ja. Så Cantor undrede sig: Er der, er der noget imellem? Du kan - du ved, de naturlige tal sidder inde i de reelle tal, og de naturlige tal kan tælles. De reelle tal er utallige og større end de naturlige tal. Er der et sæt reelle tal, som er større end de naturlige tal, men mindre end -
Strogatz (19:10): Mindre i denne forstand at tælle.
Moore (19:12): — mindre end stregen? Er der et sæt punkter på den linje, på tallinjen, som er større end de naturlige tal, større end rationalerne, men mindre end hele linjen selv? Påstanden om, at der ikke er et sådant mellemsæt, kaldes kontinuumshypotesen. Og det var Hilberts første problem, om kontinuumhypotesen er et sandt eller falsk udsagn.
Strogatz (19:35): Øh huh, så Hilbert var en stor matematiker af dette - måske en lille smule senere generation, men ikke meget senere. Og i året - hvad var det, 1900 eller deromkring, tror jeg - annoncerede eller gav han en liste over, hvad han mente var nogle af de største problemer for fremtiden, på tidspunktet for det 20. århundredes matematikere at arbejde på. Og jeg tror, at dette var nummer et spørgsmål på hans liste?
Moore (19:58): Ja, dette var spørgsmål nummer et.
Strogatz (20:00): Wow. Så det var stort at tænke på det her. Cantor, siger du, kaldte det en hypotese. Han troede, det skulle vise sig at være sandt.
Moore: Ja.
Strogatz (20:07): At der ikke var nogen uendelighed, der kunne ligge mellem de to, som han allerede kendte til
Moore (20:11): Ja. Og sagen er, at den overlever testen med at lede efter modeksempler. Jeg mener, hvis du begynder at se på alle sæt af reelle, delmængder af linjen, som du kan skrive en beskrivelse af, eller som du kan konstruere på en eller anden måde. Han prøvede dette. Og han beviste, jeg mener, han viste, at der ikke er modeksempler. Der er endda sætninger tidligt, der siger, at mængder af denne eller hin type ikke kan være modeksempler.
Strogatz (20:40): Det er fantastisk. Lad mig sørge for, at jeg får det her. Jeg har aldrig hørt dette udsagn: Bare det faktum, at nogle af dem kan beskrives, gør dem på en måde ikke gode nok.
Moore (20:49): For eksempel har et sæt, der er lukket, alle dets grænsepunkter. Cantor beviste, at dette ikke kan være et modeksempel. Det kan enten tælles, eller også har det samme størrelse som reals.
Strogatz (21:00): Så hvis det, hvis der er et modeksempel, skal det være ubeskriveligt.
Moore (21:04): Ja, det skal være kompliceret.
Strogatz (21:06): Wow. Men det er selvfølgelig muligt, at der er en, bare at det ville være en virkelig bizar ting.
Moore (21:12): Ja. Så den slags bringer os til noget, der vender tilbage til dette grundlæggende spørgsmål. Du ved, omkring det tidspunkt begyndte de at forsøge at formalisere, hvad matematikkens aksiomer var. Og engang senere, omkring - i 1930'erne, beviste [Kurt] Gödel, at faktisk enhver form for forståeligt aksiomsystem, du måtte have, der opnår det beskedne mål at formalisere aritmetik på de naturlige tal, nødvendigvis er ufuldstændigt. Der er udsagn, som du ikke kan bevise ud fra dette aksiomsystem, og du kan ikke tilbagevise dem fra aksiomerne ved at bruge endelige standardbeviser.
(21:52) Og det her var, synes jeg, ret chokerende. Fordi det fortæller dig, at målet om på en eller anden måde algoritmisk at forsøge at løse alle dine problemer i matematik og producere en slags algoritmisk grundlag, er et eller andet komplet grundlag for matematik i en eller anden forstand dømt. Eller i det mindste skal være styret af en højere intuition ud over bare - jeg ved det ikke - hvad der var tilgængeligt på det tidspunkt.
(22:16) Og hvad Gödel beviste - en af de ting, som han senere beviste, var, at et af de udsagn, som du ikke kan bevise eller tilbagevise, er udsagnet om, at dit aksiomsystem er konsistent i første omgang. At det ikke fører til nogen modsætninger. Det udsagn kan kodes som en slags udsagn om talteori, om aritmetik på de naturlige tal, men ikke på en særlig naturlig måde. Hvis du går og taler med en af talteoretikere på afdelingen, ville de ikke betragte det som et problem eller et udsagn om talteori, selvom det teknisk set er det. Og så var det - et spørgsmål, der var tilbage fra Gödels tid, var, om kontinuumhypotesen - eller om der er et andet naturligt matematisk udsagn, som er uafgørligt baseret på det aksiomsystem, som vi arbejdede indenfor.
Strogatz (23:02): Så der er dette begreb om aksiomer. Vi skal nok prøve at huske, hvordan de ser ud. For hvis vi laver meget omhyggelig matematik, er vi nødt til at fastlægge nogle definitioner, men også nogle ting, vi tager - jeg ved ikke, hvorfor jeg ikke vil sige "vi tager for givet", men at vi accepterer som grundfjeld.
Moore (23:19): Ja, ja. Så dette er, jeg mener, det er noget, som grækerne gjorde, det var, du ved - en af resultaterne med at formalisere geometri - var at snarere end at forsøge at definere, hvad geometri er, på en måde at se det som: Du er vil skrive et par udefinerede termer ned, og derefter nedskrive de regler eller aksiomer, der styrer, hvordan disse udefinerede termer opfører sig. For dem var det ting som et punkt og en linje. Og når et punkt er på en linje, er det de udefinerede begreber. Og når et punkt er mellem to andre punkter på en linje, er det udefinerede begreber. Og så skriver du et sæt aksiomer ned, der styrer, hvordan disse begreber fungerer. Og hvis du har gjort det rigtigt, så er alle enige om, at disse egenskaber åbenbart er sande for disse, disse ting. Og derfor er disse aksiomer ting, der på en måde er indlysende sande.
(23:19) Så for geometri, du ved, er der dette berømte parallelle postulat, som - du ikke kunne udlede det fra de andre. Og det var noget revolutionerende, da det blev opdaget, at man faktisk kan konstruere modeller af geometri, som opfylder alle aksiomer, men ikke parallelpostulatet. Og derfor kan parallelpostulatet ikke bevises ud fra de andre aksiomer. Så i en vis forstand var det, Gödel havde gjort, at udvikle en metode til at gøre det, men på niveau med matematikmodeller, eller i det mindste modeller af dette aksiomsystem, som vi har for matematik.
Strogatz (24:45): Aha, det er en interessant måde at sige det på. Så, ligesom, hvor vi har euklidisk geometri, og så har vi også disse mere nymodens ikke-euklidiske geometrier, som Einstein, berømt, brugte i generel relativitetsteori, men de bliver brugt andre steder også. Og de er logisk lige så gode som euklidisk geometri. Men nu, i stedet for bare at tale om geometri, siger du, at det ligner, at vi kunne have det traditionelle - ja, jeg er ikke sikker på, hvad ordene er. Hvad er analogen til euklidisk geometri? Findes der traditionel matematik?
Moore (25:16): Det er et åbent spørgsmål. Jeg mener det, jeg mener - jeg tror, det delvist er et filosofisk spørgsmål. Måske er det et sociologisk spørgsmål, for det er et spørgsmål om, hvad der er matematik, ikke? Det kommer tilbage til det grundlæggende spørgsmål. Og jeg tror, at de aksiomer, som vi har ZFC-aksiomerne, som blev udviklet for lidt over 100 år siden, er dem, som vi generelt er enige om, at disse er sande, eller disse er, det er egenskaber, som "sæt" burde have, men de' er ikke komplet.
Strogatz (25:44): Nå, vent, lad os pakke alt det ud. Det lyder godt. Så ZFC, hvorfor starter vi ikke med det? Det er navnene på nogle mennesker og en ting.
Moore (25:51): Ja, ja. “Zermelo-Fraenkel mængdelære" med noget, der kaldes "valgaksiom." Ja.
Strogatz (25:55): OK. Og det er altså spilleregler, der er bredt accepteret.
Moore (25:59): Ja, det er en liste over aksiomer, der er - den er ret lang, men ikke så lang. Ting som, hvis du har to sæt, er der et sæt, som har dem begge som deres elementer. Parringsaksiomet, at du kan tage foreningen af en samling af sæt, og det er et sæt. Og så videre.
Strogatz (26:15): OK. Så der er ZFC's måde at lave mængdeteori på, og det er, siger du, foreslået på et bestemt tidspunkt, og folk kan lide det, men så sagde du, at det ikke er komplet?
Moore (26:26): Ja. Så det er noget, du kan skrive. En computeralgoritme til at liste aksiomerne. Det er et uendeligt sæt af aksiomer. Men med undtagelse af to slags klynger af aksiomer, er den endelig. Hvis du ikke er opmærksom, ville du faktisk tro, at disse, hver af disse andre klynger af aksiomer, er enkelte aksiomer. Men de er faktisk en uendelig familie af aksiomer. Du kan generere et computerprogram, der spytter alle aksiomer ud. Vi har en tendens til at tro, at ZFC er konsekvent, fordi vi ikke har opdaget nogen modsætninger. Hvis du tror på det, så vil ZFC ved Gödels ufuldstændighedssætning ikke være i stand til at bevise, at det er konsistent.
(27:03) Og så er der udsagn, såsom konsistensen af ZFC, som ZFC ikke kan bevise. Det er en interessant pointe. For igen, vi mener, at ZFC er konsekvent. Og det er, jeg mener, en af grundene til, at jeg mener... De fleste matematikere, de kommer til at arbejde, er baseret på troen på, at CFC er konsekvent. Højre? Men det er noget, vi betragter som et sandt udsagn. Men det er ikke noget, som ZFC selv er tilstrækkelig til at bevise.
Strogatz (27:27): Jeg tænker bare. Undervejs hertil har vi nævnt Gödel. Jeg ved ikke, at vi har sagt, hvem han er. Vil du fortælle os kort?
Moore (27:34) Ja, det var han. Jeg mener, han var en slags revolutionær logiker. Dette, ufuldstændighedssætningen, var en af hans største bedrifter. Og hans anden store bedrift var at vise, at kontinuumhypotesen ikke kan modbevises ved hjælp af ZFC-aksiomer.
Strogatz (27:49): Nogle mennesker tænker på ham som den største logiker siden Aristoteles. Og Einstein, som var hans ven og kollega ved Institute for Advanced Study, sagde, at han elskede at have det privilegium at gå på arbejde med Kurt Godel. Jeg mener, han var i den samme intellektuelle liga med Einstein. Hvis du ikke har hørt om ham, anbefaler jeg, at du kigger på en bog om ham, der hedder Rejsen til kanten af fornuft. En forrygende bog om Gödels liv. Men ok, så han har ret, så han er en logiker fra midten af det 20. århundrede, begyndelsen af det 20. århundrede. Og du siger, at han beviste det - ja, sig det igen om kontinuumhypotesen?
Moore (28:23): Inden for enhver model for mængdeteori konstruerede han en mindre model for mængdeteori, som tilfredsstiller kontinuumhypotesen. Og så hvad det viser er, at du ikke kan modbevise kontinuumhypotesen inden for mængdeteoriens aksiomer. Ud fra en model for mængdeteori, hvis du har en, så kan jeg producere en ny, som opfylder kontinuumshypotesen.
Strogatz (28:43): Jeg kan se. Så der kunne være versioner af mængdeteori, en slags mindre versioner, der stadig er tilstrækkelige til at lave aritmetik, tager jeg det.
Moore: Ja.
Strogatz (28:51): Men hvor, OK, er kontinuumshypotesen sand, ligesom Cantor gættede.
Moore: Ja.
Strogatz (28:56): Og så. Men altså - der er et stort "men" til denne historie.
Moore (28:59): Ja. Så mange, mange år senere, [Paul] Cohen udviklet en teknik kaldet forcering, der gjorde det muligt for ham at forstørre modeller af mængdeteori. Og ved at bruge dette beviste han, at man ikke kan bevise kontinuumshypotesen. Bortset fra, at hans teknik også kan bruges til at bevise, at du ikke kan modbevise det. Denne, ja, denne teknik kaldet forcering er virkelig, den er meget kraftfuld. Forcering og teknikken til at bygge en mindre model inden for din model for mængdelære. Det er den slags to værktøjer, vi har til at bygge nye modeller for mængdeteori ud fra gamle modeller for mængdeteori.
Moore (29:32): Går tilbage til geometrianalogien. Jeg mener, selv disse modeller af det hyperbolske plan, som var de ikke-euklidiske modeller for geometri - de starter selv med at tage det euklidiske plan eller en delmængde af det og bygge geometrimodellen som punkterne og linjerne der. Punkterne er bare almindelige punkter på denne disk. Og linjerne der er cirkler i, visse cirkler i den oprindelige geometri. Pointen, som jeg prøver at fremhæve, er, at det er en slags frugtbar ting, man gør i matematik. Du starter ofte med en eller anden struktur, der tilfredsstiller dit aksiomsystem, som en geometri, der opfylder dine geometriaksiomer, og du manipulerer den på en eller anden måde og producerer en ny ting, som måske opfylder et andet sæt aksiomer. Det var, hvad Cohen og Gödel gjorde, var, at de tog en model af mængdeteoriens aksiomer – og derfor i en vis forstand en model for matematik – og manipulerede den ved hjælp af forskellige teknikker til at producere nye modeller, som enten tilfredsstillede, at kontinuumshypotesen er sand, eller at kontinuumshypotesen er falsk.
Strogatz (30:36): Så dette er virkelig fantastisk for mig, og jeg er sikker på, at mange mennesker, du ved... Ligesom, Platon har denne filosofi om, at der er visse ideelle former derude og sandheder, som - måske kan vi Jeg ser dem ikke her på Jorden, men i et eller andet platonisk rige eksisterer deres sandhed.
Moore: Ja ja.
Strogatz (30:57): Og du ville føle, at de reelle tal eksisterer, uanset om mennesker tænker på dem eller ej, og at kontinuumhypotesen enten er sand for de reelle tal, eller også er den ikke. Men du fortæller mig det?
Moore (31:09): Nå, jeg mener, ja, der er forskellige tankegange om dette. Jeg mener, du kunne ikke - du kan se det som, at der er denne ting, som jeg tror går under navnet, det generiske multiverssyn, at der ikke er mere, du kan sige. Der er bare alle disse modeller for mængdeteori. Og det bedste, vi kan gøre, er at prøve at forstå, hvad der er sandt i hver af dem og flytte rundt mellem dem. Og det er et meget ikke-platonisk syn på tingene, en slags formalistisk syn på tingene. Du kan også tage det synspunkt, at der er en måske foretrukken model for mængdeteori. Det er, du ved, den virkelighed, vi lever i, og alle disse andre modeller, de er modeller af aksiomerne, men de er ikke rigtig, hvad vi forsøger at beskrive med aksiomerne. Jeg tror, at analogien med geometri er noget illustrativ der, ikke? Jeg mener, du kan producere mange forskellige modeller af geometri. Men vi lever stadig i en fysisk verden, der har en geometri, og det er måske den, den geometri, vi holder mest af.
Strogatz (32:03): Jeg kan se. Så på samme måde, som vi kunne give euklidisk geometri en foretrukken status, fordi det er den, vi er vant til. Det er den, der har eksisteret længe, for det er sådan set det nemmeste og mest oplagte, men vi synes stadig, at disse andre er gode, og de har deres domæner, hvor de er nyttige og interessante.
Moore (32:20): Men det, der måske også er værd at påpege der, er, at selv vores forståelse af — Nå, for det første er jeg ikke sikker på, at vi lever i en euklidisk geometri. Men der er, der er et spørgsmål om det. Men selv vores forståelse af den fysiske verden er meget beriget ved at forstå alle disse andre geometrier, denne frie udforskning af andre modeller af geometri. Og det samme er tilfældet med mængdelære. Jeg tror, at selvom vi i fremtiden blev enige om en vis konsensus om, hvad der er et nyt aksiom for mængdeteori, er det at ankomme til den destination noget, der helt sikkert ikke ville have været muligt uden al denne udforskning, der finder sted på forhånd.
Strogatz (33:00): Hvad ville det betyde at bevise eller modbevise kontinuumshypotesen? For hver af disse lejre? Hvad er der på spil?
Moore (33:08): Ja, det er - OK, så jeg tror, at lejren, der har denne slags "alle verdener" synspunkter, bare ville sige, at dette er et meningsløst spørgsmål. At Cohen og Gödel og deres teknikker til at bygge masser af modeller for mængdeteori er lidt afslutningen på diskussionen. Og du ved, vi kommer til at producere en masse nye modeller for mængdeteori, måske, men vi vil aldrig have et endeligt svar på at sige, at kontinuumhypotesen er sand eller falsk. De mennesker, der har det synspunkt, at der er en eller anden form for sandhed eller falskhed i det udsagn, ville formodentlig prøve at komme med et nyt aksiom og formentlig en heuristisk begrundelse for, hvorfor dette aksiom skulle være sandt - enten en heuristisk eller måske en pragmatisk begrundelse for hvorfor det er sandt. Og når først du argumenterer for, at dette aksiom bør accepteres, at det på en eller anden måde indkapsler en eller anden intuition, vi har om matematik eller mængder, så hvis dette aksiom også beviser eller modbeviser kontinuumhypotesen i en form for formel betydning af ordet, så ville du se at CH er sandt eller falsk.
Strogatz (34:12): Så det er sådan set der, vi er nu. At der virkelig er disse to lejre i øjeblikket.
Moore (34:16): Ja, til en vis grad. Det er så længe siden, at kontinuumhypotesen viste sig at være uafklarelig baseret på aksiomerne, at jeg tror, at de fleste matematikere på en måde har vænnet sig til, at det måske er det mest, man kan sige. Og jeg tror, det ville være forbløffende på dette tidspunkt, hvis matematikere som helhed kunne samle sig om en ny heuristik, som alle kunne blive enige om burde være sande. Og måske vil det aldrig ske. Måske, måske har samfundet for mange forskellige synspunkter i det. For at være retfærdig tror jeg det - jeg tror, det er noget af et konsensussyn, men ikke et universelt synspunkt, at ZFC er sættet af sande aksiomer for matematik. Der er helt sikkert mennesker, der mener, at noget uendeligt bare ikke eksisterer. Og det giver ingen mening at tale om, og vi burde ikke tale om det.
Strogatz (35:05): Nå, det er en hævdvundet tradition. Jeg mener, det er - Aristoteles fortalte os, at vi skulle passe på uendeligheden. Og gennem matematikkens historie er folk endda så store som [Carl Friedrich] Gauss var meget forsigtige med dette koncept om fuldendt uendelighed, hvilket var det, Cantor åbnede denne dåse med orme for os. Men jeg ved ikke om det er orme. Det ser ud til, at det er - du ved, hvad er skaden? Det er, at vi slipper vores fantasi og opdager en masse interessante ting.
(35:30) Men jeg har et spørgsmål. Som en, der ikke er en mængdeteoretiker, vil jeg ikke spørge om det på en uhøflig måde. Men det lyder måske lidt uhøfligt, hvilket - du ved, hvor jeg skal hen, ikke? Ligesom, hvordan påvirker det mig? Føler resten af matematik de vibrationer, der sker inden for mængdelæren? Eller er vi på en måde isolerede fra det, I laver?
Moore (35:49): Det er et godt spørgsmål. Jeg tror, at de fleste matematikere aldrig støder på et udsagn, som hverken kan bevises eller gendrives inden for det sædvanlige aksiomsystem for matematik inden for ZFC. Og det har mængdeteoretikerne til en vis grad fundet en forklaring på. Der er en model for mængdeteori, som er større end Gödels originale model, men mindre end universet af alle sæt, kaldet solid base model, som [Robert] Solovay opdaget omkring tidspunktet for Cohens arbejde. Og den bemærkelsesværdige opdagelse er, at denne model - hvad der er sandt i den, ikke kan påvirkes af tvang. Og derfor, i det væsentlige, hvis du kan formulere noget om, hvad der er sandt i den model eller falsk i den model, er det noget, der stort set er immunt over for uafhængighedsfænomener.
(36:35) Fangsten er, at denne model for mængdeteori ikke – ikke opfylder aksiomet for valg. Så aksiomet for valg er - dette er endnu en dåse med orme her. Men en af grundene til, at valgaksiomet er forskelligt fra de andre aksiomer, er, at det ikke er konstruktivt. Alle de andre aksiomer fortæller dig, at nogle mængder, som du har en beskrivelse af, i virkeligheden er en mængde. Det er bare sådan, aksiomerne fungerer. Men valgaksiomet fortæller dig, at givet en samling af sæt, der ikke er tomme, kan du vælge noget fra hver af dem - derfor valg - men det fortæller dig ikke, hvordan du vil foretage udvælgelsen. Dette var et aksiom, der på den ene side tillod os at konstruere alle mulige underlige, paradoksale ting. Du ved vel, i boldbanen for 100 år siden eller deromkring, som ikke-målbare sæt, hvad end det er. Der er denne berømte nedbrydning af sfæren, det Banach-Tarski paradoks, at -
Strogatz (37:29): Åh, det er interessant.
Moore (37:32): — du kunne skære kuglen i endeligt mange stykker og derefter samle dem igen i to kugler, der har samme dimensioner som den oprindelige kugle. Og nu er grunden til, at det er absurd, at du burde være i stand til at tildele en masse til hver af - du ved, til den oprindelige sfære, og så tildele en masse til alle disse stykker, som du kan skære den op i, og de burde lægge op til den oprindelige masse. Og når du så omarrangerer dem, bør den proces ikke ændre massen. Men på en eller anden måde, når du samler dem igen, har du dobbelt så stor masse, som du startede med. Nu, pointen i det argument – hvor tingene går galt, er denne opskæring af sfæren, som valgaksiomet tillader dig at gøre, er så dårlig, at du ikke kan tildele masser til disse stykker, som du har.
(38:11) Nu, den paradoksale adfærd fik folk til at tro, at valgaksiomet på en eller anden måde måske er problematisk. Måske er det, det vil føre til en slags paradoks i selve matematikken. Og derfor bør aksiomet om valg ikke accepteres. En af de ting, som Gödel beviste samtidig med, at han beviste, at man ikke kan modbevise kontinuumshypotesen, er, at det også er sikkert at antage valgaksiomet. Det vil sige, at hvis ZFC's aksiomer uden valgaksiomet er konsistente, så er sættet af ZFC's aksiomer også med det valgte aksiom. Det giver dig måske en masse mærkelige, eksotiske ting, men fra et grundlæggende synspunkt forurener det ikke vandet.
(38:51) Nogen tid senere var der opdagelsen af denne ting kaldet Zorns lemma, som viste sig at svare til valgaksiomet. Og det er virkelig meget frugtbart for at udvikle en masse forskellige grene af matematikken. Det er noget, der - du lærer om det, hvis du er en avanceret bachelor, eller hvis du er en kandidatstuderende i matematik. Det er på en eller anden måde en del af bare den nødvendige læring for en kandidatgrad i matematik. Og på grund af denne ekstreme nytteværdi, er det noget, vi bare accepterer i disse dage. Jeg tror, at de fleste matematikere ikke er komfortable med at arbejde uden valgaksiom, bare fordi de i mange tilfælde måske bruger det uden selv at vide det.
(39:31) Så jeg tror, at dette også er et eksempel på, hvordan vi kan afgøre kontinuumhypotesen. Det er, at vi opdager et eller andet aksiom i fremtiden, som er så nyttigt til at udvikle matematik yderligere, at vi bare betragter dette aksiom som værende sandt i en vis grad. Det var, hvad der skete med Zorns lemma. Og med valgets aksiom var det ikke noget, der oprindeligt blev set som sandt. Faktisk blev det oprindeligt set med en vis skepsis.
Strogatz (39:56): Men lad mig se, om jeg kan, da det gør... Vi har talt meget nu om valgaksiomet: Dets forhold til kontinuumhypotesen. Er der en pinlig måde at sige, hvad det er?
Moore (40:06): Du ved, aksiomet om valg og kontinuumshypotesen har en slags mærkelig sammenhæng, fordi de... OK, kontinuumshypotesen, set fra en mængdeteoretikers synspunkt giver den dig mulighed for at konstruere en masse eksotiske ting . Det giver dig mulighed for at lave en uendelig lang, endda utallig lang konstruktion, hvor du laver alt på en meget kontrolleret måde, en algoritmisk måde. Og bygge et mærkeligt objekt, hvor du har bevaret en masse kontrol undervejs. I mangel af valgaksiomet, kontinuumhypotesen, som jeg sagde det oprindeligt, at der ikke er noget sæt regler, der er mellemliggende, det er noget, der ikke har samme bid, som hvis valgaksiomet er sandt. Og grunden til det er, at man for eksempel i mangel af valgaksiomet kan tale om endnu stærkere versioner af kontinuumhypotesen. Ligesom hver delmængde af denne tallinje, den reelle tallinje, enten kan tælles, eller også er der en kopi af Cantor-sættet, der bor inde i det. Ligesom der er et slags træ af point, et binært træ af point, der sidder inde i dit sæt. Og dette er en meget konkret måde at sige, at den har samme størrelse som de reelle tal.
Strogatz (41:14): Så for resten af os i matematik uden for mængdeteorien, burde vi miste søvn over den - hvad der ser ud til at være - slags ubestemt status i øjeblikket for kontinuumhypotesen? Vi får at vide, at det er uafgørligt i standardmodellen for mængdeteori. Du ved, gør det noget? Påvirker det resten af matematikken?
Moore (41:35): Svaret er for det meste nej. Men det er ikke helt kendt. Kontinuumshypotesen. Det er sandt i Solovay model, for eksempel: Hvert sæt af realer kan enten tælles, eller der er et lukket sæt af realer inde i det, som er utælleligt og ikke har isolerede punkter. Men der er udsagn, der dukker op i matematikken, spørgsmål, der dukker op naturligt, lidt organisk på andre områder, hvor det viser sig, at de er afhængige af enten kontinuumshypotesen eller noget andet, som er uafhængigt af ZFC's aksiomer. Et eksempel på dette er noget, der kaldes en medial grænse, som er en enhed, der er nyttig i sandsynlighed og nogle dele af sandsynlighed til at tage grænser for ting og stadig fastholde, at ting er målbare. Mediale grænser er noget, du kan konstruere ved hjælp af kontinuumhypotesen, men de er ikke noget, du kan bygge i ZFC.
Strogatz (42:27): Det gør mig glad, må jeg sige. Jeg mener, jeg vil tro, at matematik er ét stort net. Og det, som om der er et gammelt ordsprog, "Ingen mand er en ø," fra hvem, jeg ved det ikke. Men alligevel, jeg ønsker ikke, at nogen del af matematik skal være en ø. Så jeg ville nødig tro, at mængdeteorien på en eller anden måde er noget - jeg mener, ingen ville sige, at det er det, men selv den del, der indeholder kontinuumhypotesen, ønsker jeg ikke, at den skal skilles fra det store kontinent. Og det lyder som om det ikke er det.
Moore (42:52): Rigtigt. Hvis du tager et Hilbert-rum, og du ser på de afgrænsede operatorer og de kompakte operatorer, er disse velstuderede algebraer af objekter, der studeres i matematik. Du kan tage en kvotient af dem. At studere det, der kaldes automorfigruppen af det, er noget, som en matematiker kan spørge om. Og sandelig, Brown, Douglas og Fillmore spurgte om det i 1970'erne. Og det er kendt, at om kontinuumhypotesen er sand eller falsk er relateret til, om der er meget komplicerede automorfier af den algebra eller ej. Det er noget, du ved, et standardobjekt i et funktionsanalysekursus, som du ville undervise på kandidatniveau. Og det er en slags meget, meget grundlæggende egenskaber ved dette objekt.
(43:34) Men pointen er, at dette er noget, der umiddelbart er – dette er ikke et problem i mængdeteorien. Forskellige mængdeteoretikere har forskellige holdninger til, hvorfor emnet er vigtigt. Men for mig er det derfor, emnet er - det, det er vigtigt for. Det er, at det spiller denne unikke rolle at være i stand til at fortælle dig, når du stiller det spørgsmål, som måske ikke kan afgøres, baseret på aksiomer. Fordi du ikke ønsker at studere dette problem, som du ikke kan afgøre uden succes i årevis og årevis. Og hvis nogen kan fortælle dig, at "Jamen, du kommer aldrig til at komme med en løsning på det problem, for det kan du hverken bevise eller afkræfte," ikke? Det er en god ting at vide.
Strogatz (44:13): Okay. Nå, for mig er det en meget opløftende besked, du giver, Justin, det - John Donne! Det var det navn, jeg ledte efter, John Donne. Og lad os sige dette på den moderne måde: Ingen mennesker er en ø. Og det samme uden en del af matematik. Der er - selv de mest esoteriske tilsyneladende ting på de ydre rækker af mængdeteori er stadig forbundet til meget jordnære dele af matematikken, efter sandsynlighed, i den funktionelle analyse, der ligger til grund for kvanteteorien. Så dette er nyheder for mig, og jeg vil bare gerne takke dig for at oplyse os. Det her var sjovt. Tak.
Moore (44:46): Tak for at have mig.
Announcer (44:46): Udforsk flere matematiske mysterier i Quanta bog Primtalssammensværgelsen, udgivet af The MIT Press, tilgængelig nu på Amazon.com, Barnesandnoble.com, eller din lokale boghandel. Sørg også for at fortælle dine venner om denne podcast og give os en positiv anmeldelse eller følg med, hvor du lytter. Det hjælper folk med at finde Glæden ved hvorfor.
Strogatz (45: 12): Glæden ved hvorfor er en podcast fra Quanta Magazine, en redaktionelt uafhængig publikation støttet af Simons Fonden. Finansieringsbeslutninger fra Simons Fonden har ingen indflydelse på valget af emner, gæster eller andre redaktionelle beslutninger i denne podcast eller i Quanta Magazine. Glæden ved hvorfor er produceret af Susan Valot og Polly Stryker. Vores redaktører er John Rennie og Thomas Lin, med støtte fra Matt Carlstrom, Annie Melcher og Zach Savitsky. Vores temamusik blev komponeret af Richie Johnson, Julian Lin fandt på podcastnavnet. Afsnittet er af Peter Greenwood, og vores logo er af Jaki King. Særlig tak til Burt Odom-Reed på Cornell Broadcast Studios. Jeg er din vært Steve Strogatz. Hvis du har spørgsmål eller kommentarer til os, bedes du kontakte os på Tak for at lytte.
- SEO Powered Content & PR Distribution. Bliv forstærket i dag.
- Platoblokkæde. Web3 Metaverse Intelligence. Viden forstærket. Adgang her.
- Udmøntning af fremtiden med Adryenn Ashley. Adgang her.
- Kilde: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- :har
- :er
- ][s
- $OP
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- I stand
- Om
- om det
- absolutte
- AC
- Acceptere
- præstation
- resultater
- faktisk
- fremskreden
- påvirke
- Efter
- algoritme
- algoritmisk
- algoritmisk
- Alle
- tillader
- sammen
- Alfabet
- allerede
- Skønt
- forbløffende
- beløb
- analyse
- Ancient
- ,
- annoncerede
- En anden
- besvare
- enhver
- app
- Apple
- applikationer
- ER
- argumentere
- argument
- omkring
- ankommer
- Kunst
- AS
- Associate
- At
- opmærksomhed
- til rådighed
- gennemsnit
- tilbage
- Bad
- bund
- baseret
- grundlæggende
- I bund og grund
- BE
- smuk
- fordi
- bliver
- bliver
- været
- før
- Begyndelse
- være
- Tro
- Berkeley
- Bertrand
- BEDSTE
- Bedre
- mellem
- Beyond
- Big
- større
- Største
- Bit
- Blocks
- bog
- Bøger
- grene
- kortvarigt
- Bringer
- udsende
- bygge
- Bygning
- brændt
- by
- beregninger
- ringe
- kaldet
- Opkald
- Cambridge
- Camp
- CAN
- kan ikke
- hvilken
- forsigtig
- Carl
- tilfælde
- afslappet
- brydning
- Århundrede
- vis
- sikkert
- lave om
- karakter
- Charles
- valg
- kredse
- klasse
- klar
- lukket
- kollega
- samling
- samlinger
- Kom
- behagelig
- kommer
- kommentarer
- Fælles
- samfund
- sammenligne
- fuldføre
- Afsluttet
- kompliceret
- sammensat
- computer
- Konceptet
- begreber
- Konsensus
- Overvej
- konsekvent
- konstruere
- opbygge
- konstruktiv
- indeholder
- kontinent
- kontinuerlig
- Continuum
- kontrol
- kontrolleret
- kontroversielle
- Samtale
- kunne
- Counter
- Kursus
- oprettet
- nysgerrig
- Klip
- skære
- Dage
- beslutte
- afgørelser
- dyb
- dybere
- Degree
- Afdeling
- afhængig
- beskrive
- beskrivelse
- destination
- udvikle
- udviklet
- udvikling
- enhed
- diagrammer
- DID
- forskellige
- cifre
- størrelse
- videregivelse
- opdage
- opdaget
- opdage
- opdagelse
- diskutere
- diskuterer
- diskussion
- distinkt
- skelne
- Er ikke
- gør
- Domæner
- Dont
- Doomed
- døre
- fordoble
- ned
- køre
- hver
- Tidligt
- jorden
- nemmeste
- Edge
- Editorial
- enten
- element
- elementer
- Endless
- nok
- beriget
- helt
- Ækvivalent
- væsentlige
- Endog
- til sidst
- Hver
- alle
- at alt
- udviklet sig
- præcist nok
- eksempel
- eksempler
- Undtagen
- undtagelse
- ophidset
- udstille
- eksisterer
- Exotic
- forklaring
- udforskning
- udforske
- Express
- ekstra
- ekstrem
- stof
- Ansigtet
- mislykkedes
- retfærdig
- retfærdigt
- Faith
- familie
- berømt
- berømt
- FAST
- Favorit
- frygt
- Feature
- fyr
- få
- Fields
- endelige
- Finde
- Fornavn
- første gang
- Fisk
- følger
- Til
- evigt
- formel
- Formelt
- formularer
- Foundation
- Fonde
- fraktion
- Gratis
- ven
- venner
- fra
- fuld
- sjovt
- funktion
- funktionel
- funktioner
- finansiering
- yderligere
- fremtiden
- spil
- Generelt
- generelt
- generere
- generation
- generøse
- Tyskland
- få
- få
- Giv
- given
- giver
- Give
- Go
- mål
- Goes
- gå
- godt
- klasse
- eksamen
- bevilget
- stor
- størst
- stærkt
- Grækenland
- Greenwood
- gruppe
- gættet
- gæster
- hånd
- ske
- skete
- Happening
- Gem
- Have
- have
- he
- hoveder
- hørt
- høre
- Hjerte
- hjulpet
- hjælpsom
- hjælper
- link.
- højere
- bakspejlet
- historie
- håber
- host
- Hvordan
- HTTPS
- menneskelig
- Hungry
- i
- idé
- ideal
- Illusion
- fantasi
- betydning
- vigtigt
- in
- I andre
- omfatter
- Herunder
- uafhængighed
- uafhængig
- Uendelig
- Uendelighed
- indflydelse
- påvirket
- i første omgang
- indgang
- instans
- i stedet
- Institut
- integral
- integritet
- intellektuel
- interesseret
- interessant
- interesser
- indføre
- ironisk
- ø
- isolerede
- spørgsmål
- IT
- ITS
- selv
- John
- Johnson
- sammenføjning
- Justin
- Holde
- holde
- Barn
- børn
- Venlig
- King (Konge)
- Kend
- Kendskab til
- kendt
- Sprog
- Sprog
- stor
- vid udstrækning
- større
- største
- Efternavn
- Sent
- latin
- føre
- League
- LÆR
- lærte
- læring
- Led
- lemma
- Længde
- udlejning
- Niveau
- Livet
- ligesom
- GRÆNSE
- grænser
- Line (linje)
- linjer
- forbundet
- Liste
- Lytte
- litteratur
- lidt
- leve
- Lives
- lokale
- logo
- Lang
- Se
- ligner
- leder
- miste
- Lot
- kærlighed
- elskede
- lavet
- magasin
- Vedligeholdelse
- større
- lave
- maerker
- mand
- manipulere
- mange
- mange mennesker
- Masse
- masserne
- matematik
- matematiske
- matematik
- Matter
- meningsfuld
- midler
- måle
- mekanisme
- nævnte
- besked
- metode
- Mid
- måske
- MIT
- model
- modeller
- Moderne
- øjeblik
- mere
- mest
- bevægelse
- bevæge sig
- film
- Multiverse
- Musik
- mystisk
- navn
- navne
- Natural
- nødvendigvis
- Behov
- negativ
- Ingen
- Ny
- nyheder
- Begreb
- nummer
- numre
- objekt
- objekter
- Obvious
- of
- ofte
- Gammel
- on
- ONE
- åbent
- åbnet
- åbner
- Operatører
- almindelig
- økologisk
- Organiseret
- original
- oprindeligt
- Andet
- Andre
- vores
- uden for
- i løbet af
- samlet
- egen
- parring
- Paradox
- Parallel
- forældre
- del
- især
- dele
- paul
- betale
- Penguins
- Mennesker
- folks
- måske
- person,
- personale
- Peter
- fænomen
- filosofi
- fysisk
- Fysik
- stykker
- Place
- Steder
- plato
- Platon Data Intelligence
- PlatoData
- Vær venlig
- plus
- podcast
- Podcasting
- Punkt
- Synspunkt
- punkter
- positiv
- mulig
- potentielt
- magt
- vigtigste
- beføjelser
- pragmatisk
- foretrækkes
- trykke
- smuk
- Prime
- primitive
- principper
- sandsynligvis
- Problem
- problemer
- behandle
- producere
- produceret
- Professor
- Program
- løfte
- beviser
- egenskaber
- ejendom
- foreslog
- beskyttet
- beviselig
- Bevise
- bevist
- beviser
- give
- Offentliggørelse
- offentliggjort
- sætte
- Quantamagazin
- Quantum
- spørgsmål
- Spørgsmål
- rally
- hellere
- rationel
- RAY
- når
- ægte
- virkelige verden
- Reality
- gik op for
- rige
- grund
- årsager
- anbefaler
- relaterede
- relation
- forhold
- relativt
- slægtninge
- resterne
- bemærkelsesværdig
- huske
- gentag
- påkrævet
- forskning
- respekt
- REST
- gennemgå
- revolutionerende
- stringent
- ROBERT
- roller
- Rullende
- ruller
- Værelse
- regler
- sikker
- Said
- samme
- tilfreds
- siger
- Scale
- Skoler
- Videnskab
- Anden
- sekunder
- synes
- valg
- forstand
- adskille
- sæt
- sæt
- bilægge
- Slog sig ned
- flere
- former
- bør
- Vis
- vist
- Shows
- side
- underskrive
- Simpelt
- siden
- enkelt
- SIX
- Størrelse
- størrelser
- skepsis
- søvn
- lille
- mindre
- So
- solid
- løsninger
- nogle
- Nogen
- noget
- noget
- et eller andet sted
- Space
- Spark
- særligt
- specifikt
- tilbringe
- Spotify
- Stage
- spil
- standard
- starte
- påbegyndt
- Starter
- erklærede
- Statement
- udsagn
- Status
- Steve
- Stadig
- Story
- lige
- stærk
- stærkere
- struktur
- studerende
- studeret
- Studios
- Studere
- studere
- emne
- succes
- sådan
- tilstrækkeligt
- Understøttet
- sikkert
- overraskelse
- overrasket
- overraskende
- Susan
- symbol
- systemet
- bord
- Tag
- tager
- tager
- Tal
- taler
- lærere
- Undervisning
- teknikker
- teenager
- fortæller
- vilkår
- prøve
- Tak
- at
- Fremtiden
- Linjen
- verdenen
- deres
- Them
- tema
- selv
- Der.
- derfor
- Disse
- ting
- ting
- Tænker
- Tredje
- tænkte
- tusinder
- Gennem
- hele
- tid
- til
- i dag
- også
- værktøjer
- Emner
- HELT
- spor
- traditionelle
- traditionelle
- uddannet
- behandling
- enormt
- sand
- Sandheden
- TUR
- Drejede
- To gange
- undefined
- under
- forstå
- forståelse
- forstår
- union
- Fagforeninger
- enestående
- Universal
- Universe
- universitet
- us
- brug
- anvendte
- sædvanligvis
- nytte
- værdi
- forskellige
- Specifikation
- synspunkter
- vente
- gå
- ønsker
- Ur
- Vand
- Vej..
- måder
- web
- WebP
- velkommen
- GODT
- Hvad
- Hvad er
- hvorvidt
- som
- WHO
- hvem
- Hele
- bredt
- vilje
- villig
- med
- inden for
- uden
- ord
- ord
- Arbejde
- arbejder
- virker
- world
- orm
- bekymret
- værd
- ville
- skriver
- skrivning
- Forkert
- år
- år
- Du
- Din
- dig selv
- zephyrnet
- nul
- zoom